给研究生讲《岩石力学》，当然要先复习弹性力学。说到胡克定律，即力与变形成正比，比例系数是刚度； 又说， 不同的构件刚度不同；设想以不同长度、不同截面的杆件进行试验，容易知道“单位长度的变形与单位面积的受力成正比，比例系数是杨氏模量” 继而逐段显示 • Thomas Young described the characterization of elasticity that came to be known as Young's modulus, denoted as E , in 1807 , and further described it in his Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts . • However, the first use of the concept of Young's modulus in experiments was by Giordano Riccati in 1782 – predating Young by 25 years. • Furthermore, the idea can be traced back to a paper by Leonhard Euler published in 1727 , some 80 years before Thomas Young. 略作解说后覆盖 Thomas Young （ 1773.06.13 ~ 1829.05.10 ）的画像，在其下方切入文本框“ Hooke’s Law: 1676~1678 ”。我说， 从胡克的刚度到杨的模量花去了 120 年；利用杆件的假想试验，不是很容易知道吗？没有难度啊。假想试验，伽利略 (1564-1642) 就知道，说轻重物体下降速度相同。伽利略比我大 400 岁，他过世时胡克也就 7 、 8 岁。 伽利略没有在比萨斜塔做试验，做了也不会有可信的结果。如果你一手抓一个木球，一手抓一个铅球，从这窗口同时丢下去，或许木球先着地呢。真有人用许多大学生做试验摄像。铅球有木球的十倍重，抓着总是费劲，松开也就会有些迟钝。倘若慢了 0.05 秒，会有什么结果，算一下就知道了。 最后介绍有限元方法。 从最小作用原理说起，说明了光线折射定律等价于 Fermat 的光行最速原理。 又说， 最初认为光线的入射角与折射角的比值为常数 ，而不是正弦比为常数。 试验数据确实容易产生这样的误解。 具体计算一下就知道了。 因为时间有些紧张没有在课堂上计算，当然也是希望听者能够自己计算。现在把计算结果贴在下面，并在图中略作说明。 附1: 张老师 博文“ 野蛮计算 ” 介绍了 116 年前 F. N. Cole 用三年的星期天完成的整数分解；并给出了一个多小时完成的 2^67 的计算。上课前向研究生介绍了这篇博文，说“做事就得像 Cole 这样，不管到什么时候，都是自己的活儿”，也说了自己如何做这样的乘法。 张老师用时主要在“ 十位数的 2^32 自乘以得到 2^64 ”。我觉得如此相乘需要进行繁琐的加法，耗费时间且容易出错。 进行多次乘8 的运算似乎反而容易。 大数乘以71，只能进行如下的竖式计算；不过，若乘以72，则可分解为乘以8、再乘以9。 因 2^10=1,024 =10^3+A，而 (2^10)^2= 10^6+2A(10^3)+A^2= 1,048,576 =10^6+B ，那是一眼可以看出；于是 2^60= (10^6+B)^3=10^18+3B(10^12)+3B^2(10^6)+B^3 ； 注意到 B= 48*(10^3+12) 计算不难； 最后乘以 8 、乘以 8 、乘以 2 ，可得 2^67 。 附录2: 若试验条件与结果是离散的数据，通常需要寻找合适的公式表示两者之间的关系。例如，圆柱型岩石试样的轴向压缩强度 σ S 随侧向的围压 σ 2 = σ 3 增加，两者之间的关系称为强度准则。 笔者 2008 年提出含有 3 个待定参数的指数型公式 y = a – b exp(– cx ) 拟合试验数据；去年又从另一个角度解读了拟合公式，得到了有趣的结果。对于岩石力学性质的准确理解源于拟合方式的准确选用。下面以两组岩石的强度数据略作说明。 You M . True-triaxial strength criteria for rock. Inter J Rock Mech Min Sci,2009,46(1):115–127. 尤明庆 . 基于指数准则在莫尔空间对岩石剪切强度的研究 . 力学学报 , 2019, 51(2): 607-619 上图给出了以“ 偏差绝对值之和 ”及“ 偏差平方值之和 ”最小的两种拟合结果。通常都是用后者( 图中红线 )，有时也称为 最小二乘法 ；若用直线拟合则称为线性回归。 不过，影响试验结果的因素众多，有时可能出现奇异数据。如以“ 偏差平方值之和 ”最小拟合，拟合曲线( 图中红线 )就要迁就奇异数据，不使其产生过大偏差；而以 “偏差绝对值之和”最小拟合(图中黑线) ，那么拟合曲线会尽可能靠近多数数据，而使个别异常数据有较大偏差。 另一方面，若删除个别异常数据重新拟合，两种拟合所得结果几乎与图中黑线相同。这也表明以“ 偏差绝对值之和 ” 最小的拟合结果正确地展示了岩石的强度特性。 You M . Inter J Rock Mech Min Sci , 2012, 54: 114–124, and 2011, 48: 852–863 笔者觉得，不宜将公式变形之后进行线性回归，尽管某些书中称之为计算技巧。岩石强度的相关问题烦请参阅上列拙稿，下面仅以示例略作说明。 两次试验各得到8组数据，在图中标出。预测公式 y = sqrt( Q + mx ) 可以表示试验条件 x 与结果 y 之间的关系；因为数学上的困难，将公式转换为 y 2 = mx + Q 而进行线性回归，得到参数 m 和 Q 后，绘出图中红色和蓝色曲线。 不过，如直接以拟合偏差绝对值之和 最小为目标搜索参数，得到 m = 10和 Q = 1，拟合曲线通过7个点，仅 x = 1 处有约6% 偏差。 上面的数据固然是认为设定的，但将公式变形之后最小二乘法，所得拟合结果可能掩盖某些试验现象：单个数据的误差会对整体结论产生影响。 这显然不符合实际情况。
标签: 折射定律
