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称球问题的两种方法: 热度 8 Liweigang 2013-2-1 04:00; 1 月 30 日，科学网的应行仁老师发表博文《称球问题》，提出智力思考堆栈( Call Stack) 的深度概念，获编辑部青睐，精选置顶。一时间科学网众博主兴趣多多，到目前为止共有 23 位博主推荐， 50 个评论， 3592 人次访问。称球问题的源头还是科普才女，张天蓉老师的杰作：有十三个球，其中十二个重量相同，只有一个次品，不知是轻了还是重了。请用天平秤三次，将这个次品找出来。本来应老师已给出基本的称法，大家深入理解就是了，但不想有两位较真的博主硬是要从命题本身来否定这个练脑小题。数学行家李世春老师看到后，以极大的兴趣另发博文《 8 个球就可以证明 “ 十三球问题 ” （称球问题）无解》，特别作出结论：无论怎么摆放球，称量 3 次不可能从 13 个球中找到那个次品。物理学家戴德昌老师也专门撰文，认为此问题需要穷举法和运气来解决，调侃道《称球问题是忽悠小朋友》，认为“哥哥”，的问题错了。本文给出高中生 Danilo Li ( 柱柱 ) 和巴西利亚大学博士生郑建亚对称球问题的的两种解法。 Danilo Li 的方法共列出 20 种可能通过 3 次秤球找到次品。郑建亚的的解法，共有 13 种可能称法找到次品。列出两种算法的目的在于说明称球问题应该有解，而且还有多种方法。本文应着张天蓉老师的初衷，让孩子和学生们练练脑。文中的表述仅以秤 3 次过程中相关的逻辑关系，找出次品为目的，没有任何完备性理论证明和数学模式化。期待着应行仁老师下一篇文章对此问题的构造性证明和新的提示。敬请应行仁老师、李世春老师和戴德昌老师等科学网的众博友指导访问。一、 Danilo Li 的解法 1. 四四分法的平衡情况第一次秤： A(4) 球 ――――――――――――― B( 4) 球 △ 上图中 A 表示天平的左边， B 表示天平的右边。括号内的数字表示天平该边托盘上放置的球的数目。 1.0: 两边平衡在 A 边保留 3 个球从剩余的 5 个球里面拿出 3 个放 B 边。平衡情况第二次秤： A(3) 球 ――――――――――――― B( 3) 球 △ 可分为两种情况： 1.1: 两边平衡在 A 边保留 1 个球，从剩余的 2 个球里面拿出 1 个放 B 边。第三次秤： A(1) 球 ――――――――――――― B( 1) 球 △ 1.1.1: 两边平衡从剩余的 1 个球是次品。 ( 第 1 种可能 ) 1.1.2: 两边不平衡 B 边的球是次品。 ( 第 2 种可能 ) 1.2: 两边不平衡 B 边的 3 个有次品 1.2.1 B 边朝下，说明次品更重 B 保留 1 个，从 B 边拿下的两个球任意一个放到 A 边第三次秤： A(1) 球 ――――――――――――― B( 1) 球 △ 三种情况： 1.2.1.1 A 边朝下，则是 A 边这个球是次品； ( 第 3 种可能 ) 1.2.1.2 B 边朝下，则是 B 边这个球是次品； ( 第 4 种可能 ) 1.2.1.3 两边平衡，则是原 B 边第 3 个球是次品。 ( 第 5 种可能 ) 2. 四四分法的不平衡情况由于该情况较复杂，下面在称球的过程中，加上各球的编号，分别放在天平两边托盘上面。第一次秤： 1,2,3,4 5,6,7,8 A(4) 球 ――――――――――――― B( 4) 球 △ 剩下 5 个球： 9 ， 10 ， 11 ， 12 ， 13 不平衡情况 - A 边朝下， B 边朝上情况 2.0: 两边不平衡因为第一次秤时的不平衡，次品应在 1 ， 2 ， 3 ， 4 号球或 5 ， 6 ， 7 ， 8 号球中。第二次秤： 1,2,5,6,7 9,10,11,12,13 A(5) 球 ――――――――――――― B( 5) 球 △ 将 B 边 3 个球： 5 ， 6 ， 7 号球放到 A 边。把原 A 边的球里拿出 2 个： 3 ， 4 号球。 2.1 两边平衡因为平衡，已知次品球在 3 ， 4 ，或 8 号球中。第三次秤： 3,8 9,10 A(2) 球 ――――――――――――― B( 2) 球 △ 2.1.1 两边平衡根据第二次秤时的平衡结果，在此情况下只有 4 号球是次品。 ( 第 6 种可能 ) 2.1.2 两边不平衡在此情况下 3 或 8 号球会是次品。 2.1.2.1 A 边朝下如果第一次秤， A 边朝下， 3 号球是次品。 ( 第 7 种可能 ) 如果第一次秤， B 边朝下， 8 号球是次品。 ( 第 8 种可能 ) 2.1.2.2 A 边朝上如果第一次秤， A 边朝下， 8 号球是次品。 ( 第 9 种可能 ) 如果第一次秤， B 边朝下， 3 号球是次品。 ( 第 10 种可能 ) 2.2 两边不平衡因为不平衡，已知次品球在 1 ， 2 ， 5 ， 6 或 7 号球之中。 2.2.1 第一次秤 A 边朝下且第二次秤 A 边还是朝下 1 或 2 号球会是次品。第三次秤： 1 2 A ( 1 ) 球 ――――――――――――― B ( 1 ) 球 △ 2.2.1.1 A 边朝下 1 号球是次品。 ( 第 11 种可能 ) 2.2.1.2 B 边朝下 2 号球是次品。 ( 第 12 种可能 ) 2.2.2 第一次秤 A 边朝下且第二次秤 A 边朝上 5 ， 6 或 7 号球是次品。第三次秤： 5 6 A(1) 球 ――――――――――――― B( 1) 球 △ 2.2.2.1 A 边朝下 6 号球是次品。 ( 第 13 种可能 ) 2.2.2.2 B 边朝下 5 号球是次品。 ( 第 14 种可能 ) 2.2.2.3 两边平衡 7 号球是次品。 ( 第 15 种可能 ) 2.2.3 第一次秤 A 边朝上且第二次秤 A 边朝下 5 ， 6 或 7 号球是次品。第三次秤： 5 6 A(1) 球 ――――――――――――― B( 1) 球 △ 2.2.3.1 A 边朝下 5 号球是次品。 ( 第 16 种可能 ) 2.2.3.2 B 边朝下 6 号球是次品。 ( 第 17 种可能 ) 2.2.3.3 两边平衡 7 号球是次品。 ( 第 18 种可能 ) 2.2.4 第一次秤 A 边朝上且第二次秤 A 边还是朝上第三次秤： 1 2 A(1) 球 ――――――――――――― B( 1) 球 △ 2.2.4.1 A 边朝下 2 号球是次品。 ( 第 19 种可能 ) 2.2.4.2 B 边朝下 1 号球是次品。 ( 第 20 种可能 ) 二、郑建亚的解法该算法也是基于四四分法，将 13 个球分别进行编号， 1-13 号。 ?为标准球。第一步（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ） VS （ 5 ， 6 ， 7 ， 8 ）共有两种情况：平衡 1.1 和不平衡 1.2 1.1 天平平衡，说明问题在（ 9 ， 10 ， 11 ， 12 ， 13 ），其他球为标准球。第二步（ 9 ， 10 ， 11 ） VS （ ?，?，? ）同样有两种情况：平衡 1.1.1 和不平衡 1.1.2 1.1.1 平衡说明问题在（ 12 ， 13 ）球。第三步：（ 12 ） VS （ ? ）得到结果：如果平衡， 13 号是次球。如果不平衡， 12 是次球。 1.1.2 不平衡说明问题在（ 9 ， 10 ， 11 ）球，而且知道次球比标准球是轻还是重。第三步：（ 9 ） VS （ 10 ）得到结果：如果平衡， 11 号是次球。如果不平衡，根据次球的轻重可以确定 10 或 9 哪个是次球。 1.2 天平不平衡，说明问题在（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ）球。同时可知重量（ 1+2+3+4 或 5+6+7+8 ）第二步（ 1 ， 2 ， 3 ， 5 ） VS （ 4 ， ?，?，? ）有两种情况： 1.2.1 平衡和 1.2.2 不平衡。 1.2.1 平衡说明问题在（ 6 ， 7 ， 8 ）球。而且可以确定次球轻重。第三步（ 6 ） VS （ 7 ）得到结果：如果平衡， 8 号是次球。如果不平衡，根据次球轻重可知 7 或 6 号是次球。 1.2.2 如果不平衡说明问题在（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ）球。不平衡有两种情况， 1.2.2.1 天平倾斜不变， 1.2.2.2 天平倾斜改变。 1.2.2.1 天平倾斜改变，说明问题出在（ 4 ， 5 ）球。第三步（ 4 ） vs （ ? ）得到结果：如果平衡， 5 号是次球。如果不平衡， 4 号是次球。 1.2.2.2 天平倾斜不变，说明问题出在（ 1 ， 2 ， 3 ）球。且可知次球轻重。第三步（ 1 ） vs （ 2 ）得到结果：如果平衡， 3 号是次球。如果不平衡，根据次球轻重可知 2 或 1 号是次球。感谢以上提到的各位老师和科学网的众博主的支持和关注。注：应行仁老师已给出该问题的通解，请见： http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-658533.html; 个人分类: 社交网络|10453 次阅读|29 个评论

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