《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-1060 李鸿仪 : 重启数学?数理逻辑中的一个问题:全称量词的误用,兼评薛问天的zmn1056

已有 295 次阅读 2024-1-25 21:50 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-1060 李鸿仪 : 重启数学?数理逻辑中的一个问题:全称量词的误用兼评薛问天的zmn1056

【编者按。下面是李鸿仪先生的文章兼评薛问天先生Zmn1056现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意 见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

Z

 

 

重启数学?数理逻辑中的一个问题:全称量词的误用

兼评薛问天的zmn1056

 

李鸿仪  leehyb@139.com

在数理逻辑中,通常把x,p(x) 解释为:对任何(或所有)x,命题p(x)成立。

这是不严谨的。

对任何x成立和对所有x成立并不一定是一回事,故不应该混淆,也不应该用同一个符号表示。为此,本文用x表示对所有x,用*x表示对任意x。

为了讨论方便,以下把称为全称量词,把*称为准全称量词。

容易证明:

x,p(x)*x,p(x)

这是因为,既然对所有的x,p(χ)都成立,对于任何一个x,p(x)当然也成立了。

但其逆命题,

*x,p(x)x,p(x)

就不一定成立了。

为了叙述方便,以下把上述逆命题称为可以将"任何"推广到"所有"即把准全称量词推广到全称量词。

有时候,将“任何”推广到“所有”,似乎是显然的。例如,口袋里任何一个球都是白色的,马上可以得出,口袋里所有的球都是白色的,但有时候就不那么简单了,例如班里任何人只要足够努力都可以得到第一名,并不能推出,班里所有人只要足够努力都能得到第一名, 这是因为,通常只能有一个或数个人是第一名。

再例如,有限或无限大的苹果园里任意一个苹果都可以放到某一个篮子里,并不等于苹果园里所有的苹果都可以放到这个篮子里,这是因为,篮子的容量是有限的,通常不可能放下所有苹果。

因此,严格来说,如果希望把“准全称量词”推广到“全称量词”,是需要经过证明的,例如可以用数学归纳法来进行证明或否证。

数学归纳法的步骤是,若要证明某命题p(n)对所有自然数n成立,则必须证明:

1)n足够小(例如n=1)时该命题成立,即p(1)成立,

2)假设对n=k时该命题成立,则可证明n=k+1时,该命题仍然成立,即若p(k)成立,则p(k+1)成立。

由于其中第一个步骤通常很容易验证,所以关键是第二个步骤。

例如,如果篮子的容量是最多放k苹果, 则篮子可以放k苹果时推不出篮子可以放k+1个苹果,因此,任何一个苹果都可以放进篮子,并不能推出所有苹果都能放进篮子。

在花瓶和球悖论中,虽然可以将任意一个球取出,但不能将所有球取出。

---------------

花瓶和球悖论:假设有一个无穷大的花瓶和无穷多个球,球用自然数编号,执行下面的操作:第一次,往花瓶里放进1至10号球,同时取出1号球;第二次,往花瓶里放进11至20号球, 同时取出2号球.....,无穷次后,花瓶里有多少个球呢?

不要说是中国小学生,就是外国小学生也很容易回答这个问题:每次相当于放进了9个球,第n次操作后,剩下的球的数目是9n,所以无穷次后,有无穷多个球。

这个结果显然是确定无疑的。

但有的数学家是这样算的:第1次拿出了1号球,第2次拿出了2号球...第n次拿出了n号球,无限次后,所有编号的球都被拿出来了,所以最后没有球。

其逻辑基础是,既然任意一个球都能拿出,那么所有球就都能拿出。

所以,不加证明地以为,对“任何”成立,必然对“所有”成立,是错的,想得太简单了!

--------------

在对角线论证中,也有类似情形:

--------------

对角线论证:根据可列假定将小数a1,a2,a3…….一一列出,

a1=0.a11a12a13....

a2=0.a21a22a23....                    (1)

a3=0.a31a32a33....

.......

 

等号右端组成了一个无限大的矩阵。矩阵的行数表示所列小数的个数,列数则表示所列小数的位数。 设

b=0.b1b2b3...                       (2)

                            

 bkakk,        (k =1,2,3,...)     (3)

   

容易证明,对任意k  ,总存在bk≠akk,使得b=b1b2….bk时,ak≠b,即

*kak≠b                                                           4

与花瓶和球悖论一样,康托不加证明地将(4)推广至:

kak≠b                                                             5

从而与(1)已将实数一一列出形成矛盾。

-------------------

在以上推导中,在公式(4)及(4)之前一点问题都没有。到目前为止,思维不够严谨的康托及一般数学家的认知水平也就仅到此为止了。

然而,公式(4) 是用对角线元素akk推出来的,而对角线元素永远只存在于正方形无限矩阵中。由于小数的个数比小数位数多得多,所以有很多种方法可以证明(1)是一个长方形无限矩阵,例如,n位有限二进制小数有2n,n 趋于为其时,Lim(2n/n)=∞,即(1)的行数是列数的高阶无穷大,是一个长方形无限矩阵其中包含了正方形无限矩阵的元素,因此,(4)永远只能保证正方形矩阵中的那一部分小数不等于b,而无法保证长方形矩阵中的全部小数不等于b,即得不出(5)。

以下将用数学归纳法证明b始终在(1)中,即(5)不成立。

 命题1:b{a1a2,……}                                   6

证明,设用n表示小数的位数,

①对二进制小数,小数位数n=1时,(1)只有两个小数

0.a11

0.a21

根据(2)(3),

因为b=0.b10.a11

所以只能b= 0.a21

b(1)中:

b{0.a110.a21}

公式(6)成立。

②设n=k时,

b=0.b1b2……bk(1)内,即(6)成立

对于任何一个k位二进制小数,只要在末尾分别加上01,就变成了两个k+1位小数,所以,n=k+1时,(1)内必有

 

0.b1b2……bk0

0.b1b2……bk1

 

这两个小数。

由(3)可知,bk+1ak+1k+1 ak+1k+1要么等于1,要么等于0,所以上面两个数中必有一个是b=0.b1b2……bk+1,即b仍在(1)中,即(6)成立

这样,我们已经证明了(6),b始终在(1)中,即(5)不成立。

这里要注意,数学归纳法在证明的过程中,只需要也只能讨论有限的情况,比如我们在证明过程中讨论b时,只需要也只能讨论作为有限小数的b,但结果却可推广到作为无限小数的b。如果在证明过程中,就把b当做是无限小数,这在逻辑上是一种循环:把还没有得出的推导结果用到推导过程中了。

在没有证明的情况下就贸然将“任何”推广到“所有”,已经是不严谨的了,命题1则否证了可以将(4)推广到(5)。

  所以,对角线并没有证明小数不可列。

其实,所谓对角线论证,本身就是自相矛盾的:既然已把所有小数都一一列出了,怎么还可能找到不在所列的小数呢?

出现了自相矛盾,理所当然应该去仔细检查推导的错误:这些自相矛盾是怎么出来的?怎么还好意思冠冕堂皇地把它拿出来当做科学真理呢?

命题1将永久性地把康托牢牢地捆绑在数学史的耻辱桩上。康托的追随者们是幡然醒悟?还是继续做康托的学术殉葬品?

康托的忠实追随者薛问天一直仔细看我的文章,这一点我是表示感谢的。但他的批评基本上都是错的,例如,明明矩阵的行数和列数都是有明确数学意义的,完全可以用数学分析研究,但这样一来,康托的错误就会暴露无遗,为了为康托辩护,他就禁止用数学分析来研究矩阵的行数和列数(他是谁呀?有这个资格吗?),偏偏要把它硬扯到说不清道不明的无限集合元素数目或基数概念上,以为这样可以掩盖错误,浑水摸鱼了。

zmn1056的评论中,我对他做了反批评。 他应该也是幡然醒悟的追随者之一,但是他有没有这个觉悟,就要看他的学术功底了。好好反思,天天向上去吧

 

结论

混淆全称量词和准全称量词,不但必然造成悖论(例如花瓶与球悖论),也必然造成错误(例如对角线论证中的错误)。

数理逻辑本身就不严谨,建立在数理逻辑基础之上的数学会严谨吗?

或许,数学需要重新启动?

高度的严谨是包括数学在内的任何科学的基本特点。 纠正康托高举“数学是自由的”大旗而造成的随意、不严谨的学风,是任何一个仍然坚持严谨学风的人的使命。

 

 

 

 

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項,来查找本《专栏》的其它文章。】 

 



https://m.sciencenet.cn/blog-755313-1419338.html

上一篇:Zmn-1059 师教民 : 单个讨论薛问天先生的Zmn系列文章中的问题(3)——评薛问天先生的文章1052
下一篇:Zmn-1061 薛问天 : 解决【问题(3)】就是要纠正dx1=dx2的错误,评师教民先生的《1057》。

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (1 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2024-4-16 12:49

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部