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宇宙学还可以这么学之基础篇第8回: 热度 9 shfengcj 2015-9-29 16:54; 【宇宙的微扰理论——背景和扰动】这天，司马弦兴奋地来到办公室，一进门就打开了话匣子：“小雨，在忙什么呢？我和导师终于做完了一个工作，结果还挺有意思，没有枉费这么多天的努力，想起来还有点小激动。” 张小雨：“师兄，你好厉害，给我讲讲你们都做了些什么研究？” 司马弦：“嗯，这个一两句话说不完，主要是如何从现有的观测数据来得利宇宙的演化历史，并且在这个过程中不预先引入任何宇宙模型,以后挑个时间仔细给你讲吧。还是先说说你，几天不见，在忙什么呢？” 张小雨：“最近正在学一个非常繁琐的东西——微扰理论，但老师说这部分内容非常有用。” 司马弦：“老师说的没错，如果没有扰动，世界是多么平淡无奇呀……” 张小雨：“师兄你就先别抒发感情了，赶紧跟我讲讲这个东西吧！” 司马弦：“好吧。首先我们要弄清楚一点，什么是扰动？”司马弦拿起粉笔在黑板上画了一条直线，接着说道，“举个例子，我现在画的是一个平静的水面，如果你扔下去一颗石子，水面就不再平静，而是泛起涟漪。通常，我们可以把原来平静的水面看成一个背景，而丢下去的石子则对这个背景产生了作用，作用的结果就是泛起的涟漪，我们把它叫做对背景的一个扰动。现在，如果原来的水面并不平静，而是在匀速流动，我们仍旧可以把这个匀速流动的水面作为一个背景。” 张小雨：“哦，我有点明白了。那么，如果原来的水面就已经被风吹得乱动，我再扔一颗石头进去的话，又会怎么样呢？” 司马弦：“这个问题有点复杂，主要看你研究的问题是什么了。如果你想知道水面被风和石头作用的综合效果是什么，就把它们一起看成对平静水面的扰动；但如果你想知道再扔一个石头的效果是什么，那么则应该把被风吹得乱动的水面作为一个背景了。所以，背景和扰动的选择不是唯一的。” 张小雨：“那在宇宙学中，我们怎么选择呢？” 司马弦：“直观上讲，把均匀和各项同性的宇宙作为背景，其他的都看成是扰动是比较自然的。你之前学的都是在研究宇宙背景的演化和历史。” 张小雨：“哦，微扰又是什么呢？” 司马弦：“从字面上讲，微扰就是微小的扰动。数学上要求某一个物理量的扰动远远小于它的背景。” 张小雨：“那为什么要研究微扰呢？直接研究扰动不就完了？” 司马弦：“呵呵，你以为大家不想吗？说实话，直接研究扰动很困难，而且没有普适的方法，但是微扰就相对简单一些，至少计算上可以做一些有益的近似。” 【宇宙的微扰理论——为什么要研究它】张小雨：“现在我明白什么是微扰了，可是宇宙学中为什么要研究这么个复杂的东西呢？” 司马弦：“因为它有用。仅仅有个宇宙背景在演化是不行的，必须要有扰动来生成宇宙的大尺度结构。张小雨：“这一点怎么理解呢？” 司马弦：“我们知道，引力是一种吸引力，并且这种力和质量成正比。假设我们的物质分布一开始是均匀的，比如一片平坦的沙漠。某一时刻，在某个地方出现了一个扰动，使得这个地方的物质多了一点，比如沙漠中鼓出了一个小沙堆，那么这个地方的引力就变得比其他地方强，于是越来越多的物质聚集在一起，比如沙堆变成了沙丘。同样，在宇宙中，这些微小的扰动最终就会形成一个个的结构，比如星系，星体等。想象一下，如果没有扰动，也就没有我们了。当然，这里要注意一点，并不是所有的扰动都会最终保留下来形成结构。” 张小雨：“师兄能再说得仔细一些嘛？” 司马弦：“好吧。我们来看一个方程，虽然这是个简单的情形，但弄懂了以后，复杂的也一样。”司马弦在纸上写下：“ 这里的是背景的物质密度，整个物质密度被分为两个部分：即‘背景+扰动’。这里的被称为相对密度扰动，是一个无量纲的量，k是波数，即波长的倒数。上面这个微分方程其实就是牛顿力学框架下，流体微扰理论中的一个方程。方程中的其它量可以暂时看成常数。这个方程有一个波动解：其中，能量E满足爱因斯坦质能关系（或者叫色散关系）：你看，如果它右边大于零，则的确是个波动解，可是如果右边小于零的话，E是一个虚数，带入波动解后，你会发现e指数上是一个实数。换句话说，扰动要么指数增长要么指数衰减。当然，我们感兴趣的是指数增长的解。现在已经很清楚了，只有波数k小于一定值的扰动才能增长成结构。这个值就是有名的金斯波数也就是说波长长的扰动才有可能是增长的。” 张小雨：“懂了。感觉扰动和上帝一样重要呀，嘿嘿，否则就没有人类了。可是，扰动是从哪里来的呢？” 司马弦：“有可能是量子扰动，有可能是热扰动，有可能是其他原因，当然，也有可能是这几种情况都有，有兴趣的话可以仔细研究一下。” 【宇宙的微扰理论——牛顿VS爱因斯坦】司马弦：“讲到这里，你就可以很顺利得看懂牛顿力学框架下的宇宙扰动理论，无非是引入了宇宙背景演化对扰动方程的影响，我就不再详细讲了，相信你完全能自己掌握。”司马弦思索了一番接着说道：“其实，我们所研究的宇宙背景是FRW度规，而扰动则包括度规的扰动和宇宙中物质组分的扰动，因此，严格得说，应该采用爱因斯坦框架下的微扰理论。只是在有些情况下，相对论的效应可以忽略，采用牛顿引力也能得到正确的结果。” 张小雨：“哦，原来如此。可是怎么研究爱因斯坦引力的微扰理论呢？是不是很复杂？” 司马弦：“复杂是肯定的，不过学下来还是很有意思的。” 张小雨：“那什么时候应该用爱因斯坦微扰理论，什么时候用牛顿的呢？” 司马弦：“这是一个好问题。我们先来看看爱因斯坦微扰理论究竟为什么复杂。你知道爱因斯坦方程是联系时空曲率和物质能量的一个方程，如果产生了一个物质密度的扰动，必定会通过这个方程传递给时空，继而引起描述这个时空的度规的扰动，反之也相同。而在牛顿力学中，时空是绝对的，因而也不存在时空本身的扰动，因此只要考虑物质部分的扰动就可以了。所以，一旦我们需要考虑时空本身的扰动情况时，就必须在爱因斯坦引力框架下使用扰动理论。” 张小雨：“我明白了。可是爱因斯坦的理论真的很复杂，公式也有很多，还要考虑规范的选取问题，师兄你有什么好的方法来学习它吗？” 司马弦：“知道卖油翁的故事吧，他可以从铜板的孔中将油注入葫芦里，油从钱孔注入而钱却没有湿，其原因很简单。” 张小雨抢着说道：“这个我知道，手熟嘛！” 司马弦：“是呀，学物理也是一样的，别看公式很多、很繁，一次一次得去接触它、分析它、甚至推导它，你就会觉得它是那么亲切！至于爱因斯坦引力框架下的微扰理论，我下次再和你聊吧。” 张小雨：“嗯。谢谢师兄！” （未完待续……）【博主按】很抱歉这么久了才更新一回，最近终于完成了手头上的一个研究工作。最后，把我工作中写的程序分享给大家吧。这是一个用python语言写的程序包，我花了一个暑假的时间编写、测试和并用在了研究工作中。它可以很方便得用于数值拟合分析：快速寻找最佳拟合值，蒙特卡罗模拟，画图都可以完成，并且是免费开源的，欢迎大家使用和指正。下载地址： https://github.com/shfengcj/pydm; 个人分类: 宇宙学还可以这么学之基础篇|6071 次阅读|20 个评论

宇宙学还可以这么学之基础篇第7回: 热度 9 shfengcj 2015-8-5 11:25; 【宇宙你多大了】司马弦：“小雨，最近没怎么见到你，学习忙吧？宇宙学学得如何了？” 张小雨：“嗯，是呀。最近学习还挺顺利的，告诉你一个好消息，我知道怎么计算宇宙年龄了，嘻嘻。” 司马弦：“哦？士别三日当刮目相看啊！你说说看怎么算？” 张小雨：“首先，来个简单的情况，假定宇宙是物质为主的，那么之前师兄你讲过，尺度因子的演化是：并且有这样，我们就可以得到今天宇宙的年龄是：代入哈勃参数的观测数据，得到的数值大概是100亿年。老师说，这个数值偏小，因为就目前所知，有些星系的年龄要有132亿年呢。” 司马弦：“不错不错，有进步。那你知道怎么测定宇宙的年龄吗？” 张小雨：“这个还真不知道呢。” 司马弦：“这还真是一个技术活，概括得讲有这么几种方法。比如，测定球状星团中最古老的星的年龄；测量星系中放射性元素的年龄；利用宇宙的膨胀速度测量等等。但是，这些测量中有很多未知的系统误差，从而造成了测量结果的不确定性。因此，寻找一个更加可靠的测量方法是一个有待解决的重要问题。” 张小雨：“师兄，你怎么知道哪颗星最古老呢？” 司马弦：“这个简单，谁的年龄最大谁就最老，当然，如果新发现了一颗年龄更大的星，老大的位置就自然让给它了，呵呵。”司马弦接着问道，“刚才你算的是一个非常简单的情况，也不符合观测，说明宇宙不应该一直以物质为主，那你知道怎么计算一般的情形呢？” 张小雨：“嘿嘿，我正要往下说呢。其实，计算年龄就是完成下面这个积分：如果忽略辐射的贡献，积分的结果近似为：代入物质和暗能量的观测值，就可以得到宇宙的年龄大概在137～138亿年左右。 ” 【宇宙的热历史】司马弦：“小雨，到现在为止，你已经学会了宇宙学的基本知识。如果按学武之人的说法，你已经练会了第一层。司马弦故意放慢了语速，俨然一副老者的语气，“学物理就像练武，要内外兼修，外功是计算能力，内功是对物理图像的把握。小师妹，你懂了吗？” 张小雨：“哈哈，还有这么一说啊。过几天老师就要讲宇宙的热历史，这算第二层呢？” 司马弦：“这个……，算是吧。其实，准确的说，这部分是从另外一个侧面来研究宇宙的演化。就好比一个人，他的身高和体重会随着时间变化，另一方面，他的学识、修养也会变化的。” 张小雨：“嗯。” 司马弦接着说道：“在宇宙演化的过程中，经历了许多重要的阶段。在每个阶段中，宇宙经历了不同的物理过程。当宇宙的温度不断得下降、冷却的时候，参加物理过程的粒子在不断得退出相互作用，我们称为退耦。这就好比一杯掺了许多杂质的水，经过一段时间的静置，杂质就会慢慢沉淀下来。在相互作用的粒子之间，由于能量的交换，它们保持了热平衡。但是，相互作用是需要时间的，换句话说相互作用必须足够快，否则粒子之间就不会反应，从而退出热平衡。” 张小雨：“那怎么知道相互作用是否足够快呢？” 司马弦：“很简单，快过宇宙膨胀速度就行。粒子的相互作用是一个散射问题（类似于经典物理中的碰撞），粒子之间要交换能量，就需要相互靠近。如果宇宙膨胀得很快，以至于它们还没靠近就分开了，那么交换能量的可能性就非常低了。” 张小雨：“哦，这个倒是挺容易理解的，那宇宙经过了哪些时期，发生了哪些物理过程呢？” 司马弦：“从早期到晚期，宇宙主要经历了普朗克时代、暴涨时代、大统一时代、弱电统一时代、夸克强子时代、中微子退耦、早期核合成（BBN）、物质辐射相等时期、再复合时期、暗世纪、再电离、星系形成时期、暗能量时期。不同的时期，有不同相互作用，由不同的物理来描述。比如普朗克时代，时空尚未形成，需要量子引力理论来描述；大统一时代，由大统一理论来描述；弱电统一时期，由弱电理论来描述；核合成时期，由原子核物理来描述等等。” 张小雨：“好复杂，这么多时期，这么多过程。” 司马弦：“是呀，有些知识，比如强、弱相互作用理论，你都还没有学过。不过，在宇宙学这门课程中，并没有过多涉及到这些理论知识。当然，利用课余时间了解一下它们也是有好处的。” 张小雨：“师兄，好像有本书叫《宇宙最初三分钟》，说的就是宇宙早期的事情吧？” 司马弦：“这是史蒂文.温伯格写的，有兴趣可以看看，毕竟是大牛写的。在最初的三分钟，宇宙完成了很多工作，并且合成了一些轻元素。其中特别重要的是氦元素的形成，通过简单的计算可知，氦的丰度大概是25%，与观测相当一致。这是大爆炸宇宙学的成功预言之一。” 张小雨：“宇宙热历史好像挺复杂的，我该怎么学呢？” 司马弦：“这部分内容对于初学者来说，是有点繁琐，我的建议是以了解为主，掌握其中的物理过程最为重要。” 【平行宇宙、多重宇宙】 (博主按：写这一节，是起源于科学网网友lrx的提问。) 张小雨：“师兄，最近好像很多人都在谈平行宇宙，多重宇宙，这是什么样的宇宙呢？” 司马弦：“呵呵，你还挺爱学习的嘛。平行宇宙，多重宇宙是一回事，英文叫parallel universes 或者 multiverse。简单的说，就是除了我们的宇宙，还有其它的宇宙存在。你可能会问，那这些宇宙在哪里？” 张小雨：“是呀，是呀，它们在哪里？” 司马弦：“就我所知，麻省理工的马克斯·泰马克（Max Tegmark）曾经在一篇论文中，从不同的层次来解释平行宇宙。第一层次指的是视界外的宇宙，这种多宇宙很好理解，就像烧开水之后，会有很多气泡，每个气泡相当于一个宇宙，气泡的边界相当于这个宇宙的视界。这种多宇宙的起源可能是混沌暴涨所致，每一个宇宙中的物理定律都是相同的，只不过它们的初始条件不一样。第二层次也是混沌暴涨所致，虽然每个宇宙的物理方程一样，但物理常数、基本粒子可能不同。” 司马弦喝了口水，接着说道：“第三层次是起源于量子力学。我们知道，量子力学是由波函数描述粒子状态的，在没有观测之前是不知道所观测对象所处的状态。比如，双缝实验中，我们不知道光子究竟从哪个缝隙通过，但如果我们去观测它究竟走哪条路径，你会发现干涉条纹消失了。宇宙也一样，一旦你做出观测，那么宇宙就以某一概率塌缩到了某一状态，但是它还有一定的概率率塌缩到另一状态，于是就有了多重宇宙。所以，这是一种量子力学引起的多宇宙。” 司马弦：“最后一个层次，有点难理解了。Tegmark认为其他不同的数学结构也应该对应着不同的物理规律，从而对应着不同的宇宙。” 张小雨：“那我们怎么知道到底有没有多宇宙呢？” 司马弦：“这个留给你去网上调研吧，一搜一大堆。呵呵，Tegmark的文章是 arXiv：0905.1283 你可以参考一下哦。 ” 张小雨：“谢谢师兄！” 司马弦：“借用一下Tegmark的图吧，希望他不会介意，如果有版权问题，请联系博主吧，呵呵。” (原图见：arXiv：0905.1283) （未完待续……）; 个人分类: 宇宙学还可以这么学之基础篇|6633 次阅读|23 个评论

宇宙学还可以这么学之基础篇第6回: 热度 7 shfengcj 2015-7-2 15:14; 【星际穿越与宇宙学】张小雨：“师兄，最近怎么老不见你呢？科学网也不上了？” 司马弦：“被老师抓着干活呢。呵呵，做科研就是这样，一旦忙起来其他也就顾不上了。你呢？最近课上得怎么样了？” 张小雨：“还行，至少没怎么落下，还‘偷偷’看了《星际穿越》呢，嘿嘿。不过好多内容没看明白。师兄你看过这个电影吗？” 司马弦：“这么经典的电影怎么会落下呢。情节设计得很有意思，不愧是诺兰导演的，又有大牌物理学家索恩做科学顾问，不可谓不好看。” 张小雨：“师兄，你说真的有虫洞存在，并且可以让我们进行时间旅行吗？” 司马弦：“嗯，这个问题嘛，说实话真的不知道。尽管我们可以找到虫洞的数学解，但是我们从来没有在宇宙中看到过。不过，充满科学幻想的电影嘛，还是值得一看，至少你可以在电影中领略到宇宙的深邃与神秘。” 张小雨：“那，在我们的宇宙学课程中，会不会讲这些内容呢？” 司马弦：“虽然黑洞，虫洞等等有趣的话题不会在宇宙学中提及，但是在这门科学中却有着自己独特、有趣的问题。” 张小雨：“哦？都有些什么呢？” 司马弦：“比如，宇宙的起源是什么？宇宙有多大年纪了？宇宙中存在着均匀的辐射是怎么来的？我们身体中的元素又来自何方？宇宙在膨胀还是收缩？宇宙最终将会怎样？……” 张小雨：“好像蛮有意思的，我都想知道，哈哈，是不是有点太贪心？” 【可观测宇宙】司马弦：“小雨，你知道宇宙的外面是什么吗？” 张小雨：“宇宙的外面？外宇宙？哈哈，不…知道。” 司马弦：“不知道就对了，谁都不可能知道。事实上，我问的这个问题是需要先解释一下的。首先，如果说宇宙就定义成所有的时空，那么我问的这个问题就是没有意义的。你想啊，有什么‘东西’可以脱离时空而存在呢，换句话说，本身就不存在宇宙的外面。但是，如果我所指的宇宙仅仅是可观测宇宙，这个问题当然是有意义的。” 张小雨：“这么复杂？那什么是可观测宇宙呢？” 司马弦：“其实，在英文中，用universe代表所有的时空，而用Universe（首字母大写）代表可观测宇宙。所谓的可观测宇宙，简单得说，就是我们可以看到的宇宙。”司马弦接着说道，“假如宇宙的年龄是137亿年，那么我们所能观测到的宇宙大概是400多亿光年。” 张小雨：“不对啊，师兄，既然宇宙年龄是137亿年，那么可以看到的宇宙应该是137亿光年呀，距离=光速x时间，不对吗？” 司马弦：“这其实是一个误会，原因很简单，我们的宇宙是在膨胀，而不是静止的。另外，你要知道，我们所能看到的最早的光是从宇宙微波背景辐射形成的时候（设为t1），因为之前的宇宙是不透明的，光子被自由电子关在‘屋子’里呢。”司马弦接着解释道，“我们来画一条线，并假定光从s1点发出，它和我们观测者（设为o1）的距离是137亿光年，那么它自然要经过137亿年才能到达我们这里。但是，在光传播的过程中，因为宇宙的膨胀，s1点离开最初那个位置，在不断远去，经过137亿年到达新的位置s2。同理，我们所在的o1点也到达了新的位置o2。简单起见，我们假定宇宙是以光速均匀膨胀的，那么s2与o2之间的距离大概是3x137=411亿光年。” 张小雨：“哦，原来是这么计算的。可是，相对论说物体的运动速度是不可以超过光速的，宇宙的膨胀为什么就能超过光速呢？” 司马弦：“还记得我们讲过的哈勃定律吗？看，星系退行的速度和距离成正比。当距离d超过1/H的时候，速度vc。相对论说的是时空中的任何物体的运动速度不能超过光速，但并没有限制时空本身的速度。还有，在距离超过1/H的星系上，比如d1=2/H ，发出的光（或者发生的事件），与我们现在的观测者是没有因果关系的，因为光信号传播的速度比星系退行的速度（v=2c）还要小。但是你要知道，H可不是一个常数哦，它会随着时间的推移变小，比如H减小到现在的1/3，那么此时处于位置d1的星系，它的退行速度为v=2c/3，它所发出的光自然可以被我们所看到。” 张小雨：“那我们不是可以看到原来越多的星系了吗？” 司马弦：“非常正确。简单回答刚才提出的问题吧：当前的可观测宇宙之外，是未来的可观测宇宙。” 【宇宙视界】张小雨一边听，一边把司马弦刚才说的话记录下来。趁着这个空档，司马弦端着杯子走出办公室，一步一摇，慢慢走向咖啡机。看来昨晚又熬夜了…… 司马弦：“刚才说到哪了？”不知道什么时候，司马弦又回到了办公室，“喝了杯咖啡，顿时觉得神清气爽，哈哈，我可不是做咖啡广告哦。” 张小雨：“师兄你也是蛮拼的，这样下去身体怎么吃得消呢？” 司马弦：“没事，咱小伙子，通个宵不算什么，关键是算着算着，就觉得非常兴奋，想停也停不下来。所以嘛，反正睡不着，索性就……” 张小雨：“师兄你刚才说的1/H这个量，是不是又叫哈勃视界？” 司马弦：“对。在宇宙学中，我们还会学到好几个视界，其中比较重要的是粒子视界和事件视界。” 张小雨：“听上去好陌生。” 司马弦：“其实，说白了，产生视界的原因很简单：光速是有限的。从t=0时刻发出的光，在时刻t的时候，所能走过的距离就是ct，如果观测者所处的位置超过了这个距离，那么他是观测不到这个光的，我们把这个距离定义为粒子视界。另外，在某个时刻t所发出的光，经过无穷大时间，所经过的距离，还是小于观测者所处的位置，那么他也是看不到这个光信号的，这个距离就定义为事件视界。它们的数学定义分别是：公式：粒子视界公式：事件视界 ” 张小雨：“粒子视界还比较好理解，事件视界好像不太明白，怎么会经过无穷时间，光还是不能到达观测者呢？” 司马弦：“你提了一个很好的问题，事件视界的确是不一定存在的，最起码上面这个积分你得收敛吧，如果是发散的，就等价于没有视界。”司马弦接着解释道，“这个事件视界有点类似于黑洞的视界（当然，它们不完全相同），如果一个宇航员经过了黑洞的视界，掉入黑洞，另外一个遥远的观测者是无法看到这一幕的，他只能看到宇航员永远停留在黑洞的视界附近。再比如说，我正在加速远离你（比如2倍声速），那么你对我所说的话，我是怎么也听不到了，除非我停下来。原因很简单对吧，因为你的声音跑的太慢了。” 张小雨：“现在明白了许多，多谢师兄！” 司马弦：“当然，宇宙学中还有其他的视界，有时候这些视界也会重合在一起。在视界上，人们还可以建立宇宙热力学，呵呵，慢慢学吧，有意思的东西还有很多。” 张小雨：“嗯，我会的。不过师兄你有空就教教我哦，还要多上上科学网，嘻嘻。” 司马弦：“呵呵，好的，只要不是太忙，一定会来的。” （未完待续……，预告，下次会告诉大家怎么计算宇宙的年龄。）【题外话】博主最近实在有些忙，但是一有空就会坚持更新博客。另外，希望大家可以留言，告诉我想了解些什么，内容可以不局限于宇宙学，比如上一回的【广义相对论vs牛顿万有引力】就是起源于科学网网友lrx的提问。尽管博主知识有限，但也愿尽自己所能为大家解答。; 个人分类: 宇宙学还可以这么学之基础篇|5631 次阅读|19 个评论

宇宙学还可以这么学之基础篇第5回: 热度 5 shfengcj 2015-6-15 11:03; 【小试牛刀之遗留问题】司马弦：“小雨，还记得上次留下来的问题吗？为什么辐射为主的宇宙，其能量密度不是和而是和成正比？” 张小雨：“好像算出来就是这样？至于物理上为什么是这样，还是没弄明白。” 司马弦：“上次说到，物质的密度和体积成反比，体积又和长度的三次方成正比，而长度由于宇宙膨胀而变长了，那么密度自然就和成正比，这是因为非相对论物质的能量主要来自于其静质量；可是对于辐射，它的能量来自动能，从量子力学中得知， ”,这里的分别是辐射的频率和波长。于是，我们得到：看，是不是和成正比呢。” 张小雨：“哦，原来是这样。” 司马弦：“所以说，光会计算还是不够的，还得理解和判断你所得的结果是否合理，这就需要有清晰的物理图像。事实上，在现代宇宙学，甚至物理学中，能够严格计算的情形并不多了，很多时候需要用到近似计算，那么最终结果的好坏将依赖于所选择的近似方法。如果你得到的计算结果和物理图像不一致，那么很有可能是近似的方法不对，或者近似条件已经被破坏了。因此，培养自己的物理感觉非常重要。当然，这也是急不得的事情，需要时间慢慢积累。” 张小雨：“嗯，记下师兄的话了。” 【宇宙学常数与真空能】张小雨：“师兄，我按照先前的方法，计算了一下的情形，得到即常数的解，而且宇宙是成指数膨胀的。如果是这样的话，那么随着宇宙的膨胀，它的能量不是越来越大了吗？这跟物质、辐射都不一样呢。” 司马弦：“你所计算的情形就是宇宙学常数作为主要成分的宇宙，它的能量密度就是一个常数，因为宇宙学常数本身就假定为常数嘛。虽然，随着宇宙膨胀，它的能量会变得越来越大，但是总的能量并没有增大，实际上是时空的能量转化给了宇宙学常数所代表的真空能。” 张小雨：“师兄，你说的真空能是量子力学中的那个真空能吗？它和宇宙学常数又有什么关系呢？” 司马弦：“是的。我说的真空能是某个量子场的真空能，它和你见到的量子力学的真空能本质上没有太多区别。我们知道经典力学中是没有真空能这个概念的，只有在量子力学的范畴内，才会讨论真空能。在量子场论中，所有的基本粒子都是它的真空能的激发态。当然，这一说法并不严格，但是对于我们理解真空能是有帮助的。”司马弦接着说道：“通过简单的计算，你会发现真空能是一个常数，而且是一个很大的常数。由于它是一种能量，它也能引起时空的弯曲。不过，你也可以把这个常数，人为地放到爱因斯坦方程的左边，那么它的地位就相当于爱因斯坦当年引入的宇宙学常数了。” 张小雨：“哦，可是我听说在量子场论中，计算的真空能是一个无穷大？这又是怎么一回事？” 司马弦：“因为这个计算近似是这样的：很明显，它是一个发散的积分。不过，在现有的量子场论框架中，这个积分是不能积到无穷大的，因为在那时，量子场论就已经失效了，必须要对其进行引力的修正，这就是传说中的量子引力理论。但是，自洽的量子引力理论还没有被发现，所以我们不得不采用一个折中的方案，给这个积分一个截断， ,并假设这个截断之下的量子场论是有效的，不需要引力修正的。”司马弦思索了一下，接着说道，“通常，这个截断会选的比较大，比如大统一能标，甚至是普朗克能标。可是，当前的观测表明，宇宙的真空能实际上是非常小的，因此，宇宙学常数作为暗能量的候选者有着它自己的痛。关于暗能量，咱们以后再聊。” 张小雨：“现在明白了，宇宙学常数和真空能实际上没有太大的区别，它们都代表一种能量密度为常数的宇宙组分，并且在这种组分为主的宇宙中，宇宙是成指数膨胀的，俗称暴涨。” 【广义相对论vs牛顿万有引力】 (博主按：写这一节，是起源于科学网网友lrx的提问，可能很多人都想了解一下广义相对论是如何处理引力问题的，虽然有些时候有点用牛刀杀鸡的感觉，但从简单的例子来了解广义相对论，也未尝不是一件好事。) 张小雨：“师兄，虽然我算了一堆，但对广义相对论还是没有太多感觉，你能举个例子吗？” 司马弦：“好的。首先，我们来具体理解一下度规。比如，一个三维空间的度规写成：或者写成：那么，就可以这样计算三维空间两点之间的距离推广到四维也是一样的。” 司马弦接着说：“现在，我们考虑一个球对称物体，比如地球、太阳，通过求解爱因斯坦方程，来得到这个球对称物体之外的度规，这就是著名的Schwarzschild解。根据对称性，我们可以假设度规是这样的（球坐标）：这里的A,B是待定的函数，也就是我们要求解的函数。好了，比较痛苦的事情来了，计算联络、曲率张量：这里就不一一展示了。因为我们所求的是真空解，爱因斯坦方程的右边设成零即可。最终得到的 Schwarzschild解如下：这里的。接下来，把这个度规带入到测定线方程中：通过求解这个方程组，我们就能得到一个物体是如何在时空中运动的。比如，在太阳引起的弯曲时空中，地球、水星等的运动轨道。由于这个方程组不太容易直接求解，通常我们会利用对称性和守恒量来简化计算，这里就展示一下其中的一个方程：其中，，L是轨道角动量（守恒量）,r是地球、水星或者其他星体到太阳的径向距离。上面这个方程右边的第一项可以从牛顿力学得到（参考力学教程），第二项是广义相对论的修正。这两项的比值大概是：这下你看到广义相对论与牛顿力学的区别了吧？在低速近似下，广义相对论将回到牛顿力学。至于上面这个方程如何求解，是个纯数学问题，就不再展开了。另外，通过求解该方程，还可以计算出水星近日点的进动角。在牛顿力学中，我们无法解释水星每世纪 43的进动角，有了广义相对论的修正，却可以很好得解释它，这也正是广义相对论的成功之处。当然，太阳系中，其他的每一颗行星都有进动角，只是它们的相对论效应比较小，用牛顿力学就足以能够解释了。” （未完待续……，预告：下次会讲到宇宙中的视界）; 个人分类: 宇宙学还可以这么学之基础篇|8904 次阅读|7 个评论

宇宙新思维：暗能量与三维流形拓朴学: warlong 2012-12-7 12:20; 德国科学家托斯滕 * 阿瑟梅尔 - 马努伽（ Torsten Asselmeyer-Maluga ）、赫尔格 * 罗斯（ Helge Rosé ）于 2007 年 9 月在波兰 Ustroń 在某国理论物理际会议上作了题目为 “ 从物质到最深处 ” 的演讲，他们提出用时空的微分结构对物质作微分几何描述，可推导出宇宙中的三类能量（物质、暗物质和暗能量）的统一模型，而且采用该模型能计算暗物质对宇宙总能量的比值。几个世纪以来，我们曾坚信物质和我们周围的同类能量也组成了世界的其余部分。但通过对超新星和宇宙背景辐射的观测，发现宇宙的整体结构主要被一种能量形式（ 95% ）所主宰，但迄今它尚不为人知。这种能量形式的三分之二为“暗能量”（ dark energy ），而三分之一为“暗物质”（ dark matter ）。这是继哥白尼之后我们对宇宙理解的最彻底革命。去年，对这些未知形式的能量作了大力研究。对暗能量的许多解释假设在时空几何和重子物质的背后，存在一种作为暗能量源的其它实体。比如，粒子理论模型将这种作用赋予真空能，或引入其它整体标量场。对 WMAP 数据的首次评析认为庞加莱球（ Poincaré sphere ）满足宇宙拓朴学（ J.-P. Luminet et al., 2003 ）。这意味着宇宙是封闭的三维流形，它与三维球是同调的；而且，这个宇宙三维流形具有一个正曲率。托斯滕 * 阿瑟梅尔 - 马努伽、赫尔格 * 罗斯的模型基于如下事实，根据广义相对论，每种能量形式与三维流形的曲率有关，如物质必定可用弯曲的三维流形来解释。那么，爱因斯坦方程是三维几何演化的动力学方程。因此，托斯滕等（2007）作了如下基本假设：基本假设：所有可能的时空事件的四维流形是一个紧致而封闭的四维流形 M ，它是可微且简单连通的。宇宙是一个内嵌的三维流形 Σ ，它是紧致而封闭的。任何类型物质的能量密度可用有关的子流形 Σ 的曲率来描述。 Basic assumptions: The 4-manifold of all possible spacetime events is a compact, closed 4-manifold M which is di ﬀ erentiable and simply connected. The cosmos is an embedded 3-manifold Σ which is compact and closed. The energy density of any kind of matter is described by the curvature of the associated submanifold of Σ. 因为，四维流形的紧致性 1 意味着每个时空事件序列收敛于同一个四维流形的事件；流形是封闭的，如它没有边界或任意点的邻域总是流形的内部点（ inner point ）；紧致封闭性假设可解释流形所有的点是内部点，而任何时空事件必定是流形的一部分。该假设根据我们对时空的知识，看起来是自然的。简单连通性假设更为精妙，它意味着任何封闭的（类时）曲线是可紧致化的，如任何缺乏因果性的时间圈可收缩至一个点。由此，可通过假设的微分拓朴学（对可能的四维、三维流形构成极强约束）来研究其含义。如果每种能量用三维流形 Σ 的一些子流形的曲率来描述，那么爱因斯坦方程中就没有源，每种能量（包括物质）必可用几何表示出。那么，爱因斯坦方程 R ν = 0 表明：四维流形必定是里奇平直的（ Ricci-ﬂat ）。但只有一种里奇平直的、紧致的、简单连通的四维流形。而R.E. Gompf A.I. Stipsicz(1999) 得到了一个著名结论：紧致的简单连通的四维流形的微分结构或光滑结构可由一个可紧致化的子流形（ contractable submanifold ，即 Akbulut 塞 A ）来确定。 Akbulut 塞的边界是三维流形，它是一个所谓的同调三维球（ homology 3-sphere ），如与三维球 S 3 同调的三维流形。因此，我们假设宇宙 Σ 是一个同调三维球。在 K3 曲面情形，我们知道 Akbulut 塞及其边界 Σ = Σ(2, 5, 7) （ R.E. Gompf, A.I. Stipsicz, 1999 ）的结构。而且，只有三种可形成 Σ 的三维流形。我们约定贴片（ piece ）标示符号： 1. 负弯曲贴片 K i （物质，辐射）； 2. 正弯曲三维球 S 3 （暗物质）； 3. 两个正弯曲的庞加莱球 S 3 / I * （暗能量）。这个事实触发如下猜想：由同调三维球（ homology 3-sphere ）构成宇宙的三类三维流形对应三种物质：重子物质、暗物质和暗能量。（ The three types of 3-manifolds that constitute the cosmos as a homology 3-sphere, correspond to the three kinds of matter: baryonic matter, dark matter, and dark energy. ）因此，对所有观察到的能量密度类型获得了一种统一方法。故宇宙的整体结构可从时空自身的微分几何中推导出，而无需另外的实体，观测到的能量密度可与三类 Σ 的曲率作比较。作者进一步将采用威滕的一个结果（ E. Witten, 1988 ）来计算暗能量的能量密度与总能量的比值，以及暗能量作用量。威滕（ Witten, 1988 ）推导出三维爱因斯坦 - 希尔伯特作用量 S EH 与纯拓朴参数（流形的陈氏不变量）有关。然后，托斯滕等（2007）得出 SU (2) 连通 A 的陈氏不变量与爱因斯坦 - 希尔伯特作用量之间的简单关系式。通过进一步约束连通必须适合于黎曼度规，从而推出暗能量比例分数、暗能量密度，而且很好地拟合当前观测数据；采用哈勃常数的观测值，推得宇宙学常数与哈勃常数、暗能密度的关系式。托斯滕等（2007）的推算并没采用量子引力论观点，但陈氏不变量（ Chern–Simons invariant ）的出现却在暗示它与量子引力可能存在某种关系，陈氏不变量（ Kodama 态）的指数在圈量子引力（它可用于宇宙学）中是波函数。然而，托斯滕等（2007）的方法强烈需要一个正曲率宇宙，如 Ω 1 ，即宇宙拓朴学（ Brieskorn 球）是一个正曲率的封闭三维流形。但这是否符合宇宙实际情况，还有待未来天文观测检验。通过时空自身的结构来解释各种能量物质存在形式，这种研究思路无疑是朝自洽、简洁、优雅的正确方向前进。但博主对此要提出以下几个重大猜疑：前人对流形的定义和应用都是基于连续性假设和确定性原理，但实际上这是纯数学上考虑的，量子论的不确定性原理对此必然表示反对。若三维流形收缩到普朗克半径的微球（简称普朗克球或量子泡，plank sphere），那么庞加莱猜想就可能不再成立！即庞加莱球不可能无限收缩，至普朗克尺度必然发生量子反弹（即点内真空斥力作用），以避免宇宙流形中出现奇点。但庞加莱球从收缩转向反弹的机制还不清楚，我想这应该涉及到宇宙内外空间总能守恒、内外引斥耦合有关。因此，取消宇宙正曲率约束、协调相对论与量子论的矛盾、解决各种能量形式与真空流形的微分结构的对应关系、视界熵增与信息丢失、因果性等问题，不仅需要思考宇宙外真空流形结构，还要深究它与内真空物理性质的关系。但是，内真空流形该用什么样的场方程描绘？！我更愿意猜测宇宙内外真空连通一体，用统一的全息的“太极场方程”来描述。若找到太极场的拓朴不变量，就找到了可建构宇宙学各种物理常数的基石。 1 紧致性与世界线本征时间（ proper time ）可能的无穷性相矛盾。流形内的曲线可像佩亚诺曲线（ Peano’s curve ）那样无限长。; 个人分类: 道法自然|5757 次阅读|0 个评论

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标签: 宇宙学常数

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