其实我很想把这篇短文写得通俗易懂些，但我又很不愿意重复教科书上已有的内容。所以，我不得不假定读者是懂得量子场论和广义相对论的。至于弦论和圈引力，能有所了解当然最好。但即使你不是物理学专业人士，事实上你也会发现以下有些内容是可理解的。

我们知道，描述宏观世界的广义相对论和描述微观世界的量子场论分别取得了巨大的成功，经受住了几乎所有实验的验证。然而，在原理上二者是有根本分歧的：从量子场论的眼光看广义相对论，我们说她是经典理论，而非量子理论；而从广义相对论的角度看量子场论，我们说他是背景相关的，即定义在特定的时空背景上，通常选为四维闵氏时空。爱因斯坦在叙述广义相对论的基本原理时，其广义协变原理事实上具有很强的哲学意味，而非实用主义者通常主张的张量协变性。对此合理的诠释是背景无关性：即时空本身作为动力学对象，同时扮演着舞台和舞者的角色；而不是将其中一个特定的部分割裂出来作为背景舞台，剩余的部分作为舞者。从这两种角度来看，要融合二者，似乎有两条路：构造一种背景无关的量子场论；或者将广义相对论表述成某种量子场论。前者将导致所谓的拓扑量子场论，而后者则由圈量子引力实现。事实上，拓扑量子场论恰好构成了圈量子引力的数学基础。

需要说明一下，将广义相对论表述成某种量子场论，并非传统意义上的对引力做微扰量子化。微扰量子化需要分离出特定的背景时空，因而是与背景无关性原理格格不入的。这样做一个显然的漏洞是，在给定时空附近做微扰量子化，永远得不到黑洞。那么，圈引力又是如何表述的呢？我们知道，量子场论的核心是费曼图：只要我们知道怎么计算费曼图，就什么都知道了。圈引力在本质上就是用一种特殊的费曼图来生成任意的时空几何。因为在顶点处的守恒条件，这种费曼图可以进一步分解成一些独立的圈的组合，圈引力因而得名。可以做一个类比，来理解到圈表述的变换。对于大N情形下的SU(N)规范理论，伴随表示可近似为基础表示与反基础表示的直积。这时我们可以对规范场采取’t Hooft的双线规则，使得最终得到的费曼图分解成一些独立的圈的组合。将这里的双线推广到任意线，就得到了一般情形下的圈表述。读者可能会怀疑，光凭一个费曼图，如何能生成任意的四维时空呢？事实上，的确不能。但我们能生成其边界，即任意三维时空（我这里偷偷地用时空而不是空间，在圈领域是有争议的，但咱先不理会他们。）。然后我们说，对于广义相对论来说，这就足够了（这一点并不显然）。而在三维世界，相关的数学结果告诉我们，只需要生成任意的三维拓扑流形就够了。这样就容易了。三维世界中费曼图的圈表述事实上是一个链环（即很多个纽结）。而对于任意的三维流形，我们可以在其中选一个特别的链环做某种特别的“手术”，最终得到三维球：从这个意义上说，任意三维流形都可以通过一个相应的链环生成。这就是圈引力的全部内容，只不过这个世界上再没有另一个人会认同这种表述方式了。

遗憾的是，圈引力在得到这些结果之后就止步了：他们拼命抵制弦、超对称和额外维，因为找不到必然的物理动机去引入。所以我们回过头来审视一下弦论。这里有必要回顾一下弦论的诞生过程。首先是对偶猜想的提出（1968）：强子散射过程中s道贡献之和等价于t道贡献之和，即交叉对称性。之后是Veneziano振幅的横空出世（1968）：Veneziano利用Gamma函数构造出了满足对偶猜想的振幅；紧接着（1969-71），Nambu, Nielsen 和Susskind 将Veneziano振幅解释为弦的散射振幅。对偶猜想最终被发现与强子实验结果背离，弦论作为强相互作用的候选理论宣告失败。1973年，描述强相互作用的量子色动力学建立。1974年，Yoneya发现所有已知弦论包含无质量自旋为2的粒子，具有引力子的某些性质。基于此，Schwarz和Scherk立即提议将弦论从强子理论提升为（量子）引力理论。

我之所以长篇累牍地把这一段历史重复一遍，是别有用心的。如果你的思维足够缜密，会发现这一历史过程中有两个巨大的漏洞：1、引力子的概念是基于对引力的微扰量子化，是背景相关的，从而是与广义相对论基本原理相违背的。以一种不合理的量子化方案中出现的某个概念来作为推广理论的判据，是缺乏说服力的；2、既然弦论起因于对偶猜想，那么，将她提升为引力理论后，对偶猜想应体现在引力振幅（而不是弦振幅）中。换句话说，我们应该像检验强子散射的对偶猜想一样，去检验引力的某种表述（而不是弦）是否满足对偶猜想。

那么，究竟有没有什么物理原因使我们必须从粒子理论跨越到弦理论呢？我想了很久，现在来看，我们至少有三个原因必须做这一推广：

1. 个人认为，至今未止弦论在物理学上最大的成就是对黑洞熵的解释。黑洞熵的困难在于微观基本自由度的认定，就好比物质热力学中的原子，辐射热力学中的量子。黑洞熵的伯肯斯坦-霍金熵公式告诉我们，微观自由度数目是随黑洞视界面积指数增长的。如同计算机科学中的P对NP问题，这给我们带来了巨大的挑战：粒子视角下的物理系统的自由度通常是幂次增长的。一个明显的例子就是，在圈引力的当前框架下，只存在幂次增长的局域自由度而无法解释黑洞熵（不过他们始终不愿意承认这一点）。而弦态一个典型的行为就是：给定量子数下内部态呈指数式增长。这是弦论能自然解释黑洞熵的根本原因。然而，当前框架下的弦论并没能一般性地解决黑洞熵问题，其根源仍然在于背景相关性。所以你往往会看到，对于种种不同的黑洞，弦论往往需要选择不同的背景构造，来得到准确的伯肯斯坦-霍金熵公式。这当然是不尽如人意的：对物质热力学和辐射热力学的推导都是普适的。由此得出的结论是，黑洞明白无误地启发我们从粒子向弦推广，但我们需要以一种背景无关的方式去建立她。

2. 很有意思的是，第二个原因我认为是引力中事实上体现了对偶猜想。这一点很不明显，但在圈引力的发展过程中却有人提出来过，只不过并未引起足够的重视。为了说明这一点，除了之前对圈引力的概括之外，我们还需要一点离散几何的基本知识。我们说，对于d维离散几何，其基本要素是d-2维元胞和角欠。例如，顾老师讲解的2维离散几何就由各点上的离散度量以及角欠完全决定。在物理上，引力的离散描述主要由Regge 发展起来，所以被称为Regge 微积分。特别地，对于4维离散几何，我们需要以面元为基本元素去构建时空。前面提到，在广义相对论的情形，我们只需要构建其三维边界就可以了（再说一遍，这并不显然！）。亦即，我们需要用一些面元构建三维时空。注意到这与前面用费曼图的表述是相容的。准确地说，是互为（三维）庞加莱对偶：一个面元对偶于一条边。请注意，我们需要把这些（经典）面元想象为只有面积和法向的几何对象：边界是可有可无的。让我们先用她们来构建最简单的三维几何体：四面体。我们知道三条边可以确定一个三角形，六条边可以确定一个四面体。不太为人熟知的是，四个面（面积加法向）同样可以确定一个四面体：这就是凸几何中的闵可夫斯基定理，在顾老师的文章中也有提到。这还不太够：与费曼图相应，我们需要的是量子的面元。此时只有面积是可观测量，法向是不定的（试与量子力学中的角动量类比，这里我偷懒跳过了一点内容~）。四个面积是无论如何确定不了一个四面体的。其对偶的费曼图是一个四粒子相互作用，其作用方式也是不确定的：我们可以有s道、t道、u道。由于四面体四个面的地位是等同的，一个自然的猜测是其对偶费曼图的不同道的贡献是相同的：这就是对偶猜想。加上了这一限制之后，四面体可以由四个面积完全确定下来。类比于弦论的诞生，很自然地我们会猜测这种特殊的费曼图是某种弦散射面退化而来。这儿最终会导出一个惊人的结论：正是这种退化过程诱导了爱因斯坦引力！如果你对文小刚老师的哲学观念和相关工作有所了解，你反而会觉得这一结论是理所当然的。我这里用的是退化（degenerate?）一词，文老师和孔良喜欢用凝聚（condensate），而Kontsevish和Soibelman喜欢用坍缩（collapse）。（既然说到这里，我们可以用凝聚的观点多说一下对偶猜想的本质。不同道的等同性，其根本原因在于（三维）体态的唯一性。准确地说，是处于一个特别的真空态（凝聚相）中，这个态由所有可能的边界（真空）态叠加形成。对这个态求迹，无论是从哪个方向去求，都会得到相同的结果，并表现为所有可能边界（真空）态的贡献之和。）

3. 第三个原因包含了一些哲学和美学上的考虑。量子引力作为引力的微观理论，除了黑洞之外，迫切需要解决的问题是宇宙学常数的来源和效应。同时，量子引力作为量子力学的完备化，应该给出一个内蕴的量子框架；特别地，应该自然地导出普朗克常数。圈引力在一定意义上几何化了宇宙学常数，把她定义为刻画纽结缠绕强度的一个参数（即所谓量子群的变形（量子化）参数）；但普朗克常数仍是人为引入的。而弦理论则更不乐观，不但沿用了通常的量子力学和普朗克常数，丝毫不涉及宇宙学常数。近日来所谓的Swampland Conjecture又将弦论在解释宇宙学常数上的困难重新曝光。如果我们认同圈引力对宇宙学常数的理解，将其弦化后可以很自然地将普朗克常数包容进来：纽结的缠绕需要一个参数来刻画，刻画弦的世界面之间的缠绕需要两个参数。她们的不同组合分别给出宇宙学常数和普朗克参数。对该理论取相应的趋于零的极限，分别得到经典引力（带宇宙学常数）和通常的量子力学。

我认为，以上任何一个原因都启发我们引入弦自由度，或者说对费曼图、纽结加以弦化。不过，我们必须以一种背景无关的方式去定义，我们把这样得到的理论称为全纯-拓扑理论。这一理论在物理领域常常被称为6d (2,0) 超共形场论，而在相关的数学领域，则被称为X-理论。至于到底应该叫她场论还是弦论，在历史上一直是有争议的。当前的弦论学家们往往把这一神秘的理论视为整个弦论系统中退耦出来的一个玩具模型，对此我持保留意见。我觉得，在某种意义上说，X-理论就已经足够了，至少对于引力而言。

那么，这一理论究竟具有哪些性质呢？这下可难倒我了。首先，我本人对此还刚刚涉猎，可以说一无所知；而且我怀疑一个完整的数学定义其实并未形成。所以，让我们大致猜测一下这一理论应该具有的性质：

1. 这个理论在本质上仍然是一个弦论，或者说源自于某种弦论。因此，其世界面理论应该是一个两维共形场论。但是我们知道，目前为止只有有理共形场论才有严格的数学定义（在任意曲面上）。所以我们可以降低一点标准，我们要求其世界面理论的局域数据由一个顶点算子代数（或手征代数）给出；并且，整个理论不再包含其他的局域数据。试回想不同情形下的黑洞熵的推导，最终都可以归结到某个顶点算子代数（未经证实），因而这一限制是合理的。这就是这一理论“全纯”的部分。

2. 正如圈引力中费曼图/链环生成了时空几何，这里的世界面之间相互缠绕生成了一个体理论，并且这个体理论在世界面之外是背景无关的，即只具有拓扑结构。综合这两方面的性质，Costello和Gukov等人采纳全纯-拓扑理论这一名称来形象地描述她。

说到这里，我又想起了Costello和Gaiotto最近的那篇文章，“Twisted Holography”，将某个特殊的（实六维）Calabi-Yau背景下的拓扑弦论对偶到一个特定的两维手征代数。这当然与我们这里的设想是相容的。一个显然的结论是，这个体理论必然是六维的。我们来简单解释一下原因。想象一下，通过点与点之间的关系，我们最多可以探测，或者说分辨零到两维（0+0+2）几何；而通过线与线之间的关系，最多可以探测到四维（1+1+2）几何。个人认为，所有已知的物理实验均未超出所谓的联络动力学，所以都是基于线与线之间的关系，因而无法探测到超出四维的额外维度（而并非因为她们的尺度很小！）。这或许正是我们自认为生活在四维的根本原因。以此类推，通过面的相互关系可以生成六维（2+2+2）体世界。

（注：我这里采用体理论而非时空理论，是因为据Gukov等人的构造，这一六维理论描述了 多重M5膜的世界体。）

3. 最后我们来说说超对称。我们知道，在费曼图中，费米子圈需额外计入一个负号。在纽结的计算中，同样的负号也将出现。当我们把费曼图/纽结弦化后，会出现这样一种情形：一个纽结通过世界面演化变成另一个纽结，统计性质发生了改变，但其他性质仍然不变。在数学上，我们引入一个同调指标来标记统计性质的改变，用物理语言来说，就是费米数。这就是所谓的Khovanov同调。物理上的做法比较笨，先引入超对称，然后再借用Witten的拓扑扭曲操作使得超对称算子标量化。这样得到的拓扑理论物理上被称为Witten-型，而数学家则习惯称之为同调型。综上，X-理论其拓扑层面是同调型的，在物理上可以借用超对称使得其易于表达。特别地，当世界面退化为链环时，费米数完全固定，超对称“破缺”。

于是我们看到，一旦我们引入了弦自由度，额外维度和超对称将自然而然地进入。从这可以看出，圈引力是如何地故步自封。

有了以上的大致轮廓，我们最后尝试解释一下Gukov 近年的一些思想（其中很多仍停留在猜想的层次），特别是他与Dedushenko，Putrov去年（2017）的那篇文章 “Vertex algebras and 4-manifold invariants”，以及他与Feigin今年（2018）的那篇文章“VOA[M_4]”。从物理的角度来说，这是对多年来的一系列物理工作，包括Nekrasov 2004年前后提出的BPS/CFT 对应，2009年前后的Alday-Gaiotto-Tachikawa对应，甚至Beem等人2013年前后的4d SCFT/2d chiral algebra对应，加以数学提炼和严格化的一次尝试。从数学的角度来说，他们的工作联系了许多已知的数学结果，下面将一一提到。

为了说明他们的工作，首先我们需要澄清前面的一个漏洞： 我们并未说明X-理论是否是完全确定和唯一的。Gukov等人将其视为整个弦论体系中多重五维膜的世界体理论，因而是唯一确定的。这样一来，我们可以将这一理论在不同的四维流形上（拓扑）约化，得到不同的两维超共形场论T[M_4]和相应的顶点算子代数VOA[M_4]。他们的猜测是，这里的四维流形的拓扑结构与得到的顶点算子代数是一一对应的：可以用不同的顶点算子代数标记不同的四维流形，反过来也可以通过已知的四维流形的拓扑结构来构建相应的顶点算子代数。这一猜想将许多已知的数学结果联系在了一起，具体如下：

1. 我们知道，直白地说，Khovanov同调描述的是纽结随着外在“时间”演化的行为。Gukov等人将这推广为带有任意嵌入曲面的任意四维流形，并猜测相应的拓扑不变量由VOA[M_4]表示的特征标给出。不过需要指出，如何从他们的工作中导出Khovanov同调，似乎仍不清楚。为此，他们重新构造了一种更物理一些的纽结同调，直接跟Chern-Simons理论关联，而不是像Khovanov同调直接与Jones多项式相关联。

2. Gukov 等人的工作细化了4维流形瞬子模空间的结构，将其用顶点算子代数的模结构重新表述。例如，对瞬子模空间“计数”的Vafa-Witten配分函数由顶点算子代数相应表示的特征标给出；将一类推广的Seiberg-Witten不变量表述为顶点算子代数的多点关联函数，等等。可以期待，这最终或将导致Donaldson-Witten理论的纯代数定义，并带来四维流形研究的复兴。最近在Milnor的书中读到Freedman关于四维拓扑流形的分类的工作，甚至觉得Gukov等人的工作在某种程度上与Freedman的工作是一脉相承的。读者如果熟悉相关结果，或许也会有相同的感受。

事实上，John Baez很早就猜测Khovanov同调与Donaldson理论有某种密切的关系。Gukov等人的工作有望使这中间的关系更早浮于水面。

就先写到这里吧。我很怀疑，会真的有人读到这里么？

（补记： 本文草于2019年元旦，2020年小暑略加改动）