科学网—xying的博文

热度 20 应行仁 2013-7-18 06:57

应用在生活中的朴素逻辑，也有一些很有说服力的推理，比如说：“张三比李四更怂，李四见他都像孙子，张三见了还不尿裤子？”在形式逻辑推理中，因为滤除了形容词和副词，逻辑只有对错两种状态，无从应用比较。非黑即白的原因是“排中律”。排中律要求在同一个思维过程中，两个相互矛盾的判断不能同时为假的，其中必有 ...

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理解数学——逻辑（1）

热度 15 应行仁 2013-7-15 07:01

前几篇介绍，说数学抽象的一个目的，是提取不同模型的共同逻辑关系来定义概念，从而能将不同的应用对象，具有某种结构共同性质的研究共治一炉。其另一目的，是为逻辑推理服务。逻辑推理不容许任何含糊不清的描述，当某个概念可能导致混淆和矛盾的属性时，总可以通过抽象定义的细化来区分它们。数学抽象的定义除了概念之间 ...

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理解数学——抽象（3）

热度 7 应行仁 2013-7-11 07:38

要准确地使用概念，必须理解数学中的定义。定义中的概念是靠与已经定义过概念的相互逻辑关系来约束的，除此约束别无其他。比如说实数，比较严格的是 1872 年德国戴德金的定义。他用集合理论作为基础开始定义自然数。势是集合一一满映射的等价类，自然数是集合的势。 1 的定义是只含有空集为元素集合的势，空集和 ...

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理解数学——抽象（1）

热度 17 应行仁 2013-7-4 07:11

数学是做研究的人既爱又恨的内容，也是民间科学家最喜欢又常被拒之门外的挑战。若能从一般的原理出发经过数学演绎推导，发现了符合实践的规律，用公式简洁概括地描述，量化的计算如同魔术般地揭秘预测，这研究就有了高度，放在论文里点石成金。恨的是，上过的课一半还给了老师，翻书时头晕目眩，推理常有人挑刺，看别人论 ...

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哥德尔定理的证明——5殊途同归

热度 13 应行仁 2013-6-3 06:56

哥德尔定理说：不存在着一个自洽的形式公理系统，能够有效地证明这里面所有的算术真理。这个系统的无矛盾性，也不可能在系统里被证明。哥德尔定理被很多地方传述引用，表面看来是不同的说法。从上一篇的证明中，可以看出之间的联系。我们先谈内部的论断再谈外面的同类。首先，这是针对所有包含算术的形式公理系统 ...

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哥德尔定理的证明——4核心证明

热度 6 应行仁 2013-5-30 07:34

这篇介绍哥德尔证明的核心逻辑。你需要的不再是补充知识，而是澄明心思，清晰头脑，来跟上证明的思路。哥德尔有一套计算可形式化的“原始递归函数”理论，将元数学里的命题：“哥德尔数为 x 的公式序列，是哥德尔数为 z 公式的形式证明”，对应着算术计算，映射成 PM 里的公式。这个带有自然数变量 x 和 z ...

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哥德尔定理的证明——3哥德尔编码

热度 11 应行仁 2013-5-27 07:05

公理系统的不可判定命题、相容性和完备性问题是相联的。系统里的命题，如果既不可能证明它成立，也不可能证明与之相反的成立，这便是个不可判定的命题。相容的系统，不可能证明相反的一对命题同时成立。完备的系统，必须能够证明任何一对相反命题，必有一个成立。所以具有不可判定命题的系统，如果是相容的必定是不完备的 ...

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哥德尔定理的证明——2魔鬼的设计

热度 10 应行仁 2013-5-23 08:01

哥德尔要在形式公理系统里，放进一个“自我纠缠”的魔鬼，用系统里的公式表达“这个公式是不可证明的”含义，构造一个不可判定的命题。如果他做到了，这系统若是相容的就是不完备的（这不难推出，读者可以想一想）。他的想法来自于法国数学家理查德（ Jules Richard ） 1905 年的语义悖论。理查德悖论【 1 】【 2 ...

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哥德尔定理的证明——1背景和内容

热度 23 应行仁 2013-5-21 07:20

在大学时，我听到一个匪夷所思的定理：哥德尔用数学证明了，数学里有不能被证明的定理。这充满矛盾离奇的说法超越了我的想象，但让我记住了这个名字，一直到几十年后，有了足够的基础，我才了解他是怎么说的，如何证明这个革命性的定理。现在互联网可以很方便地得到信息，从网上很快能了解到哥德尔定理（ Gdel ...

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科普和数学博文目录

热度 20 应行仁 2013-5-14 06:06

这帖子列出我在科学网博客里科普、数学、智力游戏等博文的目录和链接，以便朋友们阅读。这里的内容将不定时地更新以添加新的博文。所有的文章都是自己原创的博文。这个版本更新的时间是： 2017-06-01 （新添的内容为紫红色） . 我的科普帖前言人工智能系列 ...

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