科学网—xying的博文

热度 16 应行仁 2015-4-10 06:26

上一篇从很抽象的角度，介绍了能够支持收敛极限的数学空间。用拓扑空间的定义和例子，从高处俯瞰你学过的初等微积分，把散落的知识，用概念间的联系组织起来，让你看到这些基本概念构筑成一个概括的，无穷空间模糊的图像。学习没有捷径，唯常习练才能走通。旁人传的只是心法体会。如果没有过去学的微积分知识作为基础 ...

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重修微积分3——拓扑

热度 22 应行仁 2015-4-3 07:27

上一篇探讨了实数收敛的概念，用无穷级数来确定一个数。很容易把它扩展到无穷的函数序列求极限的问题。在初等微积分里，这是对函数变量的每个值逐点来考察，对每个固定的变量值，这无穷序列对应着一个函数值的数列，如果所有点对应的数列都收敛，那就认为这无穷函数序列收敛，它的极限函数在每个点的函数值是相应数列的极 ...

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重修微积分2——收敛

热度 22 应行仁 2015-3-30 07:58

无穷序列可以用来表示一种趋向。其思想仍然与归纳法一样，企图用已知来推测未知。这里是用有穷的序列项来推测无穷之处的结果。只不过数学归纳法，只能在有穷的世界里漫行，这里需要一个假设，才能用逻辑跨过边界。大致地说，无穷序列作为数学的模型，在这无穷过程中，当后来的项越来越相像，如果这无穷过程指向一个实 ...

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重修微积分1——无穷

热度 28 应行仁 2015-3-27 07:26

这个科普系列是给学过微积分及更深入分析课程的人，觉得读书做题考试都还行，但直观和定义隔了一条河，提到严谨只觉得烦，希望能理解现代分析，又能像物理那样想象的同学。这里介绍无穷、拓扑、空间、测度、泛函和算子等现代分析的概念，让你从高处来看风景。我学过几次微积分。最初是在高中，了解了导数是变化率，积 ...

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再谈“意想不到的老虎”

热度 10 应行仁 2014-1-21 08:27

我在《占卜与推理》里介绍了“意想不到的老虎”悖论，谈到对于这类问题逻辑推理得不出答案，用博弈的方法可以有一个最优的混合策略解，以此来说明解决具体问题的政治技巧。这篇文章给喜欢追根究底的人一个深入的博弈技术上解释。 “意想不到的老虎”，我在中学的时候读过，一直不得要领，直到近些年读了些书以后 ...

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自我指涉（8）——成魔成圣一念间

热度 7 应行仁 2013-12-5 10:12

在集合论和语言研究中发现了自我指涉悖论时，数学家们如临大敌，制定规则来阻止它。为什么却可以在定理证明中使用它？先考察对比罗素悖论和康托尔定理。康托尔用自我指涉的悖论证明了集合论基石性的定理。罗素模仿康托尔定理证明的技巧，用几乎相同的逻辑，构造出罗素悖论，动摇了数学的基础。关于罗素悖论和康托尔定 ...

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自我指涉（7）——语言限制了数学

热度 5 应行仁 2013-12-2 11:12

数理逻辑用严谨的方式研究语法、语义，涉及语言的局限性。先略加解释要用到的概念、术语和符号。用个体变元、个体常元、函数符号、关系符号（或称谓词符号），以及与 ∧、或 ∨、非、蕴涵 →等命题连接词，加上“存在 ∃ ”和“一切 ∀ ”两种量词构成了谓词逻辑语言。语言中，用符 ...

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自我指涉（6）——数学基础的修补

热度 7 应行仁 2013-11-28 10:22

经过几十年的考察，正当集合论被广为接受，成了数学的基础时， 1903 年罗素（ Russell ）和策墨罗（ Zermelo ）几乎同时发现了悖论。罗素悖论是：定义罗素集 R 为所有不包含自己作为元素的集合： R = { x | x ∉ x } ，然后问 R 是不是属于这个集合？麻烦的是，如果 R ∈ R ，即 R 是集合 ...

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自我指涉（5）——真值的间隙

热度 4 应行仁 2013-11-25 10:33

塔斯基的理论成功地应用在表达数学和计算机程序的形式语言中。这些语言的功能比较简单，通过元语言与对象语言可以清晰严谨地分层描述。塔斯基是数理逻辑模型论开创者之一，用严谨的数理逻辑建立起语义真理论。他的真语句集不可定义性定理和判定性问题的研究，在数学、哲学、语言学上意义重大。他对语义悖论的层次结构解决 ...

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自我指涉（4）——不谈自身无烦恼

热度 6 应行仁 2013-11-21 10:24

无歧义严谨定义的形式语言，现在已经广泛应用在计算机程序语言和数学公理表达中。塔斯基是先驱之一。他严格定义的 T 模式，让我们可以用数理逻辑的理论，来研究与真理有关的问题。在数理逻辑中，有个著名的“对角线引理”，或称为“不动点定理”，【 1 】如下：设S是包含着一阶算术的理论，对任给公式φ(x)存在一 ...

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