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ZX演算(二)

已有 1741 次阅读 2022-4-24 00:48 |个人分类:量子计算|系统分类:科研笔记

ZX演算

左 芬

上海微观纪元数字科技有限公司

 


 

(二) 互补与强互补

 

上次我们介绍了Z-蛛与X-蛛,并把她们和坐标与动量做了比较。我们知道坐标与动量服从不确定性原理,Z-蛛与X-蛛也满足类似的性质,我们称之为“互补性(Complementarity)”。具体说来,就是以下关系:

Complementarity.png

首先要对这个式子做一些定义。左边只是把Z-蛛与X-蛛衔接起来,右边是啥意思呢?这里我们需要对原始的Z-蛛和X-蛛加以推广。既然我们可以复制,那就也可以“删除”了。所以右边的两部分分别是Z-基下的删除操作,和X-基下删除操作的反演。这里说删除,更准确地说是在相应基下做破坏性的测量,但我们可以先不用这么严格。事实上我们可以进一步定义任意m到n的复制映射,m和n可以为0,或是自然数。

 

其次,这一关系的物理含义是什么呢?粗糙地说,就是在一组基下制备的(基矢)态,在另一组基下去测量,是得不到任何信息的。类比到坐标和动量,就对应着这样的表述:坐标完全确定的态,动量是完全无法确定。所以把它称为互补性关系,是合乎情理的。

 

最后,这一关系是局域的,即作为整个过程的一部分也是成立的。所以,只要在任何过程中出现左边的图形,就可以简化成右边。

 

下面我们来应用一下互补性,用它来证明CX门的幺正性。证明过程如下:

CX-U.png

解释一下。首先我们把CX门的蜘蛛图表示的数值系数补充完整了(上次略过了)。这里的D是单希尔伯特空间维度,对于量子比特来说就是2。第一步,我们把相同颜色的蜘蛛捏在了一起,这是可行的,因为先后多次复制和单次多重复制是等效的;第二步我们用到了互补性;

最后一步,不额外复制当然等同于维持原状。于是,我们完全图形化地完成了这一证明。你可能会说,这是不是有点大炮打蚊子啊,CX的幺正性不是很容易证明么?只需要用到X2=I就行了。但是请注意,你是需要脱离量子电路用代数关系证明,并且区分不同的输入情况。试想一下,如果有很多受控门耦合在一起,该如何代数证明呢?这时候图形化的方式就会体现出巨大的优势来。

 

在上面的例子中我们处理的是相同颜色的蜘蛛相邻的情形,如果她们互相错开怎么办呢?比如,如何简化下图呢?

Strong-Complementarity.png

研究表明,要想化简这种图,我们必须继续强化Z-蛛与X-蛛的性质。于是我们引进下面的关系:

Strong-Complementarity0.png

如果你看得足够仔细,你会发现上式左边与前面我们想化简的图在拓扑上是相同的。上面的关系式告诉我们可以把它简化成右边的形式。怎么理解这一关系呢?我们知道态和算符是紧密相关的,复制门既然可以复制态,自然也可以复制相应的门。于是,当你试着把右边的两个蜘蛛分别穿过对方时,她们会被相互复制,于是变成了左边的样子。我们把这一关系称为“强互补性(Strong Complementarity)”,因为它蕴含了互补性(证明略)。

 

我们也来看看强互补性的应用。首先我们把它重写成这种形式:

Strong-Complementarity1.png

将这一关系与CX门的幺正性衔接起来,我们会得到交换门:

Swap.png

直接证明这一点似乎并不那么容易。事实上,Nielsen和Chuang的书里不少习题可以用蜘蛛图来快速解答。

 

至今为止我们只讲到了Z-蛛和X-蛛,怎么没有Y-蛛呢?如果我们只局限在互补性的框架下,是可以引入Y-蛛的,并且XY,YZ,XZ两两互补。如果我们要求强互补,那么只有其中一对可以满足,另一个则被抛弃了。换句话说,互补性是允许移情别恋的,而强互补则必须忠贞不渝。

 

顺便提一下,无论Z-蛛还是X-蛛,数学上其实是(交换)Frobenius代数;而强互补的一对Frobenius代数,则构成了一种特殊的Hopf代数。

 




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2 杨正瓴 王安良

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