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湍流研究的新思路: 热度 2 陈昌晔 2016-4-5 12:24; 湍流可以说最重要的未能解决的经典物理问题（费曼的说法）。从上个世纪初开始，物理的发展可以说是日新月异：电动力学、相对论、量子力学、基本粒子和场论、宇宙学等取得了辉煌成就。其辉煌标志之一是实验（包括观测）和理论的高度一致，标志之二是许多成果在技术和工程实践中得到了相对迅速的应用，标志之三是在这些领域中，新思想、新方法不断涌现，成果不断扩展到其他领域、或交叉发展形成新的学科。与它们相比，湍流研究明显是一个长时间相对寂静的领域。工程或技术领域遇到需要定量计算的湍流问题，我们还只能用一二百年前就提出流体方程（以及一些经验方法）来处理，很多情况下，效果不甚理想。近代也有人尝试用玻尔兹曼方程做部分的计算，也没有很好的结果（玻尔兹曼方程的可计算性非常差也是一个问题）。近几十年，非线性物理的提出和发展，使人们产生了希望。但是如何把非线性物理的一些新概念与流体力学方程或玻尔兹曼方程的基本思想结合起来，理论上还没有很好的思路。由于种种机遇，我们认为是时候对湍流做新的研究了。我们的理由有以下几个方面：理论方面的启示： 1）理想气体的分子，作为经典物理的个体，运动规律极其简单。为什么其群体规律如此难于把握呢？最简单的解释是，流体力学方程或玻尔兹曼方程的几个基本假定里，有与个体规律不相称或不完备的成分。 2）非线性理论的一些重要的概念，例如自相似、分数维等，与连续可微的数学体系有基本的矛盾。 3）我们的研究表明，玻尔兹曼方程在包容牛顿力学方面确实有问题（见我的文章v-final.pdf,附在《批评民科，不如批评我》博文的后面）。粗浅的说，玻尔兹曼方程是流体方程的简单延续，它是以研究邻域如何影响邻域为基础的。而牛顿定理是以研究粒子如何沿着路径运动的。从拓扑学的角度讲，这两种研究的思路有根本区别。 4）一百多年来，一直认为刘维定理是统计物理和玻尔兹曼方程的基础。但是，我们的文章证明（也见v-final.pdf），这是一种误解。如果认真研究一下，就会发现，刘维定理不仅不是玻尔兹曼方程的基础，反而会把我们引入一条否定玻尔兹曼方程的道路。最特别的是，刘维定理还告诉我们，分布函数连续并保持连续的情况只是一种特例。实验方面的启示： 1）湍流易于出现在边界的附近。v-final.pdf利用刘维定理证明，边界附近，分布函数一定会出现激烈的不连续。 2）湍流易于出现物理量梯度很大的附近。v-final.pdf利用刘维定理证明，物理量梯度很大的区域附近，分布函数即使原本连续，也会快速的无限的趋于不连续（通过维数动态减缩）。 3）湍流出现的时候，可以观察到自相似现象。v-final.pdf利用刘维定理证明，流体有到处复制自身的能力。 4）湍流形成时有难于解释的能量转移。我们的研究表明，这种能量转移，应该与部分高能量粒子脱离流体的主体做自身运动的结果（也与维数动态减缩有关）。新计算方法：我们提出一种沿路径积分的方法来统一地计算理想气体的方法。优缺点如下：优点：1）统一处理连续与不连续，碰撞和非碰撞。2）可计算性好。3）自然包容牛顿力学。4）可以包容非线性科学的成就。5）处理中等数目的粒子，没有原则性的困难。缺点：不是一个简单的一目了然的公式，还需要发展。希望各位批评。也希望通过此文认识更多的新朋友。（我再把v-final.pdf附在这里 v-final.pdf ）; 7069 次阅读|3 个评论

玻方程与牛顿方程有无矛盾？: 热度 2 陈昌晔 2016-3-11 10:20; 有一位网友用一个特定单粒子分布函数表式，说明牛顿方程与玻尔兹曼方程没有矛盾(见张海涛的博文)。这实际上是一些“高级”的统计物理书上普遍用的一种例子，使许多物理学者“深受其害”。从数学上讲，如果从甲能推导出乙，从乙又能推导出甲，甲乙是完全等价的。否则，甲乙的前提和推论可能有较大的差异。我在前文的附文v-final.pdf给出了玻方程与刘维尔定理不相同的七个地方。（刘维尔定理是牛顿定律的一个数学推广。）该网友用的单粒子分布函数使用了狄拉克函数。如果读者熟悉这个函数，那有关的讨论可以大大的深入。下面两个例子，一个是无碰撞的情况，另一个是有碰撞的情况。了解了以后，你就会发现玻方程最不能处理的就是狄拉克函数。 1）假定空间里有一个粒子的点源（粒子从一个小圆孔持续地泄漏出来）。这个泄漏气体的分布函数可以写为；其中，r的原点取在点源处，g是纬度和经度某个函数（z轴为孔的法线方向），h是速率的某个函数，分别代表速度和位置矢量的方向。这个分布函数显然不符合刘维尔定理，不符合玻方程。 2）假定空间有一个做一维运动的粒子束，它的分布函数可以写为其中，R在z轴为对称轴的一个圆柱内是常数，圆柱外是零。这些粒子会发生碰撞（正向运动的撞上负向运动的，速度快的撞上速度慢的）。你如果运用玻方程来计算碰撞产生的粒子的分布函数（忽略二次碰撞），你就会发现运用玻尔兹曼方程会遇到一些根本性的困难。这就是我在意大利物理学会杂志2002年文章的内容之一。它的正确的计算可以在我发表的文章（An Alternative Approach to Particle-Particle Collisions）中找到。上面两个例子，大学物理老师，可以给学生或研究生留作讨论题，几天后可以坐在旁边欣赏讨论的结果。; 5733 次阅读|16 个评论

玻尔兹曼方程的反面实验论据: 热度 2 陈昌晔 2016-3-9 13:38; 许多朋友非常关心我的文章是否有实验论据的问题。为了大家方便，选一些我在以前的文章中讨论过的实验事实做一个简单说明。先对玻方程涉及的概念做一个通俗解释。密度通常理解为单位体积内的粒子数：n=粒子数/（小空间体积元)，这里的小空间体积元可以看成是包含某个三维坐标点的一个小方盒子，所定义的密度看成是这个坐标点对应的密度。分布函数f=粒子数/（小联合体积元）。小联合体积元是指一个上述的小空间体积元联合一个小速度空间体积元。速度空间体积元也可以看成一个小方盒子，这个小方盒子中心代表一个特定的速度，而这个小方盒内粒子所具有的速度，除了一个小范围内的误差以外，与那个特定的速度相同。也就是说分布函数几乎可以看成是普通密度，只不过我们关心的是那些速度几乎是相同的粒子。所以有：如果你能从数学上理解这两个式子，那么你应该有可能和我们一起来“质疑”统计物理了。玻方程可以写成：在历史上玻方程是流体方程的一个推广，物理学家对它的理解实际上也是流体知识的一种推广。它左边的式子是联合体积元内的粒子在一个短的单位时间里的增加（减少为负）。右边第一项代表速度如何使粒子在单位时间里进入该体积元，第二、三项代表力和碰撞如何使粒子在单位时间里进入该体积元。（这个被人们普遍接受的物理理解是有问题的，因为右边的三种作用是几率相关的。另外，统计物理应该导出流体力学，而不是相反。这些问题见我的英文文章，在本文我们只关心实验。）图1的理想的平行粒子流（稳定，不受力，无碰撞），它符合玻方程: 在图2中的x位置，粒子不符合玻方程: 在图3中的x位置，我们有：在图4中的x位置，我们发现：图5表示粒子的相对碰撞。右图的虚线是玻方程给出的结果，实线是我们物理分析的结果（我的文章里有我们的理论计算）。实际意义：湍流，打开新的方向。流体力学：新的方向。分子动力学动力系统新的研究，等离子物理新的研究，量子系统的非平衡态的研究，理论研究（熵，H定理，宇宙）。欢迎物理、数学、流体力学、科普出版等方面的合作者。当然，本文欢迎批评。; 5428 次阅读|4 个评论

[转载]沈晓熵：玻尔兹曼方程与立方非线性薛定谔方程之间的相似性: ShenHuiChuan 2012-1-15 10:00; 沈晓熵：玻尔兹曼方程与立方非线性薛定谔方程之间的相似性三评沈惠川先生的《统计力学》 “立方非线性 Schr dinger 方程”及其“孤立子解”是众所周知的；没有想到的是， Boltzmann 方程的精确解竟然同 “立方非线性 Schr dinger 方程”的“孤立子解”有相似性！当然，此时的 Boltzmann 方程是经过沈惠川先生改造过的（以前沈先生在《经典力学》一书中对 von Karman 方程进行过改造，确信这次也是他对 Boltzmann 方程进行了改造）。沈惠川先生改造 Boltzmann 方程（主要是按照“系综理论”重新推导“碰撞项”）的理由如下：（ 1 ）推导的出发点并非完全是“ Euler 描述”的统计力学，而主要是“ Lagrange 描述”的气体运动论；因而“传统 Boltzmann 方程”实际上是“ Euler 描述”的统计力学与“ Lagrange 描述”的气体运动论的丑陋拼凑；（ 2 ）“碰撞项”中被进行“统计平均”的不全是“内参量”（例如广义坐标和广义动量），而且同时还含有“外参量”（例如散射角等），这对以“系综理论”为基本理念的统计力学来说是十分不妥的；（ 3 ）作为力学过程的“弹性碰撞”以及作为粒子（气体分子）形态的 “光滑弹性球体”都是十分特殊的物理模型，没有任何普遍意义，对用“系综理论”建立动力学方程来说实在是太具体了；另外，由于“微分散射截面”与 “动量差的绝对值”之间的函数关系对不同的“气体”、不同的物理状况有多种可能、其理论的“唯一性”和过分的“精确性”亦都甚为可疑 . （ 4 ） Boltzmann 方程中的“碰撞项”从形式上看仅仅适合讨论 3 维坐标空间和 3 维动量空间（“分子相空间”）中的问题，而对高于 3 维坐标空间和高于 3 维动量空间（不一定是“系综相空间”）中的问题束手无策，这完全是由于对“碰撞”的描述只能是在“系综相空间”中进行的所致；（ 5 ）推导过程违背 Einstein 的“逻辑简单性”原则，而且在 Boltzmann 方程等号两边所运用的确实是两套完全不同的逻辑； Boltzmann 方程等号左边可以是“系综相空间”，而在 Boltzmann 方程等号右边却只能是“分子相空间”；方程等号右边的适用范围比方程等号左边的适用范围来得狭窄 . 因而， Boltzmann 方程带有明显的“ 拼凑出来 ”的痕迹 . 在下认为其中最重要的是第（ 1 ）条和第（ 5 ）条，即，在传统 Boltzmann 方程“碰撞项”的推导过程中用到的“气体运动论”属于“ Lagrange 描述”而不是系综理论的“ Euler 描述”；为了使 Boltzmann 方程等号两边都是“系综”的，就必须将“传统 Boltzmann 方程”改造成“ Boltzmann-Gibbs 方程”。在改造传统 Boltzmann 方程“碰撞项”的几条关键步骤中，在下认为最重要的是关于“碰撞”的以此定义：（单位时间内）在“分子相空间体积元”中，“同时发现”（或“同时出现”）动量为 p(1) 的粒子和动量为 p(2) 的粒子的“粒子数”，就等于（或“正比于”）“即将”“碰撞”的次数（注意，这里所说的“碰撞”不一定是非得要真正地“碰”一下“撞”一下，只要是“同时同地发现”，就等同于一次“碰撞”。根据这几条关键步骤，自然就可以导得“ Boltzmann-Gibbs 方程”。“ Boltzmann-Gibbs 方程”在物理学上的表现与原来的“传统 Boltzmann 方程”完全一样。所有由“传统 Boltzmann 方程”导出的结果，同样可以由“ Boltzmann-Gibbs 方程”导出来。这一“ Boltzmann-Gibbs 方程”不仅更符合“ Euler 描述”的系综理论，而且可以由此得到“孤立子解”。“ Boltzmann-Gibbs 方程”的“孤立子解”具有“平方双曲正割函数”的形式。人们回忆起， “立方非线性 Schr dinger 方程”的“孤立子解”具有（除了一个指数因子外）“双曲正割函数”的形式；如果将 “立方非线性 Schr dinger 方程”的“孤立子解”与其复数共轭相乘的话，同样也是“平方双曲正割函数”的形式（只是其中的“宗量”形式有所不同）。考虑到“ Boltzmann-Gibbs 方程”中的物理变量（“分布函数”）正好相当于 “立方非线性 Schr dinger 方程”中的物理变量（“波函数”）的平方，从而便出乎意料地得到一个结论：“ Boltzmann-Gibbs 方程” 的精确解本质上同 “立方非线性 Schr dinger 方程”的“孤立子解”具有相似性！于是，这种相似性体现在 “立方非线性 Schr dinger 方程”的“孤立子解”的“结构因子”是“双曲正割函数”的形式，而“ Boltzmann-Gibbs 方程”的“孤立子解”的“结构因子”具有“平方双曲正割函数”的形式。这说明了，在“ Boltzmann-Gibbs 方程”中与在 “立方非线性 Schr dinger 方程”中，存在类似的数学结构和类似的物理学诠释。当然，这两个方程之间的区别也是明显的： “立方非线性 Schr dinger 方程”是“时间可逆”的方程（其“逆时间”方程就是其共轭方程），而“ Boltzmann-Gibbs 方程”则是“时间不可逆”的方程。从“非平衡态统计力学”的立场来看问题，“ Boltzmann-Gibbs 方程”正是“热力学时间箭头”所需要的。“热力学时间箭头”的来源就体现在推导“ Boltzmann-Gibbs 方程”的假设之中。 “ Boltzmann-Gibbs 方程” 同 “立方非线性 Schr dinger 方程”之间相似性的重大意义在于，首先是指出了 Boltzmann 方程中的不可逆性来自“仅考虑粒子之间的两两相互作用（碰撞）而忽略了多粒子之间的相互作用”；其次是提示了“ Boltzmann-Gibbs 方程”的精确解有可能类似于 “立方非线性 Schr dinger 方程”的“孤子解”（计算表明确实如此）。有些人比较保守，正如沈惠川先生所说，他们也许不愿放弃“传统 Boltzmann 方程”；这也不要紧，可以将“ Boltzmann-Gibbs 方程”视为“传统 Boltzmann 方程”纯数学上的特殊情况。可以将“传统 Boltzmann 方程”看成带有“附加势”（“附加场”）的“ Boltzmann-Gibbs 方程”，而将“ Boltzmann-Gibbs 方程”的“孤立子解”看成其“零级近似”。当然，不反对仍旧用 Chapman 和 Enskog 的解法来求解“传统 Boltzmann 方程”；但显然“ Chapman － Enskog 的解法”将抹去“传统 Boltzmann 方程”中的所有“非线性效应”。总而言之，“ Boltzmann-Gibbs 方程”是非平衡态统计力学动理学理论的精华。晓熵 2012.01.15; 个人分类: 统计力学|2913 次阅读|0 个评论

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