一、数数

有这么一个故事，说的是两个匈牙利贵族决定做一次数数游戏——谁说出的数字最大谁赢。

“好，”一个贵族说，“你先说把！”

另一个绞尽脑汁想了好久，终于说出他所想到的最大数字：“3”。

现在轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了更久，他表示弃权说：“你赢啦！”

这也许只是一个笑话，但说明1、2、3中，3是最大的数。

我也来编个故事：未来有两个中国人打赌，一样做一次数数游戏——谁说出的数字最大谁赢。

 “好，”一个中国人说，“你先说把！”

另一个想都不用想，马上说出想到的最大数字：“U”。

现在轮到第一个动脑筋了。他没办法想了，只好弃权说：“你赢啦！”

是啊，现在也是3个数：1、∞、U，没有比U更大的数了。

二、 “部分可以等于全部”有可能吗？

康托尔证明了实数轴上的点与[0，1]上的点一一对应（见图1，实数轴上每一个点L₁，L₂，L₃，…，L_n与[0，1]上的某个点一一对应），并推出了“部分可以等于全部”的结论。

（图1）

图2是两个大小不同的同心圆，大圆的半径是小圆的两倍。因为圆的周长和它的半径成正比，所以大圆的周长是小圆的两倍。

从圆心开始随便划直线，马上就可以知道任何和大圆交于点N的半径也会和小圆交于唯一的对应点N₁，没有多余也不会重复，从而证明了两个圆的圆周上点一样多。

（图2）

    这些看是事实，再看又不太可能的现象，造成了几百年来一直扯不清的悖论。康托尔也同样用所谓“超限数”理论解决。

难道说，“部分可以等于全部”真有可能？

三、点与实数的概念

现在要补充一些概念。从书上可以找到下述概念：

点的含义：“一个点可以构成一条线，也可以构成一个平面，也可以构成一个立体。” “点是空间中只有位置，没有大小的图形。”点作为最简单的几何概念, 通常作为几何、物理、矢量图形和其他领域中的最基本的组成部分。“点成线，线成面，点是几何中最基本的组成部分。”

实数的定义较为复杂，至今还没有一个公认的、完整的、准确的定义。实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数包括整数和分数。

由于点没有大小，一个点的周围有无穷多个点。

实数具有稠密性，任意两个点之间必定有第三个实数。

四、点是不可数的，实数是可数的

沈伟国和吕陈君两位学者用不同的方式已经证明了实数是可数的。沈伟国用“无穷层满二叉数上包含有单位区间全部实数”的方法，构造了一种单位区间实数集与自然数集一一对应，证明了实数可数。吕陈君引入潜无穷公理也证明了实数可数。

是的，实数是可数的，实数与自然数都有同一个∞。

但是，点是不可数的。在无穷小的区域里，点与实数不可能一一对应！

从图1、图2我们可以看到：部分等于全体的结论是发生在点与点的一一对应上（注意不是实数的一一对应）。当我们把[0，1]缩短到[0，δ] （δ为无穷小），一一对应依然存在；再缩成一点，一一对应也依然存在。这可以看出：这一一对应其实是一个错误的视觉，点是不可数的！

五、引入终极数

引入终极数U，把U定义为不可数序列的极限。因为不可数再也无法去数，因此也不能再分。线段上的点、平面上的点、多维空间上的点，以及由点组成的线、面、体都是不可数，它们都是同一个终极数U。

终极数的性质如下：

    终极数U是0的倒数。即：

1/U＝0，1/0＝U

    终极数U大于无穷大∞。即：

U>∞

终极数U的引入，也使数的排列趋于完美：

0，δ， C，∞，U

参考文献：

[1] 何华灿、何智涛著，《统一无穷理论》，科学出版社，2011年12月

[2] 戴维·福斯特·华莱士著，胡凯衡译《跳跃的无穷》，湖南科学技术出版社，2009年4月

[3] G·伽莫夫著，暴永宁译《从一到无穷大》，科学出版社，2002年11月