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Zmn-0816李鸿仪:实数不完全定理

已有 289 次阅读 2022-1-11 08:50 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0816李鸿仪:实数不完全定理

【编者按。下面是李鸿仪先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。

 

实数不完全定理

 

李鸿仪

leehyb@139.com

 

张景中在科学网啄木鸟栏目里发表了一篇关于康托对角线的文章(zmn0726),我做了评论(zmn0736.

在数学实践中,我们经常需要给出一个实数(例如给出3.14159…)而不考虑实数究竟是可数还是不可数的.也就是说,这个操作(我定义为列出)与可数与否是无关的。

但在对角线证明中,康托却把“列出”与可数(即可列)假定混在一起。这是他后续各种错误的根源。

为此,我在zmn0736中,首先对“列出”这个概念作了定义,以防止混淆“列出”与“可数”这两个概念。

然而,与康托一样,薛问天先生还是把这两个不同的概念混淆起来了,甚至还特地生造出了“可列(李)”这一概念来混淆它们(见薛先生的zmn0738,对zmn0738,我在该文的其评论区中做了反驳,同时在该评论区与戴㨗先生展开了相关的讨论;对评论区的这些评论,薛问天在zmn0751做了回应,林益的zmn0756则反驳了zmn0751)。

后来我发现,即使不用“列出”这个概念,也是可以清楚地揭示康托的错误的。下面就来叙述这个新方法,看能不能纠正康托在数学史上犯下的严重错误,并唤醒包括薛问天在内的康托的忠实粉丝们?

为了保证推导的严格性,本文不引用包括集合论公理在内的任何未加以证明的命题。

对区间[01)内的任意实数,只要其存在,都可以表示为无限小数的形式,例如0.1可以表示为0.1000……,而这些小数,只要不止一个,都可以表示成无限小数的形式:

0.1000…

0.2746...                                                          1

0.9736...

-------

定理1(实数不完全定理) 式(1)不可能包含区间[01 )内的所有实数。

证明 假定式(1)已经包含了区间[01)内的所有实数,则可用对角线形成该区间内的一个不在式(1)内的实数,与假定矛盾。证毕

注:任何知道对角线方法的人都很清楚上述具体证明应该是怎样进行的,所以这里就不再详细叙述了

为了讨论方便,以下将可数假定称为假定1,而把[01)内所有实数都包含于式(1)之内称为假定2。如前所述,由于只要存在多个或无限个实数,(1)就成立,而只要(1)成立,定理1就成立,即只要存在多个或无限个实数,假定2就必然不成立,与假定1是否成立无关,这就严格地证明了,假定1和假定2是两个独立的假定。

由于对角线法只能保证在区间[01)内找到一个不同于(1)内所有实数的一个数,因此,只有当假定2成立时,才能必然地形成证明实数不可数所需要的矛盾。这是康托的证明实际上离不开假定2的原因。不过,在康托的对角线证明中,由于他极其随意、“自由”、想当然地认为假定1必然导致假定2,所以这个假定2的引入过程是隐蔽的,他自己也未必知道,而被他的浪漫气质所深深感染、几乎完全失去辨别是非能力的主流数学界也没有发现这一点,以为他只引入了假定1

但根据定理1及证明可见,不管可数与否,假定2都不成立,故用任何方法在该区间内找到一个不在式(1)内的实数都很正常,并不必然形成矛盾。区间套法也是如此。这就证明了:

推论1对角线法和区间套法并没有证明实数不可数。

 

作为一个总结,表1给出了康托的对角线与本文定理1对角线的异同点。

1康托的对角线与定理1的异同

 

康托的对角线

本文定理1

设假定1与假定2均成立

设假定2均成立

用对角线得出矛盾

用对角线得出矛盾

证明了假定1不成立

证明了假定2不成立

显然,在反证法中,只能有一个欲推翻的假定。否则的话,即使产生了矛盾,也难以判断究竟是哪一个假定出了问题。然而,康托的对角线证明却引入了两个独立的假定,区间套法也是如此。再次证明这两个反证法都不成立!

 

定理1的结论不难推广到区间[zz+1),其中z为任意整数, 因此定理1表明,实数轴总会有一些没有包含进去的实数。因此

推论2 不存在一个已经完成了的实数轴。

根据推论2

推论3若在实数轴中增加实数,则该过程永远无法结束和完成。

设“被包含在区间[01 )”为一个性质,那么虽然区间[01 )内的任何一个实数都具有该性质,但根据定理1,并不能认为区间内的所有实数都具有这个性质,即

推论4 对任意一个实数成立的性质并不意味着一定对所有实数成立。

推论 4 表明,仅有存在量词和全称量词是不够的,形式符号与数理逻辑应该把“任意”和“所有”用不同的符号区分开来。

关于这个问题,也可以看笔者的花瓶悖论一文:

从一些数学悖论看数学家思维的局限性(三): 花瓶悖论

http://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1294616.html

康托的对角线似乎很巧妙,可惜没有用对。康托用他的对角线建立了他的数学大厦,我则用他的对角线推翻了这座大厦。至于其他的数学家们,是被大厦的废墟所埋葬而被后人永远耻笑,还是为重建数学大厦而发热发光,在数学史上留下光辉业绩,那是他们自己的选择

数学界的问题其实很多,本文只揭示了冰山一角。

在热力学界,有的人对每一个概念或公式的推敲都会花费很长的时间,甚至一辈子,还不一定能够得出确切的结论(比方热寂说的相关概念和公式),哪里像急功近利、心浮气躁的数学家那么好骗,什么乱七八糟的东西都会相信。

逻辑要挑战相对可靠的直觉,至少必须保证逻辑体系的高度严格性。在悖论丛生的数学界,现代的数学家们有这个耐性和能力吗?

因此,当逻辑结果和直觉发生矛盾的时候,更应该检查的是逻辑是不是足够严格。

本文的推导是无懈可击的,应该能够成为拔乱反正的敲门砖!

 


 

 

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