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ZX演算(一)

已有 1444 次阅读 2022-4-20 00:03 |个人分类:量子计算|系统分类:科研笔记

ZX演算

左 芬

上海微观纪元数字科技有限公司

 

前一阵粗读了Bob Coecke和Aleks Kissinger合著的 “PICTURING QUANTUM PROCESSES: A First Course in Quantum Theory and Diagrammatic Reasoning”一书,有类似朱天文“石破天惊,云垂海立”的感觉。不过原书是在范畴论的语言框架下写的,一般人很难读懂。我在这里不自量力,把原书最精华的部分之一——ZX演算——用通俗的话跟大家讲讲。再次强调一下:所有内容均出自该书,我只是重新表述而已。

 



(一)  Z-蛛与X-蛛

 

我们知道,量子电路里要求所有的门都是幺正的。如果把量子电路跟量子场论里的费曼图相比,会发现这一要求是有所不同的:在费曼图里我们只要求整体过程是幺正的,而不对相互作用顶点做此要求。正因如此,我们在画费曼图的时候相对比较灵活。那么,我们是不是可以把类似的思想用到量子电路中来呢?答案是可以,而且如果你足够聪明,这样做了之后,你或许会独立发明ZX演算。下面我们用CX门来详细说明这一点。

 

CX门也就是所谓受控非门(CNOT),在电路里通常如下表示:

CX.png

现在我们试图把两个“相互作用顶点”切割开来。在上面一个顶点处,我们其实没做任何操作,只是把输入的态复制了一份(如果输入的是Z基的基矢态)。我们把这个顶点叫做Z-复制映射,并给它一个单独的记号:

Z-spider.png

注意我们在这里改变了时间方向:量子电路的时间方向是从左至右,而这里我们类比于费曼图,改成从下到上了。我们甚至还给她起了个昵称:Z-蛛。注意这一映射并不能复制任意态(为什么?)。那么下面一个顶点呢?她实际上是一个二到一的门:如果中间线是0,则不操作;如果为1,则翻转左侧输入(X操作)。可以证明,这实际上是一个异或门:

XOR.png

注意我们再次改变了时间方向。换句话说,受控非门其实可以分解成如下形式:

CNOT.png

这好像简化了一点,但还不够。复制门我们比较好理解,这个异或门当成基本模块来用的话还是有点复杂。有没有什么办法继续简化下去呢?办法是有的,但我们要转换视角。上面的复制和异或门都是在Z-基下的作用效果。如果我们转换到X-基下,会如何呢?结论有些惊人:Z-基下的异或门就是X-基下的复制门(的“反演”)!之所以是反演,是因为异或门是二到一的,而复制门是一到二的。这一结论需要证明,但是我不打算重复证明过程。对此感兴趣的朋友可以私下交流。我们把X-基下的复制门用以下图形表示:

X-spider0.png

并称之为“X-蛛”。而她与Z-基下异或门的关系为:

XOR0.png

这里之所以是约等于,是有归一化的因子未包含在内。把Z-蛛与X-蛛合起来,我们就得到了:

CNOT2.png

 

Z-蛛和X-蛛是两种最基本的“蜘蛛”,后面会介绍她们各自相应的推广。把量子电路(甚至超出量子电路的过程)完全用广义的Z-蛛和X-蛛来表示,就是ZX-演算。值得一提的是,Z-蛛和X-蛛本身似乎都只是平庸的复制操作,但把它们合起来就大不一样了。这不就是量子力学么:坐标和动量本身都平平无奇,但它们的对易关系是非比寻常的!



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1 王安良

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