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作为一种n元向量联系数的广义系统本身: 冯向军 2017-6-29 07:34; 作为一种n元向量联系数的广义系统本身美国归侨冯向军博士，2017年6月29日写于美丽家乡【2】文中，为在离散联系数而不是赵克勤先生的连续型联系数【1】的新框架下圆满解决所谓鸟问题，我实际上已经把集合的二元离散联系数sBCN推广成为也包含广义向量的二元离散联系数sBCN。【2】文说： +1 -1 = 1只留在树上的鸟 + 1只离开树上的鸟，不等于没有鸟，不等于没有留在树上的鸟，也不等于没有离开树上的鸟。一般而言， +1 = A， -1 = 非A。本文要指出的是广义系统本身就是一种n元向量联系数。假设广义系统G在A1, A2,...,An个广义方向上有所对应的概率分布p1，p2...，pn，则根据我自己提出自己证明了的数学定理【3】【4】，一般有：广义系统G = p1A1 + i * p2A2 + ...+ i * pn-1 + i * An,这其中 i = 1 或 -1。 A1 = （1，0，...,0) A2 = (0, 1,...,0) An-1 = (0，0，...,1，0） An = (0,0,...,0,1) 由此可见广义系统G本身就是一种典型的 n元向量联系数。可以认为：组成论【5】就是关于作为一种典型的 n元向量联系数的广义系统G的学问和理论。对于集合S： S = （n1, i * n2, ..., i* nk), i = +1 或 -1。nj是第j类个体的数量，j = 1，2，..k。 i = +1 和 -1一般代表两种不同状态。【举例】再来解答鸟问题。树上有十只鸟，打下一只还剩几只?【6】【2】在无人打鸟时，树上的鸟可表达为： G1 = （1，1，1，1，1，1，1，1，1，1）。在一只鸟被打下后，假使其余的鸟都飞跑了，树上的鸟可表达为： G2 = （-1，-1， -1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1）在一只鸟被打下后，假使还有5只飞不动，树上的鸟则可表达为： G3 =（-1，-1，-1，-1，-1，+1，+1, +1, +1, +1) 这其中， +1 = 留在树上的鸟。-1表示离开了树上的鸟。在做统计时，只能同号的数相加，不能把异号的相减。参考文献【1】赵克勤，北京明天下雨的贝叶斯概率向联系概率（赵森烽-克勤概率）的转换，科学网，2017年5月19日。 http://blog.sciencenet.cn/blog-329317-1055866.html 【2】冯向军，关于鸟问题的集合的二元离散联系数sBCN之圆满解答，科学网，2017年6月28日。 http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1063421.html 【3】冯向军，立此存照：就二元离散联系数BCN向学术知音张学文前辈作个交代，科学网，2017年6月23日。 http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1062475.html 【4】冯向军，学术根基：从吴学谋泛系（A，B) 到冯向军泛有序对（A，非A），科学网，2017年6月23日。 http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1062417.html 【5】张学文，《组成论》。【6】赵克勤，集对分析与奇妙的联系数3----树上还剩几只鸟？，科学网，2014年12月1日。 http://blog.sciencenet.cn/blog-329317-847712.html; 个人分类: 决定性概率论|2048 次阅读|0 个评论

关于平均概率的系统性研究: 热度 1 冯向军 2017-6-12 19:49; 关于平均概率的系统性研究美国归侨冯向军博士， 2017年6月12日写于美丽家乡 2004年，我正式发表了“各概率的平方和是平均概率”的见解【1】。这一见解十多年来一直得到《组成论》创始人张学文先生的强烈支持和欣赏【2】。本文将对平均概率展开一系列系统性的数理研究。【定理一】广义系统的各概率的平方和是概率的统计平均值或平均概率。证明：假设广义系统 = （p1， p2， ... ， pn) ，这其中pi 是广义系统在第i个广义方向上的发生概率（i=1，2， ... ， n)。我们要问广义系统向各个广义方向上投影所得投影坐标值的统计平均值是多少？因为广义系统向第i个广义方向上投影所得投影坐标是pi，而广义系统向第i个广义方向上投影的概率也是pi （i=1， 2， ... ， n)，所以，广义系统向各个广义方向上投影所得投影坐标值的统计平均值 =概率1(投影坐标1)+概率2(投影坐标2)+... +概率n(投影坐标n) = p1(p1)+p2(p2)+...+pn(pn) =p1^2+p2^2+...+pn^2 =各概率的平方和或者说，各概率的平方和=投影坐标值的统计平均值但是广义系统是以概率为其投影坐标值的，所以：投影坐标值的统计平均值=概率的统计平均值或平均概率。因此就有：各概率的平方和 = 概率的统计平均值或平均概率 = p1p1+p2p2+...+pnpn 证毕。【定理二】广义系统的大小或模M满足： M 的平方 = 平均概率证明：按定义，广义系统(p1，p2， ... ， pn)的大小或模M满足： M 的平方 = p1^2+p2^2+...+pn^2 而 p1^2+p2^2+...+pn^2 = p1p1 + p2p2 +... + pnpn = 平均概率所以有 M 的平方 = 平均概率证毕。【定理三】具有n个广义方向的广义系统其平均概率的最大值为1，最小值为1/n。当广义系统在任意一个广义方向的概率为1时，平均概率取最大值，当且仅当广义系统平等遍历各广义方向而其概率成为均匀分布时，平均概率取最小值。因此平均概率是广义系统不平等程度的量度。证明：各概率的平方和与概率归一这个自然约束条件所构成的拉格朗日算子L为 L = p1^2+p2^2+...+pn^2 + C1(p1+p2+...+pn-1) 对L求关于pi的一阶偏导数dL/dpi (i=1, 2, ... , n)并令之为零，有 dL/pi = 2pi + C1 = 0 ，（i = 1，2，...，n) p1=p2=...=pn=-C1/2 因为 p1+p2+...+pn=1，有 p1=p2=...=pn=1/n，而C1=-2/n 。显然 L关于n维变量p1，p2，...，pn的二阶偏导数矩阵是一主对角线上元素全为正2而其余元素全为零的矩阵。因此L关于n维变量p1，p2， ...，pn的二阶偏导数矩阵是一正定矩阵，拉格朗日算子L在 p1=p2=...=pn=1/n取最小值。平均概率=p1^2+p2^2+...+pn^2，其最小值为 1/n，当且仅当广义系统平等遍历各广义方向而成为均匀分布时，平均概率取最小值。当广义系统在任意一个广义方向的概率为1时，由于概率的归一性，广义系统在其他广义方向上的概率都必须为零，此时平均概率取最大值1。因为在广义系统最平等的时候，平均概率取最小值而在广义系统最不平等的时候，平均概率却取最大值，所以平均概率是广义系统不平等程度的量度。证毕。【定义】定义广义系统的不平等度NE 为： NE = (平均概率 - 最小平均概率）/ （最大平均概率 - 最小平均概率） x 100% 则有 NE = (平均概率 - 1/n）/ （1 - 1/n） x 100% 广义系统的不平等度NE的最大值是100%，而最小值是0。现举例说明。例如，假如李明的缺点和优点是三七开，那么李明的优缺点可用广义系统G来描述。 G = 0.7优点+0.3缺点=0.7（1, 0)+0.3(0, 1) = (0.7, 0.3) G的平均概率=0.7*0.7+0.3*0.3 =0.58 G的大小或模M满足：M的平方=平均概率=0.58 G的不平等度NE=( 平均概率-1/2)/(1-1/2)x100%=（0.58-0.5）/0.5 x100%=16% 【用平均概率极小来求各类常见概率分布】张学文先生【3】2011年底开始发表用概率的平方和或平均概率最小来求概率分布，因故搁浅，到2014年底又继续此项工作。现在理应由我来继续。定理三已明确指出，当且仅当广义系统平等遍历各广义方向而其概率成为均匀分布时，平均概率取最小值。所以用概率的平方和或平均概率最小来求概率分布就是用最大平等遍历度，或最大熵詹尼斯信息熵来求概率分布。与张学文先生不同的是我向来用离散变量的拉格朗日算子来求各种概率分布。 1. 均匀分布在无任何非自然约束条件下，平均概率所对应的拉格朗日算子为 L = p1^2+p2^2+...+pn^2+C1(p1+p2+...+pn-1) 对L求关于pi的一阶偏导数dL/dpi并令之为零（i=1，2，...，n),有 dL/dpi=2pi + C1=0 p1=p2...=pn=-C1/2 但是 p1+p2+...+pn=1 所以 p1=p2=...=pn=1/n,而C1=-2/n 又由于拉格朗日算子的二阶偏导数矩阵是正定的对角线上元素为2而其余元素都为0的对称矩阵，可以确保令拉格朗日算子一阶偏导数为零的概率分布就是使拉格朗日算子在当前约束条件下取极小值的概率分布。因此为使拉格朗日算子或约束条件下的平均概率极小，概率分布必须成平等遍历各广义方向的均匀分布。须指出的是因为当前约束条件中无任何非自然约束条件，所以平均概率的极小值也就是一切约束条件下，平均概率所能达到的最小值。 2. 幂律分布在广义系统概率分布所对应的变量的a次方(这其中常数a是负数或0)的统计平均值不变的约束条件下，平均概率所对应的拉格朗日算子为 L = p1^2+p2^2+...+pn^2+C1(p1+p2+...+pn-1)+C2(p1x1^a +p2x2^a+...+pnxn^a) 对L求关于pi的一阶偏导数dL/dpi并令之为零（i=1，2，...，n),有 dL/dpi=2pi+C1+C2xi^a=0 =0 pi=-C1/2-C2/2xi^a (i=1，2，...，n) 不失一般性令C1=0,就得到幂律分布 pi = -C2/2xi^a (i=1,2...n) 又由于拉格朗日算子的二阶偏导数矩阵是正定的对角线上元素为2而其余元素都为0的对称矩阵，可以确保令拉格朗日算子一阶偏导数为零的概率分布就是使拉格朗日算子在当前约束条件下取极小值的概率分布。因此为使拉格朗日算子或约束条件下的平均概率极小，概率分布必须成幂律分布。 3. 负指数分布在广义系统概率分布所对应的变量的指数函数的统计平均值不变的约束条件下，平均概率所对应的拉格朗日算子为 L = p1^2+p2^2+...+pn^2+C1(p1+p2+...+pn-1)+C2(p1exp(C3x1) +p2exp(C3x2)+...+pnexp(C3xn)-C4) 对L求关于pi的一阶偏导数dL/dpi并令之为零（i=1，2，...，n),有 L/dpi=2pi+C1+C2exp(C3xi)=0 pi=-C1/2-C2/2exp(C3xi) (i=1，2，...，n) 不失一般性令C1=0,C30,就得到负指数分布。 pi=-C2/2exp(C3xi) (i=1，2，...，n) 又由于拉格朗日算子的二阶偏导数矩阵是正定的对角线上元素为2而其余元素都为0的对称矩阵，可以确保令拉格朗日算子一阶偏导数为零的概率分布就是使拉格朗日算子在当前约束条件下取极小值的概率分布。因此为使拉格朗日算子或约束条件下的平均概率极小，概率分布必须成负指数分布。 4. 正态分布在广义系统概率分布所对应的变量的钟形函数的统计平均值不变的约束条件下，平均概率所对应的拉格朗日算子为 L = p1^2+p2^2+...+pn^2+C1(p1+p2+...+pn-1)+C2(p1exp(C3(x1-m)^2) +p2exp(C3(x2-m)^2)+...+pnexp(C3(xn-m)^2)-C4) 对L求关于pi的一阶偏导数dL/dpi并令之为零（i=1，2，...，n),有 L/dpi=2pi+C1+C2exp(C3(xi-m)^2)=0 pi=-C1/2-C2/2exp(C3(xi-m)^2) (i=1，2，...，n) 不失一般性令C1=0,C30,就得到正态分布。 pi=-C2/2exp(C3(xi-m)^2) (i=1，2，...，n) 又由于拉格朗日算子的二阶偏导数矩阵是正定的对角线上元素为2而其余元素都为0的对称矩阵，可以确保令拉格朗日算子一阶偏导数为零的概率分布就是使拉格朗日算子在当前约束条件下取极小值的概率分布。因此为使拉格朗日算子或约束条件下的平均概率极小，概率分布必须成正态分布。参考文献【1】冯向军，张学文，鲁晨光，组成论随想录，2004年，豆丁网。 http://www.docin.com/p-592228486.html 【2】张学文，与两位博士讨论矢量与概率，2017年6月11日 http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-1060189.html 【3】张学文，从百分比的平方和到幂律来源等等，科学网，2014。 http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-842250.html; 个人分类: 决定性概率论|3494 次阅读|4 个评论

描述事物的广义系统是物理意义极为简明的广义向量: 热度 1 冯向军 2017-6-12 17:55; 描述事物的广义系统是物理意义极为简明的广义向量美国归侨冯向军博士， 2017 年 6 月 11 日写于美丽家乡【博主按】什么叫学术知音？就是彼此对于对方的学术均有极为深刻而全面的理解，彼此能以独到的眼光真心欣赏对方的学术精华的一对学术知己。我以为，张学文先生是我这辈子迄今为止所缘遇的唯一科学学术知音。张学文先生今年八十有二，德高望重，是老北大。我们是名符其实的忘年之交。科学学术上，能碰到张学文先生这样的知音，是本人的荣幸，此生在科学学术上得张学文老先生一人足矣。近日来我天天向先生报告我的科学研究的新灵感和新进展，而先生则再三提到他对我的关于“概率的平方和是平均概率”的见解的欣赏【 1 】。今天，先生还特地写了一篇文又谈起此事（见附录）。我读先生的文章“言下大悟”。遂欣然命笔。其喜洋洋者矣。这就是本文的缘起。在《关于决定性事物的概率论》中，天下万事万物都与一广义系统一一对应，而广义系统就是某个归一化广义向量。在传统成熟数学中，向量是既有大小又有方向的量。相对于向量 V, 方向与 V 相同而大小或模为 1 的向量就叫做向量 V 的单位向量。若 n 个单位向量相互内积为零或相互垂直，则可构成 n 维正交坐标系。例如 n 个单位向量： v1=(1, 0, ... , 0 ) v2=(0, 1, ... , 0) ... vn-1=(0, 0, ... , 1, 0) vn = (0, 0, ... , 0, 1) 就可构成 n 维正交坐标系。以 vi 为单位向量的坐标轴叫做第 i 个坐标轴， i=1，2， ... ， n 。任何 n 维向量 V 都可表达为： V=x1v1 + x2v2 + xn-1vn-1 + xnvn 这其中， xi 是向量 V 在 v1, v2, ... , vn 所构成的 n 维正交坐标系中，第 i 个坐标轴上的坐标或投影， i=1，2， ... ， n 。当 x1+ x2 + ... , + xn = 1, 我们称向量 V 为归一化向量。广义向量是既有大小又有广义方向的量。这里大小与传统成熟数学的大小概念完全相同。广义方向则是对传统成熟数学空间方向的极大推广，含盖天下一切可念想、分别、执着的，有限的，存在二元对立的对立面的一切事物的方向、性向或相以及思维角度、立场、观点等等。由于在哲学上，一切二元对立双方均可视为是相互正交的或垂直的，传统成熟数学的一切运算法则均适应于广义向量。因此，相对于传统成熟数学的向量、单位向量、归一化向量、坐标轴、坐标系、坐标或投影，有与之一一对应的广义向量、广义单位向量、归一化广义向量、广义坐标轴、广义坐标系、坐标或投影，除把方向换成广义方向之外，其余含义和运算法则全部与传统成熟数学相同。传统成熟数学的一切数学规则在广义向量中的保守性或不变性是《关于决定性事物的概率论》作为科学或科学探索的纯洁性的根本保证。广义系统是能由具有极为简明的物理意义的归一化广义向量来描述的系统。不失一般性：广义系统 G 可表达为： G = (p1, p2, ... , pn) = p1(1, 0, ... , 0) + p2(0, 1, ...0) + pn(0, 0, ...1) 这其中， p1, p2, ... , pn 是满足概率公理的概率分布。 p1 + p2 + ... + pn =1 pi 是广义系统 G 在第 i 个广义坐标轴上的坐标或投影， i=1, 2, ... , n 这就是说：广义系统 G 是以概率为坐标值的广义向量。广义系统 G 的大小或模 M 满足： M 的平方 =p1p1 + p2p2 +...+pnpn = 平均概率（参见【 1 】）当概率成平等遍历的均匀分布时，平均概率 = 等概率 1/n 。广义系统 G 相对于第 i 个坐标轴的方向余弦 i 为: 方向余弦 i = pi / M 。这其中 i=1, 2, ... , n 例如，一次性掷钱币的结局 R ，如无一切非自然约束条件的制约又未被观测过程干扰，就不会发生概率分布的坍缩突变，而是一个由归一化广义向量所完全刻画的广义系统 R = 0.5 正面 + 0.5 反面 = 0.5(1, 0) +0.5(0, 1) R = (0.5, 0.5) 这其中， 0.5 不是普通坐标值，而是一次性掷钱币的结局 R 在正面和反面上的平等概率或发生势力一次性掷钱币的结局 R 的大小或模 M 满足： M 的平方 = 平均概率 =0.5*0.5 +0.5*0.5 =0.5*(0.5+0.5)=0.5= 均等概率一次性掷钱币的结局 R 在正面广义方向上的方向余弦为 cos(alfa) = 0.5/M=0.5/sqrt(0.5)=1/sqrt(2) =sqrt(2)/2 一次性掷钱币的结局 R 在反面广义方向上的方向余弦为 cos(belta) = 0.5/M=0.5/sqrt(0.5)=1/sqrt(2) =sqrt(2)/2 方向角 alfa = belta = 45 度当一个广义系统的概率分布确定了，作为归一化广义向量的广义系统的大小和广义方向就完全确定了。因此，广义系统是物理意义极为简明的归一化广义向量。参考文献【1 】冯向军，张学文，鲁晨光，组成论随想录， 2004 年，豆丁网。 http://www.docin.com/p-592228486.html 【附录】张学文先生的最新博文与两位博士讨论矢量与概率张学文， 2017年6月11日大约是今年 4 月我在本博客上注意到白图格吉扎布博士的矢量的一种新的乘法—各个对应分量的乘积。他说这样的运算使得其结果依然是矢量（与原矢量在一个群内）。我自己举了个超市买东西的菜单上的商品单价们与你买的数量的对应乘积的例子， http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-1056084.html 被白博士认可。不能说我过去没有学过矢量，但是两个矢量的对应分量的积依然是个矢量一事我确实没有想过。但是现在看，这种实例不少。最近老朋友冯向军博士 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=1968 与我联系，谈他发展我的组成论书中认识的成果。我体会，他在其中以一个矢量表达一个完备的概率分布（如掷一枚硬币，其结局为正反面的概率为一个分量是（ 0.5 ， 0.5 ）的矢量），的做法似乎没有什么奇特。但是各个概率值的平方和却是有重要物理含义的。而这却对应白图格吉扎布博士的矢量积。冯博士用到概率对应单位矢量。即是各个可能事件的概率和 =1 的体现。它是以概率为诸分量的矢量的一个特征（我可能还没有理解准确）。看来用矢量表达概率分布有其优点。记得十多年前冯博士提示我概率们的平方和的物理意义就是各个可能事件的概率们的平均值。而现在概率们的平方（不谈和）就是白图格吉扎布博士的矢量积。我隐约感到把离散的完备的概率分布用矢量表达可以有很多好处。分量的合计值 =1 ，分量的平方和有重要物理意义都是重要启发点。转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自张学文科学网博客。链接地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-1060189.html; 个人分类: 决定性概率论|3432 次阅读|4 个评论

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