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宇宙新思维：暗能量与三维流形拓朴学: warlong 2012-12-7 12:20; 德国科学家托斯滕 * 阿瑟梅尔 - 马努伽（ Torsten Asselmeyer-Maluga ）、赫尔格 * 罗斯（ Helge Rosé ）于 2007 年 9 月在波兰 Ustroń 在某国理论物理际会议上作了题目为 “ 从物质到最深处 ” 的演讲，他们提出用时空的微分结构对物质作微分几何描述，可推导出宇宙中的三类能量（物质、暗物质和暗能量）的统一模型，而且采用该模型能计算暗物质对宇宙总能量的比值。几个世纪以来，我们曾坚信物质和我们周围的同类能量也组成了世界的其余部分。但通过对超新星和宇宙背景辐射的观测，发现宇宙的整体结构主要被一种能量形式（ 95% ）所主宰，但迄今它尚不为人知。这种能量形式的三分之二为“暗能量”（ dark energy ），而三分之一为“暗物质”（ dark matter ）。这是继哥白尼之后我们对宇宙理解的最彻底革命。去年，对这些未知形式的能量作了大力研究。对暗能量的许多解释假设在时空几何和重子物质的背后，存在一种作为暗能量源的其它实体。比如，粒子理论模型将这种作用赋予真空能，或引入其它整体标量场。对 WMAP 数据的首次评析认为庞加莱球（ Poincaré sphere ）满足宇宙拓朴学（ J.-P. Luminet et al., 2003 ）。这意味着宇宙是封闭的三维流形，它与三维球是同调的；而且，这个宇宙三维流形具有一个正曲率。托斯滕 * 阿瑟梅尔 - 马努伽、赫尔格 * 罗斯的模型基于如下事实，根据广义相对论，每种能量形式与三维流形的曲率有关，如物质必定可用弯曲的三维流形来解释。那么，爱因斯坦方程是三维几何演化的动力学方程。因此，托斯滕等（2007）作了如下基本假设：基本假设：所有可能的时空事件的四维流形是一个紧致而封闭的四维流形 M ，它是可微且简单连通的。宇宙是一个内嵌的三维流形 Σ ，它是紧致而封闭的。任何类型物质的能量密度可用有关的子流形 Σ 的曲率来描述。 Basic assumptions: The 4-manifold of all possible spacetime events is a compact, closed 4-manifold M which is di ﬀ erentiable and simply connected. The cosmos is an embedded 3-manifold Σ which is compact and closed. The energy density of any kind of matter is described by the curvature of the associated submanifold of Σ. 因为，四维流形的紧致性 1 意味着每个时空事件序列收敛于同一个四维流形的事件；流形是封闭的，如它没有边界或任意点的邻域总是流形的内部点（ inner point ）；紧致封闭性假设可解释流形所有的点是内部点，而任何时空事件必定是流形的一部分。该假设根据我们对时空的知识，看起来是自然的。简单连通性假设更为精妙，它意味着任何封闭的（类时）曲线是可紧致化的，如任何缺乏因果性的时间圈可收缩至一个点。由此，可通过假设的微分拓朴学（对可能的四维、三维流形构成极强约束）来研究其含义。如果每种能量用三维流形 Σ 的一些子流形的曲率来描述，那么爱因斯坦方程中就没有源，每种能量（包括物质）必可用几何表示出。那么，爱因斯坦方程 R ν = 0 表明：四维流形必定是里奇平直的（ Ricci-ﬂat ）。但只有一种里奇平直的、紧致的、简单连通的四维流形。而R.E. Gompf A.I. Stipsicz(1999) 得到了一个著名结论：紧致的简单连通的四维流形的微分结构或光滑结构可由一个可紧致化的子流形（ contractable submanifold ，即 Akbulut 塞 A ）来确定。 Akbulut 塞的边界是三维流形，它是一个所谓的同调三维球（ homology 3-sphere ），如与三维球 S 3 同调的三维流形。因此，我们假设宇宙 Σ 是一个同调三维球。在 K3 曲面情形，我们知道 Akbulut 塞及其边界 Σ = Σ(2, 5, 7) （ R.E. Gompf, A.I. Stipsicz, 1999 ）的结构。而且，只有三种可形成 Σ 的三维流形。我们约定贴片（ piece ）标示符号： 1. 负弯曲贴片 K i （物质，辐射）； 2. 正弯曲三维球 S 3 （暗物质）； 3. 两个正弯曲的庞加莱球 S 3 / I * （暗能量）。这个事实触发如下猜想：由同调三维球（ homology 3-sphere ）构成宇宙的三类三维流形对应三种物质：重子物质、暗物质和暗能量。（ The three types of 3-manifolds that constitute the cosmos as a homology 3-sphere, correspond to the three kinds of matter: baryonic matter, dark matter, and dark energy. ）因此，对所有观察到的能量密度类型获得了一种统一方法。故宇宙的整体结构可从时空自身的微分几何中推导出，而无需另外的实体，观测到的能量密度可与三类 Σ 的曲率作比较。作者进一步将采用威滕的一个结果（ E. Witten, 1988 ）来计算暗能量的能量密度与总能量的比值，以及暗能量作用量。威滕（ Witten, 1988 ）推导出三维爱因斯坦 - 希尔伯特作用量 S EH 与纯拓朴参数（流形的陈氏不变量）有关。然后，托斯滕等（2007）得出 SU (2) 连通 A 的陈氏不变量与爱因斯坦 - 希尔伯特作用量之间的简单关系式。通过进一步约束连通必须适合于黎曼度规，从而推出暗能量比例分数、暗能量密度，而且很好地拟合当前观测数据；采用哈勃常数的观测值，推得宇宙学常数与哈勃常数、暗能密度的关系式。托斯滕等（2007）的推算并没采用量子引力论观点，但陈氏不变量（ Chern–Simons invariant ）的出现却在暗示它与量子引力可能存在某种关系，陈氏不变量（ Kodama 态）的指数在圈量子引力（它可用于宇宙学）中是波函数。然而，托斯滕等（2007）的方法强烈需要一个正曲率宇宙，如 Ω 1 ，即宇宙拓朴学（ Brieskorn 球）是一个正曲率的封闭三维流形。但这是否符合宇宙实际情况，还有待未来天文观测检验。通过时空自身的结构来解释各种能量物质存在形式，这种研究思路无疑是朝自洽、简洁、优雅的正确方向前进。但博主对此要提出以下几个重大猜疑：前人对流形的定义和应用都是基于连续性假设和确定性原理，但实际上这是纯数学上考虑的，量子论的不确定性原理对此必然表示反对。若三维流形收缩到普朗克半径的微球（简称普朗克球或量子泡，plank sphere），那么庞加莱猜想就可能不再成立！即庞加莱球不可能无限收缩，至普朗克尺度必然发生量子反弹（即点内真空斥力作用），以避免宇宙流形中出现奇点。但庞加莱球从收缩转向反弹的机制还不清楚，我想这应该涉及到宇宙内外空间总能守恒、内外引斥耦合有关。因此，取消宇宙正曲率约束、协调相对论与量子论的矛盾、解决各种能量形式与真空流形的微分结构的对应关系、视界熵增与信息丢失、因果性等问题，不仅需要思考宇宙外真空流形结构，还要深究它与内真空物理性质的关系。但是，内真空流形该用什么样的场方程描绘？！我更愿意猜测宇宙内外真空连通一体，用统一的全息的“太极场方程”来描述。若找到太极场的拓朴不变量，就找到了可建构宇宙学各种物理常数的基石。 1 紧致性与世界线本征时间（ proper time ）可能的无穷性相矛盾。流形内的曲线可像佩亚诺曲线（ Peano’s curve ）那样无限长。; 个人分类: 道法自然|5757 次阅读|0 个评论

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