说实在，自己在这方面没有什么发言权。但是为了完成自己的系列文章，也只能硬着头皮写下去。我尽量把我有把握的事情写出来，也谈自己的真实体会。 我不止一次的跟大家谈过，基于公理化，概率论是一门不折不扣的数学。怎么理解这句话？也就是说，研究概率理论，跟研究几何、代数、分析等等传统数学分支在本质上没有差别。它同样包括非常抽象的概念、复杂的运算论证和对美的数学结构的追求。在这方面，大家一定要引起充分的重视，因为包括我自己在内，还有我接触到的很多同学，大家在选择概率作为专业的时候，并没有意识到概率论的这一核心属性。以至于很多人到现在，仍然不能区分统计和概率的差别。我个人认为统计学是可以跟数学并列的一门学科，它的价值取向和研究手法跟概率论是非常不一样的。 如果大家意识到了概率论的数学属性，那么我想只要大家看看你们学微分几何或者代数的同学如何训练自己，那你的方式多半于此类似。类似并不是指课程上的类似，而是训练模式上的类似。比如，你需要通过大量的习题演算训练自己的基本功，而这种训练即便到了博士阶段也不应懈怠。 那么，谈完了概率的数学属性，接下来聊聊它个性的一面。我也跟大家讨论过，概率论很讲究物理背景。这使得大致上，概率论的研究大多情况下是专注在具体模型。并不是说它没有那种抽象的理论，在随机分析领域这种工作还是相当之多的。但是相比于传统的那几门数学老大哥来说，概率论的这个特点还是很突出的。所以，概率论里面，很少说有某个问题或者猜想作为领域公认的大问题。不像传统数学当中，有诸如黎曼猜想、庞加莱猜想、费马达定理之类的明星问题。概率论研究中也有大问题，比如渗流模型的临界值问题，但这些问题的效应还是局部的，即便它的难度或许不亚于种种大的猜想。 所以，概率论的研究很强调计算的功底，这里的计算当然不是简单的数字运算，而是很多不等式估计、极限运算等硬分析的功力。所以大部分概率论的工作都是脚踏实地在地上爬的研究。 我想我也只能介绍到这儿了，本来应该把概率论的一些重要的研究分支列出来，但自觉还是慎重为妙，还不如把概率论的相关期刊介绍给大家，大家从中体会比较好。这些期刊我曾经贴过，是从新加坡国立大学Rongfeng Sun博士那里摘录下来的。供大家参考。 概率论相关期刊 以下信息摘自新加坡国立大学Rongfeng Sun博士主页 http://www.math.nus.edu.sg/~matsr/journals.html Some Probability Related Journals: Alea (Electronic Journal) Annals of Probability Annals of Applied Probability Annales de l'Institut Henri Poincar - Probabilits et Statistiques Advances in Applied Probability/Journal of Applied Probability Bernoulli Communications in Mathematical Physics Electronic Communications in Probability Electronic Journal of Probability Journal of Functional Analysis Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment Journal of Statistical Physics Journal of Theoretical Probability Markov Processes and Related Fields (articles not accessible online) Potential Analysis Probability Surveys Probability Theory and Related Fields Random Structures and Algorithms Statistics Probability Letters Stochastic Analysis and Applications Stochastic Processes and their Applications Theory of Probability and its Applications
复杂网络的书，市面上一定不少。但绝大多数是物理学家的手笔。 如果大家有兴趣看看严格的数学如何去分析网络科学，恐怕目前最好的选择是康奈尔大学概率学家Rick Durrett的专著《Random Graph Dynamics》。关于该书的目录，大家可以查阅他的个人主页： http://www.math.cornell.edu/~durrett/RGD/RGD.html 。 关于Durrett教授不得不多说几句。 首先，Durrett写过一本概率论研究生教材Probability: Theory and Examples。这本书应该是目前美国最流行的一本概率论教材。有幸的是，这本教材已经被世界图书出版公司引入国内，据说销量很好。我以前也多次跟大家讨论概率论的教材，如果说影响力最大的，应该是还是华人概率学家钟开莱先生的《概率论教程》。但是，就生动性和习题难度来说，Durrett的书可读性更强。当然，这毕竟是一本概率论研究生基础课教材，要认真读下来绝非易事。北大概率统计系和金融数学系的研究生常年使用这本教材。 另外，Durrett是个写书快手，大家有兴趣可以查阅他的主页，说不定有您中意的题材。 Durrett教授是一位在理论和应用领域都很有建树的概率学家。一方面，他本人在粒子系统、渗流领域做了很多很重要的工作；另一方面，他很早就参与到生物数学的研究当中，他和普林斯顿的著名生物学家Levin教授合作了多篇堪称经典的生物数学论文，主要是涉及空间结构对于各种生物动力学的影响。 最后要提到的是，Durrett教授所在的康奈尔大学，是一个拥有辉煌概率论研究历史的大学。Feller, Kac, Ito, 和Spitzer，这些概率学家都是开创新局面的大牛人。其中，Feller大家很熟悉，写了那本《概率论及其应用》；Ito，随机分析学的创立人，著名的Ito公式大家估计也有所耳闻；Spitzer，粒子系统领域的教父级大牛；Kac，大家去google上搜一搜 Can you hear the shape of a drum 以及这个问题给予谱理论的重大意义。
今天的主题：Feller的著作《概率论及其应用》及其它。 前三次的概率论说主要涉及一些观念。观念很重要，但是实际如何面对概率论也许更重要。今天实实在在的讲一些概率论学习的strategy。 这里主要跟大家讨论教材，期望由教材窥见概率论学习的一些方式。主要是Feller的《概率论及其应用》（以下简称《概》），英文名叫An Introduction to Probability Theory and Its Applications。这本书毫无疑问是概率论的经典著作。分上下两册。 也许这本著作并不适合作为教材，因为篇幅较长，内容比较庞杂，作者想表达的东西也很多。记得我研究生一年级的时候，我们北大概率教研室组织了暑期学校，邀请西北大学的概率学家徐佩教授来讲随机矩阵。徐佩教授是钟开莱的弟子，成名也早，学问当然是非常好。期间，徐佩教授对概率论的专业教材稍微作了些点评。他说，概率论的教材里面，影响最大当然是Feller的《概》，同时代还有伯克利的教授Loeve的Probability，也是上下两册。但是，这两套教材都应该提炼，因为内容太多；直到钟开莱的《概率论教程》问世，徐佩教授认为这本书基本上把概率论课堂上应该讲什么给提炼出来，所以这本书才会那么流行；再后来，康奈尔大学Durrett教授的Probability: Theory and Examples变得流行起来，原因是这个阶段概率论最重要的内容是马氏过程，而这本书突出了马氏过程的基础训练。当然，徐佩教授说现在，新一轮的教材变革又在酝酿，这主要是源于随机分析在金融数学中的广泛应用。所以，随机分析的内容应该会在教材中逐步增加比例。 刚才，借徐佩教授的话，也算梳理了概率论教材的一些发展。 但即便Feller的教材不适合作为一本教材，但是，我坚定的认为，作为非概率专业的研究人员或者学者，甚至是对概率论还存在哲学层面思辨的爱好者，Feller的书是最好的读物。 经过开科学网博客至今，我已经深深感觉到，虽然科学界对概率论的知识充满了兴趣和渴求，但是由于普通学者很难一步步从诸如测度论这类课程开始步步接触高等概率论的专业知识，概率专业和非专业之间存在一些隔膜。企图短平快的读几本概率论的专业教材来平添这种隔膜，我觉得效果不会太好。比如Durrett的那本教材，其写作方式已经非常活泼生动了，但是我觉得接受起来还是很困难，毕竟那是写给概率专业研究生的书。另一方面，虽然大家本科期间都学过基础数学课《概率论与数理统计》，也都了解随机变量，期望方差这些概念，但是我觉得那种教学不能解决大家的问题，一个主要原因是那时大二，还不具备一定的数学成熟性；另外，那会儿的老师不会费力的给大家讲一些理念方面的故事，同学也是疲于计算，正好刚学完微积分，所以就当练兵。 而Feller的书，不仅把概率论的基础知识讲得很透，而且他顾及到了一些理念上的指导，这种愿望贯穿这本书的始终。Feller会耐心给你讲概率论是什么，它在做什么，这样做有没有意义等等。更重要的是，书中有无数多个例子，涉及很多领域，更符合的科学工作者的要求。上册主要是讲离散概率，这样就很好的回避了测度论。下册就会深入一些。所以，一般读者都是读上册。 也许正是因为Feller的教材问世较早，那时概率论还不像现在这样专业化，所以现在看来，这本教材成为了一架桥梁。如果您是一位传统数学家，或者是一位生物学家，再或者是个哲学家，这会儿都心里痒痒想了解了解概率论是个什么玩意儿，Feller的书是很好的选择。它的首要任务是帮您渡河。上岸之后的修行，那就看个人意愿了。 其实本人的博客也希望帮助大家渡河。当初，我曾想过把博客弄得更为专业化，这也是我的一些师友的建议。但是，目前我还是更愿意做桥梁，毕竟人在科学网，既然发现大家对概率论存在一些初本的疑惑，那就先做做这方面的工作吧。 《概率论说》的系列暂告一段落。希望对大家能有些帮助。
随机过程是一门深奥的数学理论，一般是数学系高年级和研究生的专业课。其前修课一般要求概率论、测度论等。研究前沿方兴未艾。我研究生时学的是方程，没有学过这门课。后来在研究金融数学中，随机过程被用来刻画风险资产的演化，我才半路出家，开始研修这门课，不过学得很不到家。 前两天，和青年学生谈人生，学生们时有抱怨，怎么那么倒霉，要找工作，碰上金融危机，要找住处，房价已被炒到望尘莫及的高度，等等，等等。我从来不敢当别人的人生导师，但毕竟走过的路长些，可以和他们谈谈我的经验教训。我自然想到我在他们的年纪，没有金融，当然也没有金融危机，没有商品房，当然也没有高房价。那时让我们盼望的很多事现在早已不是个事，提都不用提。当然，我们也拥有一些与这个年代别样的乐趣。我们两代人，大环境很不一样，但也有相似之处。回想我走过的路，有成有败，有笑有泪，有运气也有倒霉，我忽然想到，人生如果要用一个模型来刻画，随机过程有其妙处。不过人生太复杂，模型细节无法确定，这里我就试着做些定性分析。 随机过程研究一族随机变量，如果这些随机变量的指标是时间，那么简单的说这样的随机过程是一个以时间为标志的不确定的过程。这个过程站在现在这个时间点上看，过去已经是已知的确定的轨道，而对将来的任何时刻都是一个随机变量。如果这个过程的发展遵循一定的规律，我们可能可以摸索出未来的随机变量的分布。也就是说虽然不知道未来发生什么事，但有可能知道未来发生某些事的概率。例如，我们用几何布朗运动刻画风险资产价值 S 的运行轨迹。一个简化的过程， S 满足如下的随机微分方程 这里， W t 是Wiener过程，或者叫布朗运动； 和 是两个参数分别表示 S 的期望回报率和波动率。虽然 S 对未来的时间 t 是随机的，但这两个参数决定了风险资产未来的期望值和随机波动的大小。 如果说我们的人生有一只看不见的命运之手引导，我们也可以像刻画风险资产价值那样试图用随机过程来描述这只手。这个过程有几个特点是肯定的：1、关于时间是连续的，是不可逆的；2、有时间上限，当然这个时间上限也是随机变量；3、这个过程包括随机跳的过程，这个跳过程可以是内在的也可以是外生的；4、人们的出身决定了这个过程的初始状态；5、这个过程受到外在因素如大环境很大的影响；6、每个人的过程都有独特之处，且互相影响；7、对这个过程，人们自己能做的事就是调整过程的参数。 这样，我们可以解释、推演下面几件事： 一、所谓的命运不是决定性的，它控制了大方向，这包括我们出身的年代，生活的大环境等，但我们仍然有希望在一定程度上，通过自己的努力，使你有志达到的目标的可能性大大增加； 二、调整参数不能改变未来的随机本身，但可以使未来的某些事件发生的可能性增大，或者说通过调整参数，使在已有信息的基础上，使未来的数学期望更接近当事人的希望。这就像我们上了大学努力学习，并不能保证我们以后一定有一个好工作，但能使我们找到好工作的几率增大，数学期望趋向于找到好工作。但不要以为，你努力了就一定能达到目的。所以，取得成功，应心生感激，不幸失败，当坦然接受。 三、人生会面临很多选择，这是因为你在调整参数时，遇到不同参数值的情况，而且，选择不同的参数，将跳入不同的次过程。在这些不同的次过程中，发生各种随机事件的概率是不一样的。有时，有些随机的内在和外生的因素也会使人生轨迹改道，跳入一个与前不同的次过程。这就是前面提到的跳过程。由于面临选择时，你并不能确定未来的随机事件，所以犹豫徘徊不能帮你，事后后悔更是没有意义，只有在分析可能性后，当断则断。 四、按随机过程的理论，过去的信息越多，未来的确定性就越大。对待不确定这种风险，人们一般有两种态度，有人厌恶风险，有人喜欢冒险。但对人生，人们倾向于喜欢不确定性，实际上是希望好的随机事件的发生。例如对孩子，未来的不确定性很大，人们寄于各种各样的祝福。而到了老年，大都尘埃落定，可变性就很小了。 五、大多数人都有攀比心态，其实和别人比没有太大意义，很多时候只会徒增烦恼，每个人的过程不一样，有时小概率事件也会发生，不服气无意。 六、由不可逆性，过去发生的事确定了你的轨迹，将会影响你的未来，但这种影响不是决定性的。当你已经踩在一个时间点上，在此之前的所有可能性中，只有一种事情发生了，这件事的可能性得到证实，由于排它性，其它事件在这个时间点上都没有发生，甚至有时就永远成为不可能事件。不管这是不是你希望的事情都只有接受，这时怨天尤人、蹉跎叹息都没有用，积极的态度是分析发生的事情和对未来的影响。只要大限未到，未来仍然有其它各种可能性，你仍然可以继续调整参数。 结论：大家努力调参数，不仅要努力调自己的参数，也要帮助调别人的参数，还要合力作为调大环境的参数。 最后，随机过程有个重要的概念：鞅。但我认为，人生不是鞅。
初等随机过程，就是给数学专业本科生或者非数学专业的研究生开设的课程。有的地方也叫应用随机过程。 初等随机过程的教材编写难度是很大的，因为有许多概念和结果，如果不应用测度论的语言，是很难讲清楚的。但是，由于随机过程又是一个十分注重直观的内容，所以从培养直观的角度来讲，是很必要的。 这方面的教材，国内已经出版了很多。对我个人影响比较大的是钱敏平和龚光鲁两位老师编写的《应用随机过程》，这本书结构编排非常好，但是阅读性不是很强，印刷错误较多。另外，这本书的例子很多，也很注重实际背景，但是难度都不小。 个人的观点是这样，初等随机过程就是要讲清楚一个模型：马氏链模型。这是随机过程领域当中研究最广泛的模型，不管从使用角度，还是培养概率直观角度，马氏链模型都应该是首选。推荐教材如下： 1、P. Bremaud, Markov chains, Gibbs Fields Monte Carlo Simulation, and Queues. 2、S. Karlin and H. M. A. Taylor, A First Course in Stochastic Processes. 3、Norris,Markov chains. 另外，Ross编写的随机过程也翻译成了中文，何声武老师翻译的，也很不错。 需要说明的是，期望在一个学期把上述教材中的内容都学习完是不大可行的，关键还是里面的马氏链的基础部分。 第1本非常全面的介绍了马氏链的内容，而且讲解清楚，适用于不同目的的读者。值得长期学习。
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