标签: 对称性

[转载]几何与物理

quantumchina 2020-9-6 21:45

编者注：本文是Atiyah1978年在日本数学会创立100周年纪念会上的演讲，刊登于《吉林师大学报》自然科学版1979年第2期，译者王家彦。 30年多后的2010年， Atiyah 与 Dijkgraaf 以及 Hitchin 合作，发表了一篇同一主题的综述，有兴趣的读者可见 geometry and physics，Phil. Trans. R. Soc. A 2010 368。 首先说明我报告的性质。借庆祝日本数学、物理学会创立一百年的今天, 我想这正是回顾数学在这一百多年间的进展以及展望将来的很好机会。我之所以把“ 几何学” 列为报告题目是因为它是我的专长, 也是我最关心的学科, 当然是在较广泛的意义下来论述它的。我还选择“ 物理学” 作为题目, 因为在当时没了解到今天有这么多物理学家在座听讲, 我想我关于“ 物理学” 的讲述一定会是很整脚的。但是数学与物理学在一百年前几乎是不可分割的。虽然由于后来科学各部门的专业化而使两者分离开来, 但是还保留着紧密的联系, 在现在又可重新看到有象过去那样逐渐接近的发展趋势。这就是把“ 物理学” 也列入报告题目的理由。 从作为近代数学的出发点的欧几里得以来经过几个世纪, 都确信 几何学是研究物理空间的 , 这种看法在1828年鲍约、罗巴切夫斯基以及高斯的 非欧几何 被发现之后已经站不住脚了。这在数学史上是值得大书特书的。此后，几何学成为与物理空间完全独立的概念, 而剩下的问题则是到底存在哪些种类的几何学的问题了。到十九世纪末, 所确立的主票思想方法是由 F. Klein 如所提出的“ 几何学是对于对称的研究 ” 。即在空间中作用的“ 对称群= 变换群” 决定着几何学, 换句话说, 几何学就是研究在这个对称群下的不变性质的学科 , 描述所有可能的几何学与确定所有的对称群是等价的。引进连续概念的 S. Lie 的工作，也与这种思想方法有关而起着重要的作用。在近代物理学中也是这样, Einstein, Weyl 以及现在的M. Gellman等的工作, 以空间的旋转群, 洛伦兹群的作用中可以看出对称群是非常重要的。现在, 比对称群的概念为基础的Klein思想更具有普遍的、划时代意义的思想，是由十九世纪中叶的Riemann所提出的。 Riemann舍弃了Klein关于群的思想,引入了在各点都不均质的最一般的空间几何学, 即今天所谓的 微分几何学 。Riemann的这种几何学, 如所周知, 后来被Einstein 应用于广义相对论。但到这里还没说完, 物理学家们迫切感到除时间、空间变量以外，还须引进更多的变量。例如他们所说的内部变量就是如此。如果把它们用数学来描述, 就只能用 纤维丛 的思想方法来描述。即纤维丛包含着内部变量, 而时空世界起着底空间的作用。 在微分几何学中，这个纤维丛的概念的形成是二十世纪初叶, 以E.Cartan 的工作为先驱。他的贡献是把Klein和Riemann的思想统一起来, 大概说来, 就是Cartan以Klein作为纤维、以Riemann作为底空间。 这个图表示Riemann 与 Klein 两者的作用。亦即, 把前者空间的概念一般化, 而对后者把它的对称群加以严格的限制。若对数学中的纤维丛的理论和物理学中与之相对的规范理论进一步加以阐述的话, 这些理论的基本想法是平行移动的概念。即对于连结空间( 底空间两点的曲线, 第一点的内部变量( =纤维方向的变量) 给出了第二点和它相连接的规则。现在我们把这个平行移动的概念限制在— .无穷小范围内来考虑, 则可得到数学中的联络以及物理学中的向量势的概念。又, 如果在空间内给出闭曲线时, 沿这条曲线平行移动引起在一点上的内部变量的变换, 一般地不是恒等变换, 这样如果把恒等变换扩张, 则在数学中可用曲率, 在物理学中可用场强予以描述。上述考察的重要之点不是把空间变量和内部变量完全独立开来, 而是考虑它们之间的相互作用。在物理学中引进这种几何学观点, 是从 H. Weyl 于1918年进行Maxwell方程的研究开始的。虽然Weyl的思想远远超越他所处的时代, 但是他对物理学的解释是不正确的。尽管如此, 规范 理论的研究还是从Weyl 的工作开始的。这种想法后来在 1954年由杨振宁和米尔斯 甚至把非可换群( 例如 SU(2) ) 推广为结构群所容许的形式。直到现在，Yang-Mills 理论还是作为理论物理学的一个主要最活跃的研究课题。 为了使Riemann空间概念一般化, 创始了作为现代几何学的一个重要分科的 拓扑学 。它与Klein所考虑的各点均质的空间不同, 在一般化的Riemann空间里, 不能把它的局部性质推广到大范围的性质。拓扑学为理解大范围性质提供了新的手段。但是Riemann所考虑的拓扑不是与他的几何学直接相关联, 而是与复变函数论有关。即, 例如他研究多项式的平方根那样函数的大范围性质的最佳方法, 即现在通常所说的引入 Riemann面 才能得到的方法。又因Poincare 以研究微分方程的大范围理论相关联的概念作为拓扑学的起源。从Riemann的例子中, 函数所具有的奇点从引入的Riemann面的新观点中去掉而代之以具有复杂结构的空间二出现的Riemann面。从这个简单的例子足以揭示出对奇点赋以拓扑关系的一般原理。又以Riemann几何学为基础的Einstein理论, 对当时的微分几何给以很大刺激。而近代的几何学家则把大范围的几何学的发展反映到物理学上, 开始了对Einstein方程的解的大范围的研究。例如, 霍金与彭罗斯指出Einstein方程解的奇点( 例如黑洞) 不是偶然的产物, 从大范围的观点来看, 它可以极自然地用数学和物理学的假说来说明。这样在大尺度的物理学中, 拓扑学等大范围几何学的作用就易于被理解。最近, 又了解到它在反常 现象研究上也起作用。例如, 儿个粒子存在于某很狭窄的领域中, 它的外部暂定呈单纯的自由场状态。作为描述这种状态的数学方法, 尽管是掌握具有什么样的奇点的方法, 但在描述这个系统的内部变数的空间时, 可以考虑具有某种挠曲的空间。实际上理论物理学家们, 站在后者的立场上, 由对局部拓扑的考查, 给描述反常现象的规范理论中的某整数不变量下了定义, 称之为 拓扑量子 数。当然, 在近代量子论中, 把连续的现象用离散量来描术的强而有力的方法作为基础, 对数学各个分支中的诸连续元由离散量分类表现的理论, 例如依赖于连续势的微分方程的特征值以及紧致群的表现理论, 在量子论中都起着重要作用, 但是拓扑的量子数在数学中是纤维的全空间中的挠曲的量化, 迄今为止, 都是用性质完全不同的新方法求得的。 现在暂且放下物理学, 再回到几何学上来。如前所述, Riemann和Poincare奠定了拓扑学的基础, 他们的动机是基于解析学 ( 复变函数论和微分方程理论) 的要求, 从而自然地形成在解析问题方面, 把注意力集中到大范围拓扑作用的研究上。解析学与拓扑学相结合的设想是1930 一1960 的一个主要论题。在这方面, 最早的主要成果是在1930年代由Hodge作出的。他研究Riemann流形的拓扑与Laplace算子间的大范围关系, 并且得出许多重要的定理。这个工作为后来的小平和Weyl所继承。这个时期中的另一个方向是由小平, 岗洁 ,H.Cartan创始的多变数的复解析学。这方面的研究在1940一1950 年代是非常活跃的, 但它的一个最重要结果是确定了层上同调的新手法。层上同调可以说是同调以及循环的拓扑概念与复变函数论相结合而产生的混合理论。现在在这里仅就作为近代数学的两个主要部门的微分儿何与复数解析稍加叙述。在前者中最基本的是它所考虑的空间是非齐性的，因此用曲率来描述它的程度, 而曲率用张量分析来计算。另一方面, 后者所考虑的空间的各点都是同样的, 但是它与Klein所考虑的大范围的 齐性空间不同, 它一般不存在对称群。从而在对这种空间的研究中, 对把大范围的现象与局部理论之间的关联的方法方面大有开展研究的必要。而前面提出的层上同调就是具有这种效用的。 在这个报告的最后, 想举出与我到现在所说过的问题有关的一些例子, 这些例子仅是从我有限的经验中选取的, 它们无非是现代几何学与理论物理相关的绕有兴趣的课题, 但毕竟限于我的经验, 它们在物理学上只不过是个可能出现的模型。在这些模型中出现一种叫作 反常现象 。它具有不被期望或不寻常的意思, 所以这样称呼的理由是, 当考虑描述量子场理论的模型时, 总是在程序上先从古典的状态出发依次把它量子化。这时, 在古典状况的基础上所存在的某种对称性, 在量子化过程中有时变成0。这种现象叫作 反常 。最近发现, 在某种情形下这个反常与前面说过的拓扑量子数有密切关系。总的说来,反常是在这个情形下的空间中分布的密度, 它的积分恰是拓扑的量子数。特别是前面的拓扑量子数己知并非为零的情况下, 可以得出反常存在的结论。尽管对它的研究己近十年左右, 可是我最近才注意到一些几何学家们在这十年间只不过是重复着同一个问题, 虽然不能作详细的说明, 但例如对由流形上的Laplace算子的特征值 lambda 所定义的函数sum e^{lambda t}, 当 t 趋于0时的渐近性质的研究就属于此类间题。这个研究已经列入Hodge的计划。由此可见，解析、拓扑以及微分几何之间具有种种不可分割的关系。但是把所用的术语翻译过来之后, 可以看到物理学家与数学家互不通气地在进行着平行地研究完全雷同的课题。这种事买在某种意义上虽是个努力勤奋的好现象, 但是在双方共同解决间题之后再来理解它毕竞过于迟缓。 在下面, 我在结束问题之前说两个术语翻译成功的例子。现在在理论物理学方面, 面临着相当的困难, 我觉得关于什么是它的基本基础的本质, 确有重新给以考虑的必要。在这里介绍一下我的牛津大学同事彭罗斯对时空世界概念进行修正的新想法, 他认为时空世界的点在某种意义上说它不是最基本的对象, 而是把通过各点的光线的全体也考虑在内, 这样他把Minkowski空间代之以三维的复流形。这样对所考虑的各种基本方程可以希望在这新空间中要比原来的简单的多。对Maxwell方程来说, 它的解可用几何学家已经发明的所谓层上同调来描述。彭罗斯对层上同调是不了解的, 在某次与他谈话时, 我立即提醒他注意, 他所考虑的问题与层上同调在本质上是相同的。这里重要的是彭罗斯的空间是不可缩的, 上同调是不可能等于0的。这个事实放在局部上来考虑,也容易从光锥是二维球面的这一点上推导出来。下面再把话题转到苏联物理学家Polyakov最近提出的课题上来。他把4 维Yang-Mills方程放到通常的4维欧几里得空间中进行研究, 而全力求出这个方程的所有解( 叫作“瞬子”)。但是这个问题是数学中的代数几何问题, 也就是与3 维复射影空间中的代数曲线的研究的等价问题。 这是在对后者相当理解的基础上而对瞬子 的一般性进行了论述。这就是在前面所说的在结束以前进行翻译的例子。 现在把我说过的问题归纳一下。从上述事实里, 我想是不是可以这样说: 现代几何学的诸概念在物理学的模型的构成中是有效的。我在这里是想强调 观念 这个词。可以说，在物理学与几何中， 比起计算，更为重视的是观念 , 在这一点上比几何学与代数学之间的关系更密切。在历史上的某个时期里, 物理学偏重于重视数学计算的方法。但是我认为如果几何学家与物理学家之间增进了解, 那么几何学的观念在物理学中将是有用的。 来源： https://www.sohu.com/a/211714451_701814

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[转载]伽罗瓦理论究竟想干什么？

quantumchina 2020-8-31 23:56

来源：返朴 伽罗瓦理论是现代数学的主要发端之一。当天才少年用自创理论解决了代数方程的悬案，人们才逐渐意识到数学结构本身所隐含的对称性和抽象关系竟然具有如此强大的威力。通过后继者对高阶抽象和逻辑结构关系的不断探索，如今数学大厦不仅纵向高耸入云而且横向相互支撑顺畅 来源： 返朴 伽罗瓦理论是现代数学的主要发端之一。 当天才少年用自创理论解决了代数方程的悬案，人们才逐渐意识到数学结构本身所隐含的对称性和抽象关系竟然具有如此强大的威力。 通过后继者对高阶抽象和逻辑结构关系的不断探索，如今数学大厦不仅纵向高耸入云而且横向相互支撑顺畅贯通。 本文将带读者领略那发生在190年前的灵光闪现…… 撰文 | 张和持 偶尔，当我被袁隆平院士喂得太饱的时候，会无聊地去想：若现代的知识穿越回古代，那将造成多么可怕的影响。那有可能是助诸葛亮北伐成功的100名火箭飞行兵，也可能是令赵国取胜长平之战的空降方便面。但要是真能穿越的话，希望不会把数学家送过去—— 等着他们的，可能是尼尔斯·阿贝尔和埃瓦里斯特·伽罗瓦的命运——他们二人的工作过于超前，以至于他们英年早逝十多年，后人才从尘封的论文中发现那惊人的价值。 évariste Galois 在那个年代，数学家的工作主要还是围绕数字的。即使使用变量的代数，也是为了得到具体的数值结果。可想而知，即便是高斯那样的数学泰斗，面对伽罗瓦的满篇抽象符号，也打回了他的论文。据说伽罗瓦死前遭人暗算，不得不参加一场必死的决斗。生命和学术生涯即将在含苞中零落，绝望中的他奋笔疾书，在最后的时刻整理了自己的手稿，像海贼王一样把宝物留给了新的时代。 Niels Henrik Abel 今天的我们，处处享受着他们的成果。计算机离不开代数，物理化学也离不开群论。 或许在肃然起敬之余，你会望而却步。其实大可不必，今番我们便来还原一个简洁又优美的伽罗瓦理论 。 伽罗瓦和阿贝尔想解决的问题看起来很简单。小学我们学过一元一次方程 直接移项就可以得到 后来我们学了一元二次方程 凑平方法也可以容易地得到 继续，一元三次方程呢？是否也能这么容易解出来呢？ 十六世纪的数学家尼科洛·塔尔塔利亚首先得到了通用的公式，我们就把它列出来看看有多复杂 对于方程 有三个根： 人 类的智慧的确可怕。不久之后，四次方程的公式也被人们发现了。四次方程的解如此复杂，以至于一页纸都不一定能写的下，这不禁让人怀疑，数学是否成为了繁琐和不便的代名词。 这也鞭策着那些相信努力就会收获的数学家，找出五次方程的解而扬名立万。可是令人费解的是，无论做多么精巧的代换，无论尝试怎样复杂的分解，总有一些方程死活解不出来。到了拉格朗日这一代，大多数人已经确信，五次方程是无法以现有方法解出来的了。他们发现，五次方程与四次，三次，二次方程是如此的不同，以至于之前管用的方法全都失效了。不过直到阿贝尔和伽罗瓦为止，都没有人能为这种似是而非的论断给出清晰又严格的证明。 这就是我们的问题： 为什么有理系数的一元五次方程不能通过有限次的加、减、乘、除、开根号得到一般解？ 为了搞清楚，为什么 以上的数字跟 如此不同，我们先来看一看 与 有何不同。对一元方程来说，要求解，只需要进行加减乘除运算即可， 而加减乘除，并不会让有理数变成无理数 。通常我们将有理数表示为 ，而有了对加减乘除封闭的性质，我们就可以把 称为有理数域。域的定义你就可以直接理解为： 集合元素对加减乘除封闭。 大家熟知的实数，复数也都是域。 为什么我们要谈封闭性？很简单， 因为方程里面只含有加减乘除 ，要是不封闭了，那 就不是有理数，那这样 也就不是有理数了。显然，这是矛盾的。 那 呢？ 比如说方程 很容易求出它的两个解是 这个解很显然不在 之内，那我们现在要把 扩大，使新的域正好包含上面的根，又不至于太大，以至于包含太多其他东西，即最小扩张。那么我们最终得到的就是这样一个集合： 这个域我们把它叫做 ，它是包含 在内的最小的域。你无聊可以验证一下，它对于加减乘除确实是封闭的。这里从 到 的过程，我们称之为 域扩张 。你可以把这里的域扩张理解为一个直角坐标， 轴上仍然是有理数，单位是 ，而 轴上就是 的倍数。这样平面上的每一点都可以代表 中的一个数。这样扩张的维数就是平面相对于 轴的维数，记作 。 当我们谈到可以用根式解方程的时候，我们其实是在说：我们可以将类似于 这样整数的整次根，加入到 中，以此作上述域扩张，使扩张后的域，包含方程的解。 那么到这里，问题就好理解了。从 到 的过程，其实用根式来扩张 的过程。可以想见，要是 次以上的方程不能这样扩张，自然就不能用根式解了。 怎么才能证明扩张无法实现呢？目前我们还没有什么思路去直接证明，但阿贝尔和伽罗瓦迎难而上。他们不约而同地注意到，方程的根具有奇妙的 对称性 。一般来说，如果一个图形具有复杂的对称性，那图形本身也就较为复杂。这给了他们启示：根的对称性是否意味着域扩张的复杂性呢？果不其然，这种对称性揭示了 域扩张与群的子群之间优美的对偶 ，使得我们可以通过研究群的可解性来回答方程解的性质。 还是回到之前的方程 我们先不管解是什么。而是利用一个非常经典的结论：在复数域 中， 次方程定有 个根（包含类似 这样 的重根）。这是高斯在他的博士论文中首次证明的优美结论。这个结论的证明涉及的更多是复分析而不是代数，所以我们在这里不再提它。假设根是 ，那么就有 我们可以看到，这两个根相当地对称。即使我们交换一下 和 ，上述方程的形式也不会变化。这就启发我们在保持方程形式不变的情况下，对整个方程进行变换。假如说有这么一个函数 ，作用在扩张后的域（扩域）上， 不改变形式，就要求这个函数能保持加法和乘法，这表明 是一个 同态 ，即是说 而且要求不改变系数，这表明 将有理数映射到自身（固定 ），即使说 那么 从形式不变可以看出， 仍然是方程的解。但是这个方程一共就那两个解，所以 这个函数正好就是我们之前说的置换根的函数。在这个例子中， 只有两种可能——一是交换 ，即 ，另一种是恒同变化 ，即把任何数映射到自身。这些 有非常良好的性质 无论它们怎么组合， 的复合仍然属于这个集合； 不管施加怎样的变换，总有另一个变换可以让根回到初始状态； 存在 这么一个无而治的变换。 可以看到， 的组合，非常类似于数的乘法。但这是一种只有乘法没有加法的运算（当然你偏要把它的运算叫做加法也没什么区别，那样就没有乘法）。满足这样运算规律的集合，我们称之为群。上面的 构成的就是能改变域 内元素顺序的 置换群 ，而且正好固定了 （将有理数映射到自身），而且没有固定 以外的元素（ 固定所有元素，但 只固定了 ，这里我们自然应当取小的那个域，也就是 ，这时 称为群的固定域）。我们就把这样的扩张称为 正规扩张 （或伽罗瓦扩张），把 构成的群叫做 伽罗瓦群 。在这个例子中，伽罗瓦群有 个元素（交换和恒同变换），而扩张的维数 也正好是 。可以证明，这两者是恒相等的。这就给了我们更多理由相信： 伽罗瓦群对于描述域扩张至关重要 。 群 固定 ，那什么固定 呢？答案是 。 这个元素是 的子集。如果单看 这个集合的话，你会发现它也是一个群，是 的子群（也就是说是它的子集，自己又形成群）。在这个例子中，群 就只有这么一个子群。那么要是别的群有非 子群（或者叫非平凡子群，平凡子群指的就是 ）呢？假如这样的子群存在，想必它固定的应该是介于 和 之间的某个域。我们这就来看一看。 方程 的三个根分别是 显而易见，这里的域扩张是 它对应的伽罗瓦群是 ，也就是图中 个数的所有置换，应该有 个元素，分别为 ，这个群相当于是三角形的所有对称操作，也就是说，将三角形翻转或旋转后，与原图形重合的所有操作。 图片来自 WolframAlpha 下表（称为凯莱表）列出了 的乘法规律 图片受 Wikipedia 启发 其中 代表旋转 ， 代表翻转。注意， 和 是不同的，可以通过画图来检验。这代表 是不可交换的（非阿贝尔群）。 另一种将群可视化的方法是凯莱图 图片受 wikimedia 启发 有了上面这些工具，我们就可以着手，来找一找 的子群。只要挨个去掉其中的元素，再检查剩下的部分是否构成群就能搞定。我们将 的子群和 到 的扩张一并画在下图 图片来自 Keith Conrad 这似乎太巧了： 子群的结构和域扩张的结构完全相同 。而这并不是巧合。再来一个例子：下图是域扩张 和它的伽罗瓦群 （ 相当于是正方形旋转翻转的对称群） 图片来自 Keith Conrad 结构仍然是一模一样。更加惊人的是，每一个子群，如 ，正好固定了它对应的域扩张： 。 这震撼的对偶关系，正是伽罗瓦理论基本定理 。上图中的域扩张并不都是正规扩张。伽罗瓦基本定理还表明，假如某个中间域是正规扩张，那么相应的子群就应该是正规子群：若 是 的子群，对于 ，则称 为 的正规子群，其中 表示 ， 类似，记作 。这个对偶关系，也正是两个”正规“的名字由来。 有了正规子群就可以定义 和 之间的除法（如果不是正规子群就不能定义）。 表示的，就是所有 这样的集合的集合，叫做商群——即，商群的每个元素都是 这样的集合（这种集合叫做陪集）。很容易定义商群上的乘法： （想想为什么可以这样定义）。 比如说我们要计算 的商群 ，其中 表示由 生成的群： G = S 3 ， H = ⟨r⟩ 我们圈出 的所有陪集，这里只有 和 自己 圈出陪集 这样，每一个陪集都是商群的元素 陪集收缩得到商群 这里我们没有严格数学语言的表述，也不想去抠证明的细节。但到此为止，证明的思路已经非常清晰了。 假如我们需要根式解，就是要由域 （一般来说这个 代表 ）扩张到域 ，那么两者之间应该有中间域 ，其中每一个域 都是前一个域 在根式 （这个 有可能是 ，可能是 ，也可能是任何整数的整次根）基础上进行的正规扩张。由于是正规扩张，所以伽罗瓦群 应该有一系列正规子群 出于一些不那么直观的原因，我们还要求每个商群 具有交换性（就是 ），满足上述两个条件的 被称为可解群。可以证明，方程根式可解性等价于对应的伽罗瓦群可解性。 那么这里我们就只需要看对应的伽罗瓦群了。经过复杂的步骤，可以证明，一般的 次方程，其伽罗瓦群为 阶置换群 （正好相当于把 个根进行排列！）。而 的置换群并不可解。 这样就证明了结论： 时方程没有根式解！ 我们用 的例子来说明群的不可解性。根据可解群的定义，可以得到一个结论： 可解群的子群都是可解群 。这样我们就可以转而观察 的子群。 的子群只有 和平凡子群，其中 是指五阶交错群，其中的每一个置换，都是偶置换，即，可以分解为偶数个 和 交换的形式（比如说 这样置换）。相比 的 ！ 个元素， 只有一半： 个元素，很容易画出它的凯莱图： A 5 的凯莱图 即使我们不去严格分析，也能看出 没有正规子群： 例如，把红色线连接的小五边形看做子群（这是个 阶循环群），如果它是正规的，那么从一个红色五边形出发的所有蓝色线段，都必须进入同一个陪集，也就是最邻近的另一个红色五边形。可惜这些蓝色线都进入了不同的红色五边形。 事实上，这种每个局部小多边形都尽量与其他小多边形连接的结构，会使整体结构非常稳定而坚固，对群除法这种结构拆解工作自然就不够友好。神奇的是，如果在上图中的每个圆圈处放一个碳原子，它们将组成稳定的足球形分子“巴基球”，这个名字来源于建筑学家巴克明斯特·富勒，此人建造了世界上最大的足球形建筑物。 富勒的作品 1999年，物理学家在奥地利的实验室中向双缝发射了“巴基球”的分子束，并观察到了干涉现象。这使得“巴基球”成为了人类实验能观测到双缝干涉的最大分子。 Buckminsterfullerene 再回到最初的问题。从以上的阐述，应该就能理解根式解不存在的原因了：根式的域扩张是有局限的。 也就是说五次以上的方程其实并不是“无解”，只是根式扩张无法做到。 那么是不是就应该有别的方法来进行域扩张呢？答案是肯定的。参见“雅可比 函数”。 注释 Galois theory for non-mathematicians Emil Artin， Galois Theory 来源： https://www.gnshuo.com/30968.html

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量子物理门口的一个前沿课题

热度 5 qhliu 2020-4-5 11:49

一，拜读大师的著作必有所获 一般来说，教课书上的问题，就是入门级别的问题。如果是大师编著的教科书，往往有一些问题会引起数年甚至数十年的研究,很可能不是那么简单。我们关注一个量子物理问题，就写在大师 Steven Weinberg 先生的教课书上，可以算得是量子物理入门级别的一个课题，但的确也是一个前沿课题。 3 月 29 日，物理学巨人 P. W. Anderson 去世。如此量级的物理学家，仅剩杨振宁和 Steven Weinberg 两位先生。尽管 Weinberg 先生即将 87 岁 (5 月 3 日 ) ，但是思想非常敏锐，从事原创性研究的热情不减当年。先生最新的论文参见今年一月份独立作者的论文： Models of lepton and quark masses ， Phys. Rev. D 101, 035020 (Published 19 February 2020) 。超过八旬还在独立发表长篇高水平研究论文的学者，中华大地上也有！向他们学习！ 我们课题组从事约束体系量子力学研究已经十六年， Weinberg 先生对此也颇有兴趣，当是他并不专注与此。在这个问题上，我们的研究比 Weinberg 先生要深入一点，因此也就有一点点交流。 二，超球面上的量子力学 Weinberg 先生 2015 底再版的《量子力学讲义》 ( 第二版， Cambridge University Press ) 中的研究了超球面上无自旋粒子的量子力学。 超球面就是一个嵌入到高一维平直空间中的球面，形状方程就是 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{N}^{2}={{R}^{2}}$ ，其中 N 是平直空间的维数， N=3 时就是普通的球面。 对于这一超球面上的粒子，经典的 狄拉克括号 是 ${{\\left }_{D}}=-\\left( {{x}_{i}}{{p}_{j}}-{{p}_{i}}{{x}_{j}} \\right)\\frac{1}{{{R}^{2}}}$ （ 1 ） 这里量 $\\left( {{x}_{i}}{{p}_{j}}-{{p}_{i}}{{x}_{j}} \\right)$ 仅仅包含对角度的导数，和径向位置算符 R 对易。在经典力学中，量 $\\left( {{x}_{i}}{{p}_{j}}-{{p}_{i}}{{x}_{j}} \\right)$ 有两种完全等价的做法。第一是保留原有形式 $\\left( {{x}_{i}}{{p}_{j}}-{{p}_{i}}{{x}_{j}} \\right)$ 然后讨论曲面上的运动。第二是通过角动量的定义式 ${{L}_{ij}}={{x}_{i}}{{p}_{j}}-{{p}_{i}}{{x}_{j}}$ 改写 (1) 式为 ${{\\left }_{D}}=-{{L}_{ij}}\\frac{1}{{{R}^{2}}}$ （ 2 ） 和 (1) 式在经典力学中完全等同。 下面来研究这个系统的量子力学。在量子力学中， 流行的做法是量子化 (1) ，不仅 Weinberg， 德国理论物理学名家 H. Kleinert，等 等 ， 给出的量子化条件是 $\\left =-i\\hbar \\left( {{x}_{i}}{{p}_{j}}-{{p}_{i}}{{x}_{j}} \\right)\\frac{1}{{{R}^{2}}}$ （ 3 ） 第二种做法是 量子化 (2) 。注意：量子化后，角动量的定义更新换代，服从的是 SO(N) 代数，这个时候，角动量自动包括自旋， ${{L}_{ij}}\\to {{J}_{ij}}$ （ 4 ） 相应于 (2) 的基本量子条件为 $\\left =-i\\hbar {{J}_{ij}}\\frac{1}{{{R}^{2}}}$ （ 5) 和 (2) 式有根本的不同。在量子力学中，轨道角动量 L 的量子数取整数，但是一般的角动量 J 的量子数可以取半整数 ! 2013 年，项目组首先指出，可以证明动量和角动量一起构成 SO(N,1) 代数，因此动量和角动量的取值由代数关系确定。只是和平直空间 J=L+S 完全不同，这里的 J 包含了弯曲的贡献。因此，从 (5) 中得到的 ( 几何 ) 动量将包含自旋的贡献。正是由于超球面上的粒子的动量必须包含自旋的贡献，容易理解一般超曲面上的粒子的几何动量也一定带有自旋的贡献。我们获得的一般性动量的形式是： $\\mathbf{p}=-i\\hbar \\left( \\nabla _{S}^{{}}+\\frac{M\\mathbf{n}}{2} \\right)\\text{+}\\hbar {{\\mathbf{r}}^{\\mu }}{{\\Omega }_{\\mu }}$ （ 6 ） 三，结论 Weinberg 是对称性大师，当今世上无出其右。量子力学中的角动量，不是由轨道部分的算符关系决定，而是由对称性决定，这一点，他不可能不知道。但是，在一个新的地方出现角动量的时候，就忘记了这里也必须由对称性所决定。否则，这个粒子就不带自旋。这一点上，就比另外一位物理学诺贝尔奖获得者 Abrikosov 稍逊一筹。 如果一位平凡的老师，坚持钻研一个具体问题十年甚至数十年，很可能超过这个领域的大师。 参考文献 1 ， H. Kleinert and S. V. Shabanov, Proper Dirac Quantization of Free Particle on D-Dimensional Sphere, Phys. Lett. A, 232(1997)327-332 2 ， Q. H. Liu, Z. Li, X. Y. Zhou, Z. Q. Yang and W. K. Du, Generally covariant geometric momentum, gauge potential and a Dirac fermion on a two-dimensional sphere, Euro. Phys. J. C., 79 (2019) 712 3 ， Alexei A. Abrikosov Jr ， Fermion States on the Sphere S^2 ， hep-th arXiv:hep-th/0111084 (2001) ------ 下面的这张照片很少见，今天用来平息了圈里一场到底是“水击”还是“击水”之间的争论

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诺特定理：对称性和守恒律——笔记

mayaoji 2019-8-15 14:13

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[转载]无限维对称为新物理和新粒子打开了可能性

zhpd55 2018-11-20 21:57

Infinite-dimensional symmetry opens up possibility of a new physics—and new particles November 16, 2018, University of Warsaw Credit: CC0 Public Domain The symmetries that govern the world of elementary particles at the most elementary level could be radically different from what has so far been thought. This surprising conclusion emerges from new work published by theoreticians from Warsaw and Potsdam. The scheme they posit unifies all the forces of nature in a way that is consistent with existing observations and anticipates the existence of new particles with unusual properties that may even be present in our close environs. For a half-century, physicists have been trying to construct a theory that unites all four fundamental forces of nature, describes the known elementary particles and predicts the existence of new ones. So far, these attempts have not found experimental confirmation, and the Standard Model—an incomplete, but surprisingly effective theoretical construct—is still the best description of the quantum world. In a recent paper in Physical Review Letters , Prof. Krzysztof Meissner from the Institute of Theoretical Physics, Faculty of Physics, University of Warsaw, and Prof. Hermann Nicolai from the Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik in Potsdam have presented a new scheme generalizing the Standard Model that incorporates gravitation into the description. The new model applies a kind of symmetry not previously used in the description of elementary particles. In physics, symmetries are understood somewhat differently than in the colloquial sense of the word. For instance, whether a ball is dropped now or one minute from now, it will still fall in the same way. That is a manifestation of a certain symmetry: the laws of physics remain unchanged with respect to shifts in time. Similarly, dropping the ball from the same height in one location has the same result as dropping it in another. This means that the laws of physics are also symmetrical with respect to spatial operations. Symmetries play a huge role in physics because they are related to principles of conservation. For instance, the principle of the conservation of energy involves symmetry with respect to shifts in time, the principle of the conservation of momentum relates to symmetry of spatial displacement, and the principle of the conservation of angular momentum relates to rotational symmetry, says Prof. Meissner. Developing a supersymmetric theory to describe the symmetries between fermions and bosons began back in the 1970s. Fermions are elementary particles whose spin, a quantum property related to rotation, is expressed in odd multiples of the fraction 1/2, and they include both quarks and leptons. Among the latter are electrons, muons, tauons, and their associated neutrinos (as well as their antiparticles). Protons and neutrons, common non-elementary particles, are also fermions. Bosons, in turn, are particles with integer spin values. They include the particles responsible for forces (photons, carriers of the electromagnetic force; gluons, carrying the strong nuclear force; W and Z bosons, carrying the weak nuclear force), as well as the Higgs boson. The first supersymmetric theories tried to combine the forces typical of elementary particles, in other words the electromagnetic force with a symmetry known as U(1), the weak force with symmetry SU(2) and the strong force with symmetry SU(3). Gravity was still missing, Prof. Meissner says. The symmetry between the bosons and fermions was still global, which means the same at every point in space. Soon thereafter, theories were posited where symmetry was local, meaning it could manifest differently at each point in space. Ensuring such symmetry in the theory required for gravitation to be included, and such theories became known as supergravities. Physicists noticed that in supergravity theories in four spatiotemporal dimensions, there cannot be more than eight different supersymmetric rotations. Each such theory has a strictly defined set of fields (degrees of freedom) with different spins (0, 1/2, 1, 3/2 and 2), known respectively as the fields of scalars, fermions, bosons, gravitinos and gravitons. For supergravity N=8, which has the maximal number of rotations, there are 48 fermions (with spin 1/2), which is precisely the number of degrees of freedom required to account for the six types of quarks and six types of leptons observed in nature. There was therefore every indication that supergravity N=8 is exceptional in many respects. However, it was not ideal. One of the problems in incorporating the Standard Model into N=8 supergravity was posed by the electrical charges of quarks and leptons. All the charges turned out to be shifted by 1/6 with respect to those observed in nature: the electron had a charge of -5/6 instead of -1, the neutrino had 1/6 instead of 0, etc. This problem, first observed by Murray Gell-Mann more than 30 years ago, was not resolved until 2015, when Professors Meissner and Nicolai presented the respective mechanism for modifying the U(1) symmetry. After making this adjustment we obtained a structure with the symmetries U(1) and SU(3) known from the Standard Model. The approach proved to be very different from all other attempts at generalizing the symmetries of the Standard Model. The motivation was strengthened by the fact that the LHC accelerator failed to produce anything beyond the Standard Model and N=8 supergravity fermion content is compatible with this observation. What was missing was to add the SU(2) group, responsible for the weak nuclear force. In our recent paper, we show how this can be done. That would explain why all previous attempts at detecting new particles, motivated by theories that treated the SU(2) symmetry as spontaneously violated for low energies, but as holding in the range of high energies, had to be unsuccessful. In our view, SU(2) is just an approximation for both low and high energies, Prof. Meissner explains. Both the mechanism reconciling the electric charges of the particles, and the improvement incorporating the weak force proved to belong to a symmetry group known as E10. Unlike the symmetry groups previously used in unification theories, E10 is an infinite group, very poorly studied even in the purely mathematical sense. Prof. Nicolai with Thibault Damour and Marc Henneaux had worked on this group before, because it appeared as a symmetry in N=8 supergravity under conditions similar to those during the first moments after the Big Bang, when only one dimension was significant: time. For the first time, we have a scheme that precisely anticipates the composition of the fermions in the Standard Model—quarks and leptons—and does so with the proper electric charges. At the same time it includes gravity into the description. It is a huge surprise that the proper symmetry is the staggeringly huge symmetry group E10, virtually unknown mathematically. If further work confirms the role of this group, that will mean a radical change in our knowledge of the symmetries of nature, Prof. Meissner says. Although the dynamics is not yet understood, the scheme proposed by Professors Meissner and Nicolai makes specific predictions. It keeps the number of spin 1/2 fermions as in the Standard Model but on the other hand suggests the existence of new particles with very unusual properties. Importantly, at least some of them could be present in our immediate surroundings, and their detection should be within the possibilities of modern detection equipment. But that is a topic for a separate story. Explore further: Breaking supersymmetry More information: Krzysztof A. Meissner, Hermann Nicolai. Standard Model Fermions and Infinite-Dimensional R Symmetries, Physical Review Letters, 2018, 121 , 091601 – Published 31 August 2018 . DOI: 10.1103/PhysRevLett.121.091601 ABSTRACT Following up on our earlier work where we showed how to amend a scheme originally proposed by M. Gell-Mann to identify the 48 spin- 1 2 fermions of N = 8 supergravity that remain after complete breaking of N = 8 supersymmetry with the 3 × 16 quarks and leptons of the standard model, we further generalize the construction to account for the full SU ( 3 ) c × SU ( 2 ) w × U ( 1 ) Y assignments, with an additional family symmetry SU ( 3 ) f . Our proposal relies in an essential way on embedding the SU(8) R symmetry of N = 8 supergravity into the (infinite-dimensional) “maximal compact” subgroup K ( E 10 ) of the conjectured maximal duality symmetry E 10 . As a by-product, it predicts fractionally charged and possibly strongly interacting massive gravitinos. It also indicates how E 10 and K ( E 10 ) can supersede supersymmetry as a guiding principle for unification.

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同一个细胞，不同的你

yxgyylj 2018-8-21 07:39

相信每个读者小时候都思考过这三个问题： 我是谁？ 我从哪里来？ 要到哪里去？ 对于这么几个哲学问题，自己想哪里想的明白呢，于是就去问大人。例如对于“我从哪里来？”这个三大哲学问题中的老二，大人多半会这样回答： 小孩子对垃圾堆没啥概念，很容易便坦然接受。但当上了学，却发现同学们的原产地具有高度多样性——有的是老爹买彩票中奖送的，有的是爸妈在街边捡的，还有从西瓜里蹦出来的。此情此景之下，“垃圾堆理论”自然受到了挑战，便回家再次请教大人以探明虚实，然而： 总之很难得到正面回答。久而久之，只好作罢。 不过小孩子对于此类问题具有异常强大的无师自通能力——就好比毛毛虫到了一定时刻就会化茧成蝶一般，年龄一到该懂的自然都懂了。虽然初中生物课本或者青春期教育手册已经对 “我们从哪里来” 这个问题有了深入介绍，但这已经完全跟不上青葱少年们的学习热情了。 相信很多人都有过偷偷收藏“学习资料”的好习惯 ， 你懂的 ——图片来自网络 玩笑到此为止，我们让话题回到“生命的起源”之上。大家都知道，细胞是所有生命的基本组成单元。这个如今已经众所周知的事实，在十九世纪中期之前都是完全无法想象的——要知道在那个年代，列文虎克 （显微镜的发明者） 首次 发现细胞 已有快两个世纪了。直到1928年，人类卵子才被首次发现 ；而与此同时，爱因斯坦早已提出广义相对论，并且同哥本哈根学派就量子力学的问题激烈争论过多次了。 世界上所有人，无论高矮胖瘦男女老少，都产生于一个小小的受精卵，这件事在今天看来依然无比玄妙——我们通常对名人们的经历有着浓厚兴趣。然而无论是受人瞻仰的科学巨匠 地位显赫的超级富豪 甚至高大威猛的体育明星 归根结底，都来自于这么一个小小的受精卵： 受精卵 同一个细胞，经历了不同纬度的日月交替，体验了程度各异的日晒雨淋，目睹了冷暖不定的风土人情，竟然就能谱写出如此丰富多彩的人类文明。这让人不得不由衷地对大自然心生敬畏。 但这还不是受精卵神奇特性的全部，因为细胞在分化的过程中还是 非常稳定 （Robust） 的。只要是一个正常人，就有五官四肢，手指脚趾都有五根，很少会出现例外情况。总之，当受精卵形成以后，一方面没人知道它以后具体会长成生么样 （随机性） ，另一方面我们却大概知道它会长成什么样 （稳定性） 。笔者在《 世界到底是不是确定的？ 》一文中提到了确定和随机之间的关系，这两者在生命科学领域也是普遍共存的。 为什么小小的受精卵会如此神奇呢？我们先来谈谈细胞的分化过程。 细胞分化——大千世界同根生 虽然我们都是从一个细胞发展出来的，但要知道，人体大约是由3.7x10^{12}个细胞构成的！这些细胞种类繁多，功能形态各异——如果所有细胞都和受精卵一样是圆的，那人体立刻就散架了。这样由 同种细胞逐渐产生出各种不同细胞的过程，就是 细胞分化 （Cell differentiation）， 或者细胞的 特化 （Cell specification） 。 同一个干细胞可以分化出结构各异的细胞 我们来看看人体内的不同细胞。例如我们的骨骼肌，长这样： 如果把每个粉红色的条状结构分出来，就得到了骨骼肌细胞： 这些细胞就像钢绳中细纤维一样，因此骨骼肌细胞又称为 肌肉纤维 （Muscle fiber） 。肌肉纤维是高度分化的细胞，它们一旦形成就失去了继续分裂的能力。因此我们在健身时， 肌肉维度的增大实际上是肌肉纤维的变粗 ，而非肌肉纤维数量的增加。 比肌肉纤维更奇葩的是神经细胞 （Nerve cell） ，它们长这样： 这就是神经细胞 由于每个神经细胞都要和无数个其他神经细胞相联系，因此无论是它们的头部还是尾部，都形成了茂密的树突。原本球状的细胞长出了这么多“触手”，自然就舍不得再扔掉了，所以神经细胞一旦形成，同样就很难再继续分裂了 （少数神经细胞也可以分裂，但对神经系统的运作并没太大帮助，索性大家在一般情况下都不分裂） 。关于神经细胞的深入介绍，可以参考笔者的《 读懂你的大脑——漫话神经元 》一文。 其他一些细胞，例如的红细胞和上皮细胞。尽管外观上没有肌肉细胞和神经细胞那么奇葩，但它们同样是高度分化的，丧失了分裂能力。红细胞无法分裂是因为它们没有细胞核 （DNA所在地） ，根本没有搞分裂的心；而上皮细胞无法分裂是因为在形成过程中丧失了大量线粒体 （用来提供细胞活动的能量） ，虽有搞分裂的心，余力却不足。 红细胞用于运输氧气；上皮细胞构成了小肠、皮肤、血管等组织的最外层，起保护作用 事实上，不只是人类和其他动物，所有的植物和真菌细胞也都是由受精卵（孢子）分化而来的。下面是一些常见的植物细胞类型： 高颜值的各种植物细胞 干细胞技术——来自受精卵的启示 既然受精卵具有分化成为其他任何人体细胞和组织，那么能不能把它应用到医疗和生命科学的研究领域呢？这个提议想想就令人兴奋——众多疑难杂症，例如免疫力低下、糖尿病、骨质疏松、各种器官衰竭甚至缺胳膊少腿等等，都有望获得康复！ 但是一来因为极其珍贵，二来由于伦理问题，受精卵并不适合用于研究。不过科学家们可以通过其他具有分化能力的 干细胞 （Stem cell） 来代替受精卵的，培养出人们需要的细胞甚至器官。这项技术，就是从上世纪80年代以后便开始火热的 干细胞技术 。 胚胎干细胞和造血干细胞或许是最出名的两种干细胞了。其实从分化能力 （又叫作细胞潜能，Cell Potent） 看来，这两种干细胞还有区别——顾名思义，胚胎干细胞产自于胚胎，它的分化能力仅次于受精卵，可以分化成为任何人体器官和细胞；造血干细胞 （Hematopoietic stem cell） 只能分化成各种血细胞 （红细胞、白细胞和血小板） ， 尽管 没有 胚胎干细胞那么牛掰，但在免疫治疗领域依然能够大显身手。 由造血干细胞分化而来的三种血液细胞 值得一提的是，白细胞又可以被继续分类，例如淋巴细胞、巨噬细胞、嗜碱性细胞等。白细胞构成了免疫学领域的核心，不同种类的白细胞构成了身体的不同屏障，这就是为什么造血干细胞虽然分化能力有限，却依然受到生物学家们密切关注的原因。 有兴趣深入了解的读者可以参考任何和免疫学相关的著作，例如 。 事实上，干细胞技术的应用可不仅仅用于医疗领域。在农业方面，人造肉 （Cultured Meat） 则是干细胞的另一大应用。科学家在2013年首次通过干细胞技术制作出了货真价实的人造牛肉汉堡： 该人造牛肉汉堡由两万个独立培养的肌肉纤维组成。图片来自https://www.new-harvest.org/mark_post_cultured_beef 值得注意的是，这种“人造肉”和国内市场上的“唐僧肉”、“北京烤鸭”有着本质区别。后者的主要成分和辣条差不多，都是由豆制品做成的素肉 （尽管如此，偶尔想起来依然会口水直流） 。 上面这“零食届三巨头”都是用豆制品做的素肉，本质上算是素斋 由于纯粹由肌肉纤维构成，这种人造牛肉里面天然不含任何脂肪，非常绿色健康。不过一来这种人造牛肉成本比自然牛肉还高出不少，二来考虑到人们的接受力问题，这种人造肉要想真正走入市场还面临着不少实际问题。但无论如何，干细胞技术的应用前景在其中可见一斑，它将在未来一步步走入人们的生活。 细胞分化之谜 了解了细胞分化的神奇之处，以及干细胞的应用前景，不少读者肯定会对干细胞具体的工作机理产生好奇。那么细胞分化到底是怎么实现的呢？ 我们知道，细胞是具有分裂能力的。于是我们可以猜测，细胞分化的由同一个母细胞分裂而来的两个子细胞之间存在一种 不对等性 。久而久之，这种不对等逐渐累加，于是原来的母细胞便分裂成了形状、结构、功能都各不相同的子细胞，细胞分化便因此产生了。尽管如此， 分化过程中的大量细节尚不为人所知，依然是细胞生物学领域的重要课题 。 如果把细胞看作一个车间，那么DNA和RNA是这个 车间 的控制中心 （控制蛋白质合成） ， 酶和功能性基团 （甲基、乙酰、磷酸基团等） 是车间的工作人员，而 细胞骨架 （Cytoskeleton） 才是这个 车间的 机器。细胞的形状、功能和一切运动，都由这三种机制相互协调控制，缺一不可。 或许 不少读者对细胞骨架感到陌生。事实上有丝分裂过程中的“丝”、组成毛发和指甲的角蛋白以及细菌外壳上的鞭毛，本质上都是细胞骨架的一部分。按大小分类，这三个例子分别对应了 细胞微管 （Microtubule） 、 中间纤维 （Intermidiate filament） 和 肌动蛋白纤维 （Actin filament） 三种 直径递减的细胞骨架。 限于篇幅，我们着重讨论细胞的分裂。中学生物告诉我们，有丝分裂过程大概是这样的： 相信不少读者对这个过程并不陌生 其中的“丝”就是细胞微管 （Microtubule） ，它连接上染色体后，把染色体一分为二，并往两个不同方向拉的。这样的丝在动物细胞中是由 中心体 发射出来的，但中心体并非细胞分裂所必须 （神经细胞的分裂不依赖于中心体） 。 不过值得注意的是，上面这张图看起来虽然简洁美观，却省略了大量的具体细节。至少说来，分裂得到的两个子细胞一般不会是完全一样的，这可以从细胞微管的不对称分布看出端倪： 用荧光剂标注后的有丝分裂过程。绿色为细胞微管（Microtubule），蓝色为染色体 那么到底是什么在控制着细胞骨架的运转呢？这就得问问DNA和RNA了。遗传学 （Genetics） 告诉我们，DNA （或RNA） 是生命体遗传信息的载体，它控制着生命体内各种蛋白质的合成。尽管不同人之间的DNA相似度高达 99.9%，正是这0.1%的差异造就了丰富多彩的人类个体。 但不要认为完全相同的DNA片段就能创造出完全一样的生命个体——因为就算在同一个生物体内，基因的表达情况也会全然不同！事实上，正是这些来自同一个DNA片段的不同蛋白质决定了不同细胞的命运。研究 基因表达水平 的学科叫做 表观遗传学 （epigenetics） ，这个年轻学科告诉我们，相同DNA片段是如何编码出不同蛋白质，从而在不同 （外界或自身） 条件下诱使细胞分化的。如今表观遗传学在现代生物学中的地位日益显著，笔者会在以后的文章中继续深入介绍。 完全相同的DNA片段可以编码出全然不同的氨基酸序列 数学观点看细胞分化 从前面的介绍中我们可以看到，细胞分化过程中涉及到大量未知的生物学细节。既然很难把所有细节都一网打尽，那么有没有方法找到这些细节的共同特征呢？我们把目光重新聚焦到受精卵本身。 注意到受精卵几乎是圆的，换句话说，呈现 非常强的对称性 。再来看看它所分化出的其他细胞 完全奇形怪状！用专业术语来讲， 对称性缺失了不少 ，尽管对于不同细胞而言，对称性的缺失程度不同。显然，神经细胞对称性的缺失程度比骨骼肌细胞还要高。 研究对称性的缺失是物理学家们的拿手好戏，例如宇称不守恒 （Parity symmetry breaking，杨振宁和李政道的工作） 、各种凝聚态现象 （可参考朗道的工作） 、湍流的形成 （混沌的好例子） 甚至鸟类的迁徙等等，本质上都是 对称性的某种缺失。正是因为 对称性破缺的普适性，德国物理学家哈肯 （Hermann Haken） 在上世纪八十年代提出了 协同论 （Synergetics） 这个概念来描述这种 普适性。 这个概念很快便发展成为复杂性科学的一个核心概念。 协同论可谓是放之四海而皆准，好像和任何领域都能扯上关系，但在数学家们看来，这个概念太过于模糊。数学家们一般使用 分歧理论 （Bifurcation Theory） 中的 分歧图表 （Bifurcation Diagram） 来描述对称性的破缺现象。在《 混沌理论到底是什么 》一文中，笔者提到过，分歧理论本质上就是研究方程 （或动力系统） 参数变化如何引起解的性质变化 。在这篇文章中，我们考虑了描述天气变化的罗伦兹系统 （一个三维常微分方程组） ，它的分歧图表长这样： 分歧图表能告诉我们方程解的个数和稳定性变化情况 和天气变化一样，细胞分化过程也可以由一系列的微分方程来描述，例如描述化学反应的 反应扩散方程 （可参见《 图灵的生物情结（下）——发展生物学的全新纪元 》） ： 上面的方程又叫Gray-Scott方程，是反应扩散方程的一个例子 方程中a和b表示化学物质 U 和 V 的生成/排出或消失速率。例如 让 a=0.0367, b=0.0649 （随手取的数值） ，并把 U 的浓度通过软件 （笔者用的matlab） 画出来，就可以模拟出细胞分裂的大致过程： 上述过程中，“细胞”中规中矩地一分为二，对称性发生缺失（也就是分歧） 但如果让a=0.55, b=0.62，在初始条件 完全一样 的情况下，得到的模拟情况却大不相同： 参数变一变，细胞拒绝搞分裂。虽然对称性也发生缺失，但缺失的方式和上图不相同 上面的数值模拟启示我们， 对称性的缺失 本质上就是 由于某些参数发生变化而引起的 。在细胞分化过程中，这些参数可以代表 有机分子的浓度、 蛋白质的合成虚度、DNA甲基化程度、环境温度、PH值等众多因素。例如环境温度，无论过高或过低都会使细胞停止分裂，因此过低的温度和过高的温度都不会使对称性发生缺失 （分歧） 。 既然细胞分化的影响因素众多，为什么整个过程会如此 稳定 呢？只要外界环境不太离谱，一个受精卵总是会稳定地分化出五脏六腑、五官四肢、神经系统、免疫系统等看似全然不同的器官和组织！笔者认为，或许这可以用对称性缺失的自发性 （spontaneous） 和非自发性来解释 。简而言之，可以总结成如下分歧图表 （根据实际情况，分歧图表也许会发生变化，但大概工作原理是相仿的） ： 在上图中，控制参数 λ 的大小完全决定了对称性的缺失情况 如上图所示，当参数 λ 小于 λ_0 时，方程解是稳定的 （一般情况下对称性较好） ，因此不会发生对称性缺失 （分歧） ，但当 λ 小于λ_1 后，稳定性的变化逼迫方程的解不自觉地就跳到别的地方去了 （否则解将会不稳定） ，这就是 自发性对称缺失 （Spontaneous symmetry breaking） 的数学描述。上面分歧图表还涉及到大量细节， 限于篇幅，此处就不再深入探讨，有兴趣的读者可以参考马天和汪守宏教授的著作 或 （马和汪两位教授使用“跳跃性分歧”这一术语来描述上的现象，他们还对其他类型的分歧图表做了详细的分类） 。 由此我们不难想像，细胞分化的过程就是不断发生自发性对称缺失的过程，或者不断发生 跳跃性 分歧的过程。但要想知道 对称性缺失的具体过程，还需要大量生物学实验的验证。 结语 在整个自然科学中，生命科学无疑是最为奇妙的。它与我们的日常生活息息相关，而又有能想到生命科学中所有的五彩缤纷万紫千红，都来自一个毫不起眼的细胞？ 从 网络上关于中医、转基因、医疗保健等话题的热烈争论中可以看出，人们对生命科学一直都有着非同寻常的兴趣。 然而由于生命科学涉及到的细节数不胜数，因此和其他热门技术相对而言 （例如区块链、量子信息、机器学习、纯电动车等） ，生命科学领域的许多重大发现多数都不为外行所了解，非专业人士也很难估量这些发现的重要性。 另一方面，受到传统教育的影响，一些人会下意识地认为生物学是一门实验性的学科，从而错误地认为生命科学技术含量较低。事实上随着科技的发展，数据科学、信息科学、 物理学、 数学等学科的研究方法也越来越多地被应用到生命科学领域。在生命科学研究日新月异的情况下，传统的生物学教育方式已经很难满足时代的需求了。 基于以上两点，笔者将带领大家从不同的角度观摩生命科学的海洋——或静水泛舟， 或 四海 遨游， 或长风破浪，或鱼翔浅底；不求惊涛骇浪、锱铢必较，但求客观公正、深入浅出。同时也欢迎读者们提出自己的看法或观点。 参考文献 Lopata, Alex (April 2009). History of the Egg in Embryology. Journal of Mammalian Ova Research. 26 (1): 2–9. doi:10.1274/jmor.26.2. Bruce Alberts, Dennis Bray, Karen Hopkin, Alexander D Johnson, Julian Lewis, Essential Cell Biology , 4th edition, 2013（教材）. C. L. Rieder, A. Khodjakov, Mitosis through the microscope: advances in seeing inside live dividing cells , Science 04 Apr 2003: Vol. 300, Issue 5616, pp. 91-96. DOI: 10.1126/science.1082177. Goldsby RA, Kindt TK, Osborne BA and Kuby J (2007) Kuby Immunology , 6th Edition, W.H. Freeman and Company, New York （教材） . Goryachev AB, Leda M. Many roads to symmetry breaking: molecular mechanisms and theoretical models of yeast cell polarity . Mol Biol Cell. 2017;28:370–380. Tian Ma and Shouhong Wang, Phase Transition Dynamics, Springer, 2014. 马天，汪守宏，《非线性演化方程的稳定性与分歧》，科学出版社，2007. 欢迎大家关注我的公众号“科普最前线”（id:kpzqxyxg），对话前沿科学！每篇文章都由笔者亲自完成或修改，希望和大家一起交流！二维码：

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色诱

热度 22 xqhuang 2018-4-2 11:12

色诱 又是一年郁金香，经不住美色的诱惑，拎起被闲置而略显“锈色”的小钢炮，直奔正在中山植物园举办的第21届欧洲花卉展。 一、美与对称性 从上图的园区一角，能看出园方对展区进行了精心的设计和布置，而我显然辜负了他们的良苦用心，因为我天生对无尽的花海有密集恐惧症，也许是职业病？我更喜欢从物理学角度研究个体花的内在美。 据说全世界有八千多个郁金香品种，而被大量生产的大约有150种，今年中山植物园展出的品种多达60多个、40万球。走马观花后，我有了初步的科研成果：郁金香的花芯具有（3+6型）旋转对称性，中心是3次对称性的1枚雌蕊、外围是6枚雄蕊构成的6边形（如上图所示）。这项“重大科学发现”几分钟后就被证伪了，一系列非（3+6型）旋转对称性的郁金香被陆续发现（如下图所示）。 郁金香花芯不仅有传统晶体学允许的3、4、6次对称性，还有传统晶体学不允许的5、7、8次对称性，而后者是对业已公认的科学理论的颠覆和突破，正是这个突破才有获得诺奖的准晶发现。人类用了几十年时间、投入大量人力物力才产生了那场所谓的科学革命，而自然界早已通过最简单的花花草草把秘密告诉我们，科学发现最难突破的不是技术问题，而是人的思想问题。 二、探索的眼睛 无论是自然美、还是科学美，美的发现需要一双探索的眼睛。不知从何时开始，各类景区都成为中国人秀美的场所，挥舞着自拍杆的国人都自恋地把自己变成风景，我更欣赏那些全心投入自然、用双眼去发现美的人们，他们才是风景中的风景。 三、圈养与散养 市场的鸡蛋分两种：土鸡蛋和洋鸡蛋，土鸡蛋又进一步分为：圈养土鸡蛋和散养土鸡蛋，散养土鸡蛋价格最高，因为它味道最美。郁金花也可以分为两大类，一类是被人类大规模 有序圈养的，另一类是无序散养的，当人们热衷集体围观那些被圈养的郁金香时，我把视线移到那些被遗忘在各个角落的散养郁金香，我发现它们更有灵性、味道更美。 1、大树底下好乘凉 2、最后的舞蹈 3、红白曲直 4、纠缠 5、水中花 6、守护 7、岁月无情 8、争艳 9、一枝独秀 联想到我们的教育和钱学森之问，过度的圈养教育是不是导致我们的学生缺乏创造力、味道不美的根本原因？ 四、色诱（儿童不宜！） 太阳当空照花儿对我笑，就在我的眼睛贴近取景框的时候，看到不该看的一幕！两个小家伙正开花房包间做羞羞事，看那花样百出的高超技巧，我瞬间惊呆了，难道它们也拜苍老 师为师？从教育学的角度，兴趣是最好的老师，从生物学的角度，性趣才是最好的老师？或者说，兴趣和性趣才是无师自通的内在原动力？ 观小花小虫，思人类是不是高估了自己？比如某“父”，号称已发明一种人类自己都永远无法破解的通信加密技术，上帝的加密技术人类都可以破译，某“父”太谦虚了，应该自封“上帝之父”。

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对称的旋转

热度 2 hailanyun0415 2017-7-2 17:12

刚刚看到肖老师谈 对称性的博文里提到了： ，法对称（镜面对称）、斜对称（相片）、反对称（镜子里转身），不知道是不是如下面这张图片所示。 不过我对 动起来的图片更感兴趣，如果镜子和中点在做圆周运动，那么镜像的运动就是平动+转动，而照片的运动在这里就是个平动，每个位置都是原图绕中点转了180°。 这种动画用几何画板很容易实现。 镜像和原物体两者最近的点是个什么曲线呢？画了一下残影，感觉就是些圆弧组成的，有一点立体感，但最外部和最内部的曲线方程应该很难求吧。 左图似乎是个导数处处连续的曲线，右图很明显有几个导数不连续的点。 下面的图是绕红点转了正负90°的动画，两者似乎差不多。 静态的残影图是这些： 再上2张彩 图：

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用Bilbao Crystallographic Server网站判断晶体的红外和拉曼活性

热度 1 XRC0808087 2017-5-9 21:06

红外和拉曼光谱是表征Γ点声子振动和固体结构的一种有效手段，而判断声子模式的对称性是研究红外和拉曼光谱的基础。比如在做拉曼实验之前，首先要根据对称性判断：（ 1 ）要测的材料是否有拉曼活性模？（ 2 ）有多少个拉曼峰？（ 3 ）如果做偏振拉曼实验，不同的偏振方向得到的是什么模式的拉曼散射光？（ 4 ）声子模式对应怎样的原子振动？…… Bilbao Crystallographic Server 网站 ( http://www.cryst.ehu.es/ ) 里的 IR Ramanand Hyper-Raman Modes ( http://www.cryst.ehu.es/rep/sam.htm l ) 模块是一个十分方便且强大的分析红外和拉曼模式的网站。本博客介绍用 IRRaman and Hyper-Raman Modes 分析红外和拉曼模式对称性的方法和步骤。 IR Ramanand Hyper-Raman Modes 网站需要知道晶体的结构。网站有两种输入结构的方法： 1. 空间群序号 +Wyckoff位置的 方法； 2.cif 文件的方法。两种方法给出的结果都十分类似，这里主要介绍第一种方法。 输入晶体空间群序号点击 show ，然后再输入原子的 Wyckoff 位置。 然后你就可以得到以下信息： 1. 点群的特征标表： 如果用方法 2 从本地导入 cif 文件，可以得到Γ点声子按照不可约表示进行的分类： 由特征标表和声子的不可约表示就可以判断红外和拉曼活性的模式和个数。 2. 拉曼张量的对称性 3. 红外和拉曼活性模 表格的含义为每一 个Wyckoff位置参各个模式的振动情况，以及每个模式参与振动的原子。比如2d原子参与了A1g, Eg, A2u,Eu振动，A1g只有2d原子参与 。 4. 不同的偏振配置得到的拉曼峰 在偏振拉曼实验中，并不是所有的拉曼活性模都能够观察到的。入射光和散射光必须满足一定的几何关系时，有活性的拉曼模才可以被探测到。这种入射光和反射光的几何关系，可以从上面的拉曼张量推演出来，也可以点击 Thepolarization selection rules for Raman… 链接了解，如下图所示，其中第一列为实验几何配置的 Porto'snotation 表示。关于 Porto'snotation 可以参考网站所给的链接，或者参考下面的解释： 5. 每个声子模式的原子振动情况 点击 More information 下的 show 。在 Mechanical Representation 部分给出了每一个 Wyckoff 位置参与的声子模式及次数。没有数字代表这个 Wyckoff 位置没有参与这个模式的振动。 点击表格 Modes 里的 show ，会给出每个模式的具体的原子振动的方向： 比如根据上表可知，A1g模式中的2d原子振动是分别向下（-z1）和向上（z2）。根据原子的振动情况，可以总结并绘出类似于下图的振动模式图（自己总结，非网站给出）： 6. 二级红外和拉曼吸收过程需要满足的选择定则 多个声子也可以参与红外吸收和拉曼散射（即多声子红外吸收和拉曼散射，相关物理知识可以参考《晶体振动光谱学》（张光寅等 高等教育出版社）的第十章 ）。点击 “Information about second order processes:” ，就可以知道二级红外吸收和拉曼散射所需要满足的对称性，如下图所示： 注 明： 如果研究的材料 没有 中心反演对称性，那么某些声子模式可能既具有红外活性又具有拉曼活性。在拉曼分析的时候就要十分小心，因为既有红外活性又有拉曼活性的模可能由于 LO-TO 劈裂出现两个峰（劈裂值有时会很大），在分析光谱时要小心区分。 推荐阅读书籍 : 张光寅 , 蓝国祥 , 王玉芳 , 晶格振动光谱学 . 北京 : 高等教育出版社 , 2001. 方容川 , 固体光谱学 . 合肥：中国科学技术大学出版社 , 2001. 徐婉棠 , 喀兴林 , 群论及其在固体物理中的应用 . 北京：高等教育出版社 , 1999. 朱自莹 , 顾仁敖 , 陆天虹 , 拉曼光谱在化学中的应用 . 沈阳：东北大学出版社 , 1998.

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对称性自发破缺与希格斯粒子

热度 3 eddiecheng 2017-1-19 16:24

朋友们出去聚餐时有时候会遇到一点小尴尬：不知道自己座位边上的水杯或餐具是给自己还是旁座用的。但这点麻烦很容易解决，因为我们作为人类有自己做判断、决定的智力和与别人交流的能力。如果没有自主意识的自然界遇到了同样的问题，它是否也能找到解决方法？这个问题听起来匪夷所思，但正是这方面的研究导致了20世纪物理学最辉煌的成就——对称性自发破缺。 其实，早在14世纪，人类便开始思考这个问题。一个以法国哲学家让·布里丹（Jean Buridan）命名的“驴子悖论”设想有一头位于两堆草料之间的驴子。因为草料相对于驴子完全对称，驴子没有任何理由选择是吃左边还是右边的草料，最终只能眼睁睁地看着美味食品饿死。（“布里丹之驴”是作为道德和理性选择的困境提出的，但其根源在于对称性。） 在1950年代前后，物理学家在基本粒子领域里也遇到了同样的难题。但与哲学家不同的是，物理学家不会满足于思辨悖论本身的“奇妙”，而是寻求解决的途径。他们更感兴趣的问题是，假如驴子饿极了“冒昧”吃了左边（或右边）的草料，因此打破了原有的对称性，会发生什么样的情况？而这样的情形是否确实是在自然界发生着？ 这一研究过程非常不顺利，很多物理学家在距离答案咫尺之遥时裹足不前痛失良机，最后的成功则是在走了大量的弯路后才取得的。在那之前，物理学界已经意识到对称性的重要性。一个能够描述自然界的理论必须保证做到“规范”对称，否则会导致发散，也就是得出荒唐的结果。但在规范对称的方程里，传递作用力的粒子质量必须是零，因此以光速传播，造成作用力是长距离的。这对于电磁相互作用天然吻合——该作用由无质量的光子传递。但核子的强、弱相互作用都是非常短距的，传递这些相互作用的粒子必然有质量，才会在短距离（时间）内衰变，不能将作用力传递很远。但几乎一切在规范场方程中引进质量的尝试都因为破坏了对称性而导致结果发散的失败而告终。 设想一张圆形的餐桌，沿着桌边为每个座位摆放了供人就餐的食品。假如座位和餐具摆放得精细，它会有一种非常优美的旋转对称性：我们如果从上而下俯视桌面，把桌子旋转一定角度后，所有座位、餐具均与原来位置重叠，就像没有旋转过一样。这便是旋转对称的一个表现形式。旋转便是这个例子中的“规范”，这张餐桌便具备了一种规范对称性。食客坐下后可以按部就班地享受自己面前的美味，不需要与邻座或他人打交道——相对于质量为零的规范粒子。 接着设想摆桌子的人正好把水杯放在两个座位的中间位置，这样并没有破坏原有的旋转对称性。但坐下来的食客发现自己左右各有一个水杯，却无法决定哪一个是为自己准备的——他们陷入了那头驴子的困境。如果就此不喝水的话显然不是一件很爽的事情。这在物理学的语言里叫做该系统没有处于能量最低的基态，因此具有一定的不稳定性，会自己找到并转换到更合适的基态。 如果餐桌上的食客都与那头驴一样犟，我们无疑会陷入僵局。但如果能有一个渴极了的家伙不顾社交礼仪，伸手去取右边的水杯。这个随机的动作会立刻解决桌上所有人的困境——大家都会随之看出自己右边的水杯是属于自己的，可以伸手取之。（如果那个人是左撇子，拿的是左手边的水杯，其他人也会跟着他取左边的水杯，结果是一样的。）这样，就餐的食客的行为突然与邻座相关了。 其实，这样的对称破缺在现实世界中比比皆是。一个放置在尖顶上的大球有可能平衡在针尖上面，但极其不稳定，总会自己滚下来，虽然该球本身没有依据选择往哪个方向滚。液体中的分子是均匀分布的，也就是具备完全的空间平移和旋转对称性。足够冷却之后，液体会突然凝固成固体，分子只能出现在特定的晶格点上，不再具备当初的对称性。液体与固体之间的这种变化叫做相变，而很多相变都会伴随着类似对称性的永久破缺。这一事实原先没有引起太大注意，因为在经典物理中并不存在理想的对称性。一丝微风的轻拂便能够为尖顶上的大球提供滚落的方向，而液体中的杂质和边界环境主宰了晶体结构形成的方式。微风、杂质、边界等等的存在表明这些系统本身并没有具备完全的对称性，而是早就已经破缺了。 后来，相变的研究进入了量子效应在宏观世界的表现，尤其是固体中的超导（也就是金属在低温时电阻突然消失的）现象。1957年，超导现象由一个被称作BCS理论的模型完全解释。后续的研究发现，BCS理论实际上就是规范场论的一种特殊形式，其中也包含了对称的破缺。更神奇的是，该理论中的对称破缺不依赖于杂质等外在因素的存在，而是系统本身完全自发的作为。这一发现令物理学家豁然开朗：原来我们的自然世界并不是一头蠢驴。 但规范场论的问题并没能因此解决。我们进一步想像一下那个餐桌上的人反应比较迟钝的情形。第一个人拿起水杯的动作首先被他身边的人注意到，他们也随之拿起（现在知道是）属于自己的杯子。这个行动再度影响他们的邻居而持续下去。这样在外人看来大家的动作并不是同时的，而是取水的行为像一个“波”一样从第一个人那里向外传播，直到所有人都拿起水杯。波动在相应的数学语言中代表一个“场”的存在。也就是说，我们发现了一个新的场，也相应地发现应该有一种新的粒子作为这个场的激发子。 如果就餐的人记忆不好，他们还可能一会儿用右边的水杯，一会儿用左边的水杯。只要大家不顾忌由此带来的卫生问题并保持步调一致的话，我们可以看到刚发现的这个粒子不断地出现和消失，却没有改变系统的状态。在物理模型中，不改变系统能量状态的粒子质量为零。这个零质量的新粒子初始是由物理学家南部（Yoichiro Nambu）和杰弗里·古德斯丁（Jeffrey Goldstein）通过数学推导发现的，被称为“古德斯丁玻色子”。古德斯丁还证明了在规范对称的理论中必须存在这样的玻色子。 问题是这样的粒子在我们这个现实世界中并不存在。古德斯丁的发现一度宣判了规范场论的死刑，尽管其理论本身很漂亮。其后几十年中的理论上的诸多突破（其中一些后来获得诺贝尔奖）在发表时都因此未能引起注意。 回到我们的餐桌上。现在设想餐桌很大，人很多。能够自作主张打破对称性取水的可能不止一个人。如果餐桌某处的“第一个人”取了右手的水杯，而另一处却有另一人取了左手的水杯，他们邻近的人分别随他们的选择行事，这样出现的两个波必然会在某些地方相遇，造成有人两边的水杯都被邻座取走没有水喝，而另有人却面对左右两杯水都属于自己的尴尬局面。这显然不爽，也就是我们没有能够到达所要的基态。 要解决这个不愉快的场面，餐桌上的人不能再保持绅士风度默默地取水。他们必须与他人商量，调换水杯。这样，原来的对称便完全被打破了，造成了一个局部的“混乱”。如果就餐的人足够理智，每一次混乱都是暂时的，很快便能平息。但如果他们不能吸取教训，这样的混乱便会此起彼伏，成为一个常规的现象。 乱却也有乱的好处。在数学上，原来井然的秩序对应于规范场论的那个重要特征：其中所有的粒子都是零质量的。被搅乱的情形则相当于这些粒子被迫与所处的环境发生作用，而在这过程中改变了自己的性质：它们的效应变成暂时的、短距的，也就是它们获得了质量。 那么，这个“混乱”本身又是什么呢？想像一下那个从尖顶上轰隆隆地滚下来的大球。如果底部并不是平面，而是一个凹槽，这球不会一下子停留在凹槽的底部，而是在底部附近的槽面上来回振荡。这和餐桌上的冲突使得系统不能实现能量最低的基态是同样的情形。这种在基态附近的振荡便是“混乱”的根源。而振荡本身也是一种波动，说明还存在有一个新的场，是这个场与规范粒子的相互作用而使后者获取了质量。这个场便是现在大家所听说的“希格斯场”，它相应的激发子便是那神秘的“希格斯粒子”。 希格斯粒子与规范粒子作用使其获取质量的同时也破坏了当初古德斯丁发现其定理的前提条件——在存在混乱的餐桌上不可能再有步调一致的取杯子动作，也就是说，那鬼魅一般的古德斯丁粒子其实的确并不存在。 希格斯场是在1960年代中期由多名物理学家几乎同时提出的。希格斯（Peter Higgs）本人并不是首先提出者。该场和粒子后来以他命名其实是一个历史的巧合或误会。但这一机制的提出，既解决了规范场论中粒子零质量的难题，也清除了子虚乌有的古德斯丁粒子，可谓一举两得，为后来的弱电统一理论以及一举统一弱、电磁和强相互作用的所谓“标准模型”奠定了坚实的基础。 “标准模型”的成功当然并不只在于上面描述的模型之自洽和漂亮，而是该理论可以精确预测其中诸多规范粒子的质量。过去几十年来，高能物理试验实际上便是在按图索骥，一个个地发现了所预测的粒子，一次次地证明该理论的正确和准确。就连因为质量最大而最难捕获的希格斯粒子本身也在今年7月被观测到（虽然尚未完全证实）。在这个重大发现之前，许多物理学家曾评论道，找到希格斯粒子并不稀奇，如果找不到才是稀奇。 这一系列实验证明，自然界的确能够自发地作出会导致对称破缺的选择，而这样的选择机制完全能够被智慧的人类所理解。这才是比“悖论”更为奇妙之所在。 也就是这样，在近10个世纪的哲学家盯着一头垂死的蠢驴苦思冥想之际，物理学家已经以不断地新发现将人类对自然的认知推进到新的境界。 （2012年9月17日）

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[转载]pwscf找到全部对称性+测试

plgongcat 2014-9-13 22:19

0.33333!=1/3 but 0.333333=1/3 symmetry operation 转载 ▼ 标签： graphene phonon vc-relax fft 分类： pwscf The day befor yestday, Icomplete my first phonon calculation using PWscf: phonon ofmonolayer graphene. Although I only calculated 2 kpoints in reciprocal space, I find one important trick inPWscf. That is 0.33333!=1/3 but0.333333=1/3 Firstly, I choose Hexagonalprimitive cell. Then I give the atomic position in crystalcoordinate. C 0.000000000 0.000000000 0.000000000 C 0.333330000 -0.333330000 0.000000000 In MS, the software willenforce manually input coordinates to conform the symmetry. But, PWscf does not do it.Therefore, both in cell relax and phonon calculation, PWscf willgive error message: from checkallsym : error# 1 some of the original symmetryoperations not satisfied When I change the input atomicposition to the below data, every thing goes smoothly. C 0.000000000 0.000000000 0.000000000 C 0.333333000 -0.333333000 0.000000000 The whole process can bedivided into four steps: 1.try to relax the crystalstructure and get equilibrium configuration. (using PWgui to open inputfilegraphene.rx.in) 2.try a scf calculation forfurther band calculation. (using PWgui to open input filegraphene.scf.in) 3.try to calculate phonondispersion for arbitary wavevectors. (using PWgui to open input filegraphene.ph.in) 4.use q2r.x in PH dictionary toget interatomic force constant in real space. (./q2r.x graphene.q2r.in graphene.q2r.out) 1.file name: graphene.rx.in CONTROL calculation = 'vc-relax' , restart_mode = 'from_scratch' , outdir = '/root/tmp' , pseudo_dir = '/home/raman/espresso-4.0.4/pseudo' , prefix = 'graphene' , tstress = .true. , tprnfor = .true. , / SYSTEM ibrav = 4, celldm(1) = 4.008737, celldm(3) = 4.536666, nat = 2, ntyp = 1, ecutwfc = 60 , nosym = .false. , nbnd = 8, nelec = 8, tot_charge = 0.000000, occupations = 'smearing' , degauss = 0.05D0 , smearing = 'methfessel-paxton' , / ELECTRONS conv_thr = 1.D-8 , mixing_mode = 'plain' , mixing_beta = 0.3D0 , diagonalization = 'david' , / IONS ion_dynamics = 'bfgs' , pot_extrapolation = 'second_order' , wfc_extrapolation = 'second_order' , / CELL cell_dynamics = 'bfgs' , press_conv_thr = 0.1 , / ATOMIC_SPECIES C 12.01000 C.pz-rrkjus.UPF ATOMIC_POSITIONS crystal C 0.000000000 0.000000000 0.000000000 C 0.333333333 -0.333333330 0.000000000 K_POINTS automatic 11 11 1 0 00 2.file name: graphene.scf.in CONTROL calculation = 'scf' , restart_mode = 'from_scratch' , outdir = '/root/tmp/' , pseudo_dir = '/home/raman/espresso-4.0.4/pseudo/' , prefix = 'graphene' , tstress = .true. , tprnfor = .true. , / SYSTEM ibrav = 4, celldm(1) = 4.608737, celldm(3) = 4.536666, nat = 2, ntyp = 1, ecutwfc = 60.0 , / ELECTRONS conv_thr = 1.0d-8 , mixing_beta = 0.3 , / ATOMIC_SPECIES C 12.01000 C.pz-rrkjus.UPF ATOMIC_POSITIONS crystal C 0.000000000 0.000000000 0.000000000 C 0.333333333 -0.333333333 0.000000000 K_POINTS automatic 11 11 1 0 00 3.file name: graphene.ph.in phonons ofgraphene INPUTPH outdir = '/root/tmp/' , prefix = 'graphene' , fildyn = 'graphene.dyn' , ldisp = .true., nq1 = 2 , nq2 = 2 , nq3 = 1 , epsil = .false., elph = .false., fpol = .false. , recover = .false. , amass(1) = 12.01, tr2_ph = 1.0d-12 , / 4.file name: graphene.q2r.in input fildyn='graphene.dyn',zasr='simple', flfrc='graphene111.fc' / afterthought ``warning: symmetry operation # Nnot allowed''. This is not an error. pw.x determines first the symmetryoperations (rotations) of the Bravais lattice; then checks which ofthese are symmetry operations of the system (including if neededfractional translations). This is done by rotating (and translatingif needed) the atoms in the unit cell and verifying if the rotatedunit cell coincides with the original one. If a symmetry operation contains a fractional translation that isincompatible with the FFT grid, it is discarded in order to preventproblems with symmetrization. Typicalfractional translations are 1/2 or 1/3 of a lattice vector. If theFFT grid dimension along that direction is not divisiblerespectively by 2 or by 3 , the symmetry operation will nottransform the FFT grid intoitself.（在有1/2和1/3分数坐标时，fft的grid要选择是2或者三的倍数，否则会出现对称性判断错误） Ref： http://www.pwscf.org/guide/2.1.2/html-node/node56.html pw.x doesn't find all thesymmetries you expected. See above to learnhow PWscf finds symmetry operations. Some of them might be missingbecause: the number ofsignificant figures in the atomic positions is not large enough. Infile PW/eqvect.f90, the variable accep is used todecide whether a rotation is a symmetry operation. Its current value (10 -5 ) is quite strict: arotated atom must coincide with another atom to 5 significantdigits. You may change the value of accep andrecompile. they are notacceptable symmetry operations of the Bravais lattice. This is thecase for C 60 , for instance: the I h icosahedral group ofC 60 contains 5-fold rotations that areincompatible with translation symmetry. the system isrotated with respect to symmetry axis. For instance: aC 60 molecule in the fcc lattice will have24 symmetry operations ( T h group)only if the double bond is aligned along oneof the crystal axis; if C 60 is rotated insome arbitrary way, pw.x may not find any symmetry, apartfrom inversion. they contain afractional translation that is incompatible with the FFT grid (seeprevious paragraph). Note that if you changecutoff or unit cell volume, the automatically computed FFT gridchanges, and this may explain changes in symmetry (and in thenumber of k-points as a consequence) for no apparent goodreason (only if you have fractional translations in the system,though). a fractional translation, without rotation, is a symmetryoperation of the system. This means that the cell is actually asupercell. In this case, all symmetry operations containingfractional translations are disabled. The reason is that inthis rather exotic case there is no simple way to select thosesymmetry operations forming a true group, in the mathematical senseof the term. （如果含有只有部分平移而不含旋转的对称操作，则可判定，这是个超原胞） Ref： http://www.pwscf.org/guide/2.1.2/html-node/node57.html 补记： CONTROL calculation = 'scf' , restart_mode = 'from_scratch' , outdir = './' , pseudo_dir = '/home/raman/espresso-4.0.4/pseudo/' , tstress = .true. , tprnfor = .true. , / SYSTEM ibrav = 4, celldm(1) = 4.590642253, celldm(3) = 4.554490003, nat = 2, ntyp = 1, ecutwfc = 70.D0 , nbnd = 8, nelec = 8, nr1 = 30 , nr2 = 30 , nr3 = 120 , / ELECTRONS conv_thr = 1.D-8 , mixing_beta = 0.7D0 , diago_full_acc = .false. , / ATOMIC_SPECIES C 12.00000 C.pz-vbc.UPF ATOMIC_POSITIONS crystal C 0.000000000 0.000000000 0.000000000 C 0.333333333 -0.333333333 0.000000000 K_POINTS automatic 23 23 1 0 00 如果让系统自动计算fft的数目：nr1,nr2，scf.out文件中会出现警告： warning: symmetry operation # 2 notallowed. fractionaltranslation: -0.3333333 0.3333333 0.0000000 in crystalcoordinates。 所以需要将nr1,nr2设置为3的倍数。但并不是所有的3的倍数都可以运行，很快会出现： fromset_fft_dim : error # 1；input nr1 value notallowed。 所以必须进行试验。(2010-05-04) 转载： http://blog.sina.com.cn/s/blog_5f15ead20100cbbt.html 我的测试：单层石墨烯 1. 坐标 C 0.000000 0.000000 0.5 C 0.333333 0.333333 0.5 2. system中设置FFT grid： nr1=30，nr2=30， nr3=120 input如下： CONTROL calculation = 'vc-relax' restart_mode = 'from_scratch', outdir = './tmp', pseudo_dir = '/home/plgong/pseudo', prefix = 'graphene' , tstress = .true., tprnfor = .true., / SYSTEM ibrav = 4, a = 2.46, c = 10 nat = 2, ntyp = 1, ecutwfc = 60, ecutrho = 480 occupations = 'smearing', degauss = 0.01, smearing = 'methfessel-paxton' nr1=60, nr2=60, nr3=120 / ELECTRONS conv_thr = 1.D-8, mixing_mode = 'plain' mixing_beta = 0.3D0 , diagonalization = 'david', / IONS ion_dynamics = 'bfgs', pot_extrapolation = 'second_order', wfc_extrapolation = 'second_order', / CELL cell_dynamics = 'bfgs', press_conv_thr = 0.1, / ATOMIC_SPECIES C 12.01000 C.pz-rrkjus.UPF ATOMIC_POSITIONS crystal C 0.000000000 0.000000000 0.5000000000 C 0.333333333 -0.333333330 0.500000000 K_POINTS automatic 12 12 1 1 1 1 结果： 24 Sym.Ops. (with inversion) 对比MS：Oprators 24 (note that:nr1，nr2，nr3大小是3的倍数，需要尝试几个数值，有时系统报错不运行！)

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[转载]用基向量从随机设置小波包变换树上捕捉DFT负频率的幽灵

SciteJushi 2014-3-27 15:53

原载 http://blog.sina.com.cn/s/blog_729a92140101oxbx.html 在Matlab-R2011a中，用 =wavefun('bior2.2',10); subplot(2,1,1); plot(x,w); axis tight; subplot(2,1,2); plot(x,w1); axis tight; 看到国际标准 JPEG2000的小波的“连续时间函数”，像感觉到分形曲线的味道。至于得到的bior3.1、bior3.3、bior3.5的函数波形，如果是居士自己搞的，那么很可能自认为它们是错误的。不过，尖叫“Matlab牛”后，居士还是偏爱“基向量”，并以为，本短文对简化、理清文献中的连续时间小波包基函数、其自然排序、其频率排序等问题的长期缠绕，有重要意义。 无先验知识以明确被分析数据与尺度函数的关系，用Tpwp的“小波包基向量”，无需工具箱生成函数（Building Wavelet Packets, Wavelet Packet Atoms）,即可方便地确定小波包变换树上任意位置的频率中心(功率或能量谱中心，区别正频率、负频率和直流)。 常用三个索引指标，尺度、频率、位置，标示一个小波包。但是，频率指标值越大，不同于1兆赫兹大于1千赫兹这样的事情，也不必意味着相应的小包中的高频能量（功率）就更大、或在低频时更小。实际上，尺度指标，常与水平（level）、深度（depth）混用，也并不直接就是小波函数概念中的“尺度值”。频率指标是，把“基本 小波和尺度函数 (或序列) ”以适当方式“运算、组合”而 形成某个“波的包裹” 的过程的一种编码。在离散变换中，可以简明地看到“高通、低通”滤波器的组合过程，但是注意，“下抽样”使频谱搬移了、使高低频率的位置转换了！ 普通离散小波分解中，第一级分解后，得到的“细节系数序列”中的“直流部分”，对应原信号中的“高频成分”。 在某个尺度上，如果它的节点数（频率指标的个数）不超过被处理序列的长度N的一半，那么简单用功率谱的中心、波形过零率等物理直观真实的正频率概念，区别小波包，是自然的。 然而，在最大的尺度上，节点数（频率指标的个数）等于N，那么这些普通的“频率分辨观念”就可能显得不方便。例如，实数序列的离散傅里叶变换DFT中正频率部分（0，fs/2）中,只有N/2-1点，难道，小波包分解能分辨出约N个“正”频率点吗？ 这时，小波包基向量，存在配对关系：幅度谱相同，则其定义的频率中心就相同，然而，相谱不同、有不相等的频率索引指标。这类似于DFT中的正负频率、共轭对称、幅相谱等的状况和问题。单个节点内，不再存在，可以用于分辨相位的“位置指标”。 如果遵从那些小波工具箱的处理，用滤波器和信号序列的长度，来限制分解深度，那么就遇不到这种状况。 在《随机设置小波包变换及其优选基的随机降秩矩阵》（2014-03-19）的基础上，居士做试验程序PwpRandNegf.sce，附于本文末。运行 clear ; LessLevel = 0 ; rand ( 'seed' , 1e9 ) ; exec ( 'PwpRandNegf.sce' ) ; 可得图片 1。 假设信号序列长度，随机地取为16、32、64、128，相应的最大分解深度分别为4、5、6、7。在最大分解尺度上，频率分辨率达到极限。抽出最大尺度上的所有小波包基向量，做两两比较，检验它们的FFT幅度谱的关系。 两基向量，其规范化幅度谱之间的误差，RMSE，er0，小于千之一，则视为是配对的。对于正交变换，附带地确认：两基向量为等腰三角形的直角边，即不可能是因为两向量本身相同所以幅度谱才相同，如若不然，程序报告错误。 从数据序列长度的二分之一中，减去(倒记数)相配的对数，得图片1.中的第一幅曲线图。结果始终为1，与滤波器、小波包变换的随机设置、序列长度都无关。 余下一对（故结果恒为1）：涉及直流成分，和高频向量。980次实验的直流基向量偏离理想值的误差(RMSE)的累加总和，TestDC = 0.000038，很小。高频向量，被归入某对的计数结果，TestHF = 0。 配对向量的幅度谱之间的实际误差er0的总和，示于图片1.中的第二幅曲线图。“总和”用的数值的数目，与序列长度有关，但结果仍都很小。 在一个稳定的变换中，尺度参数、频率参数都相同而只是位置参数不同的小波包基向量，它们也具有相同的幅度谱，但与图片1.反应的情形不同。例如，没有直流基向量；配对向量，经历的数字运算过程更相近，所以它们的幅度谱之间的数字误差更小。 运行 clear ; LessLevel = 1 ; rand ( 'seed' , 1e9 ) ; exec ( 'PwpRandNegf.sce' ) ; 可得图片 2，反应“次最大”尺度上的基向量的情况。无单纯的直流基向量，所以TestDC = 125.14948,很大；TestHF = 980，即，等于随机实验次数，所以高频向量也总是成对的。 由于，必须覆盖相同的物理正频率带，所以， LessLevel =0 时的向量对，与 LessLevel =1 时的向量对，不可能有实质上不同的正频率带宽度，然而频率中心须错位。这种错位，改变了正、负频率中心的距离，提供了一种频率信息“分辨能力”。在 LessLevel =0 时，配对向量，可来自前面的尺度上的不同频率指标块。为此转换问题，居士杜撰“负频率幽灵”一词，供有兴趣者参考。 程序的Matlab版的处理，约更快1倍。 附程序: PwpRandNegf-2014-03-27.zip // PwpRandNegf.sce // for the concept: wavelet packet basis vector // test the random settings of wavelet packet vectors // and the ghost/compare of negative frequency of DFT basis // in order to run with fixed seed, use one of following lines: // clear; LessLevel=0; rand('seed',1e9); exec('PwpRandNegf.sce'); // clear; LessLevel=1; rand('seed',1e9); exec('PwpRandNegf.sce'); // in order to run with variable seed, use one of following lines: // clear; LessLevel=0; exec('PwpRandNegf.sce'); // clear; LessLevel=1; exec('PwpRandNegf.sce'); // note: TpwpSubs.bin, TpwpSubs_E01.bin, MatOrtWlts.bin are // in Scilab current directory // reference: PwpRandPsbm.sce, uploaded, 2014-03-19 // in Scilab-5.3.3,Baiyu Tang( tang.baiyu@gmail.com ) // last revised,2014-Mar xdel(winsid()); // kill all figures mode(0); ieee(1); // clear; // LessLevel=0; // rand('seed',1e9); // ---start timing date1=getdate(); date1=date1( ); disp( ); tic(); load('TpwpSubs.bin'); // load function subroutines load('TpwpSubs_E01.bin'); // extended set of subroutines for PreSet Basis load('MatOrtWlts.bin'); // load the filter cases TestDC=0; // DC vector error, all, total TestHF=0; // count high frequency vectors in pairs TestCount=zeros(98,10); // count matrix TestError=zeros(98,10); // error matrix // ---compute for ii=1:98; // filter case index. 98 filter cases for jj=1:10; // random test index. 10 tests per filter-case // ---random length and decomposition depth of test signal Wp.DecL=4+round(3*rand(1,1,'uniform'));// maximal level, 4,5,6 or 7 Wp.DatL=2^Wp.DecL; // data length, 16,32,64 or 128 Wp.DecL=Wp.DecL-LessLevel; // less-level decomposition CIndx0= *(Wp.DecL+1); // coefficient index, Last-Level // ---random settings Set0=rand(1,9,'normal')*1e6; Wp.RightShift=Set0(1); Wp.ExchangeR_D=Set0(2); Wp.FlipFirst=Set0(3); Wp.MatchFilter=Set0(4); Wp.LowT_zero=fix(Set0(5)); // integer Wp.HighT_shift=fix(Set0(6)); // integer Wp.FlipTime=Set0(7); Wp.PeriodFirst=Set0(8); Wp.AlterL4fSign=Set0(9); // ---get filters if Wp.ExchangeR_D0 then =WltFilters(ii); else =WltFilters(ii); end if length(hcoef(:))2 then if length(rhcoef(:))1 then hcoef=rhcoef; rhcoef= =TpwpAllGH(hcoef,rhcoef,Wp.DatL,Wp.DecL,... Wp.MatchFilter,Wp.PeriodFirst,Wp.LowT_zero,Wp.HighT_shift,Wp.FlipTime); if Wp.AlterL4fSign0 then // forced sign. usually not used hlen=max(round(length(hcoef)/2),round(length(rhcoef)/2))/2; if fix(hlen)==hlen then pgcoef=-pgcoef; // rpgcoef=-rpgcoef; end end =PsbMatrix(CIndx0,Wp.DecL,Wp.DatL,phcoef,pgcoef,Wp.RightShift); // ---match, compare x1=tM0(1,:)-1/sqrt(Wp.DatL); // DC error, realization and idea TestDC=TestDC+sqrt(mean(x1.*x1)); // DC RMSE accumulation TestCount(ii,jj)=Wp.DatL/2; // half the length of vectors and signals tM0f=zeros(Wp.DatL,Wp.DatL); for k1=1:Wp.DatL; x0=fft(tM0(k1,:)); // fast Fourier Transform, DFT x1=abs(x0); // magnitude spectrum tM0f(k1,:)=x1/sqrt(sum(x1.*x1)); // normalized with power end for k1=1:(Wp.DatL-1); // check the pairs of base vectors k12=0; // count vectors in one group for k2=(k1+1):Wp.DatL; x1=tM0f(k1,:)-tM0f(k2,:); er0=sqrt(mean(x1.*x1)); // magnitude RMSE if er00.001 then // equal if ii81 then // orthogonal cases x1=tM0(k1,:)-tM0(k2,:); er1=sqrt(sum(x1.*x1)); // vector error, l_2 norm if er11.4 then // confirm difference, two disp( ); error('Strange Vector Pair.'); end end if (k1==(Wp.DatL/2+1))|(k2==(Wp.DatL/2+1)) then TestHF=TestHF+1; // count, high frequency end k12=k12+1; TestCount(ii,jj)=TestCount(ii,jj)-1; // count, pairs TestError(ii,jj)=TestError(ii,jj)+er0; // RMSE accumulation,total end end if k121 then disp( ); error('The group has too many vectors for PwpRandNegf.sce .'); end end end end // ---display TestDC, TestHF, subplot(2,1,1); plot2d('nn',TestCount, rect= ); set(gca(),'tight_limits','on'); set(gca(),'box','on'); set(gca(),'grid', ); xlabel('Filters: sym1-sym35,coif1-coif5,dmey,db4-db42,18 biorthogonal cases'); ylabel('Length by 2 minus Magnitude-Match Count'); AuLabel1= ; xstring(1,-4+%eps,AuLabel1); Note1= ; if LessLevel0 then title('PwpRandNegf.sce: One Level Less than Maximal Decomposition'); xstring(1,2,Note1( )); else title('PwpRandNegf.sce: Tpwp Transform Trees Hold Negative Frequency of DFT ?'); xstring(1,1.5,Note1( )); end subplot(2,1,2); plot2d('nl', TestError+%eps, rect= ); set(gca(),'tight_limits','on'); set(gca(),'box','on'); set(gca(),'grid', ); xlabel('Filters: sym1-sym35,coif1-coif5,dmey,db4-db42,18 biorthogonal cases'); ylabel('Error of Magnitude of Matched Pairs'); xstring(1,2e-16,AuLabel1); if LessLevel0 then title('PwpRandNegf.sce: One Level Less than Maximal Decomposition'); xstring(1,1e-5,Note1( )); else title('PwpRandNegf.sce: Tpwp Transform Trees Hold Negative Frequency of DFT ?'); xstring(1,1e-5,Note1( )); end // ---timing Time_In_second=toc(), // --clear; LessLevel=0; rand('seed',1e9); exec('PwpRandNegf.sce'); // !Date and Time: 2014 3 25 8 41 23 ...... ! // TestDC = // 0.0000380 // TestHF = // 0. // Time_In_second = // 209.516 // --clear; LessLevel=1; rand('seed',1e9); exec('PwpRandNegf.sce'); // !Date and Time: 2014 3 25 8 46 55 ...... ! // TestDC = // 125.14948 // TestHF = // 980. // Time_In_second = // 194.25 // ***** The Version in Matlab ***** // clear; LessLevel=0; rng(1e9); PwpRandNegf; // Date and Time: 2014 3 25 8 57 ...... // TestDC = // 4.6382e-005 // TestHF = // 0 // Time_In_second = // 84.647 // clear; LessLevel=1; rng(1e9); PwpRandNegf; // Date and Time: 2014 3 25 8 59 ...... // TestDC = // 124.64 // TestHF = // 980 // Time_In_second = // 81.178 新浪赛特居士SciteJushi-2014-03-27。 图片 1。用小波包基向量从变换树上捕捉DFT中负频率的影子 图片 2。用同样的处理检验在次最大尺度上小波包基向量

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一维光晶格中的SU(N)研究

yanbohang 2014-3-4 11:09

一维光晶格中的 SU （ N ） 研究 由于碱土金属原子的冷却成功，目前一个比较热门的研究课题是碱土金属原子 SU （ N ）性质研究。具体说来，由于 Sr ， Yb 等碱土原子碰撞性质和核自旋无关。想象如果原子处于某一个自旋态，它是费米子，需要符合 Pauli 不相容原理。但是如果我们有不同自旋的混合其他，他们的性质一致，但是没有 Pauli 不相容原理的限制。这样他们的性质就表现出不同特点。 最近 naturephysics （ http://www.nature.com/doifinder/10.1038/nphys2878 ）上就有这样一篇文章，研究 Yb 不同自旋态混合气体在一维光晶格中的性质《 Aone-dimensional liquid of Fermions with tunable spin 》。如下图，不同自旋混合其他制备在一维光晶格中。然后研究他们的性质。 第一个方面的性质是动量分布。如下图，当只有一个自旋态时，动量分布是由 Fermi 气体性质决定的。当增加自旋态，他们发现整个动量分布增宽。具体的计算很复杂，文中提供了一个定性的理解图像。如果两种自旋相互作用是无穷大，你可以看成和 Pauli 不相容原子类似，这样原子就会不能占据同一个动量态，必需占据其他动量态。当然他们之间的相互作用不是无穷大，但是还是会导致动量分布增宽。 文中另一个非常有趣的结果是 Breathingmode 的结果。量子简并其他 BEC 和 DFG 的 Breathing mode 是不同的。但是实验结果表面，当你增加自旋的种类，混合其他的 Breathing mode 结果越来越从单纯 Fermi 气体其他向 Bose 气体转变。这是一个自然的结果，想象如果每一个原子是一种不同的自旋，而碰撞性质也类似，它应该和 Bose 气体一致。不过实验结果还是很出乎意料，当有 6 种自旋时，气体的性质已经和 Bose 子性质非常一致了。

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[变换光学之3]对称性分析

Photon11 2013-8-30 15:49

1. 离散对称性 我们知道 空间反射P 时间反演T - - - - - - - - - - 那么磁电耦合参数 的对称性应该为 , 2. 规范对称性和最小耦合原理 电磁场是U(1)规范场，场在U(1)变换下是不变的: 令 , 则场 是不变的，因此场不能唯一的由势决定，必须规定规范条件。 当然，从量子力学中我们知道Schordinger方程中电磁相互作用对应于波函数会有一个相位因子： 。 采用四维记号，则有 而场强不变 按照传统观点，在Riemann-Cartan几何中简单的把偏导数换成协变微分导致的新理论不具备局域的U(1)规范对称性。因此，Horsley和Sabbata从各自己角度运用了非minimal coupling principle解决了这一问题，也就是仍然采用 ，而没有用 。当然，巴西人A. Saa在一系列文章里提出如果torsion的迹是一个标量函数的梯度 ，同时不变体积元变为 则最小耦合原理仍然成立。文章在93年的一个J. Geometry Phys.上，或 http://arxiv.org/pdf/hep-th/9308087v2.pdf http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0505146.pdf 这个思路本身也很有意思，因为在变换光学中引入拓扑缺陷的时候体积元会如何改变，另外对系统的动力学如何影响，本身绝对是一个有价值的问题 ！ 先不考虑不变体积元的问题，那么在我们的方程中如何体现规范不变性？

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[经典电动力学之5]电磁场中的离散对称性

Photon11 2013-8-28 10:53

电动力学定律一旦写成方程组的形式，那么就需要考虑这些方程在各种变换下的变换性质？协变or no 除了常见的平移以及旋转对称性以外，还有一些离散变换，也就是 1. Charge 如果变换 那么 也就是有 2. Parity 变换 代入到Maxwell方程中，可见 从空间反演的角度看，矢量可以分成2类。一种是真正的矢量，或者叫极矢量，在空间反射下变号，如 以及电场E. 还有一种轴矢量，在空间反射下不变号 如 , 以及 还有一个重要的事情，一个极矢量和轴矢量的标量积是赝标量。 3. Time reversal 时间反演为 显然 因此有 4. PT对称光学系统 所谓的PT对称光学是由美国UCF的D. N. Christodoulides从量子力学中借鉴过来的概念，近5年以来相关的文章已发表了很多，且影响因子很高。 在量子力学中，体系的动力学行为由Hamiltonian和边界条件共同决定。量子力学告诉我们每个可观测量都对应一个厄米算符。最近的研究表明，厄米性并非是实本征值的必要条件。Bender首先发现如果Hamiltonian是PT对称的，则即使是非厄米算符也具有实能谱。同时，PT对称性的自发破缺对应于一个相变。所谓的P满足 , ；T算符是 , , 。那么对 ， , 因此，PT对称系统指 因此，这意味着势能的实部是空间的对称函数，虚部是看空间的反对称函数，而虚部在光学材料中指的是损耗和增益。

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对称与方程：3阶幻方(九宫)的唯一性

热度 1 primeacademy 2013-7-29 18:56

不同幻方个数的计算与有限群有自然的联系，3阶幻方(九宫)的唯一性即是一个很好的例子。 ​

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fdtd模拟中的对称边界条件的使用

isping 2013-4-23 08:56

在使用fdtd时域模拟时需要注意以下步骤： 一、偶极子点源的位置。要激励起所有可能的模式，尽量不要放在高对称点，否则有些模式(在该点场为零结点的模)不能被激励起 。 二、对称和反对称性。注意电场的对称性和磁场的对称性之间相差一负号。 三、。。。

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能量守恒的条件及对其的一些误解Ⅰ

热度 4 chenfap 2012-12-26 10:21

能量守恒的条件及对其的一些误解 Ⅰ --- 物理学关于时空与物质 之 概念 及 规律 中的一些疑难与争论（ 6 ） 在某些条件下，一个物理体系的能量守恒和动量守恒；更确切地说，应当是， 在某些条件下，一个物理体系的能动张量守恒，能量和动量都是能动张量的分量。 在某些条件下，一个物理体系的能动张量守恒(请注意，本博有意强调‘在某些条 件下’)，或者说，在某些条件下，一个物理体系的能量守恒和动量守恒，是物理 学中，涉及各分科从而带有普遍性的基本规律。这个基本规律是有条件的，可是， 一些初学者，甚至还有物理学家，往往忽视能动张量守恒的条件， 1917~1918 年 Levi-Civita等学者同爱因斯坦关于能动张量守恒定律的一场 大 争论 就反映了这 个问题，本博对这场争论曾作过介绍。 写作本文的目的是让初学者深刻领会 一个物理体系的能动张量守恒是有条件的。 为使初学者易于理解，本文只讨论牛顿力学中的能量守恒。以后我们还要讨论比广 义相对论更复杂的引力体系---有挠引力体系的能动张量守恒定律及其条件。 在物理学的理论中，越是最基本的理论，往往越难于正确理解。牛顿力学中的 能量守恒理论虽然是基本的理论，要完全理解它也不是很容易的事情，不小心往往 要产生误解，甚至出错误。本博在本次博文中，将详细论证 时 间 平移不变性 将导 致 能量守恒 定律；下次博文将指出 牛顿力学中能量守恒的条件，及讨论一些容易误 解和出错误的问题。为了更好地理解牛顿力学中能量守恒的条件，希望读者仔细阅 读本次博文的论证。 (一)、 时 空 平移不变性 导致 能量守恒 的论证

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风摆残荷的蠼螋

ecoliugy 2012-8-24 17:04

蠼螋，又称夹夹虫、夹子虫。（Jonathan Wright摄） 过去，人们一般以为自然界里对称的东西看起来更顺心一些，如左右相似的阿猫阿狗，圆盘状的向日葵，辐射状的海星等，都各自遵守着一个自然定理 ----- 对称。形状对称的物体看起来更美。从生物学的角度讲，对称的生物适合度也更高，即便是人类也属于左右相似的两侧对称动物。日常生活中，脸蛋的对称的姑娘也更受小伙子青睐些。反过来，人们把生活中走路一高一低不对称的人，戏称为跛子。可见对称式极为重要的生存法则之一。由于跛子一条腿长一条腿短，走路看起来极不协调，如风摆残荷，招来旁人的冷眼。 形态万千的自然界看似复杂且不可理解，却又遵守着极为简单的规律，如对称。无论多么奇特的生物，科学家都能将其归入对称的二元法则里去，即两侧对称和辐射对称两种。在慢慢的进化历史长河中，生命从辐射对称缓缓走来，逐步演化出相对先进的两侧对称。动物中，诸如海葵、海星等“低等”动物大多为辐射对称，而青蛙、人等两栖类、哺乳类则为两侧对称；植物中，进化上较为原始的木兰科、毛茛科、菊科的花多为辐射对称，而较为进化的唇形花科、兰科则为两侧对称。简单阐述其原因，无非是两侧对称具有独特的生存优势。两侧对称的动物行动更敏捷，以捕获猎物或逃避捕食；两侧对称的花朵更适应性昆虫的传粉，增加后代数量等等。 然而自然界中也不乏不逆反规律的生物，如比目鱼。它既不是两侧对称，又不是辐射对称。比目鱼由于生活在海底，两只眼睛慢慢转移到了身体的同一侧，极为不对称。另外有一些生物则是存在于两侧对称中的微妙不对称，如夹夹虫的夹子。夹夹虫初看起来身体成两侧对称，但若近看就会发现，尾部的夹子一大一小，并非左右对称。 所谓夹夹虫，原名 蠼螋 （音 q ú s ǒ u ），西南老百姓管它叫它夹夹虫，东北则称之为夹子虫，还有些地方叫剪刀虫，因为尾部剪刀状的夹子会夹人而得名。夹夹虫一般生活在石头或树皮之下，杂食，中国多数省份都有分布。雄性一般比雌性大，夹子也更厉害些。最为有趣的是，每只 蠼螋 均有两根阴茎，小 JJ 比 蠼螋 的身体还长，但易于折断。因独特的生殖系统， 蠼螋 备受生物学家青睐，试图从它身上能解开更多的自然之谜。 蠼螋，又称夹夹虫、夹子虫， 喜夜行于石头下、枯木中，多喜与人生活，中国大多数省份均可看见，误传可钻入人耳。实际上，蠼螋对人无害，人们不必怕它。反因其有两个阴茎，独特的繁殖系统备受生物学家青睐。 美国旧金山州立大学的安德鲁便是喜欢 蠼螋 的生物学家之一。他在实验室饲养了很多 蠼螋 ，发现 蠼螋 的夹子有大有小，有一些夹子左右并不一般大小。为此，安德鲁决心研究一下夹子为什么不一般大的问题。他们收集了 90 对雄性 蠼螋 ，两只在一起，让它们打架。结果表明个头大的雄性打架更厉害，往往能够战胜个头小的，而同等大小的 蠼螋 中，夹子不一般大的虫子往往获得胜利。也就是说，尾夹不对称的 蠼螋 在战斗中更有优势，不对称的夹子可能会增加 蠼螋 的繁殖优势。 安德鲁的结果也不能完全解释为什么 蠼螋 的夹子会出现不对称现象，或不对称的尾夹给 蠼螋 带来什么优势的问题。特别是针对那些个体小的 蠼螋 ，具有不对称夹子的个体在对抗上，获胜的几率更高。而对于个体大的 蠼螋 ，具不对称的夹子的个体在战斗中似乎并没有什么优势。可惜的是，安德鲁未能发现夹子的不对称性与两个对称阴茎之间的关系。 虽然蠼螋拥有两根对称的小 JJ ，均可用于交配，但往往偏好于使用右边的 JJ 。其中可能的原因之一是身体生理结构的细微差异所致。那么， 两个阴茎 和尾夹间是否存在关联呢，二者的对称关系如何？乃或，为什么要 蠼螋 会有两个 阴茎 呢？现在我们不得而知。风摆残荷的蠼螋依然是个未解之谜。探究背后的形态对称性、性进化和行为关系，必然会让我们再次为自然的神秘感到惊讶。蠼螋那风摆残荷般的故事，也必然成为生物学史上的经典，我们拭目以待。 参考资料： Ethology. doi: 10.1111/j.1439-0310.2012.02086.x ； 果壳： 那话儿的选择 （译自 nature 444, 689-692 (2006) ）

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Patterns in Nature ——关注对称性

lishuangshuang 2012-3-19 23:42

关注对称性，看到陈彦光、刘继生《中心地体系与水系分形结构的相似性分析——关于人-地对称关系的一个理论探讨》文章，有这么一段话： 60年代后期,一批自称“形态爱好者”(Philomorph)的学者汇集于哈佛(Harvard),致力于自然系统与人文系统的形态类比分析,研究成果最后由Stevens辑编成《自然图式》一书,其中不少成果是分形乃至地理分形研究的前奏。 搜到以下图片，分享一下。 以上图片来自：National Geographic 相关连接： http://photography.nationalgeographic.com/photography/photos/patterns-snow-ice/#/sectored-snowflake_9429_600x450.jpg

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自然地理学中存在对称性规律吗？

lishuangshuang 2012-3-18 22:26

随着科学的发展，地理系统的对称性和对称破缺均有新的发现，特别是城市地理系统的空间对称、等级对称和标度对称等一系列发现，使得地理学逐步开始重新审视地理对称研究。 自然地理学中存在对称性体系化、理论化、集成研究 是否可以从地理六要素探讨自然地理学的对称性？ ①气候过程中的对称性 三圈环流，极地窝…… ②水文过程中的对称性 洋流、水循环……流域系统、河流形状（羽毛状、树枝状） ③地貌过程中的对称性 这个海岸地貌的分形似乎已经研究相对深入，此外黄土地名的分析也有研究 ④地质过程中的对称性 三大岩石经过内外应力作用（变质作用、沉积作用、岩浆作用）周期性循环（时间对称性），褶皱的翼空间分布…… ⑤植物过程中的对称性（综合地理的两面镜子之一） 植被带空间分布…… ⑥土壤过程中的对称性（综合地理的两面镜子之一） 土壤的形成过程……

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《物理学中的对称性》孙宗扬

ustcpress 2012-3-12 15:34

出版日期：2009年4月 出版社：中国科学技术大学出版社 正文页码：240页（16开） 字数：270千 定价：28.00元 编辑邮箱： edit@ustc.edu.cn （欢迎来索要目录、样章的PDF） 当当网购书链接： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=20570062 中国科学技术大学出版社官方淘宝网店： http://shop109383220.taobao.com/ （店铺名称：中科大出版社） 【 内容简介 】 本书 以普通物理为背景，详细阐述了对称性是如何引进到物理学中的，使读者清楚地了解到物理学中的对称性和通常的形状对称性之间的紧密联系以及各自的特点。本书为普通的直观上的对称性到现代的理论物理中的对称性之间建立了有效的沟通渠道，帮助希望了解物理学和对称性的读者找到入门的途径，扫除某些思考上的障碍，以普通物理为基点，来审视对称性问题。本书适用于物理学专业的师生以及对物理学感兴趣的其他各专业师生，并可供相关专业的科研人员参考。 【 作者简介 】 孙宗扬， 中国科学技术大学天文与应用物理系教授。 【 目录 】 前言 引论 1. 几何对称性 2. 中国古代的对称观念 3. 物理学中的对称性 4. 对称性和数学上的准备 5. 群论与物理学中的对称性 习题 第1章 地上和天上的力——重力和引力 1.1 重力 1.1.1 重力加速度 1.1.2 运动轨迹上的粒子速度和加速度 1.1.3 运动轨道是平面轨道时的性质 1.2 月亮的运动 1.2.1 月亮绕地球的公转周期Tm 1.2.2 匀速圆周运动的向心加速度 1.2.3 胡克的引力反平方规律 1.2.4 月球运动和苹果落地运动的同一性 1.3 太阳系中行星运动规律 1.3.1 太阳与地球的质量比 1.3.2 万有引力常量G的测定 1.3.3 点源万有引力作用下的守恒定律 1.3.4 简化的行星轨道运动方程 1.4 开普勒定律 1.4.1 轨道运动方程求解 1.4.2 开普勒第三定律 1.4.3 注记 1.5 力学运动的对称性和守恒定律 1.5.1 质点在有位力场中运动 1.5.2 力学系统平移与能量一动量守恒 1.5.3 对称性观念的重要结果 1.5.4 动量矩守恒 1.5.5 讨论 习题 第2章 熵的性质和粒子的不可区分性——宏观与微观 2.1 温度 2.1.1 系统 2.1.2 热平衡态 2.1.3 热力学第零定律 2.1.4 温度的性质和量化 2.1.5 温度计原则、温度函数和温度计实例 2.2 热量 2.2.1 热量的概念 2.2.2 焦耳实验 2.2.3 理想气体绝热过程 2.2.4 焦耳-汤姆逊效应 2.2.5 卡诺循环中的热量 2.3 热力学第二定律 2.3.1 状态函数 2.3.2 开尔文（Kelvin）形式的热力学第二定律及其推论 2.3.3 理想气体系统中的熵 2.4 分子动理论 2.4.1 在重力场中的气体密度分布 2.4.2 几率密度 2.4.3 麦克斯韦速率分布率的导出 2.5 熵的统计表达式和粒子系统的状态分布规律 2.5.1 熵表达式中的微观参数 2.5.2 熵的统计解释 2.6 粒子状态的玻色分布 2.6.1 吉布斯佯谬 2.6.2 如何解决佯谬 2.6.3 玻色-爱因斯坦统计 2.6.4 玻色分布和对称性 习题 第3章 从牛顿时空观念过渡到狭义相对论时空观念——空间和时间的对称性 3.1 将时间与空间生成四维时-空 3.1.1 光速中心说 3.1.2 迈克尔逊－莫雷实验 3.1.3 四维时空 3.2 洛伦兹变换 3.2.1 不变量 3.2.2 伽利略变换及其推广 3.2.3 洛伦兹变换及其推论 3.3 洛伦兹变换的特点和处理方式 3.3.1 原时 3.3.2 空间旋转的SO（3）群 3.3.3 时空“旋转”的SO（3，1）群（洛伦兹群） 3.4 洛伦兹变换下的对称性的探讨 3.4.1 动量与力的变换规律 3.4.2 能量作为四矢量的第零分量 3.4.3 纵向质量和横向质量 3.4.4 碰撞问题 3.5 平面波中各参量的变换规律 3.5.1 角频率w与圆波矢k 3.5.2 什么是同时性事件 3.5.3 在不同惯性系下角频率w的变换规律 3.6 光子的能量 3.6.1 光子的速度 3.6.2 E=hy 3.6.3 光电效应 习题 第4章 电、磁现象在形式上的类似——静电和静磁现象的对称性质 4.1 电荷 4.1.1 摩擦起电 4.1.2 电的本性及测量 4.1.3 最小电量单位e 4.2 库仑定律 4.2.1 静止电荷之间的相互作用力 4.2.2 点电荷间的作用力 4.2.3 电场强度E 4.2.4 微分高斯定理 4.2.5 静止电荷所产生的电场及电势 4.2.6 电偶板子的电场强度及电势 4.3 电位移矢量D 4.3.1 电位移矢量D的概念 4.3.2 边界条件 4.3.3 真空中电位移矢量D，它是物理量 4.3.4 D（电位移矢量）在一般情况下并不是物理量 4.3.5 D不是物理量的一个实例 4.4 磁荷的库仑定律 4.4.1 磁荷的库仑定律形式 4.4.2 磁场 4.4.3 磁感应强度矢量（磁通密度）B 4.4.4 边界条件 4.5 磁偶极子场强 4.5.1 对磁荷系统 4.5.2 展开关系 4.5.3 磁偶极子及其成场关系 4.5.4 对磁荷（qm，－qm）的实际替代者 4.6 用电流圈替代磁偶极子所导出的推论 4.6.1 力矩 4.6.2 磁偶极子pm在磁场中所受到的力矩 4.6.3 电流线圈IS在均匀磁场H中所受到的力矩M 习题 第5章 电学和磁学的内在对称性 5.1 磁场H的性质 5.1.1 磁场H的环路定理 5.1.2 短粗柱形壳电流在轴线上的磁场强度 5.1.3 一般情况下的磁场环路定理 5.2 无穷长直导线所产生的磁场 5.2.1 在计算直线电流所产生的磁场时场源用磁偶极子替代 5.2.2 两根导线之间的作用力 5.2.3 电流的单位 5.3 在介质中的磁场 5.3.1 磁介质 5.3.2 用代替法研究磁介质 5.3.3 边界条件 5.3.4 关于物理场和辅助场的进一步探讨 5.3.5 静电学中的电场强度E和电位移矢量D的问题 5.4 毕奥-萨伐尔定律的导出 5.4.1 电流元，Idl在其延长线方向的磁场 5.4.2 弯折电流的上半段与下半段的关系 5.4.3 弯折电流在其角平分线反向延长线上一点A的磁场 5.4.4 毕奥-萨伐尔定律 5.4.5 附录 5.5 电磁波问题 5.5.1 电磁基本定律的微分形式 5.5.2 无源电磁场 5.5.3 电磁波的传播 5.6 光线在运动介质中的传播速度 5.6.1 在以电荷、电流为场源电磁场系统的性质 5.6.2 在以磁荷、磁流为场源的电磁场系统的性质 5.6.3 慢速运动介质的电磁性能方程 5.6.4 光在低速运动介质中的传播速率（费涅尔公式） 5.7 电磁学中国际单位制和实用单位制之间的转换 5.7.1 库仑定律 5.7.2 电场强度E和电位移D 5.7.3 磁学量及一般电磁学公式的转换关系 5.7.4 结论 习题 后记 1. 为什么关注万有引力 2. 物理学与处理工具，一个在常规对称性之外的问题 3. 坚持对称性还是坚持状态的计数规则 4. 狭义相对论和电磁现象 5. 现代物理中探索对称性的主要工具——群论 6. 从门捷列夫的周期表到盖尔曼的强子分类 7. 物理学和对称性

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[转载]创腾关于CASTEP吸附时对称性问题的解答

zhxbaig 2011-10-9 15:05

原文链接： http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=3596580fpage=0view=highlight=page=1 以下为创腾公司解答的关于我提问的Find Symmetry问题。欢迎大家交流啊！！！ 黑色为创腾科技的回答， 蓝色为别人的补充回答 。 我看到在建立CO在Pd表面的吸附模型时，帮助里说由于CO的加入改变了Pd的构型，所以需要Find Symmetry。” 我想你得仔细看看帮助文件，find symmetry的原因并不是如你所说“由于CO的加入改变了Pd的构型”，而是为了简化计算。 “但我在模拟这个时发现Pd表面在Find Symmetry后构型由P1变为了PMM2，与添加CO后Pd表面Find Symmetry构型相同。好像CO的添加没有改变Pd的晶体结构。” 首先我得说，练习中，在添加了CO以后，并没有立即做Geometry optimization，所以Pd确实没有因为吸附CO而改变表面结 构。另一方面，对称性不变，并不意味着结构不变。 “而且我在做CO在TiO2表面吸附时使用了Find Symmetry功能，得到了与文献相符的优化结构。但我在做H2O的吸附时不使用Find Symmetry得到了与文献相同的构型。所以我迷惑Find Symmetry我的功能 ” 你是否得到一个合理的吸附构象与find symmetry是否使用并没有必然的联系。通常情况下，对称性是结构中由于原子的特定堆积而形成的，MS中的find symmetry功能只是找到结构所具备的对称性，并不是随意的加入对称性。利用find symmetry只是为了在计算之前明确当前模型满足的对称性，以使得在接下来的计算中能够简化计算过程，缩短计算时间，你知道，特别是量子力学的计算，对称性的引入会极大的减小计算量。 “我想请问您Find Symmetry在研究吸附时起什么作用，应不应该用，还是不同构型不同对待，有的使用有的不使用 ？” Find Symmetry只是用于简化计算，只在研究满足特定吸附形态的吸附问题时会用到，譬如help文档中的这个例子，但是在大多数的吸附研究中，我们不会以初始态所满足的对称性约束整个结构优化过程，这往往不利于我们找到最稳定吸附形态。 （意思应该是不知道体系最后构型的情况下，就不用应用对称性，这会妨碍寻找到真正的稳定结构；find symmetry的作用只是降低计算量。）

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逐个评论大卫•格罗斯对“物理学的未来”所提25个问题(9)

可变系时空多线矢主人 2011-5-14 10:05

逐个评论 大卫·格罗斯对“物理学的未来”所提 25 个问题 (9) 8 ． 超对称 ( 接 (8)) 依我看来，粒子物理学的基本问题，无论对于理论家还是实验家，都是超对称的问题。超对称是空间和时间的相对论性对称的一个非凡的新扩展。如果它是真的，那么空间－时间还具有额外的量子维度。超对称理论表述在超空间中，超空间具有额外的费米子维度，这些维度用反对易数来度量。超对称理论在量子维度到普通空间－时间维度的旋转下是对称的，这就会导致这样的预言，即迄今所知的每个粒子都存在一个对应的超对称伙伴。支持超对称一个非常强的线索，来自于强、弱和电磁理论向极高能量的外推。现有的观察，对这些力作了极高精度的测量。基于现有的观察和我们手中的那些极其成功的和精确的理论工具，我们可以将标准模型的这些力外推到非常高的能量区域。借助于这些工具，我们发现，当能量达到引力作用变得明显的尺度时，所有的力都统一起来。但是只有在我们假定理论是超对称的，并且超对称在 TeV 尺度以下自发破缺时，这种统一才会实现。幸运的是，这一能级正是新的大型强子对撞机（ Large Hadron Collider ）准备探测的能级，两年内大型强子对撞机将在 CERN 运行。建造这台加速器的主要动机之一和粒子理论家最近十年的主要工作之一就是探索超对称存在的可能性。如果我们发现超对称，那么现在的新物理学在接下来的几十年内将有许多工作要做——设法理解超对称是如何破缺的，并测量超粒子的质量谱。有趣的问题是：如果我们测量超对称粒子的质量谱和 耦合 常数，那么我们能否利用这些信息对大统一尺度上，甚或在弦的尺度上的物理学有更直接的理解吗？ 评论： 各类不同维数的时空可变系多线矢，按变分法都可导出相应的对称性守恒量和守恒律，只要存在该对称性，各相应的守恒量就必然是守恒的。 但是，通常量子场论中常会出现对称性守恒量的不守恒，即所谓对称性破缺、和所谓“发散困难”弱 相互 作用下，宇称不守恒，等等，而对其实质原因和解决途径的根据也都尚不明确 通常的量子场论 ( 包括 QED 、 QCD 等 ) 等理论，对常会出现对称性守恒量的不守恒，即所谓对称性破缺、或解释为所谓对称性的自发破缺，等等，还需作所谓“质量重整化”，解决普遍存在的所谓“发散困难”（高次微扰近似出现无穷大）。造成这种“理论上的不确定和不完善”的实质原因何在？！应如何有充分根据地根本解决？！ 其实，各类不同维数的时空可变系多线矢的各类对称性守恒量，是都有各自不同的特点。把高次、线多线矢物理量由引入的参量处理为多个 4 维的 1- 线矢物理量，仅局限在 n=4 的对称性，按 4 维的 1- 线矢物理量分析守恒量，就必然会出现：“ 弱相互作用下， 宇称不守恒”，“对称性守恒量的不守恒”，即：所谓“破缺对称”，或误认为是“对称性的自发破缺”，和相应的“发散困难”等问题。 例如弱力，就是由具有不同维数的几种不同矢量组成的。若仅计及其 3 维空间的 3 维，或 4 维时空的 4 维，而忽视其 22,1- 线矢的 12 维，和 (22,22)2,1- 线矢的 24 维，等等的不同特点，把实际是更高维矢量的问题误认为 3 维或 4 维，就当然会出现相应守恒量的不守恒。而按通常量子场论，却是把它们当作多个 4 维的“拟粒子”来分析的，因而，就会出现诸如：“ 弱相互作用下， 宇称不守恒”等“对称不守恒”的问题。 这可能正是出现各种不守恒的具体实质原因。可考虑在相应的实验中，全面、完整计入各类各维的力多线矢的相应各量，重新检验各相应守恒量的守恒。 ( 未完待续 )

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总算又整了一篇超导的论文被接受了

热度 4 wliming 2011-3-28 13:32

这篇多少有点价值，应该算本人多年来所做的唯一有价值的科研工作，但是，此前被拒了一次。超导界全是牛人，你不服不行。 这是一篇关于超导能隙对称性的系统性论文，全面论证了能隙对称性来自于晶体对称性，是以群论为基础的超导能隙理论。尽管论文本身的理论框架极其优美，但是，不得不删掉一些精华而画蛇添足加点油盐酱醋，以迎合评审人的胃口才过了关。 这篇澄清了很多人对能隙对称性的糊涂认识，包括这里的曹天德啊，值得一读。 参考： 论文预印本

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牛顿的“力”从何而来

热度 1 taoyingyong 2010-12-23 15:26

从接触物理学的第一天开始，牛顿所创立的经典力学就是我们的第一课。耳熟能详，人们都知道牛顿的三大运动定理。 但是人们在运用了牛顿的力学定理之后，却往往没有再进一步问：什么是力？力从何而来？ 也许有人会说：这不是物理学的问题，它已经超出了物理学能解释的范畴。物理学只是发现事物之间的规律并利用规律而已，对规律背后的机制不做考虑。 连牛顿在面临解释引力的起源时也说道：任何一个有哲学头脑的人都不会沉浸于此，它只会陷入逻辑困境无法自拔，这已经超出了人类的能力。 当然，那时牛顿的这段话隐射的是他唯一的对手莱布尼兹。 但在 300年之后的今天，人们在面对这个问题时，是不是真的还如此不济呢？我想我可以比较肯定的回答当然不是。 一般来说，力只是一个宏观的概念，而我们在牛顿经典力学中，接触到的很多力（机械力、弹性力）其实只是微观世界中电磁相互作用的宏观反应，再一类就是牛顿的万有引力。 从这些论述可以看到，说力从何而来其实还不太准确，因为宏观世界的力其实只是微观世界的相互作用的宏观反应。所以更确切的说应该是 相互作用从何而来？ 既然这样，那就可以回答了。 答案是 因为对称性的存在。 换句话就是说 相互作用的出现只是为了保证物理法则在局域坐标变换下具有不变性。至于为什么自然会要求物理法则具有这种不变性，那是可以从哲学上进行解释的。 比如上、下、左、右四个方位，如果在空无一物的宇宙中，我们显然分不出这四个方位，因为它们对于我们来说并没有任何区别。但是如果宇宙中出现了一个物体，那么我们显然就可以以这个物体作为参考物，比如以这个物体的特征（像物体表面的尖角、圆角等）来分别出上、下、左、右这四个方位。比如，我们可以令物体表面的尖角的方向为上，相反的方向为下等等。 而这时，宇宙为了还原空无一物时的宇宙状态，即分不清方位的状态（也就是对称状态），就产生了相互作用（宇宙自我强迫还原的趋势）。 因此我们可以这样来理解，相互作用源于 还原的对称性。 比如，广义协变性与规范不变性就是这个意思的衍生。

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能隙对称性是一种点群对称性

wliming 2010-12-5 09:29

去年王云平提出了标题所说的这个观点，天德还有我等人和云平做了很长的讨论。天德反对这个观点，我是支持的，还发过一个博文支持。 现在，我告诉大家，这个观点早已经是超导界的共识。之所以说共识是因为我为此做的一篇理论文章被退回，评审专家意见就是这样说的。我查到2000年有篇文章，REV MOD PHYS, 由THSUI 和另一个人的确是早已经严格地论证了这个观点，比如 等对称性等完全可由点群D_4h 推导出来。所以，这事怪我们孤陋寡闻没有跟上学术的进步，还自以为聪明。 可见，天德错了，向涛写的书《D波超导》错了，还有相当一些教材以讹传讹也错了。

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生命中奇妙的对称美

xpzhan 2010-9-17 10:51

对称性在自然界中的存在是一个普遍的现象。99％的现代动物是左右对称祖先的后代；连海葵这种非左右对称动物的后代，也存在对称性；对称性甚至在左右对称和非左右对称动物分化之前就已存在。在植物界，我们有多少次惊异于那些具有完美对称性蕨类、铁树的叶子和娇艳的花朵？生命里如果没有对称性会是什么样子呢？如果动物长三条腿，其古怪的形象会多么令人畏惧？如果人不是左右对称，只有一只眼睛、一只耳朵和半个脸世界就不再美好了。 人具有独一无二的对称美，所以人们又往往以是否符合对称性去审视大自然，并且创造了许许多多的具有对称性美的艺术品：服饰、雕塑和建筑物。 生命从最原始的单细胞动物向多细胞后生动物演化，最早拥有了以对称性为特征的复杂性。对称性对于人，不仅仅是外在的美，也是健康和生存的需要。如果只有一只眼睛，人的视野不仅变小、对与目标的距离判断不精确，而且对物体立体形状的认知会发生扭曲。如果一只耳朵失聪，对于声源的定位就会不准确：因为当人对声源定位时，大脑需要声音对于听者的方位仰角信息，也需要到达左右耳间的时间和强度差线索。对于野外生存的动物，失去声源定位的能力，意味着生命随时会受到威胁。另外，左右手脚需要默契的配合。对于花朵，如果花冠的发育失去对称性，雄蕊就会失去受粉能力，不能传种接代，物种将绝灭。 在科学研究中，对称性给科学家们提供了无限想象的空间，也是揭示新发现和否定错误观念的手段。生命科学家不止探讨认识生命活动的本质，而且也探讨存在于生命中的美、为什么这么美？ 人大脑的两个半球，从它们的沟回和细胞排列层次看，非常相似，具有完美的对称性；这种对称性之于两手、两脚的对称性无异，似乎功能应是一样的。美国科学家斯佩里（Roger W. Sperry）从1960年代初开始，对癫间病人实施胼胝体切断手术，把大脑一分为二，发现它们能独立工作，功能并不一样。这一成果开创了心理学和脑功能定位研究的新纪元，他因此于1981年荣膺诺贝尔医学奖。随着PET和功能核磁共振技术的发展，人类对大脑功能的分化定位的认识有了长足的进步；从功能上看，左右大脑是完全不对称的。但是在低级中枢，间脑、脑干、小脑和脊髓，在功能和形态上都表现完美的对称性。 虽然对称性左右对称或圆形对称的起源至今仍是一个迷，一种合理的猜测是：对称性与重力是密不可分的，可能源于生命在重力场中的进化历程；而地球是一个相对规则的球体，重力场是均匀的。中圆柱形辐射对称的树枝可以抵抗重力，同时向空中发展接受阳光和用于光合作用的二氧化碳；四足动物的完美对称性可以使动物对抗重力，又善奔跑。 循着对称性的思路去探究不对称性的问题，我们可以找到许多非常有意义的生命科学课题。为什么雌果蝇能通过翅膀的摩擦产生声音吸引雄果蝇交配，而雄果蝇刚好在第二个触角有分化的听器官接受声刺激；反之，雌果蝇没有听器官，而雄果蝇不会发声音？再如，既然神经元的兴奋特性取决于突触后膜受体通道的特性和神经突触前膜所释放的递质特性，为什么在形态上，神经系统中兴奋性的突触是非对称的，而抑制性突触是对称性的？事实上，对称性也存在于分子结构上；有手性对称分子，旋转对称分子。按照这样的思路，或许有一天我们会从中得到启示改造蛋白质，进而设计、发明新的药物。 同样，循着对称性的思路，可以去探讨不对称性的艺术。毕加索也许是探讨不对称性中最幸运的艺术家。 科学，有时是运气，有灵感的闪现，有幸遇上中意的合作伙伴、得心应手的课题，撞上了那个发现的时机；有时是艺术，你在精雕细刻之中得到了应有的回报；有时是理性使然，你对于文献和自己已有的知识、技能有纯熟的驾驭；有时是枯燥乏味的重复，在重复中静静等待那激动一刻的到来。我们在科学生活中可以体念到大自然造化所赐予的、无所不在的对称美，为平常而有时枯燥的日常工作增添了无穷的乐趣！ 延伸阅读： Finnerty JR, et al: Science. 2004 May 28; 304(5675):1335-7. Hileman LC,et al. Proc Natl Acad Sci U S A. 2003 Oct 28;100(22):12814-9 In praise of plants By Francis Hall Timber Press, 2002 原载于博客中国： http://www.blogchina.com/2004081640726.html

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库伯对到底有多大？

wliming 2010-9-3 16:26

有一些著名的教材，比如李正中《固体理论》166页，根据测不准原理推出，BCS库伯对的尺寸大约有1微米，是晶格常数的10000倍。这个论断是极其错误的。 在我看来， 库伯对的大小实际上最多只有几个原子的尺寸。 有人（比如镜子）可能说，库伯对发生在动量空间，没有大小。这种说法也是不对的。我引用一本书对库伯对的描述如下： 这是牛津某出版社 出版的Room-temperature superconductivity 中的一段。

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我终于搞明白了超导能隙对称性的根源

wliming 2010-6-16 11:26

当前对超导能隙对称性的解释通常都是从费米子波函数反对称的角度来进行的，得到了S波，D波，G波这样的结论，见向涛《D波超导体》。然而，即使是D波，也分为D_{x^2-y^2} 和 D_{xy} 不同的形式，S波也有S和S^+的区别。我曾经写过一个文章来分析这些对称性，逻辑上不太清晰。现在，我找到了一个基于点群对称性的系统性方法，推导出了全部的对称性。它们并不是费米子波函数反对称的结果。 查找文献发现，我这个认识也不是什么新结果，90年代早有人写过一篇综述性文章，我这个认识跟那文章完全一样。虽然如此，我还是很高兴，凭自己的能力琢磨出了一个新知识。

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关于对称性自发破缺和GOLDSTONE定理的小结

wliming 2010-6-3 16:10

按：由于本人记性差，有关本论题的知识常常是一边看书一边忘记，过不了几天就忘的差不多，所以，在这里记录下来以便查阅。 1. 对称性自发破缺的意思是，哈密顿量本身具有某种对称性，但是，它的解可能退化而不具备这种对称性。比如磁铁的铁磁性，虽然海森堡模型本身是空间旋转对称的，但是，磁铁中的分子磁矩在某一个确定的空间方向上极化，从而破坏空间旋转对称性。 2。GOLDSTONE 定理：整体的连续对称性发生自发破缺导致零质量粒子的出现。声子是整体的空间连续性被晶体的晶格平移对称破坏产生的零质量粒子。对于晶体而言，无质量粒子对应无能隙激发。 3. 一维实数域的对称性自发破缺可以用单个序参量的朗道二级相变理论来描述。该模型包含序参量的平方项和四次项，模型本身关于序参量是对称的。这个模型中的自由能有两个最小值点，对应着两个序参量。由于这个对称性不是连续对称性，当模型的解取其中一个最小值点，对称性退化，但不产生零质量粒子。 4。定域的连续对称性下GOLDSTONE 定理失效。定域规范对称性的自发破缺正好让粒子产生质量，而不产生零质量粒子，这就是HIGGS机制。 5。整体连续对称性和定域规范对称性的破缺在超导体中有完美的表现。序参量对整体相位的选择使基态发生了整体连续对称性的破缺，导致无能隙的激发（GOLDSTONE 定理的要求）。然而，当序参量的相位的定域规范不变性发生破缺，结果是无能西激发转化为规范场获得质量，引起迈斯纳效应。 6。KT相变不改变任何对称性，是对称破缺理论的一个反例！（有待准确把握） 7。分数量子霍尔效应则彻底地推翻了对称破缺的理论基础！（有待准确把握）

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(转)宇宙是一条没有尾巴的蛇

xwang0822 2009-11-25 18:57

霍金60岁生日（2002年）前夕，Giddings在他的贺寿文章里开了一个玩笑，说老霍在2008年的生日那天，会收到一封来自CERN的信，大概说 霍金教授 我们请您留意将在明天的记者会上发布的一个消息。最近，由于 LHC 的启动，ATLAS和CMS发现了大量事件都满足TeV尺度的黑洞产物，尤其符合您关于黑洞辐射预言向高维的外推 霍老师自己也说过，如果LHC发现了小黑洞，他准能获得诺贝尔奖。可惜LHC不争气，去年刚开工就病了（ http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=248464 ），而且一病就是14个月。前几天，它重新开工了，但新发现可能还要等些日子。 （ http://www.nature.com/news/2009/091123/full/news.2009.1104.html ） 从小的说，LHC要找新粒子，往大处说，它要决定我们的宇宙是什么样子的。根据眼下的理论，我们的宇宙是一条自己咬着尾巴的蛇。 小时候看过系列漫画《丁丁历险记》，作者忘了，故事也忘了（书名却没忘，看来我适合做书店掌柜），只记得一个情景：一条蛇吞下一样令它惊讶的东西，原来是它自己的尾巴。 后来追查，知道了漫画作者是比利时的埃尔热（Herg，原名Georges Remi）。戴高乐说，生活的坎坷能跟他比的，只有一个人，那就是埃尔热笔下的丁丁（Tin Tin）。 我一直奇怪为什么只记得那幅画，也许因为它太特别，越想越有意思？或者，也许每个人都和我一样，看了它就不会忘记？ 后来读艾略特（T. S. Eliot）的《四个四重奏》：我们叫开始的通常是结束，做一次了结就是做一次开始。终点是我们开始的地方。又想起那个图。而且特别记得，图上有一个问号。问什么呢？ 再后来，我听说古希腊神话里早就有那样一个怪物，咬自己尾巴的蛇，叫Uroboros。 最后，在宇宙学里，我终于发现了它更大的隐喻时空的起点和终点咬在一起了。本家（远了）格拉肖（S. Lee Glashaw）也早就借那条蛇来描述宇宙图景：它的头是爱因斯坦的大宇宙，尾巴是普朗克尺度的小宇宙，大宇宙在吞吃小宇宙。与格老同获诺贝尔奖的萨拉姆（A. Salam）也曾借Uroboros来说超弦理论。（格老原先怀疑弦，而从弦理论看黑洞的观点，令他感到惊奇。）弦把大小宇宙联在一起，同时也把时间和空间从弦的背景里抹去了让弦在没有舞台的地方弹出大千世界，舞台本身也是靠弦弹出来的，这一点技艺，帕格尼尼也会睁大双眼吧？一根根的弦仿佛是空间和时间的碎片，只有当它们经过恰当的共振，才可能出现传统的空间和时间的概念。这可能是眼下弦论给哲学带来的最大惊奇。 宇宙的Uroboros和一般的圆圈不同在一般的圆上，每个点既是起点也是终点，地位是平等的。而在宇宙圈上，不同的点有不同的等级有不同的特征尺度，发生不同的物理过程。例如，直接决定我们生存状态的是引力和电磁力。从我们出发沿着圈儿反时针走，尺度越来越大，引力效应越来越显著，四点以前，即星系尺度以上，就全然是引力导演的。因为这个，广义相对论才要在天上找证据。 如果沿着圈儿顺时针走，尺度越来越小，引力的角色会慢慢淡出（当然还存在），在亚原子的世界，强弱相互作用导演着微观世界的游戏。基本粒子的标准模型就建立在这个尺度。尺度更小时（大约10点以后），可能会出现暗物质（Dark Matter），然后，在大约10^(-30)厘米（抱歉，我不知道怎么写幂指数），即1000个普朗克尺度附近，四种相互作统一将融合成一个（即大统一，GUT）。再小下去，就是理论所考虑的最小尺度，普朗克尺度，它是G, c, h这三个物理学常数根据量纲确定的量，也可以理解为小宇宙的物质波长小于它的视界，即最小的因果尺度。这个尺度的世界就是量子泡沫。而在更小的尺度R，根据超弦理论的对偶性，物理图景相当于在1/R的尺度，这时候，大与小分不清了，蛇的尾巴消融在了它的大嘴巴里。 从宇宙演化的历史看，它不是一条蛇自己卷起来咬住了尾巴，而是嘴巴一开始就含着尾巴，然后才生出整个身体。没有尾巴的蛇可以想象，没有蛇的尾巴，是什么样子呢？我又想起Alice的那个没有猫的笑了。 30年前圆满的基本粒子物理学大约走到了9点。20年前，费米实验室的Tevatron、斯坦福的SLC和CERN的LEP发现了弱作用的粒子（W和Z玻色子）接近100GeV。LEP似乎还意味着希格斯玻色子比标准模型预言的要重一些。拆了LEP，把隧道让给LHC， LHC的能量在TeV尺度，刚够得着敲响九点的钟声，有望看到10^(-16)米以下的小人国的游戏，找到Higgs玻色子。 另一方面，上面说过，不同尺度等级森严，弱电作用的尺度（费米尺度）大约是10^(3)GeV （即TeV），与普朗克尺度10^(19)GeV悬殊16个数量级。这个等级问题，过去借助Technicolor（人工色，我不喜欢这个译名，曾勉强说拟色）或超对称性的破缺来解释。10年前，有人提出一个新的观点（N. Arkani-Hammed, S. Dimopoulos和G. Dvali，简称ADD模型）：我们在四维时空看到的引力之所以那么弱（即引力常数G太小），是因为它散布在额外空间被稀释了。（基本粒子被困在四维，不能随便溜达到额外空间去。）如果从高维看，它的尺度也应该和费米尺度一样。当额外维数等于2时，额外空间的半径恰好在1毫米左右。毫米尺度的引力，以前没有在实验室探测过，而LHC有可能看到它。眼下很多人在做TeV尺度的引力（TeVG）的研究，而且很看好它的前景。开头说的那位给老霍写未来信的加州大学Giddings，曾在10个理论物理学家中做过一个有趣的民意测试，结果是：假如明白了TeV尺度的物理学，那么，下面4个理论成功的几率分别是：TeVG：0 ~ 25%；SUSY（超对称）：25% ~ 100%；SM（标准模型）：0 ~ 30%；其他：5% ~ 65%。弦理论先驱Edward Witten也指望TeV水平的超对称的发现，能给弦理论带来新的推动。 现在回到宇宙圈，看看我们自己如果把那圈儿看成时钟，我们生活在6点左右，而且和爱丽丝的三月兔一样，老停在6点。看来，我们生来就是为了吃晚饭喽！（典故见 http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=248863 ） 我们恰好在这个钟点儿，不是因为和时间吵了架，而是因为物理法则偏爱生命。我们的存在与物理学的基本法则是相容的。举个简单例子：我们可以根据普通的物理法则和自然常数算出我们的环境恰好具有300K左右的温度，地球上最高的山峰大概只能像珠穆朗玛峰那么高，像我们这样的生命就应该这么大太大了会把自己压趴下（这一点伽利略就知道了），太小了就不会那么复杂，就不能思维，不能提自己回答不了的问题，当然也就不能写博客来讨论这些不能了。这就是所谓人存原理（原来叫人择原理，好像现在规范为人存了）的一种说法。说来说去，人类岂不还是宇宙的中心吗？当然，如果觉得人不能那么高傲自大，我们可以改说蚂蚁，蝴蝶，或者任何基本粒子。问题是，宇宙不是为了人而存在，人的存在也许只是这个宇宙的偶然事件，是我们的幸运。这样说来，人类还算中心吗？假如你碰巧买了张中奖的彩票，你好意思说彩票是为你发行的吗？

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哥德巴赫猜想证明的新思维之一：《Pn 阶准素数模型》

lanyu582135 2009-11-2 19:40

哥德巴赫猜想证明的新思维之一：《Pn 阶准素数模型》 1 ．基本概念和定义 传统筛法中，将大于 1 的自然数分为素数和合数两类，在 上，设小于 x 平方根的素数有 n 个，它们从小到大依次是： P 1 、 P 2 P i P n ，那么，在 上，等于 m P i (i=1 、 2 、 3n ； m=2 、 3 、 4) 的整数都是合数，筛掉这些合数数 , 剩余的整数中，除了 1 之外的都是素数。 这种筛除方法仅仅因为 m 从 2 开始才 取 连续整数 ， 就破坏了 P i 筛点的等间距属性，从而就破坏了筛除点和剩余点在数轴上分布的周期性，堵塞了根据筛点和剩余点周期性分布等特性，研究整数域属性的渠道。 若将上述 m 的取值从 0 开始取连续整数，定义整数轴上等于 m P i (i=1 、 2 、 3n ； m=0 、 1 、 2 、 3 、 4) 的整数为 P n 阶准 合数 ，而包括 1 在内的剩余整数为 P n 阶准素数 。我们就得到了一个在整个数轴上周期性、对称性分布的 P n 阶准素数模型 。 如此以来，每个 P i 的整倍数点（亦称为 P i 的筛点）都是从 0 起始的等间距分布点， n 个 P i 筛点的公共重叠筛点，就是 P n 阶准素数分布周期的周期端点。因此 P n 阶准素数的周期长度是： （ 1 ） 由于筛除前的整数点和 n 个 P i 筛点都是关于周期端点和中点对称分布的，所以筛除后剩余下来的 P n 阶准素数 点、 关于 周期端点、中点 也是 对称性分布的。 在整个数轴上， P n 阶准素数是一个其中既有素数、又有合数、又包含 1 的混合集合，但在有些区间段上， P n 阶准素数的属性却比较单纯：在 上的 P n 阶准素数，就只有整数 1 ；在（ 1 ， ) 内的 P n 阶准素数，全部是素数；在 上的 P n 阶准素数，既包含了其上的全部素数，又包含了其上的部分合数。 2. Pn 阶 准素数模型的数学意义 《 1 》在仅仅研究 P n 阶 准素数属性时，研究区间 之长度 x 与准素数阶次表征量 P n 是相互无关的两个独立自变量。可以任取 x 值和 P n 值， 研究任意区间上、任意阶次的准素数之有关问题。 由于同一阶准素数在数轴上的分布是周期性的，所以，由 P n 阶 准素数在其第一个周期上的分布规律，就可以推知它在整个数轴上的分布规律。 比如奇数序列，就是 P 1 阶准素数，由 1 和 3 相差 2 我们就知道任何大小的相邻两个奇数都是相差 2 的。 又比如 P 2 阶准素数，其周期长度为 6 ，第一个周期只有 1 和 5 这两个准素数，第二个周期只有 7 和 11 这两个准素数，由此可知，无论多大的 P 2 阶准素数，都是围绕其周期端点孪生的等等。 P 2 阶准素数也因此成为证明孪生素数无穷性的坚实基础。 再比如 P 3 阶准素数，其周期长度为 ，第一个周期的左端点是 0 点；右端点是 30 点；其上的筛网见（例图 1 ）； P 3 阶准素数共有 8 个，它们是 1 、 7 、 11 、 13 、 17 、 19 、 23 、 29 ，它们相对于周期中点 15 点对称分布。根据筛网、准素数、准合数都是以 30 为周期而周期性分布，且是关于周期端点、中点对称性分布，则由 0-30 间的分布，可以推知 30-60 、 60-90 、 90-120 、 120-150 、 间的分布；由我们熟悉的 0 点右侧的 P 3 阶准素数，可以推知 30 、 60 、 90 、 120 、 150 、 点两侧的 P 3 阶准素数。即由 0 点右侧半周期的 P 3 阶准素数有 1 、 7 、 11 、 13 ，可推知 30 点左侧半周期一定有 29 、 23 、 19 、 17 ；可推知 30 点右侧半周期一定有 31 、 37 、 41 、 43 ；可推知 60 点左侧半周期一定有 59 、 53 、 49 、 47 ；可推知 60 点右侧半周期一定有 61 、 67 、 71 、 73 ； 等等。 由此可知，这时的 P n 阶准素数模型，就是我们由有限通向无穷的平直绿色通道。 例图 1 ： P 3 阶第一个周期上的筛网和准素数分布图 （见 http://sea3000.net/fengjungang/2_23.php 图 ① ） 《 2 》在利用 P n 阶准素数属性研究有关素数的问题时，（ a ）将整数 1 暂且视同为素数；（ b ）将研究区间 之长度 x 限定在 之间即可。这是因为，对于筛选素数而言， P n+1 在数轴上的第一个非重复有效筛点是 点。在此点之前的 P n+1 筛点，除了 x= P n+1 点是无效筛点外，其余的都是 P n+1 与小于它的 P i 筛点相重叠的筛点、也是无效筛点。因此，在此点之前的 P n 阶准素数，除 1 之外，已全部是素数了，不需要再用 P n+1 筛除了。例如， x=7 7=49 点之前的 P 3 阶准素数，除 1 之外全部是素数。而 x=11 11 之前的 P 3 阶准素数除了 1 和 7 的少数个整倍数 7 7=49 、 7 11=77 、 7 13=91 、 7 17=119 以外，都是素数。所以，前面举例中列出的 P 3 阶准素数，除 1 和 49 外都是素数。 因此， 点之前的 P n 阶准素数，减 1 、再加上 P 1 、 P 2 P i P n 这 n 个素 数，就是该点之前的全部素数。若用 表示小于 x 的素数数目；用 表 示小于 x 的 P n 阶准素数数目，在满足 的前提下，则有: （ ） （ 2 ） 为了今后叙述方便，定义 P 1 、 P 2 P i P n 这 n 个素数，为 P n 阶准素数的 基素数 ，也称它们为满足 的 x 之 基素数。 由利用 P n 阶准素数研究素数时的附加条件 可知，这时， P n 与 x 不再是两个相互独立的变量，在 x 增大到每个素数平方的点上时， P n 就要增大一次、准素数的阶次就要向上提升一阶。所以， 对于素数研究而言， P n 阶准素数模型又变成一个由有限通向无穷，由低阶通向高阶的阶梯型绿色通道。

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哥德巴赫猜想证明的新思维之一：《 Pn阶准素数模型》

lanyu582135 2009-11-2 12:27

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一个数学问题（邱荣涛）

grandFT 2009-10-21 19:24

提问人：邱荣涛 这是一个数学问题，也许讨论它没有什么实际意义，我只是想弄清楚它，要知道，它折磨了我一个下午。问题如下： 对集合S, 设R是关于S中的元素的条件，如果S中的两个元素a,b满足条件R, 则称a与b有关系R, 记为aRb，否则称a与b无关系R. 如果对S中任意的元素a,都有aRa,则R有反身性； 如果aRb，则bRa,则称R有对称性； 如果aRb，且bRc，则aRc，则称R有传递性。 问题是：有没有这样的关系，它满足对称性和传递性，但没有反身性？有人说没有，并给出了证明，即有对称性和传递性，则必有反身性，但这个证明明显是错的；我觉得有，但没有找到。

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对称性：从立场看观点VS从观点看立场

大毛忽洞 2009-7-30 13:09

对称性：从立场看观点 VS 从观点看立场 对于同一个问题，由于观察的角度不同，得出的结论也不同，有时是完全相反的。 在哲学上，为了把对方驳倒，诡辩论者往往喜欢偷换概念。偷换概念的实质就是把对方的立场转动一个角度，结果把马变成了蛤蟆，如图 1 所示。 图 1 左图是蛤蟆，把立场逆时针转动 90 度之后，蛤蟆就变成了马（头）。 图 2 立场转动 180 度之后，先生就变成了猪头，猪头变 成了 先生。 图 3 立场转动 180 度之后，漂亮的姑娘变成了歪嘴老太婆，歪嘴老太婆变成了漂亮了的小姑娘。 图 4 立场转动 180 度之后，两个盘上的杯子完全上下颠倒了。 GOOGLE照片

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开篇语

wliming 2009-7-23 18:49

我在这里潜水很久，获益匪浅，现在打算写点东西回馈大家，不当之处请指正。

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左旋香螺

热度 1 antiscience 2009-6-20 07:16

左旋香螺（ Busycon constrairium ），腹足纲－骨螺超科－香螺科动物，购于美国。口盖保存完整。英文称Lightning Whelk。栖息地为近海砂底。 你见过左手性的贝壳吗？左手性的贝壳非常少，多数人可能从来没有见过左手性的螺。对称破缺的原因似乎还不大清楚，哈佛大学古尔德研究过这个问题，但也没有给出令人满意的回答。

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宇宙时空的对称性

chenfap 2009-5-14 13:46

宇宙时空的对称性 一切物理现象都发生在时空之中 , 时空的对称性必然会影响物理现象的特性 ; 因此在研究物理理论时 , 往往要研究时空的对称性。在研究广义相对论和宇宙学 时也是这样。 Weinberg 在他的著名著作《引力论与宇宙论》 一书中用了专门 一章，标题为对称空间，来讨论时空的对称性。 文献 在引论中就预先指出，对于牛顿力学的背景时空，即伽利略时 空，有着下述对称性： (N1) ，所有的空间点都是平权的，所有的瞬时也都是平权的； （ N2 ），所有的空间方向都是平权的； （ N3 ），所有作相对匀速直线运动的惯性参照系都是平权的。 对于狭义相对论的背景时空，即洛伦兹时空，则有着下述对称性： (S1) ，所有的时空点都是平权的； （ S2 ），所有的时空方向都是平权的。 这里所谓平权是指物理影响相同，没有谁表现特别。这里的伽利略时空和 洛伦兹时空都是 1+3 维时空， 1 维是时间， 3 维是空间。洛伦兹时空中的时空点是 4 维时空点，时空方向是 4 维矢量方向。所有的时空方向都是平权的对称性包含着 所有的空间方向都是平权的对称性和所有作相对匀速直线运动的惯性参照系都是平 权的对称性。 伽利略时空的对称性对应着伽利略坐标变换 ，这个变换具有 10 个参数 ( 其中 N1 对称性 4 个， N2 对称性 3 个， N3 对称性 3 个）；在此变换下，牛顿力学的规律保 持不变。洛伦兹时空的对称性对应着洛伦兹坐标变换 ，这个变换也具有 10 个参 数 ( 其中 SI 对称性 4 个， S2 对称性 6 个）；在此变换下，狭义相对论的物理规律保 持不变。若要深入了解，请参考文献 或其它文献；由于本博文主要讨论宇 宙时空的对称性，故对上述问题不打算多讨论。 对于广义相对论，由于引力场使得时空弯曲，在全时空中彼此作相对匀速直线 运动的惯性参照系是不存在的（在时空的局部范围内可以存在匀速直线运动，也可 以存在局部惯性参照系）。由于这个原因，广义相对论中的时空的对称性，一般要低 于伽利略时空的对称性和低于洛伦兹时空的对称性，即其所对应的保持规律不变的 坐标变换之参数要减少。在广义相对论中，时空的对称性往往随所研究的具体问题 而异，本文只讨论以广义相对论为理论基础的宇宙学中的时空对称性。 一般认为，以广义相对论为理论基础的宇宙学中的时空对称性是 ： (C1) ，所有的空间点都是平权的； （ C2 ），所有的空间方向都是平权的。 为什么说所有的空间点都是平权的？如果空间之内点与点不是平权的，则在空间某些 部分 , 物质会堆积得很多 , 而在另外一些部分 , 物质则分布得很少 , 这不符合天文观察。 天文观测的事实 表明 ：大尺度空间内星系或星系团的分布 以及 射电源的计数， 大体上 是 均匀的，而 微波背景 辐 射的分布 ， 均匀程度更高。 为什么说所有的空间方向都是平 权的？如果空间之内各个方向彼此不是平权的，会引发什么现象呢？整个宇宙绕轴旋 转就是一个例子，在这种情况下，旋转轴就是一个特殊方向，它跟其它方向不是平权 的。 Godel 曾研究过旋转的宇宙，得出了在这种宇宙中， 测地线可能相交的推论。这 意味着，从现在可以返回到过去，从现在也可以提前到达将来；这将 对因果律造成极大的紊乱。旋转宇宙的问题还有不少，本博文不打算讨论这个问题。 只是指出，虽然在引力理论和宇宙学中，旋转宇宙也可以作为一个课题来进行研究， 但由于它本身的缺点和问题，多数学者并不采纳这种宇宙。 比较 (C1) 、 (C2) 和 (N1) 、 (N2) ，可以看出，以广义相对论为理论基础的宇宙 学中的时空对称性同牛顿力学背景时空的对称性都认为所有的空间点都是平权的和 所有的空间方向都是平权的。这就是，在一定条件下，可以用牛顿力学来研究宇宙 学的理论根源。比较 (C1) 和 (N1) ，还可以看出，在以广义相对论为理论基础的宇宙 学中的时空中，缺乏所有的瞬时也都是平权的对称性，正是由于这种缺乏，使得宇 宙时空出现弯曲，必须用广义相对论来进行研究。对称性 (C1) 说明宇宙空间是 均匀 的， 对称性 (C2) 说明宇宙空间是各向同性的，这就是宇宙学原理。显然，宇宙学原 理并不是毫无根据的人为假定，它是宇宙对称性的合理推论。 利用时空对称性可以判断某些理论是否可行。例如，宇宙学原理常受到非难， 若放弃宇宙学原理，仅用广义相对论来研究宇宙又很困难；那就用牛顿力学来研究 吧。可是，放弃宇宙学原理就相当于否定所有的空间点都是平权的和所有的空间方 向都是平权的；使用牛顿力学，又相当于肯定所有的空间点都是平权的和所有的空 间方向都是平权的；这岂不是自相矛盾？这样建立的理论必然要导致不自洽。 参考文献 Weinberg S. 1972, Gravitation and Cosmology, Wiley, New York. 福克 . 1965, 空间、时间和引力的理论，周培源等译，科学出版社，北京 . 须重明 , 吴雪君 .1999, 广义相对论与现代宇宙学，南京师范大学 出版社，南京 .

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超导配对和原子轨道

热度 1 yunping 2009-1-27 07:41

在超导文献中，我们经常可以看到s波配对、p波配对和d波配对等概念。这些概念描述的是超导电子对（Cooper对）内部两个电子（也可以是两个空穴，为了简便起见，下文中只说电子对）的配对状态。初次接触的人容易把这些概念和原子中的s、p、d轨道等概念相混淆，以为s波配对、p波配对和d波配对分别是原子中s轨道、p轨道和d轨道电子参与的配对，用固体物理的语言，就是以为是s带、p带和d带电子参与的配对。其实这样理解是错误的，参与s波配对的电子，可以是s带电子，也可以是p带和d带电子等其他带电子，还可以是s和p、s和d等杂化带的电子，甚至是固体中不同种原子的轨道之间组成的杂化带的电子。 超导配对中的s波配对、p波配对和d波配对，跟原子轨道中的s轨道、p轨道、d轨道确实不是一码事，但它们之间也是有联系的。s波配对、p波配对和d波配对等概念是从原子轨道中借鉴过来的。以氢原子为例，氢原子是一个质子和一个电子组成的两体系统，而超导电子对是一个电子和另一个电子组成的两体系统。它们之间还是有一些共同之处的。在氢原子中，电子受到质子的吸引力作用，这个力场是一个中心力场，具有连续的转动对称性，这样原子的角动量是守恒的，角动量量子是一个好量子数。电子处在s、p、d等轨道，分别表示角动量量子L=0，L=1，L=2。在超导电子对中，一个电子受到另一个电子的吸引力作用，这个力场严格来说不再是中心力场，也就是说角动量不再是守恒量，角动量量子不再是一个好的量子数。幸运的是，在固体中超导电子对的角动量守恒在一定程度上是近似成立的，所以把原子中的s、p、d等概念借过来，还是有一定意义的。 在传统的符合BCS理论的金属超导体中，超导相干长度远大于晶胞的尺寸，电子虽然处在以晶胞尺寸为周期的周期性的晶格场的作用下，但在相干长度的尺度下，这种由周期性势场引起的势场起伏基本已经被平滑掉。这种情况下，超导电子对的一个电子受到另一电子的吸引作用，也可以近似看成是中心力场，角动量守恒近似成立。因此，传统超导体中我们称超导配对为s波配对是没什么问题的。 在氧化物超导体中，超导相干长度和晶胞的尺寸相比拟，由离子实作为中介（起作用的有可能是磁作用，也可能是电作用）的电子之间相互吸引作用，不再可以近似看成是各向同性的，也就不存在连续的转动对称性（连近似的连续对称性都没有）。在这种情况下，角动量量子数不再是一个好量子数。然而，氧化物超导体中虽然不存在连续的转动对称性，但在很多氧化物超导体中还存在分立的、以z方向为转动轴的四次转动对称性（有的是严格的，有的是近似的）。在只具有严格的四次转动对称性的情况下，总角动量量子L肯定不是一个好量子数，其分量Lz严格说也不是一个好量子数。在这种情况下，Lz=0一定与Lz=+/-4,+/-8,+/-12,...等无数不同的角动量相互混杂在一起的；Lz=+/-2与Lz=+/-6,+/-10,+/-14,...等相互混杂；Lz=+1的态一定与Lz=-3,+5,-7,+9,...等相互混杂；Lz=-1的态一定与Lz=+3,-5,+7,-9,...等相互混杂。但是，由于存在四次转动对称性，这四种混杂状态相互之间又是不混杂的，这样我们可以把含有Lz=0、并且主要成分为Lz=0的混杂态定义为s波配对态，把含有Lz=+/-2、并且主要成分为Lz=+/-2的混杂态定义为d波配对态。后面两个既相互正交又相互简并，我们可以把含有Lz=+1（或－1）、并且主要成分为Lz=+1（或－1）的混杂态态定义为p波配对态。 需要指出的是，超导电子对中的两个电子是全同粒子，这一点和氢原子不同。由于是粒子全同性的缘故，超导电子对中的两个电子满足交换反对称性。如果自旋波函数交换反对称（两个电子自旋相互反平行，即单态配对），那么轨道波函数就应该是交换对称的，s波配对和d波配对属于这种情况；如果自旋波函数交换对称（两个电子自旋相互平行，即三态配对），那么轨道波函数就应该是交换反对称的，p波配对属于这种情况。 文献上的说法如果与这里的说法有出入，请以这里的说法为准。呵呵。

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