数学与经济学――经典教材推荐和学习心得 都是骗银地 http://www.douban.com/group/topic/3924849/ 2007年06月11日 星期一 下午 06:23前言 不少同学好像一直为数学的事情困扰，坦白说，我也是。有些人来问我该看什么教材？怎么学？什么顺序？虽然不厌其烦的谈过许多次，但一直提不起兴趣 就这个内容写东西。原因很多，一来因为其实行内用哪些书一般大家都知道，二来其实根本不存在什么学习方法，看能看懂的，反复练习，看不懂的定理和证明就先 多抄几遍，往往抄最多三遍就了解的差不多了。窍门就一个――使劲下功夫，抱着一劳永逸的态度使劲读两年，数学的困扰肯定会离你远去。 最近几天没什么事，FTP建起来了，又多了一种交流手段，很开心。躺在床上发呆的时候觉得还是写个东西出来吧，毕竟自己也走了不少弯路，看了一些 后来觉得不值得看的书。所以写点东西出来供大家参考可能是有益的。再者因为花坛这两天太萧条了，认真写个原创贴可能会吸引一些人气。最后也希望学过这些书 的同学多来交流一下心得，很多地方我自己也不是很明白。 （一）、本文思路：就像我在另一篇文章《学习经济学五年有感－一无是处》中谈到的，学东西要从简单的学起，“复杂的事情简单作，简单的事情反复作”。本文推荐书的顺序是先从简单的直观开始，然后到抽象的分析，然后再回到直观。 （二）、推荐书目的标准： 1、可得性：所有的书都是可得的，不可得说什么也没用。来源主要是我们得两个图书馆（主要是总院馆），已经出的影印版，以及九章书店可以买到的书。如果哪些书上面几个地方也没有的话，可以找我借去复印。 2、全部为英文。中文的数学书我不是很了解，不敢乱说。 3、全部是基础类的书：就是数学分析，实分析，概率，统计，线性代数，还有动态经济方法。更“专业”的书这里也许会涉及，但不会多提。比如 Kenneth Judd Numerical Methods in Economics; Burmeister Dobell Mathematical Theories of Economic Growth；Halbert White Asymptotic Theory for Econometricians 等等类似的书这里不会多谈。 4、一个特定题目的主要书目不会超过两本，太多了就滥了，看也看不完。当然可能顺手会多举几本书作参考。饶是如此，看完这些书也得一两年，学到什么程度就看个人努力了。每天花个4、5个小时大概是要的。 教材的作用很大，尤其在研究生前两年打基础的阶段，值得下功夫。 前言的最后一句是废话：多作练习；别跳过证明直接用结论，否则恐怕看多少次也解决不了数学的“困扰”。 PS: 1、九章书店地址在海淀图书城（那个楼叫什么来着，就是靠着麦当劳那边）， 网上可以查书： http://www.jzbook.net.cn/ 2、总院图书馆数目检索系统 http://219.141.236.146/ecolas-c/intro.php 一、谈谈数理经济学教材 写数理经济学教材的人不容易，篇幅有限的情况下既要照顾数学又要照顾经济学，很多时候顾此失彼，呵呵。我后来很少看类似的书，经济学看三高的教 材，数学知识看数学书，分工明确。学经济学的学生肯定经典的三高教材都有，所以再买数理经济学教材的话将会有大量的内容重复，而且其中的数学内容往往又不 够深入完整，这是缺点。 然而，数理经济学的书在开始的时候还是要看的，一来回顾已经知道的数学知识，把它们和现在学的经济学结合起来；二来学数学见效比较慢，往往跟不上第一学期三高的教学要求，所以需要弄点“速成”秘笈，数理经济学书可以满足这个要求（准确的说，只能满足高微的要求）。 如果要往书架上添两本教材的话，我个人推荐 Eugene Silberberg 等人的 The Structure of Economics: A Mathematical Analysis （第三版）以及 Angel de la Fuente Mathematical Methods and Models for Economists, 两本书都是上海财大出的。前者的影印和中文都有，后者的原版总院馆有。 前者的中文前言和目录大家可以看一下 http://time.dufe.edu.cn/ym210/article.php?articleid=822 里面很多经济学内容，数学不抽象，以应用层面为主。 后者的数学比较抽象，前半部分（前六七章）基本是简单的数学分析和实分析杂交品种，基本看不到经济学，Berkeley在讲这本书的时候前面还加 入了一些简单的测度论内容。研一花了将近一个月抄了一遍前六章，作了所有习题，发现没什么意思，不如直接看数学书。推荐的原因有三：一来因为这本书很流 行，网上围绕它展开的课程讲义和相关材料不少；二来因为其中的抽象数学内容属于“精选”，可以当作“速成”参考；三是该书的后半部分讲的是动态经济学的内 容，有很多宏观经济学的例子，而第一本书中没有这些。 下面简单谈谈其他几本常见的类似的书，蒋中一的《基本方法》属于床头读物，厚厚的一本，写得不错，就是罗嗦，大部分内容是很多人已经知道的，复习一下罢了。估计看书快的一周就看完了，慢的话两周也可以读完。图书馆有英文版。 高山晟那本《经济学中的分析方法》倒是不错，但我一直没搞明白这本书的目标读者是谁？或者换句话说，我不明白他在写出了 《Mathematical Economics》（1985年第二版，不清楚继续更新了没有）之后，为什么又搞了这本书出来？前者在绝大部分地方不过是后者的缩写，书中随处可见“请 参考takayama 1985”字样。这本书初学者肯定看着不舒服，太简捷了，而且内容不少。如果想买人大那版中文的话，实在不如到总院借来后者的英文原版复印一下。 其实实在想“速成”以跟上微观的进度的话，最快可能是去读Jehle Reny Advanced Microeconomic Theory (Second Edition)那一百多页纸的数学附录，是高微教材里附录写得最好的一本（准确的说，最“人性化”的, 呵呵, Varian 太爱惜笔墨， MWG“过分”严格，Krep有特点，花了寥寥数页搞定了constrained optimization, 平地里蹦出一章动态规划来，嘿嘿）。 如果你实在想急于“搞定”凹性和优化知识的话，Dixit的《optimization in economic theory》写得不错，薄薄的小册子，一周内肯定读完，经济含义丰富，内容简单明了。本书研院图书馆有两本。如果再想系统化的严格一下，Madden 《Concavity and Optimization in Microeconomics》是个理想选择，从最简单的一元函数、凹性、无限制优化讲起，然后加入一个约束，两个约束，多个约束，严格凹性，拟凹登场， 直到解得存在性，可微性，唯一性。。。。。。一本书完了，直观感觉，数学严格性和经济含义兼备。当年我比较笨，数学基础差，这本书完完整整抄了一遍，后来 讲微观习题课很多内容要感谢这本书。总院馆有。 罗嗦了一堆，不说了。 二、说说数学分析和实变函数（不敢叫实分析，呵呵） 进入这个题目我有点胆战心惊，估计能做到野人献曝就不错了，写出来的全是垃圾也是很可能的，呵呵。原因有二：一是这方面内容自己虽然下过很大功 夫，但总觉得不是那么得心应手，总觉得隔着点儿什么，还是功夫不够。二是自己曾花了很长时间犹豫要不要下很大很大功夫学这些东西，因为初学好像和经济学不 靠边儿，不过终于还是下功夫了，确实感觉必不可少，另外确实很有趣。 古龙《萧十一郎》里有个人叫杨开泰，我印象很深，倒不是因为他对风十四娘一往情深，而是因为他的武功。源于两个情节，一个是他的一句话，大意是几 十年来，少林功夫的早课晚课从不耽误；其二是他和萧十一郎的交手，萧很惊讶从前小看了这个人，因为“他从未见过这么扎实的武功”，虽然他心中有愧，没有就 杨出第十七招时露出的三个破绽出手，但两百招以后杨的功夫完全展露出来了，已经打出了完美的境界。学分析类课程的感觉就和这段武功描写大概差不多。只要学 扎实了，后来学经济学确实得心应手，可以“一次性”解决“不会证明”的问题（当然好处远不止与此）。 在看高微作业的时候，有些同学在抽象的证明题后面留了大片空白，有些证的不知所谓，可能就是因为抽象的数学训练不够；也有不少证明的很漂亮，我一年级的时候肯定没这水平，呵呵。 学分析的好处很多文章谈的很多了，还是那句话，5遍不算多，十遍也值得（“实变实变，不学十遍哪行？”嘿嘿），会大幅加快后面学习的进度，比如学概率论或者动态规划的时候，很多内容可以跳过去。 进入教材之前，还要遵守一下前言的思路，说说微积分的直观感觉。数学系的同学虽然直接上的数学分析，但一般数学系都会给本科生开大学物理，所以他 们对微积分的直观感觉应该是不差的。普通学经济的同学我就不敢说了，反正我自己没感觉。后来补直觉的时候用的是Stewart Calculus (第五版)，一千多页，在加两张光盘，跳过所有的练习不看，只看直观解释部分，然后对照光盘图文动画并茂，费了一阵功夫，总算知道了微积分那些概念能干嘛 了，呵呵。 进入教材吧。 如果这两门课我选两本教材的话，我会选Apostol Mathematical Analysis (第二版)和 Aliprantis Burkinshaw Principles of Real Analysis. 如果每门课两本的话，数学分析我会添上 Rudin Principles of Mathematical Analysis, 实分析的话，添Royden Real Analysis (第三版) 或者Rudin Real and Complex Analysis, 后者拿不准。因为如果我说靠自学就把这两本书的内容啃完了的话，那我是在YY，但是Aliprantis Burkinshaw Principles of Real Analysis那个可以搞的差不多，配套的习题集和答案帮了不少忙。以前我以为是自己笨，但是浏览了一下Amazon对Royden那本书的评 价，总算喘了口气，嘿嘿。 Apostol的书写得太漂亮了，直观，严格，证明漂亮，阅读时有一种快感难以言表，而且还有很多习题我居然也是可以自己做的不错滴，最后这条很 让我兴奋。（我们的FTP上有前九章所有的习题答案）――当然，我也时不时摘几道吉米托维奇做做，而且经常会陷入幻想，自己有一天很牛叉的做完了所有的吉 米，唉，估计也只能是幻想了。 Rudin的书个人特点显明，翻开书一看，就看见一个个黑体字――Theorem, Corollary, Proof…没有废话，怪不得机械工业出版社的影印版封底有这样一句话“与其说这是一部教科书，不如说这是一部字典。” 饶是如此，该书还是不可或缺，证明简单，漂亮，有力量！！！！！！此公写得三本分析皆为经典，上面提到了两本，还有一本functional analysis,这个偶就彻底看不懂咧。 实变函数可说的话不多，前面推荐的书都以自学为目的，实变如果也要自学的话，我觉得不太靠谱，推荐这本书是因为我学过一些实变，然后还学过一些简 单的测度论，所以才堪堪把Aliprantis Burkinshaw 搞的差不多。所以这部分内容还是推荐大家去听课吧。 PS：据说博弈论老牛Binmore 写过一本《Mathematical Analysis: A Straightforward Approach》很是精彩，可惜无缘拜读啊。此公在另外一本 Fun and Games: A Text on Game Theory的前言中有一段话着实精彩，文采太好，不会翻译，所以直录如下作为本节结尾： Much of what passes for an undergraduate education, both in the United States and in Europe, seems to me little more than an unwitting conspiracy between the teacher and the student to defraud whoever is paying fees. The teacher pretends to teach, and the student pretends to learn, material that both know in their hearts is so emasculated that it cannot be properly understood in the form in which it is presented. Even the weaker students grow tired of such a diet of predigested pap. They understand perfectly well that “appreciating the concepts” is getting them nowhere except nearer to a piece of paper that entitles them to write letters after their names. But most students want more than this. They want to learn things properly so that they are in a position to feel that they can defend what they have been taught without having to resort to the authority of their teachers or the textbooks. Of course, learning things properly can be hard work. But my experience is that students seldom protest at being worked hard provided that their program of study is organized so that they quickly see that their efforts are producing tangible dividends. 哈哈，learning things properly and making sense 三、线性代数 很长时间以来，线性代数的重要性被我忽略了，还沾沾自喜的认为自己学得不错。大学时候好像这门课最好学，考研时它也比微积分和概率简单，不就整整逆矩阵求求特征值么，好说好说。发现自己错的离谱是后来的事了。 也许线性代数的那些基本运算并不难，但其中蕴含的数学含义丰富，尤其是学到向量空间和线性变换之后，对理解很多经济学内容大有帮助，比如计量经济 学的很多概念。我在数理经济学那部分中推荐Angel de la Fuente这本书的一个原因是这本书第三章整章都在讲些抽象概念，我从中学到了不少东西。 还是从直观开始吧，当初学完线代之后，我基本完全不知道这东西是干嘛用的。于是像补微积分的直观一样，去补习线代的直观含义和现实应用，看了一本 Jain Gunawardena 的 Linear Algebra: An Interactive Approach, 顾名思义，又是光盘和书的结合，动画应用图形一顿轰炸，明白了那些数学概念在现实中是怎么用的。这本书超简单，数学内容估计一两天就看完了，主要是看看以 前不熟悉的各种矩阵分解，简单的谱，以及特征值问题中类似Cayley-Hamilton定理等。本书不涉及二次型和矩阵求导等一年级高级经济学课程急需 用到的内容，所以只能用于回顾直觉，呵呵。 正式的教材推荐两本，简单全面且和经济学联系紧密的。Hadley Linear Algebra 和 Dhrymes Mathematics for Econometricians 。 Hadley的书非常经典，几何的直观讲的很好，内容比较全，值得系统的回顾一下。 Dhrymes的书大概100多页，全部由定理和证明堆成。作为前本书补充的内容大概有30多页吧，集中在各种伪逆矩阵，矩阵分解，矩阵向量化和 求导。不过有个问题我一直不明白，本书讲了很多伪逆矩阵（广义逆矩阵），但之后我学了一年的高级计量，好像用到的地方少的可怜又可怜，不解。不过很有意 思。 这两本书研院图书馆都有。 好像这些内容暂时就够用了，至于更抽象的诸如线性变换，同构（isomorphism）,线性同胚（linear homeomorphism）等，简单的可以参考一下Angel de la Fuente的第三章，后来用到再仔细查（事实上我好像也没后来回来过，呵呵）。 再次强调一下线性代数的几何含义，学习计量经济学时候那些诸如投影矩阵的东东，都和这部分内容有关，懂了几何含义学起来会容易一些 四、概率 （一气码了6000字眼都花了，鼓起余勇再码一节） 概率和统计的重要性不用强调，不好好学压根就学不了经济学。 概率教材多如牛毛，有得偏统计（实际上每本统计都会先讲概率），有得偏随机过程（比如Grimmett Stirzaker那著名的《Probability and Random Process》），所以还得分开谈。 先谈“纯概率论”，概率论的重要性不是会弄几个分布就搞得定的，顶顶重要的是对基本概念从直观到抽象的把握。（说这话有点底气不足，概率论那种随机的概念好像从来就没直观过，实际上往往和直观相悖，这点一会儿再谈） 这里的两本书出自同一人之手，那就是俺无比崇敬滴牛人钟开来（Kailai Chung）老师（此公彪悍的事迹一直是K斑竹最爱的话题之一，呵呵。哪天要求他就此开个转贴讨论一下）； 《Elementary Probability Theory with Stochastic Process》和《A Course in Probability Theory》第二版，前一本书研究生院馆中英文都有，中文翻译的相当不错。后一本好像没有。 两本书都注重概率论的基本概念，前一本是初级读物，但是想读好了也不容易，原因不是数学的，那些数学大学学过了，可能原因还在于概率论的基本概念 往往不那么直观，虽然这本书举了大量例子来讨论直观感觉。但是写得真好啊，真好啊，真好啊。好像读了不止一遍才舍得还回去，唉，好得我忍不住叹息一声。实 在建议所有没读过的人读一遍。 这里插一句，图书馆还有本中文小册子叫《随机性》，属于科普读物一级，妙趣横生。里面有N多例子说明概率的推理和直观感觉不符，随机性真是神秘的东东啊。 第二本是“高等概率论”范围的“初级”读物，要求先修过一些实分析，要不没法看。一反第一本书里淳淳善导之文风，比古龙还简略，共九章，从测度论 开始，花了一学期在一位牛人老师清晰无比的讲解下堪堪学完六章（没学567章），饶是如此还是云里雾里，做习题做的痛不欲生，唉。不过总算挺过来了，对进 一步学习高等计量和数理统计帮助大的很。再多一句嘴，学测度论里“单调类定理”的证明时我有一种老俞看到维加斯“快速离婚通道”的感觉――留着口水惊叹： “太TM精妙了！”，唉，回忆起来都忍不住又叹一口气。 难道就没有“简单”的讲这些深奥概念的书？有，不过我觉得更难读，嘿嘿。总院馆有一本两个英国人写的书，忘了书名也懒得查，雄心勃勃想直观的尽量 用文字讲解类似概率空间这种概念，淅沥哗啦花了将近三章密密麻麻文字的篇幅告诉你什么“可测”啊“不可测啊”，“幂集”啊，希格马代数是什么东东啊。。。 当初一看之下如获至宝，以为我这笨人有救了，结果差点读死我，罗嗦无穷多次还是不明白，抽象就是抽象，还是学数学语言和证明懂得快。 当然有些书在这方面做的还不错，后面讲数理统计时会提到一本。 五、数理统计 （码字都码饿了，吃点东西接着来） 数理统计是什么东东？申请的时候老美一些网页上的解释让我恍然大悟，解释就是在“数理统计”后加个小括号，里面注明使用微积分的统计学才是serious的，哈哈。 社会科学的统计学毕竟不同于基于自然科学ceteris paribus传统的数理统计学，所以学数理统计之前了解一些统计学的基本概念十分必要，我个人一直对经济学很好的梳理数据工作十分赞赏，描述统计绝对是 大学问！（有很多这种书，类似《统计学的世界》啊等等的，以前对统计学不了解的XDJM这些“粗浅”的东西一定要看的）。总院馆有本书，Aris Spanos Probability Theory and Statistic Inference – Econometric Modeling with Observational Data, 厚厚的一大本，从头到尾都在强调由于社会科学数据特殊性质而造成的分析方法差别，读下来获益匪浅。而且这本书在讲解类似“概率空间”这种抽象概念时做的很 好，应该说非常好，当初没学老钟书之前我已经对这个概念的把握已经及格了，就是由于这本书。 扯远了，回来谈数理统计。 两本书，一本简单一本难一些。Hogg Craig Introduction to Mathematical Statistics第五版; Casella Berger Statistical Inference第二版. 前者是我本文里所有提到的书里唯一没学过的一本，因为当初看到它的时候我这部分内容已经读别的书学完了，推荐它是因为它风行世界，九章卖的影印本还很便 宜，内容全面。 统计学的直观无比重要，什么随机抽样啊，大数定律和中心极限定理啊，各种检验怎么来的啊，自由度干嘛使的啊，各种分布的图形啊，甚至矩母函数能起 什么作用啊等等，这些在第一本书里都有解答。此外，真正想直观把握的话必须亲自动手做一下看看效果，所以我强烈推荐FTP里那个“统计学基本概念教学互动 软件”，能看到很多动画效果，绝对过目难忘！！ 第二本书是真正非常serious的数理统计学教材，有了第一本中的知识做基础的话，读来会快一些，但也需要花很多很多时间去做推导。以前我的那 篇《学习计量经济学：教材，手册，软件，数据》里反复强调了学习计量必须学会推导，如果这里你认真推了的话，计量会省下不少时间。本书还有一个特点就是 “现代”，什么Bootstrap啊，MONTE CARLO啊，Robust回归啊等等统统登场，这些东西对于学习计量绝对少不了。学习本书时，如果你恰好还学过了老钟的那本高等概率的话，理解起大样本 理论时会轻松很多。（突然想起了“淡收敛”这个概念，为啥没有“咸收敛”呢，hiahiahia） 出于个人偏好，最后再添一句关于Halbert White Asymptotic Theory for Econometricians，如果学Wooldridge Econometric Analysis of Cross-sectional and Panel Data的话，这本书是最好的预备读物，用到的推导思路乃至符号完全一致，不奇怪，Wooldrige是White的学生（White 是 Hausman的学生，坊间疯传著名的Hausman检验实际思路是White上研究生课时提出来的，不过当时white道行浅，有了思路不会证明，最后 老Hausman回家就偷偷把它做出来了，哈哈,RPWT），两本书的前言里都互相提到了对方，嘿嘿。 好像就剩动态经济学了，哎呀，离完工不远了 六、动态经济方法 （最后一节咧，熬一下收工睡觉） 这部分内容很熟悉，按理说不难写，偏偏不知道从哪开始，想来想去决定先批两句蒋中一那本《动态最优化》基础，嘿嘿。说“批”也谈不上，书写得还是 不错，不过没什么用处，看完了别说肯定不会用动态规划这一最重要的方法（因为压根书里就没说），连变分法能不能用我也抱疑问，而且书中用到的符号好像很奇 怪，我比较傻，学过一种方法后如果将来遇见同样的问题但符号不一样的时候，往往就会产生没学过的错觉，搞得自己很沮丧，所以十分痛恨那些使用“奇怪”符号 的作者，嘿嘿。 好像从学理上讲，要先说说微分方程和差分方程才能进入本节主题，学过前者，后者懂点皮毛，所以还是算了，前面露怯已经够多了。 两本书，一本简单一本难，内容也完全不同，前者是可微的动态优化方法，Kamien Schwartz Dynamic Optimization: the calculus of variations and optimal control in economics and management（应该是第二版了吧），后者是离散情况下的动态规划方法，Stockey LUCAS Prescott Recursive Methods in Economic Dynamics。（突然想起了邹至庄教授的那次讲座上我和他的交流，显然他的Lagrange方法也应该有一席之地的，可惜我没学过，嘿嘿）。 龚六堂老师那本《动态经济学方法》就是这两本书的完美“嫁接”版，哈哈。 第一本很好看，用不了多久自学也能看完，章节分得很多，经济学例子也不少（其实也不多，就是RAMSEY模型来回变）。但拿到模型会不会求解就不 一定了，学动态经济学绝对是锻炼计算能力的极佳机会，知道基本方法用不了两小时，但用这方法求解模型就会往死里算了，唉，体力活，不好整。 另一本就不好看了，不过有基本的实分析知识和老钟那本高等概率做基础，数学部分学得很快（这本书绝大部分内容是数学，经济学例子也很多，但很短， 大都当习题使唤了）。最后证明解存在性时使用的“压缩映射的不动点定理”实际十分简单（虽然预备知识学了半学期），在我看来证明微分方程解存在的那个毕卡 定理的构造还要更精妙一些，嘿嘿。一样的道理，学会定理容易，不好算啊不好算。 至于随机动态部分就不是我能懂的了，ITO公式倒是会用，啥意思一点感觉没有，嘿嘿。 好像还缺点什么？对了，MATLAB，使用方法就是上网下载程序然后粘到程序窗口就OVER了，还是这个好学，哈。
物理是一门实验科学，量子力学以近乎极端的方式提醒了我们这一点。没有什么是真实的，除非我们实施了测量，而测量本身又会决定事物以后的演化初条件。我这样理解（目前所学的）量子力学所干的事：正如相对论对“标尺”、“时钟”的概念进行批判，指出一切信号传播具有有限速度，从而发现很多经典概念（如同时性）的“相对性”一样，量子力学也是基于对概念的批判：其一是对“时间—空间”的一致性的批判，实验显示出“波粒二象”，我们不得不将波和粒子整合考虑。而在一个确定时间，经典图像是波有空间延展性而粒子有确定位置，故而“波粒二象性”实质上就指出了时间—空间一致性的矛盾。其二是对“测量”的批判，量子力学指出了主体的测量对客体的深刻影响，这种影响的实验表现在量子力学体系中表述为一条基本假设：测量将引起波函数的坍缩。从各种论证不确定关系的实验实例可以看出，是“波粒二象性”和 “测量”这两个概念合起来导致了不确定关系，即不确定关系是一种测量的性质。因为我们只能用测量来了解事物，所以总会有不确定关系制约我们对事物的了解。 “测量导致波函数坍缩”，这是一个让人越想越迷惑的命题。首先，波函数是什么？有波尔的统计诠释：其模方表示在某一坐标找到粒子的几率。波函数常常是延伸至无限远处，那“坍缩”与相对论中信息传播不大于光速有矛盾吗？我想也许这里的关键在于波函数是一种实验上的概念。给定粒子一个态，我们用实验手段测量它的坐标，并且用很多处于同一种态下的粒子重复这种测量，最后绘出粒子在所测坐标上的概率分布曲线，它就是这个态对应波函数模方的曲线。量子力学中波函数的统计诠释只有与实验相联系，而这实验所观测的对象又可以用统计学来处理时，才有意义。于是所谓“坍缩”，就是由于测量总会给粒子以不可消除的影响，使其测量后在统计诠释中的概率分布和测量前不同。测量前，我们不知道它在哪里，只有通过测量确定。测量后，我们知道了它在哪里，但是我们又影响了它，由于不确定关系，我们又不能无限精确地了解这种影响，从而它之后的状态还是概率性的。据此可知，我们对粒子的了解永远不能完全排除概率性，此即粒子的量子特性。也许这算是对“坍缩”得到一些认识吧，但是哪怕是这一点认识都潜伏着更多的问题，比如为什么测量的影响恰好让粒子坍缩到所测量物理量的本征态，不论测之前是什么状态？尤其是在量子水壶效应当中，这里测量动力学机制是什么？不止如此，很多物理过程坍缩的地点本身就很有疑惑性，比如发射激光的过程中，什么是测量？哪个过程发生坍缩？是一个激发态原子跃迁发出光子打到相邻激发态原子时，还是我们测量发出的激光光束的频率、强度时？定义测量的普遍准则是什么？我已经糊涂了。 还有一个关于不确定性关系定量上的小问题。我们知道严格的不确定性关系右边是h/4π 但是索末菲量子化条件中却是用 h ，在统计物理里的半经典近似中，对象空间量子化时号称用不确定关系，但是却用 h 作为最小单元体积而不用h/4π ，这引起了很多同学们的讨论。最后发现，不确定性关系中 当且仅当粒子波函数是高斯型时取得，而这只可能是束缚态。统计物理里的半经典近似中，讨论的是近独立粒子体系，这应该用自由粒子的不确定性关系，即右边是 h 。实际上，我们在实验中测坐标、动量时一般都是把粒子处理成自由时才测的，所以显然不确定关系Δ p Δ x~h 会更常用。 总之，我理解，量子力学是一个极其强调实验的科学，它“从实验中来，到实验中去“，它的最基本语言——态矢（波函数）就是一个预言实验观测的一个很”形而上“的东西，可观测物理量可以通过它定义为算符。我们可以讨论态矢所在希尔伯特空间的各种性质，定义其上的各种算符作用等等，从而不知怎么地就让测量等价于波矢对本征矢投影，手法莫名其妙，但与实验结果一对，超级精确！ OK ！但这个态矢对粒子自个儿又有什么实在性呢？不知道……但是，量子力学又是现代科学的基础，它在解释和预言实验现象上又是迄今最精确的科学。我只好和大多数同学一样，面对这并不美但却实用的量子力学，咕哝着，感慨着，继续纠结思索下去……
元问题与“头脑风暴” —— 教育心理学课的学习心得 实验过程： 1． 将班级成员分成 A 、 B 两个小组，并从中随机选择一位同学 C 。 2． 请 B 组同学到教室外休息，由 C 向 A 组同学描述事先给定的纸上所画的一组正方形（见附图 1 ）， A 组同学根据 C 的描述将图形在自己的纸上画下来，时间为三分钟。 3． 请 A 组同学到教室外休息，由 C 向 B 组同学描述事先给定的纸上所画的一组正方形， B 组同学根据 C 的描述将图形在自己的纸上画下来，允许 B 组同学向 C 提问，时间为三分钟。 4． 请 A 组同学回到教室，向大家公布正确答案，记录 A 、 B 组同学画对的正方形的个数（见表 1 ）。 5． 向大家解释刚才所进行的实验的具体过程，首先请 C 同学分析之所以会出现这种实验结果的原因，再请 A 、 B 组同学分析之所以会出现这种实验结果的原因。 6． 将大家的意见进行整合，并启发大家深入思考那些尚未被发现的原因。 6 5 4 3 2 1 A 组 B 组 图1 表1 以上是在我大学二年级的时候，主讲中学化学教学法的老师给我们上的一堂课的其中一个教学片断。这堂课上得很精彩，这个老师首先从化学中经常提到的一个名词“系统”出发，将教学看作一个系统，将教师和学生看作这个系统中的元素，元素与元素之间通过发生相互作用从而使这个系统保持稳定并得到发展，然后，老师和我们一起做了这个实验。 这也许是众多优秀教学案例中极为普通的一个教学案例，但对于作为师范生的我来说，它却给我留下了很深刻的印象，因为在这短短二十分钟左右的时间内，我不仅经历了一个最基本的教育和心理研究的基本过程，而且还在不知不觉间经历了几次角色的转变：首先是我作为实验的被试，满怀好奇的想知道老师做这个实验的真正意图，接着是我作为一名普通的学生，从一个学生的视角来分析影响实验结果的各种因素，在我大概明白老师的真正用意以后，我从一个教师的角度来审视自己，思考这个教学片断对于我今后的教学有什么借鉴作用，之后，我又从一个教育研究者的角度来看这个教学片断，思考它对于教育研究来说又有什么意义。可以说正是这个实验使我第一次真正觉得教育非常有趣，仅仅通过老师简单的几个问题或是几个眼神，就足以使你在有意识和无意识之间明白很多道理，更为重要的是，它能启发你去思考更多的问题，甚至能改变你的一生。 在本学期教育心理学的汇报课上，我重新做了这个实验，有意思的是，在本次实验中出现的许多实验结果和实验现象竟然与大二时做的实验相差不大，如 A 组的总体成绩不如 B 组；在分析影响实验结果的因素时，大家都会很容易想到 B 组允许向 C 提问这个因素； A 、 B 组同学总是倾向于分析 A 、 B 组成绩的组间差异，将造成这种差异的原因归因于环境因素和 C 同学的描述方式，而往往会忽视进行组内差异比较，倾向于忽视自己的个人原因，如注意力、空间想像力等。 但是，两次实验也出现了一些不同的现象，如在后一个实验中， C 同学认为 B 组同学允许向她提问，这对她的思路产生了干扰，使她不能顺利、流畅的将图形描述清楚， C 同学还提到她的思维方式与其他同学的思维方式存在不同也是影响实验结果的一个因素。另外， B 组的一个同学提到，在 B 组的其他同学向 C 提问时，他们之间的互动对他产生了干扰，使他在本来理解正确的情况下，修改了原来的认识，以致最终不能正确完成任务。 两次实验的实验结果和实验现象同时存在相同点和不同点，这使我对这个教学案例更加充满兴趣，如果将这个教学案例进行推广，是否会发现其中的某些相同点是稳固不变的，是否会发现更多的不同点？如果其中的某些实验结果和实验现象在若干次的实验中仍然存在，我们可否将其归纳总结成为教育中存在的客观规律？如果我们发现更多的不同点，那么哪些因素是影响实验结果的主要因素，怎么判定它们是否是主要因素？ 在未学习心理学之前，我对这个问题的思考很简单，我认为这个教学案例首先反映了一个简单的控制变量的研究方法，而且我对实验结果的预计是 B 组的成绩肯定会好于 A 组，另外，我认为这个教学案例体现了师生互动的重要性，而且它倡导要引导师生进行正确的归因。但在经过思考并提出了上述一番问题以后，我越发感觉到教育问题的复杂性，在这样一个简单的教学案例中竟然隐藏着这么多的问题，包括人的归因、注意力、动机、空间想像力、语言表达，也包括人的社会交往、互动等。在本学期，我还同时选修了教育心理学、认知心理学和认知神经科学等课程，还阅读了与神经教育学相关的一些文献，我觉得这个教学案例还包括如人的视觉表征、表象的心理旋转等问题，并且这些心理过程都具有相应的脑机制。对这个教学案例进行在行为层次上的研究，使我们能发现这个教学案例中的特殊现象和规律，但单单通过这一层次的研究并不能为我们提供对这些现象和规律的实证性的确切解释，例如，我们可能会发现学生在根据 C 同学的描述画图形的时候，会倾向于在某个图形上犯错误，但为什么会具有这种倾向，是由于时间太短的缘故，还是由于 C 的描述方式不当，还是由于学生对这个图形进行表征时存在困难等，这其中的哪一个因素是造成这种倾向的主要因素？心理学和脑科学都是研究人的科学，并且认为人的行为活动都具有相应的物质基础和脑机制，尽管人的行为活动中包含的变量很多，尽管目前的研究方法和技术手段还存在许多局限，尽管我们要讨论清楚这一个问题所需的时间很长，但是采用基于脑的研究方法来研究以上这些问题无疑有助于我们更好的理解这个教学案例，而且我们也需要从这个角度来理解，因为我们需要建立在人的心理活动规律和相应的脑机制的基础上来科学的设计教学和实施教学。 通过这段时间的学习和以上这些思考，使我明白教育的确是一门科学，但是作为科学，其意义并不仅仅只是为我们揭示各种现象背后隐藏的规律，在现实生活中，有许多教师都能理解这些规律，但是要能正确的利用这些规律，并使之能为教育产生效益，仅依靠教育科学是不能解决这一问题的，例如，大部分的教师在教授教育理念的课程时，通常都会采用讲座的方式，教师讲，学生记，大二时给我们上课的这位老师却从一个新的角度、采用新的方式来启发我们思考这其中的教育理念，并给我们留下很深刻的映像。事实上，我们会发现，也许某一位教师可能并不能解释清楚为什么他或她的教学方法能带来很好的教学效果，但是他们的教学方法、教学风格和他们的人格魅力确实会对学生产生良好的促进作用。这是因为，教育过程的顺利进行所依赖的不仅仅是教育科学所总结的各种教育理念和规律，它还需要教师授课的技术与艺术。何为技术？简单说来，技术建立在科学之上，是一种规范的、可操作、可复制的程序和行为方法，教学技术是教师能熟练、有效的进行教学的基本前提。何为艺术？简单说来，艺术建立在熟练的技术之上，是一种开放、灵活、自由、新颖的行为方法，教学艺术是我们所追求的最高水平的教学方法，而审美化教学提倡将整个教学过程转化成审美欣赏和审美表现和美的创造，以减轻师生的负担，使师生获得身心愉悦，进而能提高教学质量，它是我们追求的最高境界的教学。可以说，一个理想的教学设计、教育过程应是教育科学、教育技术和教育艺术三者共同作用的结果，但是在实际情况下，却是教育科学与教育技术和教育艺术之间的脱节，教育面临的一个突出问题已成为怎样将这三者有机的融为一体，怎样使教育科学能指导教育技术和教育艺术的生成，怎样使教育理念能转变成实际的教学过程，以更好的促进教师和学生的发展。 总结回顾以上这些对一个简单教学案例的思考，很难分清哪些是学习教育心理学课的学习心得，也很难区分哪些是对本门课的建议，但它们确实是经过我对教育心理学等课程的学习以后所总结出来的。在第一节教育心理学课上，我带着一个问题开始了对这门课的学习，即教育影响与人的心理是怎样联系起来，并相互作用的，也许在这门课程结束以后，对于这个问题我仍然没有确切的答案，但经过对这些课程的学习，我最大的收获即是我带着更多的问题进入以后的学习。回想起在本学期曾听过一位教授讲解有关“元问题”的知识，我们的生活中存在各种各样的元问题，比如，“ 1+1= ？”，数学家认为它等于 2 ，经济学家认为它大于 2 ，元问题的重要意义不在于问题本身的意义，而在于这个问题所引发的一系列的思考，在于不同的人建立在前人的基础上得出的一系列的新的认识。如果将这个简单的教学案例作为一个元问题，我很想知道我从这个问题出发还有哪些思考，其他人又有些什么思考，我们的共同思考是什么，不同思考是什么 ……
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