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Zmn-0884 李鸿仪: 映射函数的正确设定,严厉批评薛问天先生否认事实的反科学倾向。

已有 387 次阅读 2022-9-3 10:41 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0884 李鸿仪:  映射函数的正确设定,严厉批评薛问天先生否认事实的反科学倾向。

【编者按。下面是李鸿仪先生的两篇文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

映射函数的正确设定

 

李鸿仪 leehyb@139.com

 


 1 引言

在我上一篇博文中,给出了一种验算一一对应是否正确的方法,无可辩驳地验证了:任何无限集合,都是不可能与其任何真子集一一对应的。在这篇博文中,我将根据双射的定义来具体地分折康托为什么会错?

2 一一对应和元素的数目

 由于一一对应是一个一个元素相对应的,所以定义域或值域内有多少个可以一一对应的元素,即定义域或值域内元素的数目是多少?是一个必须首先研究且不可回避的问题。否则的话,如果连定义域或值域内有多少元素都是一个模糊问题,任何关于一一对应的讨论又怎么可能有严格的数学意义呢?

    要知道元素的数目,最简单的方法就是计数,所以也可以把元素数目定义为计数的结果。 计数可以直接计数,也可以将计数对象划分成小块后,然后再分别计数,最后将各小块的计数结果相加后就得到最终的计数结果。例如,若A,B交为Φ,即C=AUB,则C的元素数目是A的元素数目和B的元素数目之和。

   对于有限集合,上述定义和计数规则都是一清二楚,毫无疑义的。对于无限集合,没有任何可靠的理由可以认为上述定义和规则不再成立,唯一的区别是,对于无限集合,由于其元素数目是无限多的,所以我们不能用自然数来表示元素数目,而必须采用其他符号,比如说用与数学分析一样的∞符号来表示元素数目。例如,如果A,B都是无限集合,则∞C=∞A+∞B。

    有人可能会认为无限集合和有限集合有本质的不同,所以不能用上述方法来讨论,那就要请他给出理由。

他可能给出的唯一理由其实就是无限集合可以与其某一真子集一一对应以及在这个基础上建立的各种理论,比如说基数的加法规则等与有限集合不同,所以无限集合和有限集合有本质的不同。

    在我的上一篇博文中,这一点已经被推翻,所以这些理由不再成立。

 再说,即使基数的运算法则仍然成立,也不能用到这里,因为这里讨论的是元素数目,不是基数。

 3 单射、满射和双射的定义和条件

 定义如下

 单射:若对X中任意两个不同元素x1,x2.,x1≠x2, 通过映射函数y=f(x)得到的像f(x1)≠(x2)。

 满射:Y中的任何一个元素都是X中某元素的像。

       双射: 是单射又是满射的映射。

    定义虽然非常简单,但是如果不对其进行仔细的分析,未必能够正确地应用。

 根据单射的定义,不难得到:

    1)单射函数y=f(x)的定义域必须包括X(以下称为映射方)的每一个元素。

    2)单射函数y=f(x)的值域所包含元素的数目严格等于定义域所包含元素的数目。

不难看出,上述两个条件中任何一个不满足,单射就不能成立。例如,由于Ⅹ中的任何一个元素x1,都可以与X中的另一个元素x2配对形成一对元素x1,x2,所以如果条件1)不满足,就无法保证任意两个元素中的每一个都被映射到Y。再例如,如果条件2)不满足,就做不到每个x有且只有一个y,单射也不成立。

 同理,形成双射的必要条件是

1)存在可形成单射的映射函数。

2)该单射函数的值域所含的元素数目与被映射方Y所含的元素数目相同。

4 条件的应用

 由此可见,讨论能不能形成双射这一问题,首先必须先找到单射函数。

 并不是所有的映射函数都是单射函数。例如,有人(薛问天)提出,N→N的映射当然可以双射,但: y=g(x)=x+1,即1 →2,2 →3,3 →4.... 是单射,不是双射(元素1没有原像)。即集合N同N之间的这个单射不是双射。

 然而,属于映射方定义域的元素有1,2,3,4....... 恰好包含了N的每一个元素,符合条件1),但属于其值域元素却只有2,3,4...... 只包含了N-{1}的每一个元素,比映射方少了一个元素,不满足条件2),所以,映射: y=g(x)=x+1不是单射!

      根据双射的条件1),连单射都不是,又如何讨论是不是双射?

那么,N→N的映射: 2 →1,3→2,4→3....是不是单射呢?

不难看出,映射方的定义域不含元素1,不符合单射条件1),所以也不是单射。

可见,以为只要通过移位就可以变双射为单射,是错误的。

再如,以集合N1={0}∪N与其真子集N来说,任何f:N1一>N的映射都不符合单射的条件2),所以都不是单射,而f:N→N1的映射虽然可以是单射,但不符合双射的条件2),不可能是双射,所以,N1和N之间无法双射。

不知道形成单射和双射的必要条件,随意设置映射函数,是康托错误的根源。

5 进一步的推理和讨论

不难证明以下命题:

命题A 元素数目相等的集合A,B之间的任意单射都是双射。

证明 对于f:A→B的任意单射,每一个a∈A都存在唯一的像b=f(a)∈B。若A,B元素数目相同,则B的元素数目等于f(a)的数目,即像充满B,是滿射。证毕

例如,以f:N→N来说,能够构成单射的映射有无限多个:

1 →1,2 →2,3 →3....

1 →2,2 →1,3 →4,4 →3....

1 →3,3 →1,2 →4,4 →2,....

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无一例外都是双射。永远找不到像薛先生所想象的那样不是双射的单射。

命题B 可以建立双射的集合A,B的元素数目必然相等。

证明:根据双射的条件1),可以建立双射的集合A,B之间应可以建立单射,如果建立的是单射f:A→B(建立的是单射f:B→A时,讨论类似,略), 根据单射的条件1),2),f(a)的定义域和值域内的元素数目与A的元素数目相同,根据双射的条件2),B的元素数目与f(a)值域的元素数目相同。所以, A,B的元素数目相同,证毕

推论1:若在集合A,B之间存在一个不是双射的单射,则A,B的元素数目不同。

推论2:若在集合A,B之间存在一个不是双射的单射,则A,B间不可能建立双射,这时A,B间的任何单射都不是双射。

其中推论2是在推论1的基础上,再结合命题B得到的。

以上命题及其推论恐怕也会颠覆人们对一一对应的传统想象。比如,人们通常误以为能够建立双射的函数是很少的,大量都是只能建立单射的函数。其实不然。

 事实上,要在两个集合之间根据单射的两个条件找到单射函数并无任何困难。例如,当集合A的元素数目大于B的元素数目时,虽然任何A→B的映射都不是单射,但B→A的映射却可以是单射。

 既然单射函数总能找到,根据命题A和B,能不能建立双射,就完全取决于双方的元素数目是否相同了:根据命题A,只要A,B的元素数目相同,任何单射都是双射,反之,即A,B的元素数目不同, 根据命题B不可能建立双射,故任何单射都不可能是双射。

所以我们实际上只要根据集合A,B的元素数目是否相等就可以判断A,B之间能不能建立双射了。

命题A,B及其推论可以更简约地用命题C表示:

命题C 集合A,B之间能否建立双射与且仅与集合A,B的元素数目是否相同有关,与采用什么样的映射函数没有关系:若相同,则任何单射都是双射,若不同,则任何单射都不是双射。

   该命题也可称为映射的客观性准则。康托及其追随者们显然并不知道这个准则,误以为采用不同的映射函数可以得到不同的结果,这些都是完全错误的。

如果我们并不清楚双方的元素数目是否相等,那么也只要观察任何一个单射,如果它是双射的话,那就说明A,B的元素数目相同,这时任何单射都是双射;如果它不是双射的话,那就说明A,B的元素数目不同,任何单射都不是双射。

        可见,传统的量词应用在这方面错了一百多年。例如,在传统概念中,必须证明所有的单射都不是双射,才能认为A,B之间不能一一对应,这显然是错了,实际上也不一定做得到。

其实根据双射的直观理解,所谓双射就是用单射一一配对后没有剩余即又是滿射,既然如此,A,B元素数目怎么可能不同呢?这是非常直观的、小孩子也能想得到的事情,比如射箭,一箭一箭地射出去,每箭必中且只中一靶,箭靶都没有剩余,剑和靶的数目怎么可能不同呢?数学家们却被一些错误的东西迷惑了双眼,反而看不出来!

看问题,既要注重每一个细节,比方说本文的四个条件,又要抓住本质,比方说A,B元素数目是否相同,这样才能高效且不会错误地思维。

有时还可以根据其他学科来对数学结果的合理性进行推敲。例如,从哲学角度来看,采用何种单射方法完全是人的主观行为,而两个集合的元素数目是否相同,完全是客观的数学事实。比如在N→N这个例子里,N和N当然是同一个集合,它们的元素数目当然也肯定是一样的,所以必然可以双射,怎么可能通过主观的单射方式改原本已经双射这一客观事实呢?类似地,无限旅馆既然已经客满,房间数和旅客数就是严格一致即可双射的,并无任何空余房间,怎么可能通过人为的调配即改变单射函数来改变这个客观事实以至于又可以有空余的房间呢?

 难道不觉得这有点扯得过份吗?

 如果主观愿望可以随意改变客观事实,人类还要搞什么生产?研究什么热核反应啊?哪里还会有什么战争啊?只要想一下:让永动机动起来吧,不就解决一切问题了吗?

 再比如,物理学上有一个质能守恒定理,说的是质能不会凭空产生,也不会凭空消失,用到数学上就可以看作是元素守恒定律。集合论的元素都是对应于某一种事物的,怎么可能凭空产生,凭空消失呢?所谓基数加法却显然违反了这一点,其错误的根源其实还是在于所谓无限集可以与其某一真子集一一对应这一错误命题。


    有的人总觉得我对双射的理解与别人不一样,所以得出的结论也与别人不一样。例如,人们认为无限集合可以与其真子集一一对应,但是我却说不可以。再比如很多人认为采用不同的映射函数,可以得到不同的结论。比如薛问天认为原本是一一对应的N与N之间的对应关系也可以通过改变映射函数变成不能一一对应,但我却说,这是不可能的。有的人因此要我重新定义一一对应,称之为李双射。

这就有问题了,除非确实需要,定义怎么能随便改呢?如果我和别人讨论的定义都不一样,怎么可能得到共识?任何讨论又有什么意义?

所以,我使用的双射定义也是别人使用的定义,并无任何不同,只是我把它具体化,详细化了而已。比如说我分别得出了某一映射函数形成单射和双射的必要条件,有了这些条件,要研究任一映射能不能形成单射和双射就比没有这些条件要方便和严格得多。

而康托及其追随者,由于不知道这些条件而自以为是地随意设置双射函数,不发生错误只是偶然事件。 

从某种意义上说,数学基础中的错误,与没有将各种定义具体化和丰富化有很大的关系。

而且我还习惯于根据定义进行必要的推理,比如说得到了命题A,B,C及其推论等,进一步发掘出定义本来蕴含的内涵。

比如,进一步推理还可得:

命题D 若A,B间的任一单射f:A→B不是满射,则必有B-A≠Φ,即B的元素数目比A多。

   证明: 对A,B间的任一单射f:A→B,根据单射条件1)和2)可知,A在B的像的元素数目与A相同;由于该单射不是满射,所以B的元素数目比A多,所以B-A≠Φ,证毕

把问题复杂化,细致化是为了把问题严格化,但只要有可能,又应该在不失严格性的基础上把问题简单化,以提高工作效率,恰如读书时先要把书读厚,再把书读薄一样。

比如,仅管条件有四个,但最后其实只有一个:A,B元素数目是否相等?等则可双射,否则不可。

只要抓住这一点,一眼就可看出康托理论的错误:任何无限集合的元素数目肯定是与其真子集不同的,怎么可能建立双射呢?这个错误太明显了,哪里需要验算啊?

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如果将本文的各种条件、命题及其推论与康托及其追随者们在一一对应中的所作所为相比较,应该可以感受到明显的不同。

再次声明,这些不同,并不是因为我用的双射定义与康托不同,而只是因为我的思维方法和思维习惯与他不同而已。



严厉批评薛问天先生否认事实的反科学倾向

李鸿仪

科学以事实为基础。

在我的强力攻势下,薛先生看来是无路可逃了,又不愿认错,只好走上否认事实的反科学,伪科学道路了,有意思吗?

比如说竟然连任何无限集合的元素数目都是比其真子集多的(),他以前承认的东西,现在都要反对了,说什么定义中没有讲到,定义没讲到就不存在了?脑子派什么用的?

我的定义1的元素数目就是计数的结果,真正的定义就只有这一句话,其他不过是说明而已,不是定义。

既然是计数,就和有限集合的计数没有任何原则性区别,只不过是由于计数不能完成。我们未必能得到最后的计数结果而已。虽然如此,它们仍然是客观存在的,否则我们如何可以用各种方法比较它们的相对多少呢?比如,如果是外延相同的两个集合,我们就知道它们的元素数目一定是一样多的。既然无限集合的元素数目是客观存在的,我们当然可以用某种符号例如∞1,∞2等来表示,而且当然可以把大的集合分开来分别计数,然后再加和。比如,假定某无限集合真子集的元素数目为∞,剩下的元素数目为n,则无限集合的元素数目为∞+n(注意,这里讲的是元素数目,不要用基数计算规律来混淆视听)

然而,我已证明,只要承认无限集的元素数目比其真子集多的,那么N1就不等于N′,任何无限集合就不可能与其任何真子集一一对应(zmn0880),这么一来,现代集合论就会遭受毁灭性的打击,一向以集合论权威自居的薛问天之流自然受不了,只好用一些自相矛盾的东西试图来强力反击(zmn0883)。然而,只要承认事实,任何反击都是无效的。于是,他只能采用否定事实的方法。

然而,此路通吗?

否认N2的元素数目是N2倍,也是完全相同的路数:1+1=2都要否认?

还有,不要老是用基数的概念到这儿来混淆视听,我这儿讲的是元素数目,是计数的结果,和基数没有任何关系。再说只要承认无限集的元素数目比真子集多,任何无限集合就不可能与其任何真子集一一对应,这么一来,还有基数理论的立足之地吗?老是用一个不能够成立的理论来评论我的理论,逻辑上能成立吗?

至于验算,当然是认为已经找到了双射函数才会去验算的,一般不会拿b=|a|这种连单射都不是的函数去验算。

薛先生对映射方面的其他种种错误认识,我这里就不展开了。见

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&id=1353587

 

 

 

返转到

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

       










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