博文
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i 的 i 次方等多少？
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- 写了三篇δ函数的博文后，现在来点轻松的。别以为是说“爱的爱次方等多少”。理科男在这里，还没想到这样浪漫的事，其实是谈初等数学，这里 i 是虚数符号，问： $i^i = ?$ 这原是我在高中上了复数课后，写来考同学玩的。欧拉公式还记得吗？ $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ，我们知道 $e^{ipi/2}= ...
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工程应用狄拉克δ函数的模型问题
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- 人们经常应用狄拉克δ函数，作为瞬间冲击的数学模型，来简化近似计算。例如在电路中，对脉冲电源或电击后，估算此后系统过渡过程的状态。 有人认为：在那电路中，把δ函数当作为脉冲源的数学模型，并不适当，因为高频下电感是决定性的，以上篇 《狄拉克δ函数应用的迷思 》 中，清华大学的电路原理课的那道题为 ...
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狄拉克δ函数应用的迷思
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- 理工科学生都知道狄拉克δ (x) 函数。作为解决实际问题的数学模型，它基本有两种用法。一是类比于分布函数，把所有权重集中在一点，用积分来抽取与之相乘的函数在这点函数值。狄拉克在获取连续谱波函数分解系数时，以此来与离散谱的计算保持形式和直观上的统一。傅立叶变换与傅立叶级数分析的类比即是如此。另一，常用 ...
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狄拉克δ函数的数学迷思
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- 早期的科学家既是物理学家，也是数学家，还是哲学家。由哲学启迪认知，以直观指引逻辑，理论 概括 实践验证，用数学量化计算。那时的科学家，宇宙在乎手，万化生乎身，为智者，为大师，为哲人。 自从牛顿用微积分将大家带入无穷的世界后，凭借逻辑冥想的大步跨越，让物理的直观和数学的严谨拉开了距离。经二三百年的混 ...
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重修微积分10——算子
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- 算术是从给定条件和已知数，得出符合条件数值，计算的学问。算法用给定的条件，构造性地定义了从已知数到得数的映射。算术所在的数域仅仅是抽象空间包含的一个实例。近代分析把抽象空间作为给定条件，定义在空间的映射称为算子，研究它们的一般性质。 例如，迭代算法是用相同的子算法，把得数作为下次计算的已知数，一 ...
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重修微积分9——泛函
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- 算术是从一个或几个具体的数计算另一个数的学问，在这儿，数是已知和不变的。代数等式中有些数虽然未知，但其所指，仍是一个固定的数。在几百年前，只在几何中表示数量的对应，运动则代表着变化。几千年中的算术、几何和运动的研究，人们在三者间交叉借用形象来类比推理，直到 1694 年莱布尼茨终于用了函数这名词，抽象 ...
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重修微积分8——积分
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- 一元非负函数 $f(x)$ 从 a 到 b 的定积分，可以很直观地看成是这函数与 x 轴中 区间所夹的面积。在几何上，牛顿很直观地将 分割成细小的区间 $\Delta x$ ，以此为宽度的小长方块来填充或覆盖逼近这个面积， $\sum _i f(x_i)\Delta x$ ，当 $\Delta x$ 趋于零时它趋于这曲线所围的面积 ...
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重修微积分7——测度
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- 计量是数学的肇始。无论是称重量，量尺寸，度面积，计体积，结果都是从 0 到无穷大的一个数。计算时多将整体划分成比较规范的部分，分别测量累加而成。不因测量的方法不同而异。所以计量必须具备几点：它是非负的数量，空无为 0 ，划分后计量之和等于总体，不因测量方法而变。在无限可分世界里任何的计量，就必须把 ...
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重修微积分6——微分
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- 芝诺“飞矢不动”的悖论说：飞行的箭，每个时刻都占据了一个确定的位置，这意味着它不会同时存在其他的位置，箭矢的位置固定，所以它在这时刻是静止的。依此推理，飞行的箭在任何时刻都是静止的，所以运动在逻辑上是不可能的。 对于这个悖论，有不同的解答。黑格尔认为运动就是一对矛盾，每个时刻飞矢是既在这个位置又 ...
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重修微积分5——线性
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- 数学的空间是集合上赋有某些数学性质的论域。距离空间赋予集合中点的远近概念，让我们可以很直观地想象无穷空间中的收敛、极限和连续。微分、积分和求极限的计算都是线性的，线性运算依赖于，所在空间的点有着对线性运算封闭的代数结构。微积分中大部分概念，可以在有拓扑结构和线性结构的点集空间中理解和推广。所以我们 ...
