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Zmn-0819 薛问天:正确理解极限概念,极限没有可达极限和不可达极限之分。评沈卫国《0817》

已有 254 次阅读 2022-1-14 08:34 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0819 薛问天:正确理解极限概念,极限没有可达极限和不可达极限之分。评沈卫国《0817》

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对沈卫国先生的《0817》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

正确理解极限概念,极限没有可达极限

和不可达极限之分。评沈卫国《0817》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg我在《0815》揭穿了沈卫国先生的【新导数定义】,不是【不需要极限概念的微积分理论】。因为他必须说明切线是割线的极限。必须要求那个用函数值作为导数定义的,割线斜率函数的拟等函数是连续函数。用到了连续函数的极限等于函数值的这一重要的极限性质。沈卫国先生在《0817》对此作了回复。但他对我批评的主要内容,提不出任何辩解的理由,说不出他必须用到的这些极限概念为什幺是他所【不需要】的。他说不出任何道理来。

但我从他的反驳的文字中,却看出他实际上对数学分析中的极限概念有很多错误的认识。必须首先把这些错误认识纠正过来,才能正确地讨论。


一,必须对极限概念有正确的认识。函数G(Δx)在Δx→0时的极限,是函数G(Δx)在Δx=0点附近,接近Δx=0点,但是Δx≠0点的函数的性质。极限是否有,以及极限等于多少,同Δx=0点的函数值没有关系。

两个函数G(Δx)和F(Δx)是「拟等函数」,就是对于所有Δx≠0的点有G(Δx)=F(Δx)。一般地讲,拟等函数可能并不全等,因为对Δx=0这个点两个函数的函数值可能不等,甚至可能没有定义。「拟等函数」不一定是同一函数,但是对于除Δx=0外的所有其它点,即Δx≠0的点,两个函数的函数值却是完全相同的,有G(Δx)=F(Δx)。既然函数当Δx→0时是否有极限,以及极限等于多少,同Δx=0点的函数值没有关系,只与函数在Δx≠0的点有关。所以两个拟等函数当Δx→0时的极限自然是相等的。这就是我们的【定理】所叙述的内容。证明当然很简单,只要叙述一下极限的定义,以及说明这些定义所用到的是Δx≠0的函数值,而这些值是两个拟等函数相等的值就完全可以了。像这样简单的证明,还需要把它写出来吗?没想到沈卫国先生水平竟然低到如此程度,连这样的简单的证明都写不出来,甚至怀疑起这个定理所断定的,拟等函数极限相等的这个正确结论。还说这是【未经证明、也给不出证明的所谓“定理”】。沈先生更进一步说【我的整个理论或诠释,就是基于您薛先生的所谓的“拟等函数”与其原函数在0点的极限不一样的。也就是我理论的基础就是您薛先生的所谓的“定理”的不能成立上的,

这就决定了沈先生的观点完全错误。因为此定理成立。拟等函数的极限是完全相等的,不可能不相等。

 

二,极限概念没有【可达极限】和【不可达极限】之分。

沈卫国先生错误地认为极限有【可达极限】和【不可达极限】两种不同的极限。他说【极限法微积分(第二代微积分)的导数定义,就是增量比值函数在0点的不可达极限值,而绝对没有求什么其“拟等函数”在0点的可达极限值这回事。任何一本书中也没有这个东西。您薛先生连这个居然也不清楚。按极限法微积分,二者在0点的极限值一样,但这并不意味中二者是一回事。因为在极限法微积分那里,这个增量比值函数的在0点的极限,是不可达极限,其函数值为0/0,而薛先生的所谓的不再是增量比值函数的“拟等函数”,在0点是有非0/0的函数值的,因此其在0点的极限是“可达极限”,也就是与其函数值一样的极限。薛先生怎么能说拟等函数在0点的可达极限,就是增量比值函数在0点的不可达极限呢?您凭什么可以这么说?谁给您的权利?

这是沈卫国先生认识上的一个严重错误。函数在某点的极限值等不等于该点的函数值,这是区别函数在该点【连续】还是【不连续】的特征标志。这是函数的特性而不是极限的特性。在极限理论中,并没有因此把极限分为【可达极限】和【不可达极限】。因为在某点的极限的定义中根本同该点的函数值没有关系,求极限是Δx无限接近于0而不允许Δx=0。无论函数在该点连续还是不连续,函数在该点的极限是完全一样的。其实沈先生也知道极限值是一样的,却说【按极限法微积分,二者在0点的极限值一样,但这并不意味中二者是一回事。】这就是沈先生的错误,毫无道理的把极限分为不同的两种,认为不是【一回事】。这是沈卫国先生对极限概念认识上的一个严重错误。实际上是应该问沈卫国先生,把极限分为可达极限和不可达极限,【您凭什么可以这么说?谁给您的权利?要知道在任何书中,导数的定义都是增量比值函数在0点的极限值,哪有什么【不可达极限值】的说法。

也就是说,极限并没有分成两种不同的【可达极限】和【不可达极限】,两个拟等函数的极限是完全相同和一样的。

沈卫国先生说【您薛先生请给我听好了:我说的不需要极限,是指的微积分求导,也就是增量比值函数所要求的在0点的不可达极限!您薛先生敢在这里说一句,极限法微积分求的不是这个增量比值函数的不可达极限吗?而是什么您凭空杜撰出来的“拟等函数”的增量函数的非比式的可达极限吗?

我当然可以明确地说,极限根本不分可达和不可达,作为极限是一样的。导数定义的增量比函数G(Δx)的极限,同增量比函数G(Δx)拟等的函数F(Δx)的极限是相等而且是一样的极限,如果函数F(Δx)在Δx=0点连续。则导数就等于函数F(Δx)在Δx=0点的函数值。因为这里用到了拟等函数的极限相等,用到了连续数的函数值同极限值相等。所以用F(Δx)在Δx=0点的函数值定义导数,是离不开极限概念的。说它【不需要极限概念的微积分理论】是完全错误的,是骗人的谎言!

 

三,沈卫国先生关于分式中公因子的消去法的错误认识

我们知道,函数G(Δx)=(2xΔx+ΔxΔx)/Δx只要在Δx≠0 的条件下,就可消去分母和分子的公因子Δx,使其G(Δx)=2x+Δx=F(Δx)。並不需要令Δx=1。

可沈卫国先生却说

最后,我之所以敢说薛先生的所谓“定理”不能立,也不可能被证明,其实我的文章中早就有论证了。这是因为如果要证明增量比值函数在0点的不可达极限值与其薛先生所谓的“拟等函数”非比值的增量函数在0点的可达极限(也就是函数值)就是一个东西,只能通过约分消去分母上的自变量之一途。而一旦进行消分母“操作”,按约分的定义,只能是先令分母为“1”,才可以再去拿掉也就是消去这个分母。只有式子中的“1”,才可以不写。而一旦有了这个“1”在分母上了,还有什么分母上的自变量趋于0吗?那不是等于1或趋于1?我之所以说极限法微积分求0点的不可达极限有问题,就在于此。

本来在Δx≠0时就有G(Δx)=F(Δx),即G(Δx)和F(Δx)拟等,它们的极限是相等的。而沈先生却独出心裁地说什么【只能是先令分母为“1”,才可以再去拿掉也就是消去这个分母。】而且说只有这样极限才一样【就是一个东西】。这些论断毫无逻辑,讲的一点道理都没有。

 

四,非常有趣的是沈卫国先生拿院士等专家来作为接受批评的挡箭牌。他说【提醒一下薛先生,别忘了批下张景中、林群院士的“不用极限的微积分”!

要知道【新导数定义】是沈卫国先生的创作,不是院士们所为。说它是【不需要极限的微积分说理论】也是沈卫国先生所说而不是院士的评语。我干嘛要去批评院士?

 

五,关键是切线的斜率,不是引入的Δx1。

沈文最后谈到他引入了Δx1。我又看了一下他《0422》中引入的Δx1。由于割线的斜率为k=Δy/Δx=2x+Δx,所以割线的直线方程可以写成Δy1=kΔx1=(2x+Δx)Δx1。这是没有问题的。引入直线方程的变量为Δx1,也很正常。对于割线和切线这些直线来说,Δy1/Δx1就是它们的斜率,根本不需要沈卫国先生设计的什么【Δx1 = 1或→ 1】的情况。

但这都不是关键所在。问题是沈先生根据什么来求切线的斜率。沈先生说割线【该直线的斜率(系数)为k=2x+Δx,其中的这个Δx仍旧为两个曲、直线交点的横坐标差。显然,当Δx=0时,是切线。Δx=0时,是切线,此时k=2x,即切线的系数,也就是切线斜率。即新定义下的曲线导数。

为什么【Δx=0时,是切线】?实际上,在这里说割线斜率函数2x+Δx,当Δx=0时的函数值2x是切线斜率。它的真正理由和根据,应该是切线斜率是割线斜率的极限,而且割线斜率函数2x+Δx,是初等函数,在Δx=0奌连续,因而割线斜率的极限,就是割线斜率函数2x+Δx,在Δx=0点的函数值2x。

沈卫国先生的错误就在于没有说明导数切线斜率是割线斜率的极限,没有说明这里用到的函数2x+Δx是割线斜率的拟等函数,因而极限相等,而且是连续函数。所求的函数值就就是极限值。要知道这一切都离不开极限的概念。所以说沈卫国先生提出的所谓【新导数定义】并不是【不需要极限概念的新的微积分理论】,说它不需要极限概念是严重的错误,是哄人的欺骗和谎言。

 

参考文献


 




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