科学网 › 标签 › 伸缩

标签: 伸缩

相关帖子	版块	作者	回复/查看	最后发表

没有相关内容

相关日志

呼吸的地球: 热度 1 shenxzh 2012-3-20 20:38; china_strain_hole_ew_2005_2011 china_strain_hole_ns_2005_2011 china_strain_hole_vector_2005_2011 伸缩仪是测量地面伸缩量的仪器，测量的物理量是地表的应变。在全国地震前兆观测网中，应变是一种非常重要的测项。一般一个观测点会放置两个分量，东西向和南北向。目前的形变仪器都可以测量到由月亮和太阳引起的潮汐变化，精度可以达到10-9数量级。应变量可以想象成地球一伸一缩的呼吸。这几天唐老师把全国的一些资料整理了一番，用刚学的Geotime把全国洞体应变资料处理了一下，可以直观地显示地球的这种呼吸。; 个人分类: Resear note|3016 次阅读|1 个评论

小波的尺度伸缩，男女声合唱与数学显微镜--教学难点讨论之三: 热度 20 tangchangjie 2011-3-30 11:38; 上文《比喻实例讲哲理，引玉之砖释小波》展示了利用一组有内涵的对象作为坐标基底，从而表达更复杂对象的思路。本文拟通俗解释小波的尺度伸缩和数学显微机制。　　 1 常说尺度,而少说频率小波就像优秀跳水运动员激起的水面昙花，涌现第一波，就很快消散了，衡量跳水运动的压水花的水平，用尺度显然比频率合适。（这里说 “ 像”，而非 “是”，请参见上文中在珍珠入水那一段的补充解释，也谢谢评论14的建议）。　　　　　设墨西哥草帽小波的函数为y=f(t/a), 　　　则 a=1/4时 , y=f(4t)，绰号瘦草帽; a=1/2 时，y=f(2t)，绰号中草帽; 　　　a=1时， y=f(t), 绰号胖草帽， a= 2 时，y=f(t/2),是超胖草帽… 　　　这里的a 称为尺度（scale），尺度越大体型越胖，符合直观。幽默是机智、知识和心态的综合，学过小波的的同学开起玩笑也玩新概念，看见胖子来了，说：“Wow! How big Scale”(好大的尺度)，而不说“好低的频率”。　　　直观地，小波中至少有一次“一正一负”的波动，尺度越小，波动的频率越高，尺度与频率是有关的。暂时保留这个美好的悬念，留到第3小节解释。　　 2 小波和 2 k 倍尺度小波正交仅以K=1来说明思想。下图中，有两个Harr小波, f(t)的尺度是g(t)的尺度的两倍. 　考察f(t)和g(t)的约会，相约在老地方--内积平台。　f(t)在上心态平和，始终取+1，在t4b时，f(t)=0。　g(t)的情绪不稳定，在上阳光灿烂（+1），在突然由晴转阴，取值（-1），t2b时沉默不语，g(x)=0，　f(t)g(t)在上为正，在上为负, 正负相抵,这样的约会当然没有结果; 于是，内积∫f(x)g(x)dt=0，它们有缘无分。　其他形状的小波复杂一些，需用严格的数学推导，但哲理相同。　　 3 尺度怎样联系频率把Harr 波的波形拓扑地变成正弦波。得到如下的分段定义函数 F(t)=sin(ωt) 当ωt 在中 F(t)=0 其他情形 1/ω是上述分段函数的尺度，而ω是正宗sin(ωt)在无限区间上的频率，这大致说明了尺度越小，对应于频率越高。　　奇怪的是，在小波列表中没有这个函数，这里仅仅借用它在直观上说明尺度和频率的联系。不妨把它称为伪小波。之所以说“伪”，是因为按正宗做法，从母函数克隆出正交基时，需要要用平移、伸缩和加减法运算。虽然这个伪小波在适当的平移或倍频变换下，也可以造出正交波；但作加减法时候，要用到三角函数的和差化积，或积化和差，这里就出问题了；做一点改造，把sin(ωt)换成sin(πt)/πt,就构成了Shannon小波的父小波，深刻的道理请数学专家来解释。既然尺度联系上了频率和正交，下面暂时偏离小波片刻，说说与频率正交相关的趣事。 4 男女声合唱与声波的正交。下面是C调的音阶 1,2,3,4,5,6,7与频率表：（Hz) ================================================================================ 唱名 dou ruai mi fa sou la xi dou(高) 计算数值 261.63 293.66 329.61 349.23 391.80 439.77 493.6 523.26　 ================================================================================== 注意, 2*261.63= 523.26；即，C调的高音dou之频率是（标准）dou之频率的2倍。　　事实上，2的12次方根 d=1.0594630，以d为公比，做一个等比级数 ,a 1 , a 2 ,…, a 12 ，　　首项是C调的 dou为a 1 =261.63, 而a 12 =523.26 是高音Dou的频率，这就是十二平均音阶，是中国明代音乐理论家兼数学家朱载堉（公元1536-1610年）发明（发现？）的。上述等比级数中， a i+1 比a i 高半个音，音乐中加进适当的半音，常使旋律优美欢快。曾经听到过一首歌《新疆故事》，居然在sou上也升半个音，比较少见，挺好听。　　　　 4.1 一条坏消息考虑两个单位向量波 u(t), v(t)。 u在v上的投影分量为 (u.v)v, 这就是u对v的干扰。设u,v两人一起唱歌，如果u唱跑了调，声音又大 (歌厅中常见的一道风景线)，而v的定力不够强，或者是跟着跑调，或者就停唱了。　　当然，这种干扰也不是全是坏处，从17世纪起，人们就发现音频之间适当的互相干预可能产生好听的和声（包括和弦与和声进行），作为菜鸟，只觉得唱和声的歌手特别不容易，需要定力特别强，这一主题要请声学专家或音乐家来做科普了。　　 4.2 一条好消息设男女声合唱时，旋律一样，但女声高8度，则女声频率刚好是男声频率的2倍。上面的分析表明，两者互相正交，所以只要都唱对了旋律，就不会互相干扰；还有一种解释，如果作谐波分析，女声的谐波刚好是男声的偶次谐波，女声加强了男声中本来就有、但幅度较小的偶次谐波成分，所以不会互相干扰，听起来很和谐，请这方面的专家来指正和解释。　　 4.3 朱载堉如何发明十二平均音阶明代的朱载堉虽然是数学家，但考虑到他逝世后33年（即1643年），牛顿才出生，估计他不懂关于弦振动的偏微分方程，没有频率检测仪器，也不懂波的正交，他是怎样发明（发现）音阶十二平均律的呢？有两点猜测: (a)在合奏时，在固定张力下，把琴弦缩短一倍，得到的高8度旋律，发现它与中8度旋律听起来很和谐，这属于发现；（b)按压琴弦时，按 1.0594:1 的比例来缩短琴弦（升高半个音），比较适合手指头的分辨率，这也能解释在拉二胡或提琴时，各“把”（例如中八度和高八度）中，升半音需缩短琴弦的绝对长度是不一样的，但有一个不变量，即各音阶所对应的弦长之间的公比，在自然规律的基础上制定了规范，这属于发明。多做些实验，把不同的琴弦长度、聆听感觉等，记录下来，再手工做一下数据挖掘，就能得到规律了。朱载堉是否这样挖掘出来的？这里的猜测权当戏谈。　　Now ,言归正传。 5 构造小波正交标准基　　前面解释了“适当“的平移和 “适当”的缩放可以创造正交的机会。 “适当”二字中包括向量间的正交性，整个集合的完备性（不缺少）和无冗性，也包含了数学家们的闪光智慧和一言难尽的酸甜苦辣。　　下面的集合就是一个harr小波正交基　　　 6 小波基的完备性。上面的小波基的完备性是靠人海战术完成的，例如j=3, 缩小到1/8的尺度，就有8个这样瘦波，他们依次平移，挨个儿塞满了那个区间。为了下面的方便，给前面几个基向量取一些夸张的绰号：　　J=0,只有一个，取名冬瓜（尺度最大）用汉语拼音首字母，记为D 　　J=1, 有两个，取名土豆，用汉语拼音首字母，记为T 1 , T 2 　　J=2 ,有4个。取名芝麻, 用汉语拼音首字母，记为 Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 . 7 观察波形的显微镜 7.1朴素丈量原理。朴素的丈量，是用一个做标准的尺元，去匹配对象，看对象是尺元的多少个整数倍，这要求尺元比对象小，学生尺最小单位是1mm,则不能精确测量小于1mm对象。“百步穿杨”就是用“步”度量长度，如果长征时有现在的健身用的计步器，则对万水千山的长征历程的丈量可以精确到“步”。红歌“红军鞋”中唱道：“红军鞋是我的量天尺，穿上它，万水千山也能量完”，不但意境美，旋律美，也符合测度原理。 7.2 焦点访谈：关注波形局部性质。考虑下图的波形中小方框里的那段波形W的构造，太小了，看不清楚，怎样做适当的“放大”呢？，如果是社会问题，央视会派一个记者组，去做一次焦点访谈。访谈常讲究地位匹配：小人物由小记者采访，大人物由大记者采访，如央视的水均益常作高端人物访谈节目，数学的焦点访谈也讲究尺度匹配。　　　　用第5小节的小波基（冬瓜、土豆、芝麻波等）去丈量它。小波基中有无穷个元素，一般只要前面的一部分组成焦点访谈采访组，就可以达到足够精度。把小波基平移到待观察的小方框的中间的横坐标处，让W在小波基上分解。假定结果为 W= 7*Z 1 +2*T 2 ，这说明: 　　（1）W 与冬瓜波正交（无关），（大尺不量小对象）；　　（2）注意芝麻波在区间中位置，Z 1 是四个芝麻波最左边的一个，Z 2 向右边平移了一点， Z4最靠右边 .同理，在区间中，土豆波T 1 靠左，T 2 靠右；所以，从假定 W= 7*Z 1 +2*T 2 得知W的左边部分是芝麻波Z1在纵向上放大了7倍，而右边部分由土豆波T 2 在纵向上放大了2倍。　　（3） Z 1 中有一上一下的波动，其尺寸比较小，用它做尺子，匹配对象的上下波动就比较快，所以W的左边有芝麻波的较高频率；而右边部分与土豆波2*T 2 匹配，有土豆波的上下波动频率。这就从数学上比较精确地描述了对象的局部性质，也符合直观的观察，左边部分波动剧烈一些，右边平缓一些。（注意，图只是个示意，上面的图不符合那个假定）　小波基中有尺度从大到小的无穷个基小波，再小的对象，也有一款适合它。这是否达到了“显微”的目标？　　　　需要说明，笔者没有专门讲授过小波课程，在数据挖掘中有一章有基于小波的数据挖掘，为了回答学生关于“数据挖掘+小波”的问题，和学生一起学小波，一起讨论小波，做了一些直观解释。比喻和解释不能取代严密的推理和艰苦的学习。　　疏漏之处，请专家指正。写后感：科普博文是难者不会，会者不难。把教学经验和现成的PPT上，改写为博文不太难，花时间比较少。这个系列的博文，包括男女声合唱的正交性解析，都是教学PPT中提出来整理的。周末花一个小时作键（盘）耕（耘），既是手脑保健操键，又是休息。相关博文辐射、服碘、补盐、空袭和卷积 ----- 教学难点讨论之一引玉之砖释小波--教学难点讨论之二尺度伸缩，男女声合唱与数学显微镜--教学难点讨论之三怎样讲解较复杂对象的演化过程 — 教学难点讨论之四实事实地有实照，从此点名不烦恼--介绍一款照相点名系统其他科普博文安徽高考作文“梯子不用时横着放”的科普版其它系列博文的入口唐常杰博客主页科学博客主页其它系列博文的入口唐常杰博客主页科学博客主页; 个人分类: 教学科研|18022 次阅读|48 个评论

更多...

帐号		自动登录	找回密码
密码			注册

关闭 安全验证

标签: 伸缩

相关帖子

相关日志

关闭安全验证