科学网—标签 - 无穷集合

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热度 1 mayaoji 2017-2-8 21:26

我们从小就学会数数， 1 、 2 、 3 、 4 、 5 ……，能数出篮子里有多少苹果，天上有多少星星。如果一个集合上的元素，我们一个一个地数，每个元素或迟或早都会数到，我们就说这个集合是可数的。有穷集合肯定是可数的，这里只讨论无穷集合的情况。首先自然数集是可数的。实际上，我们有时把可数集定义为，能和自然数集建立一一对应的集合。奇数集也是可数的。将它的元素从小到大排列就行了， 1 、 3 、 5 、 9 ……，这样，每个奇数早晚都会出现在这个数列上。同样，偶数集也是可数的。注意，在列出集合元素的时候可以重复，比如 1 、 1 、 2 、 2 、 3 、 3 ……，只要每个元素最终都会出现就行了。有些集合不容易判断它们是否可数。比如整数集是不是可数的？我们把哪个数放在第一呢，如果把 0 放在第一位，然后将它们从小到大排列： 0 、 1 、 2 、 3 、 4 ……。负数是不会出现在这个数列上的。又比如正有理数集，是否可数呢？像数轴那样把它们从小到大排列肯定是不行的，因为没有任何一个有理数排第一位。问题是否存在其他的排列方式可以把它们按顺序数出来呢？下面来证明关于可数集的一些结论。 1 、整数集是可数的这样排列： 0 ， 1 ， -1 ， 2 ， -2 ， 3 ， -3 …… 2 、所有正整数有序对 (m,n) 组成的集合是可数的按图中这样的顺序排列，每个有序对都出现在这个序列上。 3 、正有理数集是可数的正有理数是能表示成正整数之比的数，即 m/n ， m 和 n 都是正整数。上面已经给出了所有有序对的排列方法，这里只要用 m/n 取代 (m,n) 就行了。 1/1 ， 1/2 ， 2/1 ， 1/3 ， 2/2 ， 3/1 ， 1/4 ， 2/3 ， 3/2 ， 4/1 ……。在这个数列上，相同的有理数会重复出现，实际上是出现无数次。比如 1/1=2/2=3/3= ……，但这不影响有理数集是可数的。 4 、有理数集是可数的在上面的数列中插入负有理数就可以了。 1/1 ， 1/2 ， -1/2 ， 2/1 ， -2/1 ， 1/3 ， -1/3 ， 2/2 ， -2/2 ， 3/1 ， -3/1 ， 1/4 ， -1/4 …… 5 、两个可数集的并是可数的假设可数集 A 的元素这样排列： A1 、 A2 、 A3 、 A4 、 A5 …… 假设可数集 B 的元素这样排列： B1 、 B2 、 B3 、 B4 、 B5 …… 它们并集的元素就这样排列： A1 、 B1 、 A2 、 B2 、 A3 、 B3 、 A4 、 B4 ……

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无穷集合之集合的大小——逻辑学笔记4

mayaoji 2017-2-8 01:15

我们知道有限的集合很容易比较大小，比如含 9 个元素的集合比 6 个元素的集合元素数更多。无穷集合比有穷集合元素的个数多，比如自然数的个数比中国人的数量多。但无穷集合之间怎样比较大小呢，自然数和平方数哪个更多？即 {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 …… } 和 {1 ， 4 ， 9 ， 16 ， 25 …… } ，哪个集合的元素多。表面上看，肯定是自然数的个数更多，因为自然数已经包含了平方数，整体大于部分。但细想，两个集合存在一一对应的关系，每个自然数对应一个平方数，每个平方数对应一个自然数。似乎两者的个数一样多，究竟哪个答案正确呢？这是个约定问题。可以规定自然数的个数更多，理由是整体的数量总是大于部分。这样做的缺点是在很多情况下无法比较集合的大小，比如平方数的集合和素数的集合，因为两者都是无穷集合，而两者谁也不包含谁。也可以规定自然数的个数和平方数个数一样多。这样做的好处是任何两个集合都能比较大小（严格来说，这个结论是以接受选择公理为前提的）。但缺点是，不够直观，因为凭感觉整体的数量不可能等于部分的数量。在我们的数学中，采取的是后一种约定：如果集合 A 能和集合 B 的元素之间存在一一对应关系，则两者一样大。如果集合 A 能和集合 B 的子集一一对应，但不能和集合 B 一一对应，则集合 A 比集合 B 小。注意，两个集合之间存在一一对应的关系，不等于说集合元素之间的任意对应关系都是一一的，有时候找到这种一一对应关系需要一定的技巧。举个例子，自然数集合 A 和 B ，它们是相同的集合，显然是同样大的， A 中的任一个自然数 n 都对应 B 中相同的自然数 n 。但如果是另一种对应关系， A 中的任一自然数 n 对应于 B 中的自然数 2n ，则不构成一一对应关系，因为 B 中的奇数将不对应 A 中的任何数。对于集合大小采用这种规定，并不意味着否定了整体大于部分，只是说整体的元素数量可以等于部分的元素数量，而这两个集合本身仍然是不相等的，比如平方数集合不等于自然数集合，只是它的子集。其实 “大小”只是个名字。不管具体采取哪种约定，集合元素之间的这种对应关系仍然是存在的，仍然值得研究。即使我们采取第一种规定，使得任何集合永远比它的真子集大。无穷集合仍然存在令人惊奇的性质：它和它的真子集元素之间可以存在一一对应的关系。数学家希尔伯特曾说了无穷旅馆的故事来说明无穷的奇妙性质。有家旅馆有无穷个房间，每个房间都住满了客人。现在来了一个客人投店住宿。如果是正常的旅馆，已经住不下了。但这家无穷旅馆的老板，让 1 号房间的客人迁到 2 号房间，让 2 号房间的客人迁到 3 号房间，让 3 号房间的客人迁到 4 号房间……。这样就腾出了 1 号房间，让新客人住了进去。现在所有客人都有了自己的房间。你可能会问，原来住在最后一个房间的客人，无法搬到下一个房间。请注意，这是无穷旅馆，不存在最后一个房间。不但再来一个客人能安排下，就算再来无穷个客人也可以。让原来 1 号房间的客人搬到 2 号房间，原来 2 号房间的客人搬到 4 号房间，原来 3 号房间的客人搬到 6 号房间……。这样所有奇数号房间就空出来了，又可以住下无数个新客人。本文参考了卢昌海的《无穷集合可以比较吗？》 http://www.changhai.org/articles/science/mathematics/100000/infinity.php

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无穷大能比大小吗

热度 42 xying 2013-3-5 08:21

无穷，超越了人类直观想象的极限。从几千年前的哲人开始，悖论敲打着理性的头脑。研究实用学问的人都小心翼翼地绕开，直到牛顿以物理的脚步跨越了冥想中阿基里斯无法迈过的间隙。在微积分打开的灿烂世界里，数学家仍然忧心忡忡地观察牛顿闭着眼睛跨过的间隙，企图在这不可知的深渊上架起一座桥梁。这最根本的基石落在了集合论上。无穷大指比任何自然数都要大的量，要了解这个量是怎么来的，就要从集合谈起。集合论是现代数学的基础。无穷集合的处理决定了极限、测度、分析、概率、几何，这些严谨理论的理解。学理工很多人接触过无穷集合的概念，也许知道些背后的公理，只是一般的课程都语焉不详，网上文章抄来抄去，在表面字义上引申发挥。其实这些知识并不深奥，与其雾里看花，不如花一点时间在逻辑上弄懂。这篇普及文只假定你有简单的集合概念【 1 】，除此不需要其他预备知识，按照纯数学教科书证明的思路，加上点形象的说法，让你很快了解这里的概念，从逻辑上想通之间的关系。要想有收获，下面内容要在头脑用逻辑里过一遍。有限集合和自然数集合的元素，都是可以被逐个数到的。如果一个集合里的元素都能够按某种次序数到，在数学上称为“可数的”（ Countable ），这集合便称为“可数集”或“可列集”。整数是可数的，因为从 0 开始，依 1 、 -1 、 2 、 -2 、 3 、 -3… ，一正一负地走远，任何整数都能按这规则被数到。偶数可以用同样方法数过，它也是可数的。轮流对两个集合上元素依序点数走遍全体，说明了可数集的并集也是可数的。这个通俗化的语言定义中有个关键词“被数到”，就是说集合中任何一个具体的元素，都会按这规则对应着一个有限的序数。由集合可以定义一个数，称为集合的“基数”或者“势”（ Cardinal number ），集合 A 的势记为 |A| 。有限集合的势是集合中元素的数量，是个正整数。自然数集合 N 有无穷多个元素，数量是无穷大，它的势记为 $\aleph_{0}$ （这个希伯来字母 $\aleph$ 念作“阿列夫”）， | N |= $\aleph_{0}$ 。空集的势是 0 ， |$\phi$| =0 。势能比较吗？康托尔（ Cantor ）提出个一一对应的办法。如果两个集合的元素存在着一个一一对应的关系【 2 】，即如果按照某种规则，一个集合中任何一个元素都能在另一集合中找到唯一的一个元素与之相应，反过来也一样，则说这它们的势相等。如果集合 A 对集合 B 有这样的对应规则，则集合 B 的势可能比 A 大，记为 |B| ≥ |A| ；但反过来时却没有这样对应规则的，则说集合 B 的势比 A 大，记为 |B||A| ，俗称集合 B 比 A 多。例如：每个公民有张身份证，公民的集合和身份证的集合等势； 5 个苹果的集合比红、黄、绿 3 种颜色的集合势大；网上马甲集合的势比博主集合的势大； $\aleph_{0}$ n ， n 是任何自然数。不难证明势的大小关系“≥”和“ ”如同自然数的大小一样，具有反对称性和传递性；“≥”还有返身性。在可数集的定义中，集合的元素被逐个数到的办法，就是它与自然数一一对应的映射，所以可数集的势都是一样的，与自然数等势，为 $\aleph_{0}$ . 我们知道偶数只是整数的一部分，自然数也只是整数的一部分，它们都是可数集，势相等。这是无穷集合的一个反直觉的性质：局部可以和全体一样多！所以，涉及到无穷时必须很小心，直觉不可靠，只能凭借于逻辑了。有理数也是可数的。将不可通约的正的真分数，按照分母和分子从小到大排列如下： 1/2 ， 1/3 ， 2/3 ， 1/4 ， 3/4 ， 1/5 ， 2/5 ， 3/5 ， 4/5 ， 1/6 ， 5/6 ， 1/7 ， 2/7 ， …… 这样它们任何一个都能无一遗漏地被数到，即正真分数是可数的。所有大于 1 的分数都是正真分数的倒数，这倒数一一对应说明了它们等势，都是可数的。有理数是这两者的并集，再加上 0 和 1 。前面说过，可数集的并也是可数的，这就证明了，有理数集合 Q 也是可数的， | Q |= $\aleph_{0}$ 。无穷集合都是可数的吗？不，实数就不是。这个证明如下：假如（ 0 ， 1 ）区间的实数也是可数的，那么这里任何一个实数对应着一个自然数 n ，排成一个序列，表中第 n 个实数就可以表示为 F(n)=0.a(n,1)a(n,2)a(n,3)... ，这里 a(n,k) 是序列中 F(n) 的第 k 位小数的数字。现在定义一个新的实数 b=0.b(1)b(2)b(3)... ，其中的 b(k)=7 如果 a(k,k)=5 ，否则 b(k)=5 。因为 b 的每一位小数都和顺序表中任何一个实数不一样，这个 b 不可能在这表中。但顺序表假定是列出了所有（ 0 ， 1 ）区间的实数。这个矛盾证明了实数是不可数的。这是康托尔在 1891 年的证明用的“对角线法”技巧，其逻辑精彩绝纶，自此以后它的思想被大家借用，解决了一些难题。哥德尔的不完备性定理，其关键部分也是用了对角线法的思想。如果你还一下子转不过来，我再举例说明这个精妙的思想。如果小于 1 的正实数是可数的，它可以按某种次序列表出来，比如说这次序表的前 6 个如下： F(1)=0. 3 132789… F(2)=0.5 6 74321… F(3)=0.33 5 5212… F(4)=0.982 3 133… F(5)=0.0042 5 23… F(6)=0.32145 6 3… …… 为了醒目，我将其中的对角线元素 a(k,k) 用黑体字表示。现在新造出一个实数 b 来，这个 b 的第 k 位小数，是根据顺序表中，第 k 个实数的第 k 位的数值（这对角线上的黑体数字）而定，按照上面说的规则构造出的实数是 b=0.557575… 这个数 b 不可能在这顺序表中，因为它如果是表中第 n 个实数， b=F(n) ，那它们的第 n 位小数不相等 a(n,n) ≠ b(n) ，这是构造 b 时挖的坑，矛盾了。也就是说实数不是可数的。自然数是实数的一部分，所以实数的势比自然数和有理数大。称为不可数集。实数 R 的势，称为连续统的势，记为 c ， | R |=c $\aleph_{0}$ . 有理数和无理数的并集是实数，有理数是可数的，实数是不可数的，所以无理数也是不可数的。无理数比有理数多，而且“多得多”！能够成为整系数代数方程根的实数称为代数数，不是代数数的实数称为超越数。当人们正在讨论是否存在超越数时，康托尔手里还没有一个超越数，通过证明代数数是可数的，他就敢断言超越数不仅存在而且是不可数的多。这集合的势有没有上限？康托尔说没有。把集合 A 的所有子集看成一个新的集合，记为 2 A ，康托尔以构造罗素悖论的相同思路，用反证法证明了 |2 A ||A| ，这称为 Cantor’s theorem 。集合 A 的所有子集的势也可以记为 2 |A| =|2 A | ，当 A 是有限集合时，不难验证这个整数意义下的等式成立。实数可以用 0 和 1 来表示，每一个实数中的数字为 1 的位数集合，比如说 10.101 ，一一对应着整数的一个子集，例如是 {2 ， -1 ， -3} ，也就是实数与可数集上所有子集集合的势相等， c= $2^{\aleph_{0}}$ 。所有集合的势都可以比较吗？对有限集合肯定没问题，无穷集合中的可数集，实数集，集合和它子集的集合，上面都给出了肯定的答案。其他的无穷集的势呢？它们也是无穷大，既然有不同的无穷大，它们都能比较吗？用数学的术语来说是：集合势的大小关系是良序的吗？这个问题在朴素集合论中不能回答，也不能在 ZF 公理系统【 3 】中得到答案，人们在 ZF 中增加了一条公理叫选择公理 CH ，它与良序性等价。有了它所有的集合势就都可以比较了。接下去第二个问题，到底有没有集合的势在 c 和 $\aleph_{0}$ 之间？康托尔认为没有，这称为连续统假设 CH 。【 4 】更强的广义连续统假设 GCH 是说在 |2 A | 和 |A| 之间不存在着其他的势。哥德尔在 1940 年证明了这个假设与集合论 ZFC 公理下是不矛盾的，科恩在 1963 年证明了它们是独立的。至今这个问题仍被人们讨论。【 4 】至此，无穷大的比较问题似乎已经有了清楚的答案，虽然在公理的依据上有些争论。这是主流数学家对这个问题的答案，在这个基础上建立起了现代数学的大厦。上述无穷大的反直觉的性质，让一些喜欢直觉的人很不舒服。他们认为无穷集合不能像有限的那样，可以逐个检查验证，上面结果的几个关键证明，都是采用反证法的思辨。荷兰数学家布劳威尔认为经典逻辑是从有限集合的数学抽象出来，没有理由运用到无穷集合中。 1908 年，他反对把排中律运用于无穷集合上，也就是说在无穷情况下，不能用反证法。抽去了反证法这个支柱，这个无穷集合势的大厦轰然崩溃。现代数学的大部分结果都要重新考证。他认为除了可数集合之外，没有其他无穷集合，数学无穷集合只有一个势，即可数无穷。只有一种无穷大！康托尔几乎凭借着一己之力掀起思想革命，提供了平定数学界混乱的基础，当时的数学领袖希尔伯特信心满满地带领大家在上面建造新的大厦，布劳威尔的宣言几乎是破坏这安定团结的反动，将数学带回这革命前的混乱，希尔伯特终于忍无可忍地回应：“把排中律排除在数学之外，就像禁止拳手使用拳头。”布劳威尔激进的性格终于使得这矛盾不可协调，被排斥出主流数学界。布劳威尔是数学直觉主义的创始人，坚持所有数学对象必须是可以构造的，不能用排中律。上世纪三十年代初，由于哥德尔的工作，一些数学家开始重视直觉主义，但与主流数学的汪洋大海相比，直觉主义与后来比较温和的构造主义取得的成果就非常有限了。最令人尴尬的是，布劳威尔一生最伟大的成就——布劳威尔不动点定理，却是用自己所极力反对的，非构造性的方法来证明的。我们在这里看到数学的矛盾和争论，看到反复斟酌的公理。有人疑惑到底这些公理对不对？到底是信仰还是事实，在矛盾之中，哪个是真理？这是对数学不理解了，数学的研究是从一些非常基本的假设中，应用逻辑来看能够走多远，能够得到什么有用的结论。这些假设只要是自洽的，无关对错，只关是否有用，能否在应用时被接受。构成数学体系称为公理的假设，很多是非常基本近乎定义性的同语反复。还有一些公理被引入，是为了修补支撑已在实践中被广泛应用的数学结果和工具。被排斥的一些公理，不是因为错了，而是假设太强了，在这假设下得不到足够广泛有用的结果。喜欢数学对一些基础问题感兴趣的朋友，建议花点时间学习“点集拓扑”，即使是只学一两章也可以受益无穷，上述关于无穷集合的内容，只占 General Topology 【 5 】，第一章的中间部分，不到几页的内容，除了逻辑的头脑，几乎不需要其他基础。现代的分析数学是建立在在点集之上，由子集定义开集，用开集构造拓扑空间，引进邻域，在此定义收敛，连续，紧，距离，连通性，各种空间。数学系统所的程代展和我都曾经在国内修过分析和泛函，到美国第一年学了两个学期的拓扑，像中学生一样一道道题做，把各块石头都摸过，这让我们对数学有种脱胎换骨的感觉。在这个基础上重学了测度、随机过程、微分几何才觉得脚下是坚实的基础，一切概念和原理都可以回溯追问到集合的公理为止。这时候才感到：数学，不是教你怎么计算的，而是怎么引进假设，合乎逻辑地思考。【练习题】我的体会是，加深理解和记忆的最好办法是做习题，下面的问题都不难只用到上面介绍的知识。 1. 证明集合势比较关系的传递性，即 |A||B| 和 |B||C| 推出 |A||C| 。 2. 证明可数集的并集仍然是可数的。 3. 证明两个可数集的笛卡尔积仍然是可数的。（提示：方法类似于有理数的证明） 4. 证明代数数是可数的。（提示：多项式的系数是可数的，解是有限的，应用题 3 的结果）【参考资料】【1】维基百科，集合 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 【2】百度百科，映射 http://baike.baidu.com/view/21249.htm 【3】 Wiki, Zermelo–Fraenkel set theory http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory 【4】 Wiki, Continuum hypothesis http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis 【5】 Stephen Willard ， General Topology ， Addison-Wesley （ 1970 ）

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[转载]卢昌海：无穷集合可以比较吗？《十万个为什么数学卷》词条

热度 2 wenqinghui 2012-9-6 12:18

【文清慧注：下面是网友推荐给评论园地的文章。原文转载自 http://www.changhai.org/articles/science/mathematics/100000/infinity.php 】无穷集合可以比较吗？ - 《十万个为什么数学卷》词条 - - 卢昌海 - 大家都知道，自然数 ( 即 1, 2, 3, ...) 有无穷多个，平方数 ( 即 1, 4, 9, ...) 也有无穷多个。现在我们来考虑这样一个问题：自然数和平方数哪个更多？有读者也许会说： “ 这还用问吗？当然是自然数多啦！ ” 确实，平方数只是自然数的一部分，而整体大于部分，因此自然数应该比平方数更多。但细想一下，事情又不那么简单。因为每个自然数都有一个平方，每个平方数也都是某个自然数的平方，两者可以一一对应。从这个角度讲，它们又谁也不比谁更多，从而应该是一样多的 —— 就好比两堆石头，就算不知道各有多少粒，如果能一粒一粒对应起来，我们就会说它们的数目一样多。同一个问题，两个相互矛盾的答案，究竟哪一个答案正确呢？像这种对无穷集合进行比较 ( 即比较元素数目 ) 的问题，曾经让许多科学家感到过困扰。比如著名的意大利科学家伽利略就考虑过我们上面这个问题。他的结论是：那样的比较是无法进行的。不过，随着数学的发展，数学家们最终还是为无穷集合的比较建立起了系统性的理论，它的基石就是上面提到的一一对应的关系，即：两个无穷集合的元素之间如果存在一一对应，它们的元素数目就被定义为 “ 相等 ” 。按照这个定义，上面两个答案中的后一个，即自然数与平方数一样多，是正确的。但有读者也许会问：前一个答案所依据的 “ 整体大于部分 ” 在欧几里德的《几何原本》中被列为公理，不也是很可靠的吗？为什么不能作为对无穷集合进行比较的基石呢？这是因为，两个无穷集合之间通常并不存在一个是另一个的部分那样的关系。比如平方数的集合与素数 ( 即 2, 3, 5, 7, ...) 的集合就谁也不是谁的部分。如果用 “ 整体大于部分 ” 作为基石，就会无法比较。不过， “ 整体大于部分 ” 也并没有被抛弃，因为在无穷集合的比较中，还会出现这样的情形，那就是一个无穷集合的元素能与另一个无穷集合的一部分元素一一对应，却不能与它的全体元素一一对应。在这种情形下，数学家们就会依据 “ 整体大于部分 ” 的原则，将后一个无穷集合的元素数目定义为 “ 大于 ” 前一个无穷集合的元素数目 ( 或前一个无穷集合的元素数目 “ 小于 ” 后一个无穷集合的元素数目 ) 。这种情形的一个例子，是自然数集合与实数集合的比较。很明显，自然数集合的元素 ( 即自然数 ) 能与实数集合的一部分元素 ( 即实数中的自然数 ) 一一对应，但它能否与实数集合的全体元素 ( 即实数 ) 一一对应呢？答案是否定的 ( 参阅 “ 微博士 ”) 。因此自然数集合的元素数目 “ 小于 ” 实数集合的元素数目。现在我们知道了在无穷集合的元素数目之间可以定义 “ 相等 ” 、 “ 大于 ” 和 “ 小于 ” 这三种比较关系。但这还不等于是回答了 “ 无穷集合可以比较吗？ ” 这一问题。因为我们还不知道会不会有某些无穷集合，它们之间这三种关系全都不满足。那样的情形如果出现，就说明有些无穷集合是不能比较的 —— 起码是不能用我们上面定义的这三种关系来比较。那样的情形会不会出现呢？这是一个很棘手的问题，涉及到数学中一个很重要的分支 —— 集合论。而集合论有几个不同的 “ 版本 ” ，它们对这一问题的答案不尽相同。因此从某种意义上讲，这可以算是一个有争议的问题。不过，对于目前被最多数学家所使用的 “ 版本 ” 来说，这一问题的答案是明确的，即：那样的情形不会出现。换句话说，任何两个无穷集合都是可以比较的。二零一二年三月六日写于纽约二零一二年六月七日发表于本站 http://www.changhai.org/ 科学人对无穷集合进行比较的系统理论是德国数学家康托 (Georg Cantor) 提出的。康托生于 1845 年，是集合论的奠基者。康托的理论是如此新颖，连他自己也曾在给朋友的信件中表示 “ 我无法相信 ” 。与他同时代的许多其他数学家更是对他的理论表示了强烈反对，甚至进行了尖锐攻击。但时间最终证明了康托的伟大。他的集合论成为了现代数学的重要组成部分。德国数学大师希尔伯特 (David Hilbert) 在一篇文章中表示 “ 没有人能把我们从康托为我们开辟的乐园中赶走 ” 。英国哲学家罗素 (Bertrand Russell) 也称康托的理论 “ 也许是这个时代最值得夸耀的成就 ” 。微博士我们在正文中曾经举过一个例子，那就是自然数集合的元素数目 “ 小于 ” 实数集合的元素数目。现在让我们来证明这一点。我们要证明的是自然数不能与 0 和 1 之间的实数一一对应 ( 从而当然也不能与全体实数一一对应 ) 。我们用反证法：假设存在那样的一一对应，那么 0 和 1 之间的实数就都能以自然数为序号罗列出来。但是，我们总可以构造出一个新实数，它小数点后的每个数字都在 0 和 9 之间，并且第 n 位数字选成与第 n 个实数的小数点后第 n 位数字不同。显然，这样构造出来的实数与任何一个被罗列出来的实数都不同 ( 因为小数点后至少有一个数字不同 ) 。这与 0 和 1 之间的实数都能以自然数为序号罗列出来相矛盾。这个矛盾表明自然数是不能与 0 和 1 之间的实数一一对应的。这个证明所用到的构造新实数的方法被称为对角线方法，它在无穷集合的比较中是一种很重要的方法。返回文清慧：《统 … 论》评论园地首页： http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-593018.html

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