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大爆炸理论的平坦性疑难: 热度 6 tianrong1945 2016-1-14 08:42; 14. 平坦性疑难微波背景辐射图 -CMB ，是一个埋藏“宇宙之谜”的宝藏。挖掘不止，宝贝也层出不穷。如上节所介绍的， CMB 的图景太均匀了，给物理学家们提出了一个“视界疑难”，后来，在几个探测卫星的帮助下，终于发现了不均匀的图案，而应该如何来解释这个不均匀性？又有了无数的问题摆在物理学家们面前。这些图案是随机分布的吗？应该不是。那么，从这个各向异性、看起来星星点点的“宇宙蛋”，能得到哪些宇宙演化的奥秘呢？既然不均匀的“宇宙蛋”图像，是从宇宙 38 万岁时候的等离子体状态“婴儿宇宙”发出来的，这些“蛋上的斑斑点点”很可能反映了那碗等离子体“汤”的密度不均匀性。图 14-1 ：水波涟漪及其傅立叶变换谱密度不均匀意味着宇宙早期的等离子体中有振动模式存在，振动使得密度不均匀，一张一弛、有疏有密。比如说可以用液体中的波动来比喻：如果往平静的水面上丢下一个石头，将会激起水中的涟漪，如图 14-1a 所示，涟漪带动的水分子振动，一圈一圈地向四周扩散。极早期宇宙中引力效应的量子涨落，也可能像水中的涟漪一样，以声波的形式在等离子体中传播。研究波动最好的数学方法是傅立叶展开，如图 14-1b 所显示的，便是水波傅立叶变换后的能量谱。能谱中的不同峰值分别对应于水涟漪中的基波和谐波。不妨将各向异性“宇宙蛋”图案（图 14-2 ），看作是等离子体最后散射面上被声波激起的涟漪。如此一来，也能仿照水中涟漪的情形，对此图案进行傅立叶变换。二维空间中直角坐标下的傅立叶变换是将图像在水平和垂直两个方向上展开成若干正弦（余弦）函数的叠加。 CMB 的图貌似 2 维平面图像，但实际上它是由一个球面图投影而成，与从立体地球制成平面地图的过程相仿。实际上， CMB 的结果本来就是来自于对宇宙空间之“天球”四面八方的观测，最后散射面则是能够观测到的宇宙最外层的球壳。因此，最方便的 CMB 图像分析法是使用球坐标中的球谐函数展开。物理学家们在得到了如此展开的角功率谱之后惊奇地发现，对角功率谱曲线的精确测量和分析，开启了“早期宇宙演化史”研究的大门【 1 】。特别是，从角功率谱曲线的第一峰值的位置，可以验证宇宙的整体平坦性，如图 14-2 右图曲线所示。其它第二、第三谐波的峰值，也对重子物质和暗物质的成分比值计算，起了决定性的作用【 2 】。图 14-2 ： CMB 图和角分布功率谱说到宇宙时空的平坦性，有局部和整体两层意思。根据广义相对论的结论，物质的存在使得时空弯曲。因此，在质量巨大的天体附近，光线不走直线，宇宙的局部时空肯定不是平坦的。不过，宇宙学中感兴趣的是更大尺度范围内的另一种“整体平坦性”。弗里曼度规将宇宙描述为按照时间因子 a(t) 变化的一系列“ 3 维空间”，这个空间的“形状”简单地由曲率因子 k 所描述， k 可以取值（ -1,0, 1 ），分别对应于三种不同的几何：马鞍面几何、平面几何、球面几何。其几何特征可以用一个特点作为典型代表：三角形的内角和分别（、 = 、 180 度）。宇宙尺度的弯曲性仍然是遵循广义相对论，被宇宙中物质的平均密度所决定。曲率因子 k 与空间的物质总密度 r 有关，或者说，与密度 r 和临界密度 r c 的比值 W （ =r/r c ）有关。当宇宙空间中充满了太多的物质（ W1 ），即总物质密度 r 大于临界密度 r c 时，宇宙的几何性质是球面几何；如果宇宙空间中物质总量太少，使得其密度小于临界密度的话，宇宙表现双曲几何；如果物质密度刚好等于临界密度，则为欧氏几何。宇宙空间的整体几何形状也与宇宙是有限还是无限相联系。（ W1 ）的球面几何对应于一个有限而无界的宇宙，（ W1 ）的双曲几何对应于一个开放而无限的宇宙。如果（ W=1 ），则为介于前两者之间的平直宇宙。但这个平直宇宙是有限还是无限却不一定。从嵌入 3 维空间的 2 维曲面的几何形状可知，曲率为 0 的 2 维平面是无限大的。然而，我们可以将一张平直的纸卷成圆柱面，柱面仍然是一个欧氏空间， 2 维中的一维成为了尺度有限的圆，另外 1 维仍然是无限大。有人想，如果把另外 1 维也卷成一个圆圈，做成甜甜圈的形状，不就变成了有限的了吗？甜甜圈表面的整体尺寸的确是有限的，但却不是一个平直的欧氏空间了。刚才所说的是嵌入 3 维空间中的 2 维甜甜圈表面。将这点应用于宇宙学中有点不同，宇宙空间是 3 维的，平直的 3 维宇宙可以类似地 “ 卷 ” 成一个 3 维的甜甜圈表面而嵌入到 4 维空间中且仍然保持平直，但我们无法直观想象那种图形。不过，根据数学家们的分析结果，这种 “ 3 维甜甜圈表面 ” 是平直的。所以，平直宇宙可以具有两种拓扑形状：一种是开放无限的，另一种是封闭有限的，即 4 维空间中的 3 维甜甜圈表面。现在，我们再回到 CMB的角功率谱。用球谐函数展开也就是用球多极矩系数l展开，l=0，1，2，3、4……分别对应于单极矩、偶极矩、三极矩、四极矩等等。系数l的数值越大，对应于CMB图上越精细的结构。也可以换个说法：系数l的数值越大，对应于CMB图上越小的观察角距离。比如说，l=1对应于180 o ，l=210对应于1 o 左右。CMB图上结构的尺寸是来源最后散射面上（等离子体中）的声波传播距离，而实际观察到的“角距离”数值大小，就与空间的弯曲情况有关了，这点可以从图14-3中描述的三种情形来说明。图 14-3 ：观测到的角距离与空间弯曲性有关图 14-3 中，等离子体中基波的传播距离为 l ，如果宇宙空间是平坦的，从 CMB 观测得到的距离也是 l ；如果宇宙空间是球面的，从 CMB 观测得到的距离将大于 l ；反之对马鞍面形宇宙，观测结果则小于 l 。因此，从基波波峰在角功率谱上的位置，便可以测量宇宙的平坦性。可以根据等离子体物理及大爆炸模型进行一点粗略的理论计算【 3 】，得到基波的波峰大概应该在角距离等于 1 度，多极矩系数 l=200 附近，如图 14-2 右图中红线所示。因此，从实际接受到的 CMB 数据画出来的功率谱的波峰位置与理论（红线）位置的差距，便可以计算出宇宙空间的平直性。根据普朗克卫星 2015 年的结果，与其他超新星测量等数据结合在一起，可给出与空间曲率有关的 W K ，其最大值是 Ω K = 0.000 ± 0.005 【 4 】。这个曲率值表明宇宙空间是非常平坦的，从而进一步算出相应的总密度 r 和临界密度 r c 的比值 W 非常接近 1 ，与 1 之差也为千分之五左右。没想到现在的宇宙空间太平坦也构成了一个“疑难问题”。其原因是因为根据大爆炸模型， W 和 1 的差值是随着宇宙年龄的增加而增加的，见图 14-4 。也就是说，空间的不平坦性会被时间很快地“放大”，这就类似于现实生活中经常见到的不稳定平衡现象。长时间的平衡要求非常强的初始条件，宇宙已经演化了 137 亿年，如果现在宇宙空间的 Ω 0 与 1 的相差为千分之五的话，推算到最早的散射面时代，其不平坦性，即 W 和 1 的差值应该只有 10 -60 。为何有如此高精度的平坦性？需要某种物理解释，此谓“平坦疑难”。图 14-4 ：平坦性疑难参考文献：【 1 】 Hu, W.;White, M. (1996). Acoustic Signatures in the Cosmic MicrowaveBackground. Astrophysical Journal 471: 30–51. 【 2 】 TheCosmic Symphony. Wayne Hu Martin White. Scientific American 290N2 44(2004). 【 3 】 Lewis,Antony; Bridle, Sarah (2002). Cosmological parameters from CMB and otherdata: A Monte Carlo approach . Physical Review D 66 (10). 【 4 】 Planck2015 results XIII. Cosmological Parameters. ArXiv ： 1502.01589; 个人分类: 系列科普|14953 次阅读|6 个评论

球谐函数及Legendre多项式: 热度 1 Jerkwin 2013-8-11 00:54; 球谐函数及Legendre多项式 2013-08-10 10:49:40 球谐函数是一类特殊函数。虽说被称为特殊函数，其实它们并没有什么特殊的地方，只不过比那些常见的指数函数、三角函数稍微复杂一些而已，你一旦熟悉了它们的性质，就不会再觉得它们有什么特殊了。这类特殊函数之所以在物理、化学和计算机科学中都有着重要应用，是因为它们的独特性质： 1. 构成一组正交基，任何球面上的函数都可以展为球谐函数的线性组合 2. 展开系数平方和具有旋转不变性由性质 1 ，我们可以把原子波函数的角度部分展开为球谐函数的线性组合。化学物理中为人熟知的原子轨道的角度部分就是球谐函数，常用的 spdf 轨道实际就是经过处理的几个球谐函数。对性质 2 ，在计算机图形学的形状识别中有着重要应用，许多识别算法就是基于球谐函数的旋转不变性。定义：基于缔合 Legendre 多项式 (Associated Legendre Polynomial) $\mathrm Y_l^m = \sqrt{ {2l+1\over4\pi} {(l-m)!\over(l+m)!} } \mathrm P_l^m(\cos\theta) \mathrm e^{im\phi}, m \in Z, \theta \in , \phi \in $ 此定义式对 m 正负无要求，故 $\mathrm Y^{\bar m}_l = \sqrt{ {2l+1\over4\pi} {(l+m)!\over(l-m)!} }\mathrm P_l^{\bar m}(\cos\theta) \mathrm e^{-im\phi}$ 缔合 Legendre 多项式 $\mathrm P_l^m(x) = (-1)^m (1-x^2)^{m/2} {\mathrm d^m \over \mathrm dx^m}\mathrm P_l(x), m0$ 若 m 取负值时，定义为 $ \mathrm P_l^{\bar m} = (-1)^m {(l-m)! \over (l+m)!} \mathrm P_l^m(x) $ 故 $ \mathrm Y^{\bar m}_l=\sqrt{{2l+1 \over 4 \pi}{(l+m)! \over (l-m)!}}(-1)^m{(l-m)! \over (l+m)!} \mathrm P_l^m(\cos\theta)\mathrm e^{-im\phi} =\sqrt{{2l+1 \over 4 \pi} {(l-m)! \over (l+m)!}} (-1)^m \mathrm P_l^m(\cos\theta)\mathrm e^{-im \phi} =(-1)^m (\mathrm Y_l^m)^* $ 其中$(-1)^m$ 项称为 Condon-Shortley 相因子，有人会省略此项， Mathematica 计算时会考虑此项。此外， $ \mathrm Y_l^m(-\theta, -\phi) = ^*$ 由于 Legendre 多项式归一化条件为 $\int_{-1}^1 \mathrm P_l^m(x) \mathrm P_{l'}^m(x) dx = {2 \over 2l+1} {(l+m)!\over (l-m)!} \delta_{ll'}$ $\int_{-1}^1 \mathrm P_l^m(x) \mathrm P_{l'}^{\bar m}(x) dx = (-1)^m {2 \over2l+1} \delta_{ll'}$ 故可定义归一化 Legendre 多项式为 $\hat {\mathrm P}_l^m(x) = \sqrt{ {2l+1 \over 2} {(l-m)! \over (l+m)!} }\mathrm P_l^m(x), m \in Z$ $\hat {\mathrm P}_l^{\bar m}(x) = (-1)^m \hat{\mathrm P}_l^m(x)$ 其最大值为 $\mathrm P_l^0(\pm 1)=\sqrt{2l+1 \over 2} $ 满足归一化条件 $\int_{-1}^1 \hat {\mathrm P}_l^m(x) \hat {\mathrm P}_l^m(x) dx = 1$ $\int_{-1}^1 \hat {\mathrm P}_l^m(x) \hat {\mathrm P}_l^{\bar m}(x) dx =(-1)^m$ 利用归一化条件，我们可以重新定义球谐函数为 $\mathrm Y_l^m = {1 \over \sqrt{2\pi}} \hat {\mathrm P}_l^m(\cos\theta) \mathrm e^{im\phi}$ $|\mathrm Y_l^m| = {1 \over \sqrt{2\pi}} \hat{\mathrm P}_l^m(\cos\theta)$ $\Re{\mathrm Y_l^m} = {1 \over \sqrt{2\pi}} \hat{\mathrm P}_l^m(\cos\theta)\cos m\phi$ $\Im{\mathrm Y_l^m} = {1 \over \sqrt{2\pi}} \hat{\mathrm P}_l^m(\cos\theta)\sin m\phi$ 其中， $\hat{\mathrm P}_l^m$ 为归一化的 Legendre 多项式。因此，球谐函数归一化条件可写为 $\int_0^{2\pi}d\phi \int_{-1}^{1} (\mathrm Y_l^m)^* \mathrm Y_l^m dx =\int_0^{2\pi}d\phi \int_{-1}^{1} {1 \over 2\pi} \hat{\mathrm P}_l^m(x) \hat{\mathrm P}_l^m(x) dx = 1$ $ {\mathrm Y}_l^m $ 的计算实际上归结为计算缔合 Legendre 多项式 ${\mathrm P}_l^m $ ，根据不同需要，可适当采取下面几种方法： ● 使用程序自带的库函数，若其中包含 Legendre 多项式 ● 使用 Legendre 多项式的显式公式，若计算的阶数不是很大 ● 利用如下递推关系进行计算，最通用的方法 $ (l-m)\mathrm P_l^m=x(2l-1)\mathrm P_{l-1}^m-(l+m-1)\mathrm P_{l-2}^m \mathrm P_m^m = (-1)^m(2m-1)!!(1-x^2)^{m/2}\mathrm P_{m+1}^m = x(2m+1)\mathrm P_m^m $ Numerical Recipes 中有相应的源码，不再赘述。计算 $ {\mathrm Y}_l^m $ 时须计算 $\sin(m \phi), \cos(m\phi)$ ，由于三角函数的计算较多项式为慢，因此可利用三角公式将其展开为 $\sin\phi,cos\phi, \sin^2\phi, \cos^2\phi$ 的多项式。下面是 m 到 6 时的公式： $ \sin2\phi=2\sin\phi \cos\phi$ $ \cos2\phi=\cos^2\phi-\sin^2\phi $ $ \sin3\phi=\sin\phi(-\sin^2\phi+3\cos^2\phi)$ $ \cos3\phi= \cos\phi(\cos^2\phi-3\sin^2\phi)$ $ \sin4\phi=4\sin\phi \cos\phi(\cos^2\phi-\sin^2\phi)$ $ \cos4\phi= 1-8\sin^2\phi\cos^2\phi$ $ \sin5\phi=\sin\phi $ $ \cos5\phi= \cos\phi $ $ \sin6\phi=\sin\phi \cos\phi $ $ \cos6\phi=(\cos^2\phi-\sin^2\phi)(1-16\sin^2\phi \cos^2\phi)$ 当然，这些优化方法只有你需要大量计算 ${\mathrm Y}_l^m $ 时才能提高点速度，对于普通情况，你很可能感觉不到计算速度的变化。下面是一些相关函数的图像。可以看出， $\mathrm P_l^0(x) $ 也就是通常所说的 Legendre 多项式，为 l 阶多项式； $\mathrm P_l^m(x) $ 的奇偶性与 l+m 的奇偶一致。参考：中文 wiki ：球谐函数中文 wiki ：球谐函数表 Rotation Invariant Spherical Harmonic of 3D Shape ， http://www.chenkuantong.com/?p=1210; 个人分类: 数学轮子|27148 次阅读|2 个评论

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