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Zmn-0815 薛问天：沈卫国先生提出的所谓【新导数定义】根本不是【不需要极限概念的新微积分理论】，是谎言，必须揭穿.

已有 925 次阅读 2022-1-10 10:37 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0815 薛问天：沈卫国先生提出的所谓【新导数定义】根本不是【不需要极限概念的新微积分理论】，这完全是谎言，必须揭穿

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对沈卫国先生的《0743》等文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

沈卫国先生提出的所谓【新导数定义】根本不是

【不需要极限概念的新微积分理论】，这完全是谎言，必须揭穿

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

沈卫国先生提出的所谓【新导数定义】根本不是【不需要极限概念的新微积分理论】，这完全是谎言，必须揭穿。

沈卫国先生提出的【新导数求法】，说是【给出的导数新定义及具体求导法是可以完全不用极限与无穷小概念的】，【一种不需要极限与无穷小概念的的微积分理论】。这完全是严重的错误的谎言。把这种错误文章登在专业学术期刊上。如:

[1].沈卫国.微积分求导问题考辩与新解（上）-一种不需要极限与无穷小概念的的微积分理论诠释天津职业院校联合学报.2018年04期.

[2].沈卫国.微积分求导问题考辩与新解（下）-一种不需要极限与无穷小概念的的微积分理论诠释.天津职业院校联合学报.2018年07期.。

在学报这样的学术期刊上登这种严重错误的文章，已经出现很坏的影响。已经有人错误地称此为【微积分的新理论】，还要开展【对不需要极限与无穷小概念的微积分新理论的研究】。见

李红玲:对不需要极限与无穷小概念的微积分新理论的研究，佛山科学技术学院学报(自然科学版)，2021年9月，第39卷第5期。

一，沈卫国先生提出的所谓【新导数定义】并不是【不需要极限概念的微积分理论】，说它不需要极限概念是严重的错误，是哄人的欺骗和谎言。

沈卫国先生提出的所谓【新导数定义】，哪里是什么【不需要极限与无穷小概念的微积分新理论】。这完全是严重的错误。如果在导数的定义中不应用极限概念，它就必然等同于第一代微积分的定义，存在贝克莱悖论。得不出导数的正确定义。沈国卫先生所谓的新的导数定义，说是把求导数定义为【求切线斜率】。但是什么是切线，沈国卫先生并未定义清楚。而是求出同割线斜率函数拟等的一个函数(后面将说明两个函数拟等的定义，是指对于除Δx=0这点外，其它所有Δx≠0的奌，函数皆相等)，令此函数中的Δx=0，求出函数值，以此值定义切线斜率。例如在求y=x²的导数时。他用Δx≠0时推导出的割线斜率函数k=2x+Δx，令Δx=0求出k，作为切线斜率。

重要的是，在这里沈先生没有说明，原本割线斜率的函数，在Δx=0点是沒有定义的。这里所用的函数是割线斜率函数的拟等函数，而且没有说清这个拟等函数必须是连续函数。2x+Δx是初等函数，是连续函数。要知道这里用的函数是割线斜率的拟等函数，而且是在Δx=0点连续的函数。所求的在Δx=0点的函数值，实际上就是割线斜率在Δx→0时的极限值。也就是说，沈先生把导数定义为切线的斜率并无新意，切线是割线的极限，切线的斜率是割线斜率的极限。用此割线斜率的拟等函数在Δx=0点的函数值作为切线斜率，仍然要用到拟等函数的极限相等，和连续函数极限值等于函数值这个性质，实际上仍然要用到是用割线斜率的极限来定义切线的斜率。

实际上这就是沈国卫先生所谓【新的导数定义】问题之所在，如果不说明定义导数的切线斜率是割线斜率的极限，不说明这里用到的函数是割线斜率的拟等函数，而且是连续函数。不说明拟等函数的极限相等，不说明你所求的函数值就是极限值，那你的定义就同第一代微积分的定义完全一样，并未摆脱贝克萊悖论。如果你说请楚这个极限的实质，这就是第二代微积分，离不开极限的概念。所以说沈卫国先生提出的所谓【新导数定义】并不是【不需要极限概念的新的微积分理论】，说它不需要极限概念是严重的错误，是哄人的欺骗和谎言。

二，因为连续函数的函数值等于极限值，所以用割线斜率的拟等连续函数的Δx=0函数值作为导数定义，就是第二代微积分导数的等价定义。

我们来具体说明，先给出函数拟等的定义。

【定义(拟等)】 如果函数G(Δx)和函数F(Δx)，对于除Δx=0这点外，其它所有Δx≠0的奌，函数皆相等，即G(Δx)=F(Δx)(当Δx≠0时)。我们称函数G(Δx)和函数F(Δx)是拟等的。

【定理】如果函数G(Δx)和函数F(Δx)是拟等的，则当Δx→0时函数G(Δx)和函数F(Δx)的极限相同。即lim_Δx_→0G(Δx)=lim_Δx_→0F(Δx)。证明很简单，略。

例如，设G(Δx) =(2xΔx +ΔxΔx)/ Δx，F(Δx) =2x +Δx。函数G(Δx) 在Δx=0点没有定义。但函数G(Δx)和函数F(Δx)是拟等的，即G(Δx)=F(Δx)(当Δx≠0时)。。于是当Δx→0时函数G(Δx)和函数F(Δx)的极限相同。即lim_Δx_→0G(Δx)=lim_Δx_→0F(Δx)。

【定义(导数的另一个等价定义)】。设G(Δx)=Δy/Δx是函数f(x)在x0点的增量比函数。如果存在有同G(Δx)拟等的，并且在Δx=0点连续的函数F(Δx)，即对于Δx≠0的所有点，有G(Δx)=F(Δx)，且F(Δx)在Δx=0点连续。则称函数f(x)在x0点可导，并且导数等于函数F(Δx)在Δx=0点的函数值，即dy/dx=F(Δx)|_Δx=0，即F(0)。

这个导数的定义同原定义的等价性很容易证明，我们知导数原定义是:

【定义(导数的原来定义)】。设G(Δx)=Δy/Δx是函数f(x)在x0点的增量比函数。如果当Δx→0时函数G(Δx)存在极限，则称函数f(x)在x0点可导，并且导数等于该极限dy/dx=lim_Δx→0G(Δx)。

可以很容易证明两个导数定义的等价。

【证明】如果按原定义，函数f(x)在x0点可导,dy/dx=lim_Δx→0G(Δx)，显然可以定义G(Δx)的拟等函数F(Δx)如下，当Δx≠0时令F(Δx)=G(Δx)。当Δx=0时，令F(Δx)|_Δx=0=lim_Δx_→0G(Δx)。因为函数F(Δx)在Δx=0点函数值等于极限值，所以可知F(Δx)在Δx=0点连续。从而dy/dx=F(Δx)|_Δx=0=lim_Δx_→0G(Δx)，得出按导数的等价定义，f(x)在x0点可导,而且导数相同。

反之，如果按导数的等价定义f(x)在x0点可导。有G(Δx)的拟等函数F(Δx)在Δx=0点连续，极限lim_Δx→0F(Δx)存在，且dy/dx=F(Δx)|_Δx=0=lim_Δx_→0F(Δx)。再因为函数G同函数F拟等，所以函数G在Δx→0时的极限也存在而且同函数F的极限相等，即lim_Δx→0F(Δx)=lim_Δx→0G(Δx)。从而得知dy/dx=lim_Δx→0G(Δx)，即在原定义下，f(x)在x0点可导，而且导数相同。证毕。

简括地说，原定义是把导数定义为函数G(Δx)在Δx→0时的极限。而等价定义是把导数定义为函数F(Δx)在Δx=0点的函数值。但是由于: ⑴，函数F(Δx)同函数G(Δx)拟等，所以函数F(Δx)同函数G(Δx)在Δx→0时的极限相等。⑵，函数F(Δx)在Δx=0点连续，所以函数F(Δx)在Δx=0点的函数值。等于函数F(Δx)在Δx→0时的极限值。因而两个定义等价。这里特别注意的就是这两点，⑴，函数F(Δx)同函数G(Δx)拟等价，⑵，函数F(Δx)在Δx=0点连续。

沈卫国的所谓【新导数定义】就是用的这种方法。把它称为新方法是无知的错误，另一方面不说明函数F(Δx)的连续性的要求。不说明定义导数的切线斜率是割线斜率的极限。不说明这里用到的函数是割线斜率的拟等函数，拟等函数的极限相等。不说明这个拟等函数是连续函数，所求的函数值就是极限值。而却说这个方法它不需要极限概念，这显然是严重的错误。

参考文献