数学的语言严谨但局限，现实的世界是不可想象般的丰富，甚至自然的语言都比数学的描写丰富，因为它能够含糊其辞，给你想象空间。真实的世界不可能用数学模型完全描述，它只能反映出某种角度的抽象关系。经过抓住重点，忽略其余，关注的对象和关系被大大地简化。而同一个事例，由不同侧重就有着不同的数学模型。

同样的追妞，上一篇里的阿呆只考虑感情随时间变化的动力过程，他建立起了感情增长Logistic微分方程模型。网上一搜，王伟华在科学网博文里，考虑了男生学习成绩和女生疏远程度的关系，建立起《关于男生追女生的数学模型》，这是两个变量的一阶微分方程。年轻人周星和克居正，在国防科技大学预研基金支持下，细化了王伟华的模型，在2012《数学的实践与认识》上发表了《男生追女生的数学模型》，得了“菠萝科学奖”中的数学奖。天津大学大四的理科男王召健，用了集合和优化的概念。建立起在时间、金钱和爱情观约束条件下谈恋爱的数学模型，写了如何优化追妞目标函数的“恋爱的数学分析”。Albert_JIAO的《死理性派恋爱法：拒绝掉前面37%的人》，教你怎么挑挑拣拣。只要你有想象力，能够灵活应用所学的数学知识，你尽可以针对不同的情况，建立起追妞的随机过程模型，统计分析模型，博弈对策模型，逻辑资询模型等等。这些模型的优劣，取决于它的适用面、使用方便程度和结果应用的价值。无论如何，这都是数学的应用，这把刀切出的菜是不是符合你的需要，取决于掌刀的功力和用途。

即使是成了经典理论的模型，其描述的真实世界也非如此，那只是个习以为常的形象，它不过是描写真实世界众多模型中，被认为较好的一个。如欧几里德几何于地形测绘，不过是简单的近似，在跨洲越洋时会使用更加切合的球面几何。在常规情况我们应用牛顿力学，在原子尺度用到量子力学，极高速时用相对论模型。分子运动在宏观时用热力学，从微观着眼是统计物理学。考虑宏观规律有传统的宏观经济学，政治学，人际关系学，心理学，……，在微观时，博弈的模型正在崭露头角。

牛顿和莱布尼茨打造了微积分这把数学的犀利战刀，三百多年来带来了巨大的科学进步。这个用来建造连续动力过程和相邻关系模型，联系着变化和累积的数学利器，在物理世界里尤是大展神威。人类每当掌握了一种思想利器时，都有一种“宇宙在乎手，万化生乎身”的感觉。两千多年前，阿基米德在发现了杠杆原理之后，充满着掌控了力的世界的想象，他说：“给我一个支点，我能够撬动地球”。当微分方程的模型精确地描写了运动的世界，拉普拉斯为代表的学者也同样自豪地认定：给出一个初始条件，就能决定万物过去或今后发生的一切。应用的需求极大促进了这方面数学研究的发展，从此分析和相关的研究成为数学的主角，科学也以能用微分方程和函数模型的描写，作为理论研究的至境。人们从来没有像机械决定论确立了那样，充满着科学能够把握世界的信念。这其实只是个幻觉。还原论的方法和依赖纸面上推演的计算，最富有成果的是能够用叠加原理构造出来的线性世界。我们已经用它修建了许多大路，似乎觉得已经征服了世界，其实远离大路更为广博的原野，还是一无所知的神秘世界。即使用微分方程完美描述的模型，借助计算机掘进以后，也发现了分岔和混沌，远远不是决定论所想象的那样简单。还有多少不适合用微分方程模型的规律，在我们的视野之外？世界远比我们用几种简单模型的认知来得复杂，新的数学工具带来描写世界新的模型和新的认知。

哈佛大学社会心理学教授米尔格伦（Stanley Milgram）对于社交圈里流传的“小世界”说法感兴趣。陌生的人们在聚会聊天经常发现，经过七大姑八大姨、朋友的朋友拐了弯都能找到关系，不由地惊叹“世界真小！”他研究这个现象设计了一个传邮的实验，从波士顿和奥马哈市随机挑出几百个志愿者，通过熟悉的亲友们，把信转寄给麻省雪伦市的一个股票经纪人。实验的结果令人惊讶，多数送达的信件只通过不超过6个人便能传递。1967年，他在心理学刊物上发表了“The small world problem”的论文，谈到了这个结果，认为社交网络中任意两人的距离是6。从此“六度分隔（Six Degree of Separation）”理论引起了人们的关注。

米尔格伦的实验不大严谨，也容易想象出否定的情况，他自己后来做了更多的实验，发现还有许多微妙的因素影响成功率。但这个现象无疑是存在的。随后，演艺界的凯文贝肯游戏与数学界的埃尔德什数的类似实验，也证实了这个发现。虽然有关的研究论文还很少，在应用却很多了，从保险界和直销业都相信了熟人介绍的成效，80年代《读者文摘》就利用这个理论鼓励订户向熟人推荐。互联网提供了一种新的人际连接方式后，新的商业运行模式尤其是社交网络软件，完全是基于这种小世界的理论。微软的数据证实了这个现象，研究人员从2.4亿MSN用户的300忆的通讯中，发现全部数据库中1800百亿组配对，都可以通过平均6.6人产生关联，48%的用户可以通过6个以内的熟人，78%在7个以内就能联系起来。

如此被广泛应用的现象，自然需要有个数学解释。一种粗糙的说法是，如果平均每人认识260人，它的6次方就是300万亿，消除重覆的节点后足以覆盖地球人口好几倍。但这过于笼统，也不是一个能够指导实践的数学模型。好的模型必须能够透视本质，理解变化，指导实践。美国康奈尔大学的博士生瓦茨（Duncan Watts）和他的导师斯特罗加茨（Steven Strogatz，应用数学教授）在这方面做出了成果。他们在1998年发表“Collective dynamics of the 'Small World' networks”论文。认为这种现象是一类复杂网络的特性。【1】

他们在图论的框架上研究网络联接性问题，将社交中的人抽象为图中的顶点，称为“节点”；人际关系为图中的边，称为“连接”。小世界网络是有着大量节点，很小的平均连接路径的网络。但这还不足以完全描述“小世界”的特征，如上所说，如果世界中每个人都有大量的联系，这性质并不足为奇。令人惊异的小世界现象是这网络的连接是稀疏的，却能通过很少的几步路径，将大部分节点联系起来。他们找到一个重要的特征——集聚系数（clustering coefficient），这是描述网络节点间结集成团的程度的系数，数值在0到1之间，如果一个节点连接到的所有节点间互不连接，这节点的集聚系数则为0，如果它们都互相连接，则为1，中间情况是实际的连接数与所有可能连接数之比值。网络上节点集聚系数的平均值，为网络的集聚系数。

下面的故事可以大致了解他们研究发现。孤立的小村庄里人，基本相互都认识，这些由孤立小村庄组成的网络，具有很高的集聚系数，也具有很短的平均连接路径，但是这只是些不联通的孤立小岛，不同村庄里的人没有联系，对应于破碎的网络。在这些小村庄人群中随机增加一些人与外村个人的连接，这时网络中有路径联系的节点对大为增加，平均连接路径长度也急剧增加，网络集聚系数缓慢地减小。当这些对外连接占所有连接的比例到达一个临界值时，几乎所有节点突然都有了路径相联，网络成为一个联通的整体，平均连接路径长度也到达了一个很大的峰值。继续增加对外的连接，平均连接路径长度急剧地减小到个位数，然后缓慢地趋向1。当随机增加的对外连系继续增大到一个区域时，原来缓慢地减小的集聚系数开始很快地减小。（最终又升到1，这已经不再我们兴趣的范围。）在这两个临界值之间，网络集聚系数值很高，平均连接路径长度很小，网络中大部分节点都有路径相连，网络的连接还是比较稀疏。这便是小世界的现象。

小世界的网络就像物质的一种状态，临界值是个相变点，小世界现象是网络中的一种相态。它的结构中有许多高度连接起来的“团”，由一些节点对外稀疏地连接，典型的网络还有路径的“枢纽”。这些都是我们熟悉的社交结构和公共交通分布。瓦茨-斯特罗加茨模型很好地解释了小世界现象和变化规律，由此发现的性质也得到了验证。除了社会人际网络以外，互联网、公路交通网、脑神经网络和基因网络都呈現小世界网络的特征，这现象在生物学、物理学、计算机科学等领域也不断有所发现，它们都能用这个模型很好的描述。

瓦茨-斯特罗加茨模型没有用到什么高深的数学理论，它的证明也不是传统那种单纯纸面的逻辑推演，而是应用了计算机完成其中规律的发现、验证和展示。这个模型也不是如同传统应用那样，用一个简洁的公式或者定理来说明问题，而是通过分析、图表和式子揭示这个现象背后的机制和变化规律。它甚至不是明确地回答是不是“六度分隔”，但它却回答了远比这要丰富的内容。

这是数学的应用吗？为什么不是呢？从实践中抽象出反映本质的概念，用演绎的方法和计算，揭示其中的规律推出合乎逻辑的结果，用来指导实践，这正是典型的数学应用。数学能用计算机吗？为什么不呢？纸上的计算可以是证明的一部分，计算机提供了同样严谨可重复的步骤在演绎推理的环节中。至于它不像大多数传统研究那样，从已经成熟的理论体系中延伸出来使用函数的式子和方程，是因为这些传统形式不适合描述这类现象。数学只是提供能够被应用于实践的演绎武器，没有必要非要从原来的枝干上生长，只要它是长在严格地符合抽象和逻辑原则的根上。

计算机提供了能代替人力进行大量逻辑推演和计算的手段。它必将引起数学研究和数学应用的革命。现在这还仅仅处在利用它来代替人工计算和模拟仿真的阶段，真正的变革还有待于新人来开发。比较成熟学科的理论研究，已经被很多人在长时间里，充分使用传统的数学工具反复挖掘过，难有新的突破。在大家的面前都有着旧的题目、新的对象和这把新的利器。如果你能从这个例子中得到启发，也许你会看到一个新的世界。

（待续）

【参考资料】

【1】维基百科，“小世界網路”http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E4%B8%96%E7%95%8C%E7%B6%B2%E8%B7%AF