科学网—标签 - 经典力学

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GrandFT 2015-6-17 21:07

题目：几种运动系统的经典力学处理主讲：赵乐时间：2015年6月18日星期四下午4:30 地点：16教学楼308室题目：几种运动系统的经典力学处理 1.自由运动 2.两体运动 3.双心力 4.受限三体运动 5.N体运动

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stj 2015-5-6 09:30

一说到隧穿效应，量子力学的解释总是神神秘秘，就像不确定性原理一样，说的是经典力学里微观粒子不能穿过高于粒子总能量的势垒，而量子力学里可以穿过，其解释里用的是波动性、波函数、概率之类的近乎玄学的概念。今天透射电镜的冷却水又要换了，想把冷却水从水箱里弄出来倒到窗户外面的草地上去，新来的管理员说，我拿个盆去舀吧。我赶紧说，学点量子力学吧，用用它的隧穿效应，水不用去舀，它可以克服水箱和高高的窗台的势垒，自动流到外面的草地上去的。诸位说说，能实现吗！

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沈惠川：吴大猷先生点评《经典力学》

热度 3 ShenHuiChuan 2012-6-19 11:19

沈惠川：吴大猷先生点评《经典力学》摘要：文章介绍了吴大猷先生对《经典力学》一些基本问题的意见以及他的近期工作。吴先生认为，Hamilton原理是一个物理原则，而不仅仅是数学变分问题。他还对“齐次问题”和“猝变运动”作了讨论。

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沈惠川：吴大猷先生1992年7月7日来信

ShenHuiChuan 2012-6-18 08:26

沈惠川：吴大猷先生1992年7月7日来信

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吴大猷先生论经典力学（《经典力学》代序）

ShenHuiChuan 2012-6-14 13:21

吴大猷先生论经典力学（《经典力学》代序）惠川先生：我学的物理，多是在1930年代初年，大学刚毕业时（和在大学三、四年级时）。那时自己学的古典力学，是我在1941教杨振宁、黄昆们的资本，也是我1956－7年在台湾教古典力学的讲义（英文的）的底子。这部讲义，后来在台湾翻成中文的《古典动力学》。在1946年以后，我即未看后来的书，尤其1967年回来台湾做“行政”工作，在物理是差不多脱节落伍了。你提起来Goldstein的力学。我在1956－7年，我接受Prentice-Hall书局的邀请，签了一合约，答应为他们写一本关于Scattering、一本古典力学的书。Scattering的书，适好1958年底，日本博士后T.Ohmura由日本和我工作，他同意和我合作，写Scattering的书；1959－1960夏费了一年半，写毕。但力学的书，我始终没有写，原因是那时Goldstein书（第一版）刚出来，我觉得我心里计划着重Hamilton-Jacobi理论在量子论发展的美丽部分，和Goldstein的差不多，又我实在所知不多；决定（不）再写一本和Goldstein观点相似的书。我在我的古典动力学书中（p.201）指出关于由Hamiltonprinciple导出canonicalEqs.部分，许多书都犯同一的错误，即在【公式无法显示】中，【公式无法显示】乃任意的，故【公式无法显示】但【公式无法显示】则不是任意的；但由于Legendre变换，【公式无法显示】，故仍得【公式无法显示】。 1980年Goldstein第二版出来，一位朋友送我一本台湾翻印本。我试查看第8－5节（pp362-3），果然Goldstein是错的！不能视为independentcoordinates的！（Goldstein不仅是抄人抄错的，他是根本了解错的！见他（8－64）式下第4－6行。Landau-Lifshitz便不犯此错！）在p.360，p.372，Goldstein指引Dirac所写关于generalizeddynamics的小书。Dirac之generalizeddynamics书，可谓和Goldstein书所讲的，隔得很远。指引Dirac书，毫不清楚，对读者毫无用处，；有点感觉得这指引有点“装门面”，不太诚实！ Goldstein书内容庞杂而不精。我固然没有机会去“用”它，但我亦不喜欢它。（1996.9.10.）先说在中不能是任意的问题。这点在我的《古典动力学》第201页中已说得很清楚。现在再说一下：在命题中，我们是比较各不同路径的运动（在同一固定的时间中从到的的值。这是Hamiltonprinciple本身命题的一部分！不能忘记了！因为这个条件，【公式无法显示】各途径须以同一时间走完）；【公式无法显示】故在一运动（路）径，【公式无法显示】中的不能任意；否则走【公式无法显示】径和走【公式无法显示】径由【公式无法显示】到【公式无法显示】的时间，【公式无法显示】则可以不同了！许多书的作者，大概根本不知道Hamiltonprinciple命题本身有此部分！把它当作数学变分问题看！须知Hamiltonprinciple是一个物理（力学）的原则！见我书p.185。在许多书中，彼此抄袭，根本未懂Hamiltonprinciple的命题，可怜得很！关于的Lorentz不变性问题，大概情况就是如你所述了。（1996.9.23.）关于Hamiltonprinciple中之不能是任意的一点，应是无疑问的。许多人写书也好，教书也好，根本不记得命题是什么。各比较的paths,是须在同一时间中完成的。故不能任意取，否则可以用很短的时间内由达到了！Hamiltonprinciple不是一个单纯的变分问题，而是一个物理命题！很少人知道这一点。（我在1941年，在昆明教古典力学时的笔记即指出此点；班中有杨振宁、黄昆等。去年清华大学将我的手写notes影印出来，给杨、黄等人各一册作纪念。）我从来都不大相信“书”，除了Dirac等几个人所写的可靠外，我都不绝对信它，尤其“无名小卒”的写作！（1996.10.9.）你要我1941年在昆明西南联大的ClassicalDynamics手写讲义影印本。我将向清华索了寄上。这只是为我讲课自己用的Notes，原不是印发给他人的。三年前清华大学知道我还有此数十页的手稿。我便送了给图书馆。它们影印了几十本，作为纪念，不随便给人（只送了些给当年在那班上的学生，如杨振宁、黄昆、李荫远…等几人）。（1996.11.14.）日前我航寄你一侧我在1941年西南联合大学授古典动力学时的笔记。1941年的那学期，开始时先拟了一个“目录”，排有章节，其实并非“书稿”，是随课随写的。后来曾作了一些补充，故页数亦不甚连续。这手稿是1956年我第一次去台湾，在清华大学初办研究所第一班（和台湾大学一同上课）所写的英文讲义的蓝本，印发给学生。这讲义后来叫在交通大学的教授（昔日在美国的学生）翻译成中文，即是后来出版的《古典动力学》。这本手写稿，已赠给清华大学留作纪念。清华拿来翻印，作纪念品（有限本）。我送了些给当年在班上的学生，如杨振宁、黄昆、李荫远…等。稿中有笔误和错处。你只可以以纪念品看它。那是半个世纪前的东西！（1996.12.16.）随函附上一稿。文乃去年才有感，最近始得人打字。弟忽然变成一古典物理者矣。文中是Newton以来三百余年第一次有人分析猝变运动的细节。所引入的新名词jumpulse乃沿自impulse。我乃完全用Newtonian力学，无新假设，但可能在实用上（如制动，高尔夫球手）有发展处。欢迎教言！（1998.12.17）我一时想到我最近的文章，引入猝量的观念，这确是在应用力学中有意义，也可能是三百年来Newton力学系统中可作补充意义的观念。（1999.1.1.）吴大猷吴大猷先生

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《经典力学讲义=Lectures on Classic Mechanics》钟学富

ustcpress 2012-5-7 14:30

丛书：理工科核心课程双语规划教材出版日期：2011年9月出版社：中国科学技术大学出版社书号（ISBN）：978-7-312-02906-6 页码：296（16开）定价：31.00元编辑邮箱： edit@ustc.edu.cn （欢迎来索要目录、样章的PDF）当当购书链接： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=22525288 【内容简介】本书精选经典力学的基本内容，按课堂教学顺序组织成 44 讲，内容包括坐标系、质点力学、分析力学、有心力场中的运动、非惯性系中的运动、非线性振动、波的传播、刚体力学和流体力学等。各讲内容均衡、简练，公式推导详细，附思考问题，突出重点，减轻阅读困难。本书重点解决课堂教学的 “ 程序化 ”( 将科学体系变为讲授的时序 ) 问题，可直接用作教师教案，组织课堂讲授；在适当增加内容之后，本书可作为普通大学本科或师范院校物理系经典力学课程的教材；本书还可作为参考阅读资料，帮助提高科技英语水平。【作者简介】钟学富， l939 年生，四川新都人，毕业于四川大学物理系理论物理专门化。曾任中国科学院半导体研究所副研究员，硕士生导师。 1987 年赴美为访问学者，在密苏里大学堪萨斯城分校物理系从事固体理论研究。现居美国。单独与合作发表中英文物理论文约 30 篇。主要成果包括确立半导体中一类光转化杂质模型，经实验证实并获中国科学院科技成果二等奖；首次提出在晶体场计算中考虑传导电子贡献，此概念被用于修改穆斯堡尔效应中的电场梯度公式。另外在《中国社会科学》、《哲学研究》、《光明日报》、《自然辩证法研究》等刊物发表涉及信息论和物理学的哲学问题的论文约 l0 篇。近年来陆续出版《物理社会学》、《社会系统》、《休闲哲学》等专著，尝试将自组织及相关理论应用于社会研究，发展社会科学的演绎理论。【目录】 Preface Lecture 1 Introduction, Kinematics Lecture 2 Various Coordinate Systems, Coordinate Transformation Lecture 3 Newton's Laws of Motion Lecture 4 Work and Energy, Conservative Force Field Lecture 5 Inertial and Non-Inertial Reference System, Galileo Principle of Relativity Lecture 6 Integration of Equations of Motion ( I ) Lecture 7 Integration of Equations of Motion ( II ) :Velocity-Dependent Force Lecture 8 Integration of Equation of Motion ( III ) : Position-Dependent Force Lecture 9 Analytical Mechanics Lecture 10 Lagrangian Equation Lecture 11 Variational Principles of Mechanics Lecture 12 Symmetry and Conservation Law Lecture 13 Lagrangian Undetermined Multipliers Lecture 14 Hamiltonian Equations of Motion Lecture 15 Canonical Transformation, Hamilton-Jacobi Equation Lecture 16 Poisson Bracket, Phase Space and Liouville's Theorem Lecture 17 Motion in Central Force Field Lecture 18 Effective Potential and General Solutions ………… Lecture44

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《经典力学》沈惠川、李书民

热度 1 ustcpress 2012-4-10 15:11

出版日期：2006年8月出版社：中国科学技术大学出版社书号（ISBN）：978-7-312-01930-2 定价：45.00元编辑邮箱： edit@ustc.edu.cn （欢迎来索要目录、样章的PDF）当当网购书链接： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=9229055 【内容简介】本书是为适应大学本科教学新形势而撰写的 “ 经典力学 ” 教科书，全书以 Lagrange 力学和 Hamilton 为学为主线，详细阐述了经典力的基本原理、基本议程及其应用。本书对非完整系统的牏方法作了全面的分析和刷新，对用 Hamilton 正则方程的最好方案是直接由 Legendre 变换出发，本书将弹性力学和经典电动力学会部纳入 Lagesange 力学和 Hamilon 力的形式体系，导出了几何非线性弹性力学（有限形变问题）的基本微分方程，本书中强调物理楰的去处及其在具体物理问题中的应用，几乎每一节的内容都比通常的经典力学教科书有所改进和强化。本书中附有近 160 道例题和超过 240 道习题，这对读者的自学是有帮助的。本书共三章。第一章为 “ 经典力学基础 ” ，包括第一节 “Newton 质点和质点系力学 ” ，第二节 “Newton-Euler 刚体力学 ” ，第三节 “Hooke-Navier 弹性力学 ” ；第二章 “Lagrange 力学 ” ；第三章 “Hnmliton 力学 ” 。书末有 “ 附录，包括 A“ 张量 ” ， B“ 经典电动力学简介 ” ， C“ 热力学简介 ” 。在第三章的末尾，还介绍了 “Birkhoff 系统动力学 ” 。本书可作为大本科物理类各专业相关专业的教材，也可供研究人员作参考。本书有配套辅导书《经典力学题谱》（ ISBN ： 978-7-312-02345-3；当当网购书链接： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=20305997 ）。【作者简介】沈惠川， 1945 年生，上海市人。 1968 年毕业于清华大学数力系。中国科学技术大学基础物理中心教授，法国 “ 路易 · 德布罗意基金会（ Fondation Louisde Broglie ） ” 协联成员，中国物理学会、中国科学技术史学会、中国地球物理学会、中国天文学会会员。从事量子理论和应用数学方面的研究以及物理学方面的教学工作。

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《经典力学概论》李书民

ustcpress 2012-3-26 09:24

出版日期：2007年10月出版社：中国科学技术大学出版社书号（ISBN）：978-7-312-02117-6 正文页码：230页（16开）定价：28.00元编辑邮箱： edit@ustc.edu.cn （欢迎来索要目录、样章的PDF）当当网购书链接： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=20068525 【内容简介】《经典力学概论》是根据作者在中国科学技术大学讲授理论力学的讲义整理而成的，采用了较传统教科书更加自然的逻辑体系和简单易记的符号系统，从基本定律出发，循序渐进地引入抽象的数学方法，充分展示了物理理论简洁、抽象的美，在不删减课程主要内容，甚至较传统内容略丰的前提下，大大缩减了授课学时。全书共分 6 章：牛顿力学、拉格朗日力学、小振动、刚体力学、哈密顿力学、有心力场，每章后附有一定数量难度适中的习题，《经典力学概论》论述严谨、精练，并对多个问题有独到的见解，可作为综合性大学和师范院校物理类专业的本科生教材，同时也适合有关专业研究人员和工程师阅读。本书曾获首届“中国大学出版社优秀教材奖”。【作者简介】李书民，中国科学技术大学副教授。汪秉宏教授为该教材写的推荐：李书民编著的《经典力学概论》一书突出了理论物理课程系统、简洁、优美的特色。全书采用了简单易记的符号和循序渐进的逻辑体系，全面系统地介绍了经典（理论）力学的内容和方法。不仅充实理论力学课程的内容，也大大缩短了授课学时。第一章概要地总结了牛顿力学的基本规律和运动定理，避免了统教科书中理论力学与普通物理内容的大量重叠。第二章从基本实验定律出发，循序渐进地引入拉格朗日分析力学方法。从牛顿定律到虚功原理、达朗伯原理、哈密顿原理和拉格朗日方程，较传统教科书按历史顺序介绍的逻辑体系显得更加简单自然。避免了将哈密顿原理作为基本原理的逻辑错误，和先数学后物理的生搬硬套（事实上数学方法是从物理发展中抽象出来的）。让学生知其然，亦知其所以然。第三章在讨论多自由度体系的小振动以前，先介绍了单自由度体系小振动，以免物理直观被复杂的数学表述所掩盖。第四章开门见山地引入了刚体的定点运动和转动矩阵与张量的概念，既避免了与普通物理定轴转动的重复，又为学生以后学习相对论和量子力学打下了基础。第五章在介绍哈密顿力学时，增加了无穷小正则变换和作用角变量的内容，前者使含时正则变换的推导更加完整，后者在量子理论和天体力学中具有重要应用。最后一章研究有心力场，没有采用传统解方程的方法，而是以守恒量为线索，循序渐进地探索一般有心力、平方反比力和胡克力的问题，同时也为前面的分析力学方法提供了一种完美的应用。本书从全新的角度和高度审视了传统的分析力学内容，体现作者了在这一领域的独到见解，同时注重了与国际同类教材的接轨，是一本不多得的理论力学教材，适合综合性大学和师范院校物理类专业本科生和研究生阅读。特此推荐申请中国大学出版社图书奖首届优秀教材奖。

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沈惠川与网友“血染图腾”之间的电邮

热度 2 ShenHuiChuan 2012-1-4 15:48

沈惠川与网友“血染图腾”之间的电邮沈惠川：我是沈惠川教授。有学生说网上有你的帖子，我看了一下你提出的问题。你的问题是对 “Lagrange 未定乘数法 ” 没有真正理解透。你可以看一下我在《经典力学》一书中的有关段落（ p120 第 10 行和 p121 第 28 行），注意关键词 “ 选择（ Lagrange 未定乘数） ” 。用 “Lagrange 未定乘数法 ” 时，由于 Lagrange 乘数是未定的，所以一般是立不出方程而且解不出来的；只有在 “ 选择（ Lagrange 未定乘数） ” 后，才能立出方程定解。经典力学中最后立出 “Lagrange 方程 ” 。在统计力学中求微正则系综的数密度时，选择 Lagrange 未定乘数等于 1 （吴大猷先生选其为 “ 常数 ” ），得到一个关于系综数密度的方程，由此解出系综数密度等于常数（或由变分前的 “ 系综数密度 ” 乘以 “ 系综数密度的对数 ” 等于 0 的方程得到系综数密度等于 0 及等于常数）。正则系综和巨正则系综同样处理。只不过多了几个 Lagrange 未定乘数。吴大猷先生的方法与我是一样的，只不过吴先生有几个 Lagrange 未定乘数取了负值。建议你将 “Lagrange 未定乘数法 ” 好好复习一下，搞透其中的精要。 “ 血染图腾 ”：沈惠川教授：您好，感谢您在百忙之中抽出时间关注了我的提问。我乃是刚刚毕业于哈尔滨工业大学的学生，是实实在在的无名之辈，能收到您的邮件，让我倍感意外和惊喜。我是个及其喜爱物理学的人，常常只要一杯茶、一卷书、一支笔、一张纸就能安然度过百无聊赖的周末，但我却不是个脾气平和之人，很较真，记得上大学的时候为了一个问题就跟教授争执起来，所以在论坛上可能有言语上的冒犯，还请原谅。您所著的《经典力学》以及《统计力学》我都很喜欢，由其是一些特别的见解和简洁的讲解，我感到很有价值。譬如说您在《经典力学》中的关于变分法的讲解，醍醐灌顶，一看就能明白，诸如 “ 变分与微商何时可互换顺序 ” 之类的问题，书中的亮点不胜枚举，比起其它你抄我的我抄你的为评职称而出的书来说，价值要高上百倍了。我也很赞同您在《统计力学》中所说的 “ 只有系综理论才称得上统计力学 ” ，不从系综出发的统计力学 / 统计物理学很难有真见解。所以当网友们建议我换本书，不要在一本《统计力学》上死磕的时候，我拒绝了，这本《统计力学》无论从论点上还是讲述方法上都很对我的胃口，另外，在这本书上遇到的具体问题无法用 “ 换一本书 ” 的方式来解决，那是逃避。当然对于您在两本书中的一些批评，我至今仍是抱有保守的态度的。譬如说对 “ 广义哈密顿原理 ” 的批评等，我只是认为那只是在数学上放宽了要求的结果，就好比用碗可以盛饭，用锅也可以盛饭一样，虽然大了点，但并不认为是不可原谅的谬误。这问题并非主要想谈的，只是顺便提及，以下内容才是正传。您的来信我已阅读过，那本书也已经查过。当时我是通过 δ∫(ρlnρ-λρ)dΩ=0 计算得到的 δ∫{(lnρ+1-λ)δρ+(-ρ)δλ}dΩ=0 ，当然 λ 是常数， δλ=0 ，所以只得到 lnρ+1-λ=0 ，也就是 ρ=exp ，按照您的意思，要人为选取 λ=1 ，再解方程，也就是说原则上可以选取 λ 为任意常数（似乎不宜选择为 0 ），考虑到对 lnρ 的变分还有另一常数项 C ，如果是这样，得到 λ=1 以及 ρ=const. 便没有了困难。顺带提及两个问题： 1. 正则系综中的约束条件是 ∫ρdΩ=1 以及 ε=∫ρεdΩ/∫ρdΩ 为一常量，我不明白的是，增加一个约束条件 ε=∫ρεdΩ/∫ρdΩ 为何竟使广义变分原理增加了两项？即： δ∫(ρlnρ-λρ +ηρ+βερ )dΩ=0 ，为何是这个形式，我没有能想明白，如果取其它形式，譬如只增加一项 βερ 会怎样，会不会使得我们无法得到 ρ 的正确的结论？如果是这样，那么就有弄清楚 “ 将约束条件写入变分原理应有什么样的形式、为什么是这个形式 ” 的必要了。 2. 您在书中直接给出最普遍的玻尔兹曼 - 普朗克熵公式，我认为这样写书是无比正确的，但是关于这个公式，作为一个假设，它是因为什么被定义成这个样子的（总应该有个逻辑上的线索），所以我想，应该应该还是有一个交待比较好。沈惠川：你的第一个问题：还是与 “Lagrange 未定乘数法 ” 有关。在 “Lagrange 未定乘数法 ” 中，约束条件应该写成 f=0 的形式；如果约束方程右边不是 0 ，则应将右边的东西移到等号左边去。现在由于有（ 2.8 ）式，你将分母乘上能量，然后移到等号左边，不正好是两项吗？你的第二个问题：熵的定义式实际上是由 Plank 公式 S=klogW 变过来的。它的导出，我认为 Planck 当初肯定验证过热力学定律。验证过以后，他才放心。从这一点可看出 Planck 不及 Einstein 。有了 Planck 公式后（内能和广义力可以计算出来，但熵必须要另外作假设），统计力学不需要热力学作为拐棍就能导出其他热力学量。你可以将我两次说物理内容的贴到网上去。另复：你关于 “ 广义哈密顿原理 ” 的说法不符合逻辑。我不同意。 Lagrange 方程与 Hamilton 原理是等价的（在我的《经典力学》一书中有证明），而 Lagrange 方程、 Legendre 变换和正则方程这三者之间只有两个是独立的，从任意两个可以导出第三个（在我编著的第二本题谱中有证明），不可能从一个导出其他两个。这就是逻辑。所谓 “ 广义哈密顿原理 ” 中已隐含 Legendre 变换（原变量乘以将要变换的变量，再减去原函数），所以实际上就等价于 Lagrange 方程。 “ 血染图腾 ”：沈慧川教授：您好，按照您提供的办法，如果说 ε=∫ρεdΩ/∫ρdΩ=E 要写成 ∫(ρε-ρE)dΩ=0 的形式，也就是变为 f=0 的形式，才能写入变分原理中，那么先前的归一化条件 ∫ρdΩ=1 的右侧也不为零，也要将 1 写到左侧去吗？（我也查过彭桓武、徐锡申的《理论物理基础》，其中也有相似的做法，只是变分的方法十分诡异，上面竟有 δ1 这样的变分写法，至于为什么要那样写，我亦不是很清楚。）另外我还想了解一下，您对 “ 广义哈密顿原理 ” 的态度，是完全否定，还是有所保留地批评？前几个月有您的学生到我们管理的论坛上谈论了 “ 广义哈密顿定理 ” ，至少从中可以看出您对此原理的批评是很严厉的。另附上：为了保险起见，我仍然想要向您确认一下，关于正则系综的数密度 ρ 的计算，是否是将约束条件 ∫(ρε-ρE)dΩ=0 的 -ρE 项中的 -E 吸收到拉格朗日未定乘数 η 中去了？而且 ε 的变分似乎为 0 ？（每个系统的哈密顿量也是常量？缘何？）沈惠川：你信中按照我所说的做的变分才是正确的，包括对常数 1 的变分（当然它等于 0 ）。昨天你不顾分母所做的变分就不正确。对 “ 推广的 Hamilton 原理 ” 的态度，我与吴大猷先生相同。我一看到吴先生的信，立即就明白了他的意思，而且马上知道别人错在何处。从未犹豫过。我名字中是 “ 惠 ” ，不是 “ 慧 ” 。的确是将约束条件 ∫(ρε-ρE)dΩ=0 的 -ρE 项中的 -E 吸收到拉格朗日未定乘数 η 中去了，而且 ε 的变分为 0 。每个系统（无耗散的）的哈密顿量是常量，它对每个系统而言是守恒量。 “ 血染图腾 ”：沈惠川教授：您好，抱歉因为输入法的问题将名字打错了，请您原谅。通过您细致的讲解，这部分内容的疑惑已经解除了，实在是非常感谢。至于 “ 广义哈密顿原理 ” ，我仔细读过您书中的相关内容，也阅读了吴大猷先生《古典动力学》的相关内容，确实存在一般情况下 p 与 q 有关而不能独立变分的情况，而面对 “ 广义哈密顿原理 ” 推导出正则方程的成功，您的具体意见是什么呢？对此我一直比较糊涂，是要 “ 全盘否定广义哈密顿原理 ” ，或是要说明 “ 广义哈密顿原理乃是隐含了勒让德变换的结果 ” 呢？附：可能因为电脑系统的缘故，调好的字体和颜色在发出后就不正常了，发送的信件格式可能会变乱，望谅解。沈惠川：我完全不同意所谓 “ 修正 Hamilton 原理 ” 的说法。上次已经说到，在它所谓的变分原理中，已经有了 Legendre 变换（原变量乘以将要变成的量，然后减去原有的函数）（当然这么做的人没有意识到，或故意不愿承认这就是 Legendre 变换），而根据 Legendre 变换，必然有正则方程中的一个方程（即 dq/dt 的那个方程）；既然有这个方程，为什么在最后一步时不代入这个方程以得到正则方程的另一个方程（即 dp/dt 的那个方程）（这就是吴大猷先生和我所做的），而非要说 “ 可以从修正 Hamilton 原理得到两个正则方程 ” 呢？而非要说 “ 两个正则方程是对称的 ” 呢？实际上两个正则方程，无论从来源和功能，无论从 “ 广义经典力学 ” 的角度来看（在广义经典力学中， dp/dt 的那个方程很复杂），并非十全十美对称的！这也就是我对 “ 辛对称 ” 并不十分重视的原因。 “ 血染图腾 ”：沈惠川教授：您好，您所说的关于 “ 广义哈密顿原理 ” 的看法，看来比我能想象得到的还要复杂的多，先前只知道吴大猷先生说 p 与 q 一般应不能独立变分，相互有制约，所以我曾想 “ 广义哈密顿原理 ” 乃是强令假设 p 与 q 可独立变分的，也就是放宽条件，不考虑 p 与 q 之间的制约。而您这次所说的看来比我从书中看到的想法更为深刻，是我以前没有考虑过的，我应当再花些时日考虑好这个问题。再次感谢您的关注与细心的解答。沈惠川：看问题就应当看得深远一些。所谓 “ 推广的 Hamilton 原理 ” 实际上已经用了 Legendre 变换，却说 “ 不用 ” 就可以得到正则方程，岂非笑话？《经典力学》一书，第一、第二两章的 “ 输入 ” （当时没有将 word 转换成方正的软件，所以公式要重新 “ 输入 ” ）是个新手，而编辑（《经典力学》）则是调入科大后所编辑的第一本书，所以这两章有不少印错（我计算了一下有几十处），尤其在第二章的习题中。当然，印错处绝大多数都不重要（一看就知道），只有两处比较重要（其中一处在第二次印刷中已改正）。我自己因已疲乏，所以没仔细校对出来。只好等以后第二版（肯定会出第二版，因为社会效益很好）再修正了。《统计力学》一书错误极少，现只发现一个错字，一处漏 4 、 5 字。 “ 血染图腾 ”：沈惠川教授：您好，关于 “ 在推广的哈密顿原理中已经用到勒让德变换 ” ，我已知晓，但以此来说明这个原理不成立，似乎难以站住脚。我的想法是，从数学条件上放宽限制，在让 q 随意走的同时硬让 p 也随意走，这样仍然能得到正则方程，说明即使放宽了限制，在物理上也会自动地屏蔽掉那些由于 p 与 q 相关联而无法取到的路径。我力挺 “ 推广的哈密顿原理 ” 并不意味着我否认需要借助于勒让德变换，也不意味着我反对吴大猷先生指出的 “p 与 q 实际上是有关联的 ” ，我只是认为您对 “p 与 q 实际上是有关联的 ” 这句话的含义，似乎是想多了。可能您仍然不能同意我的观点，这不要紧，毕竟目前两种说法都有它的市场，孰对孰错，可以先搁置争议。至于您的两本书，我一直认为是很符合口味的，现在再读那本《经典力学》已不感到困难；而《统计力学》的前两章最最基本的东西，从讲法上也非常的美。只是由于我先前不懂得一点统计力学，所以作为一个统计力学的初学者，感到以此书学习尚有难度。甚至有些时候无法理解一些细节，包括符号的表达方法，譬如 S=klnΓ(ε,V,N) 结合 D(ε,V,N)= ∂Ω(ε,V,N)/∂ε ，缘何就表达成 S=kln 这样的形式， D 的参量怎么从 ε 变成了 ε ？后又为何有一个 δε ？这个 δε 是否是变分运算？这样的问题不止一处 …… 由于我水平有限，再加上对这些符号没有详尽的说明，所以我想了半天，却仍然不能完全确信这些符号表达是否就如我想的那样微妙。有时感到 “ 猜不透 ” ，所以这也是我在论坛上说您的书甚至比朗道的书还要深奥的缘故之一。沈惠川： 1.ε 就是 E 。 2.D(ε,V,N) 就是 Ω(ε,V,N) 对 ε 的微商，所以取 D(ε,V,N) 作对数时其中必须乘以 δε ，否则就不等于原来的取 Ω(ε,V,N) 作对数了。 δε 是小量，不是变分。 3. 我很不明白你和你的朋友们为何要维护错误的所谓 “ 修正的 ” 或 “ 推广的 Hamilton 原理 ” ！上次已经对你说过，在这个所谓的 “ 推广的 Hamilton 原理 ” 中，一开头就用了 “ 原变量乘以将要变换的变量，然后减去原函数 ” ，这实际上就是 Legendre 变换！（你可以记它为 L ，也可以记它为任意的 K ；通过这个 L 或 K ，就可以算出 dq/dt ）既然已经用了 Legendre 变换，为何到了最后一步不将这个 dq/dt 的式子代进去？却反而说 “ 可以得到两个正则方程 ” ？这是自欺欺人的笑话。实际上，许多有识之士（包括许多教授）都已认识到这一点。科大原来有个秦家桦教授，他原来写过一本经典力学，用的就是 “ 推广的 Hamilton 原理 ” ；后来他看到我在《物理》上写的有关吴大猷的言论，马上就对学生承认自己有错。不要以为老外写的就一定对。 Goldstein 不过是一个教授；吴大猷也是教授，而且是两位诺贝尔物理学奖得主的老师，就不如他吗？我也是教授！现在的年轻人看到外国人就怕，不知何故。另：系综理论统计力学中的符号比起例如汪志诚的书，还是简单的。看多了就熟悉了。 “ 血染图腾 ”：沈惠川教授：您好，我和论坛上的朋友们不是在单纯地维护这个原理，事实上，我们至今也未能明白您到底为什么认为它是错的。如果说，您认为推广的哈密顿原理属于 “ 多余 ” ，那么我们还可以理解，但事实不是这样，按照您的意思，这个原理从逻辑上就讲不通。但是我们不这样认为，我仔细查阅了您的《经典力学》 P277~P280 ，我们普遍认为： 1. 通过勒让德变换可以直接得到正则方程； 2. 广义哈密顿原理虽然一上来就用到了勒让德变换，但这个原理本身的着眼点不是勒让德变换，诚然可以用勒让德变换来得到正则方程，但是这个原理走的是另外一条路子，条条大路通罗马！所以唯一值得商榷的问题仅是 p 与 q 相关联是否影响到 p 与 q 能否独立变分。否则 “ 用了勒让德变换就不行 ” ，这是什么道理？吴大猷先生乃是杨振宁先生和黄昆先生的老师，这我是知道的，正因为这样，所以才对吴大猷先生讲的话非常的在意。我不认为我是因为怕老外，然后不假思索地接受戈德斯坦的提法，绝对不是这个样子。另外对于问题 2 ，按照书上的写法， ln 等于 lnΩ(ε,V,N) ？虽然量纲是对的，但是我认为这在数学上有问题，既然 δε 是一个小量，则 ∂Ω(ε,V,N)/∂ε·δε 应当是 Ω(ε,V,N) 的改变量。我第一次见到类似的数学形式还是在朗道的《力学》上，他推导动量守恒的时候先给出拉格朗日量的一个变化量： δL=Σ∂L/∂r·δr ，在数学形式上与此相仿，所以我认为。 ln 不能等于 lnΩ(ε,V,N) ，否则怎么讲得通？另：网友们以前给我推荐的林宗涵的或汪志诚的《热力学与统计物理》，实在是写得乱七八糟，而且一翻到系综理论，就发现他们都要以热力学做拐棍，而且竟然连王竹溪先生的书中也要以热力学做拐棍，熵 S 的计算公式竟是通过与热力学第一定律的方程对比而来的，这是我万万不能接受的！沈惠川： 1. 关于 ln 是否等于 lnΩ(ε,V,N) 的问题：当然不是全等于，否则只须写一个就行了。但是用这两者写出来的熵 S 差别不大（你可以当作习题练习一下，实际上在我的《热物理习题精解（下）》中就有这道习题），因此这两种写法都可以。 Ω(ε,V,N) 与那个 “ 伽玛 ” 只相差一个常数因子，代入熵公式后，差别也不大。 2. 关于 “ 推广 Hamilton 原理 ” 的问题，我已说过多次。主要是个逻辑问题。既然用了 Legendre 变换，最后变分得到的只可能有 dp/dt 那个方程（ dq/dt 那个方程已经由 Legendre 变换得到过了），因而根本谈不上什么 “ 推广 ” （依旧是对 q 变分这一项），仍然还是原来的 “Hamilton 原理 ” 。而 “Hamilton 原理 ” 与 Lagrange 方程是等价的，这正符合 “ 正则方程必须由 Lagrange 方程和 Legendre 变换得到 ” 的逻辑。否则就成为 “ 单从推广 Hamilton 原理就可得到正则方程 ” 这样一种荒唐的逻辑。另外，在运动学中 q 与 dq./dt 并非独立的，但在动力学中 q 与 p 是相互独立的。运动学和动力学不要搞混淆了。吴大猷先生说的是运动学（从一点到另一点）。而且，尽管动力学中 q 与 p 是相互独立的变量，但它们之间是有联系的（拉格朗日量和哈密顿量）。

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沈惠川《经典力学》参考文献

ShenHuiChuan 2011-12-7 10:05

沈惠川《经典力学》参考文献 1． Appell P. Traité de Mécanique Rationnelle. Paris ： 1896 ， 1899 ， 1953 ， 1955 全书共 5 卷；在第二卷第 24 章“分析动力学的普遍方程”中提出了著名的讨论非完整系统的 Appell 方程。 2． Arnold V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Berlin ： Springer-Verlag ， 1978 此书被誉为经典力学的三本“圣经”之一；书中在许多问题（例如正则方程的推导）方面高瞻远瞩并讨论了“混沌”。 3． d’Alembert J. R. Traité de Dynamique. Paris ： 1743 全书两部分 7 章；书中指出 Newton 第二定律也适用于非自由物体和完全固定的物体，从而开辟了对非自由质点系动力学的研究；书中提出的原理，后来演变为 d’Alembert 原理的现代说法。 4． Goldstein H. Classical Mechanics. 2 nd ed. Mass. ： Addison-Wesley Publishing Co. ， 1980 Goldstein H., Poole C. and Safko J. Classical Mechanics.3 nd ed. Mass. ： Addison-Wesley Publishing Co. ， 2002 此书几十年来一直是流行的标准教科书，书中资料很多，第三版中增加了“混沌”一章。但此书中对“推广的 Hamilton 原理”的说法受到吴大猷先生的批评；另外作为教科书，书中习题没给出答案也是很遗憾的。 5． Greenwood D. T. Principles of Dynamics. New York ： Prentice-Hall ， 1965 此书是《 Classical Dynamics 》的初版。 6． Greenwood D. T. Classical Dynamics. New York ： Prentice-Hall ， Inc. ， 1977 此书也是流行的教科书，书中对“推广的 Hamilton 原理”有一种自圆其说的说法；有习题答案，但习题不多。 7． Hamel G. Theoretische Mechanik. Berlin ： Springer-Verlag ， 1949 此书第 9 章“有限自由度的非完整系统”中导出了著名的准坐标下的 Boltzmann － Hamel 方程并给出了二阶非完整约束的实例。 8． Hamilton W. R. On a general method in dynamics, by which the study of the motion of all free systems attracting or repelling points is reduced to the search and differentiation of one central relation or characteristic function. Phil. Trans. of the Roy. Soc. ， T. II ， 1834 ： 247 － 308 9． Hamilton W. R. Second essay on a general method in dynamics. Phil. Trans. of the Roy. Soc. ， T. I ， 1835 ： 95 － 144 这篇论文和上面那篇论文奠定了 Hamilton 力学的基础；文中提出了 Hamilton 原理和正则方程。 10． Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik in Neuem Zusammenhange Dargestellt. Leibzig ： 1894 此书首次将约束和力学系统分为完整的和非完整的两大类；全书共 3 卷，第一卷为运动学，第二卷为动力学，第三卷为杂文和电波。 11． Jacobi C. G. Vorlesungen ber Dynamik. Berlin ： 1866 此书是 Hamilton － Jacobi 方程的最早记录；书中介绍了正则方程的解法（ Hamilton － Jacobi 理论）和正则变换，给出了最小作用量原理的 Jacobi 形式。 12． LaGrange J. L. Mécanique Analytique. Paris ： 1788 全书静力学 8 章，动力学 12 章； 1815 年的第三版增加 8 篇附录；书中由变分原理出发建立了受约束力学系统的平衡和运动方程，并首次引入广义坐标和广义速度等概念；整本书用分析的形式写成，没有一张图；书中还讨论了微振动理论和刚体定点转动问题。 13． Lanczos C. The Variational Principles of Mechanics. 4 th ed. Toronto ： University of Toronto Press ， 1970 此书在基本概念和变分方法方面很有特色，给出了分析力学的一些主要观点，尤其是时间变换和 Hamilton 力学部分更值得一读。 14． Landau L. D. ， Lifshitz E. M. Mechanics. 3 rd ed. Course of Theoretical Physics. vol. 1 ， Oxford ： Pergamon Press ， 1976 此书是物理学名著的第一卷，具有 Landau 特色，物理学气味很浓。 15． Landau L. D. ， Lifshitz E. M. Theory of Elasticity.3 rd ed. Course of Theoretical Physics.vol. 7 ， Oxford ： Butterworth-Heinemann ， 1986 此书在很短的篇幅内就导出了弹性力学的基本方程；尽管此书很薄，但物理学家感兴趣的弹性力学问题尽收其中。 16． Marion J. B. Classical Dynamics of Particles and Systems. 2 nd ed. New York ： Academic Press ， 1970 此书对 Lagrange 方程的主要特点， Hamilton 原理以及它与 Lagrange 方程和正则方程之间的关系作了充分讨论。 17． Newton I. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. London ： 1686 此书是经典力学的开山之作，也是理论物理学的开山之作。全书共 3 卷 193 命题（还有 82 问题， 111 定理， 47 引理），卷首有 8 定义， 3 定律， 6 推论。王克迪的译本另附《宇宙体系》。 18． Nielsen J. Vorlesungen ber Elementare Mechanik. Berlin ： Springer-Verlag ， 1980 此书导出了 Lagrange 方程的 Nielsen 形式。 19． Pars L. A. A Treatise on Analytical Dynamics. Oxford ： Heinemann ， 1965 全书共 30 章；用另一种方法导出了 Lagrange 方程；对 Lagrange 方程及其应用，基本方程的 6 种形式， Hamilton 原理和变分原理等讨论得相当详细。 20． Poisson S. D. Traité de Dynamique. Paris ： 1833 此书曾长期作为标准的教科书；书中引入了 Poisson 括号并提出了 Poisson 定理。 21． Routh E. J. A Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies. Elementary Part and Advanced Part. New York: ： New York ， 1955 此二卷本中的资料几乎是独一无二的。 22． Rund H. The Hamilton-Jacobi Theory in the Calculus of Variation. London ： D. van Nostrand Company ， Ltd. ， 1966 此书以几何观点对 Hamilton 原理、非完整系统和积分不变量以及 Hamilton － Jacobi 理论作了很好的讨论。 23． Santilli R. M. Foundations of Theoretical Mechanics I. Berlin ： Springer-Verlag ， 1978 此书对 Birkhoff 方程及其变换理论作了详尽的研究，并对 Birkhoff 方程的起源及其发展作了很好的总结。 24． Sommerfeld A. N. Lectures on Theoretical Physics. Vol. 1 ， New York ： Academic Press ， 1952 此书对陀螺的研究尤为详尽。 25． Synge J. L. Classical Dynamics. Berlin ： Springer-Verlag ， 1960 此书的特色是侧重几何观念。 26． Synge J. L. and Byron A. G. Principles of Mechanics. 3 rd ed. New York ： McGraw-Hill ， 1959 此书的特色同样是侧重几何观念。 27． ter Harr D. Elements of Hamiltonian Mechanics. 2 nd ed. Oxford ： Pergamon Press ， 1971 此书有大量实例讨论微振动，并且在形式上将时间和能量也推广为一对正则变量；书中的许多论述（例如作用角变量）是独特的。 28． Thomson W. （ Lord Kelvin ） and Peter G. T. Reprinted as Principles of Mechanics and Dynamics. New York ： Dover ， 1962 此书对能量的理解十分深刻。 29． Whittaker E. T. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies. 4 th ed. Cambridge ： Cambridge University Press ， 1937 此书总结了 20 世纪前分析力学的成就，对虚位移、广义坐标和约束等概念作了极好的讲述，并从 Newton 方程出发重新导出了 Lagrange 方程； P. A. M. Dirac 的量子力学符号法的提出就是受了此书的启发。 30．陈滨 . 分析动力学 . 北京：北京大学出版社， 1982 31．梅凤翔 . 非完整系统力学基础 . 北京：北京工业学院出版社， 1985 32．梅凤翔，刘桂林 . 分析力学基础 . 西安：西安交通大学出版社 ,1987 33．梅凤翔 . 非完整动力学研究 . 北京：北京工业学院出版社 ,1987 34．梅凤翔 . 分析力学专题 . 北京：北京工业学院出版社 ,1988 35．梅凤翔，刘端，罗勇 . 高等分析力学 . 北京：北京理工大学出版社 , 　 1991 36．梅凤翔，史荣昌，张永发，吴惠彬 . Birkhoff 系统动力学 . 北京：北京理工大学出版社， 1996 37．梅凤翔，史荣昌，张永发，朱海平 . 约束力学系统的运动稳定性 . 　北京：北京理工大学出版社， 1997 38．梅凤翔 . 李群和李代数对约束力学系统的应用 . 北京：科学出版社 ,1999 39．梅凤翔 . 约束力学系统的对称性与守恒量 . 北京：北京理工大学出版社， 2004 40．沈惠川 . Liouville 方程的八类精确解 . 物理学报， 2000 ， 49 （ 2 ）： 201-209 41．沈惠川 . 一类非线性非完整系统的 Routh 方程：从 Chetaev 条件到 Euler 条件 . 物理学报， 2005 ， 54 （ 6 ）： 2468-2473 42．沈惠川 . Vlasov 方程的精确解 . 数学物理学报， 1996 ， 16 （ 1 ）： 40-47 43．沈惠川 . 弹性力学的 Lagrange 形式：用 Routh 方法建立弹性有限变形问题的基本方程 . 数学物理学报， 1998 ， 18 （ 1 ）： 78-88 44． Shen HuiChuan （沈惠川） .Dynamical stress function tensor. Applied Mathematics and Mechanics ， 1982 ， 3 （ 6 ）： 899-940 45． Shen HuiChuan （沈惠川） .The fission of spectrum line of monochoromatic elastic wave. Applied Mathematics and Mechanics ， 1984 ， 5 （ 4 ）： 1509-1519 46． Shen HuiChuan （沈惠川） . The solution of deflection of elastic thin plate by the joint action of dynamical lateral pressure ， force in central surface and external field on the elastic base. Applied Mathematics and Mechanics ， 1984 ， 5 （ 6 ）： 1791-1801 47． Shen HuiChuan （沈惠川） . The relation of von Karman equation for elastic large deflection problem and Schrodinger equation for quantum eigenvalues problem. Applied Mathematics and Mechanics ， 1985 ， 6 （ 8 ）： 761-775 48． Shen HuiChuan （沈惠川） . General solution of elastodynamics. Applied Mathematics and Mechanics ， 1985 ， 6 （ 9 ）： 853-858 49． Shen HuiChuan （沈惠川） . The Schrodinger equation of thin shell theories. Applied Mathematics and Mechanics ， 1985 ， 6 （ 10 ）： 957-973 50． Shen HuiChuan （沈惠川） . The Schrodinger equation in theory of plates and shells with orthorhombic anisotropy. Applied Mathematics and Mechanics ， 1987 ， 8 （ 4 ）： 367-376 51． Shen HuiChuan （沈惠川） . Further study of the relation of von Karman equation for elastic large deflection problem and Schrodinger equation for quantum eigenvalues problem. Applied Mathematics and Mechanics ， 1987 ， 8 （ 6 ）： 539-546 52． Shen HuiChuan （沈惠川） . General solutions of elasticity and peristaltic fluid dynamics. in “Advances in Applied Mathematics and Mechanics in China ” （ ed by Chien Weizang ） . International Academic Publishers and Pergamon Press ， 1990 ， 2 ： 145-154 53． Shen HuiChuan （沈惠川） . Application of inverse scattering method in vibration of sandwich plates with large deflection. in “Advances in Applied Mathematics and Mechanics in China ” （ ed by Chien Weizang ） . International Academic Publishers and Pergamon Press ， 1991 ， 3 ： 51-63 54．沈惠川 . 动力应力函数张量及弹性静力学的通解 . 中国科学技术大学学报， 1984 ， 14 （增刊 1 ）： 95-102 （ 84016 ） 55．沈惠川 . 吴大猷先生点评《经典力学》 . 物理， 2000 ， 29 （ 12 ）： 743-746/739 此文披露了吴大猷先生对某些经典力学教科书中所谓“推广的 Hamilton 原理”的批评，并提供了吴大猷先生的“猝量理论”的一些想法。 56．钱伟长等 . 弹性力学 . 北京：科学出版社， 1956 此书详细介绍了弹性力学中的一些具体问题。 57．钱伟长 . 广义变分原理 . 上海：知识出版社， 1985 此书关于广义变分原理的资料十分丰富，其积分形式可以方便地变换成微分形式；书中还有关于 Lagrange 未定乘数法与胡海昌的辩论材料。 58．吴大猷 . 古典动力学 . 台北：联经出版事业公司， 1977 ；北京：科学出版社， 1983 此书的原稿是第一本以物理学家的眼光写成的华文经典力学教科书，其成书年代甚至早于 Goldstein H. ；书中首次纠正了所谓“推广的 Hamilton 原理”的错误说法。 59．杨来伍 , 梅凤翔 . 变质量系统力学 . 北京：北京理工大学出版社 ,1989 60．张福范 . 弹性薄板 . 北京：科学出版社， 1963 此书是系统介绍弹性薄板的第一本华文科技书。 61．赵跃宇 , 梅凤翔 . 力学系统的对称性与不变量 . 北京：科学出版社 ,1999

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沈惠川、沈励：《经典力学题谱》跋

热度 3 ShenHuiChuan 2011-12-6 14:45

沈惠川、沈励：《经典力学题谱》跋学生做题，是天经地义的事，是为了理解世界、掌握知识必不可少的一个环节，是不得不迈越的一道坎儿 . 我在上海市位育中学（当时曾改名为 “ 上海市第 51 中学 ” ，著名华裔物理学家田长霖（ 1935 － 2002 ）是我们位育中学 1947 级的校友）念书时，就喜欢解题，尤其是几何题和代数题（我曾在班上当过几何课代表和代数课代表，甚至当过语文课代表，记得那时班上成绩最好的是胡幼华和王景初两位女生，而不是我这个课代表） . 有空的时候，就一个人（或与邻居的小伙伴如蒋仁达、张闯、经重晖、钱凯等）在弄堂的水泥地上用粉笔之类的东西边画边算；许多难题就是在那种场合被解决的 . 第二天去学校，又与吴震家（现在定居于澳大利亚）、马斌华（当时也是数学课代表）、沈如林（现在是杨森公司的副总裁）等同学讨论新的习题 . 当时，我的原则是 “ 解题不过夜 ” 、 “ 当天的问题当天解决 ” ，记得有一二次为了解答难题一直搞到午夜或后半夜才去睡觉 . 进入清华大学之后（当时担任数学课代表和理论力学课代表），有些力学方面的 “ 大作业 ” 不可能一天解决，才改掉了那 “ 熬夜拼题 ” 的习惯 . 记得在清华大学学习 “ 数学分析 ” 时，用的教材是前苏联 G. M. Fihtengoltz 的《数学分析原理》（中译本，人民教育出版社， 1959 ），配的习题集是有 4462 道习题之多的前苏联 B. P. Demidovich 的《数学分析习题集》（中译本，人民教育出版社， 1958 ） . 这 4462 道习题，有些相当难解 . 我花了一年半时间，牺牲了每天的午休时间（也许对不起还影响了钟勇生、金志胜、何华欣、贾鸿藻、赵国兴等同寝室的同学们的休息），终于挨个儿全数做完，并满满当当工整地抄在 8 厚本软皮精装的日记本上 . 这个中三味，只有亲身经历过的人才会有所体会 . 由于 8 厚本软皮精装日记本的头一本中的插页上有我的几首 “ 歪诗 ” ，因此在文革期间这头一本就被我弟弟沈惠申当废品卖掉了，余下的 7 本后来也被我自己处理了（因为已不再完整） . 交通大学若干年后出版了一套《 Demidovich 数学分析习题集解答》，孙和成同学（现在定居新加坡）和陈利颐同学（现在上海交通大学）对我说： “ 早知如此，你就不该当废纸卖掉！说不定这套《习题解答》就是你的！ ” 除了这 4462 道数学分析习题外，在清华大学期间还解答了不少其他物理学方面的习题（少说也有近千道），但可惜的是都没有保存下来 . 如能保存下来，也许同样伟为壮观 . 1977 年到中国科学技术大学当上了教师 . 教师解题，是份内的事，是为了 “ 传道、授业、解惑 ” 之需要，是为可能的 “ 改造世界 ” 创造初始条件 . 实际上， S. Flügge 的《 Practical Quantum Mechanics 》（ Springer-Verlag ， 1974 ；中译本《实用量子力学》，人民教育出版社， 1981 ）和久保亮五（ R. Kubo ）的《 Thermodynamics: An Advanced Course with Problems and Solutions 》（ North-Holland Pub. Co., Amsterdam ， 1968 ；中译本《热力学：包括习题和解答的高级课程》，人民教育出版社， 1982 ）、《 Statistical Mechanics: An Advanced Course with Problems and Solutions 》（ North-Holland Pub. Co., Amsterdam ， 1965 ；中译本《统计力学：包括习题和解答的高级课程》，人民教育出版社， 1985 ）等教科书，就是一本本习题集 . 说明 S. Flügge 和久保亮五等人在上课前或上课时，都亲力亲为解答了不少习题 . 要当好一个称职的教师，多解习题是必要条件 . S. Flügge 和久保亮五等人就是榜样 . 我在中国科学技术大学任教期间，解答得最多的，除了张量（ 2 厚本）和广义相对论（ 1 厚本）方面的练习题外，就是分析力学方面（ 3 厚本）的和热力学统计力学方面的（已有《热物理习题精解（下）》一书出版，科学出版社， 2004 ）习题 . 分析力学方面的 3 厚本习题解答经补充整理后，我重新装订成册，日后成了我上课的本钱（如吴大猷先生所说的） . 个别学生还来我家里借去这 “ 巨册 ” 习题解答以作复印 . 科大学生对我所教授的 “ 理论力学 ” 或 “ 经典力学 ” 课程评价相当好 . 国内的大学，在分析力学、相对论、热力学这三门最重要、最基本的物理学学科的教学方面，都舍不得花学时（有理由指出，也许很多物理学教师本身对相对论都不是很清楚） . 在清华大学念书时，分析力学、相对论、热力学这三门学科的教学都是一晃而过（实际上是虚晃一枪），真正学到手的东西少之又少 . 其他大学也差不多 . 到了中国科学技术大学后，当时为了帮助某些 “ 老三届 ” 报考硕士研究生以及培训新来报到的年轻教师，科大教务处请力学系的何竹修老师（他是清华校友）重新讲解分析力学约 36 学时，我和清华校友（比我高两届）张家渠－丁凌仙夫妇（他们现在已定居在加拿大）都去听了 . 张家渠后来报考程久生老师（也是清华校友）的研究生，他说： “ 全部理论力学题，我都是用分析力学方法来解的！ ” 张家渠的这番话，对我当时自主刻苦学习分析力学是一个巨大的推力和鞭策 . 何竹修老师的讲稿是他自己准备的（他的矢量符号是按印刷体书写的，当时有点不习惯），但蓝本是南京大学周衍柏的《理论力学》，习题也是周衍柏书上的 . 所以，我解答的第一批分析力学习题来自周衍柏的《理论力学》 . 当时，我的宿舍对门住的是叶取源（他后来到上海交通大学当上系主任、副校长） . 叶取源曾写信给周衍柏，说周书的 “ 第一版比第二版强 ” ，并向周衍柏索讨过其书第一版 . 周衍柏的第一版，我后来在上海淮海中路新华书店买到了 . 我在解答周衍柏《理论力学》书上的习题时，有时与叶取源作过讨论 . 叶取源学周衍柏《理论力学》的时间比我早 . 当时国内通用的《理论力学》教材还有梁昆淼的《力学》（下册） . 梁昆淼可以说是国内第一个将《力学》和《理论力学》 “ 打通 ” 教授的人 . 梁昆淼的书，总的说来还是有特色的；不过，他的《力学》（下册）中关于 “ 非完整约束 ” 的 Chetaev 条件的说法以及将 Lagrange 方程的 “ 广义能量积分 ” 等同于系统的 Hamiltonian 的说法，是完全错误的 . 后来，有些作者延续了梁昆淼的这些错误说法 . 我后来所解答的分析力学习题有部分来自 D. T. Greenwood 的《 Classical Dynamics 》（ Prentice-Hall ， Inc. ， 1977; 中译本《经典动力学》，科学出版社， 1982 ）、 H. Goldstein 的《 Classical Mechanics 》（ 2nd ed ， Addison-Wesley Pub Co. ， 1980 ；中译本《经典力学》，科学出版社， 1986 ）和吴大猷先生的《古典动力学》（科学出版社， 1983 ）；也有一小部分来自其他教科书；另有一大部分则是在教学过程中自编的，或者是将已知的习题进行扩展而得到的 . 实际上，只要了解分析力学的基本结构、懂得分析力学的程式语言，解答这些习题都是十分简单的；个别的疑难，都是概念模糊所致 . Greenwood 书上的习题不是很多， Goldstein 书上的习题没有给出答案 . 除此之外， Greenwood 书上和 Goldstein 书上的某些讲法（例如关于所谓的 “ 推广的 Hamilton 原理 ” ）也是有问题的，吴大猷先生在给我的信件中已经指出了 . 分析力学中最关键的就是首先要正确写出问题的 Lagrangian 或 Hamiltonian ；在 Lagrangian 或 Hamiltonian 二者之中，又以 Lagrangian 更为根本 . 为了正确写出问题的 Lagrangian ，必须首先建立惯性坐标系，其次以约束条件选取问题的广义坐标，然后用广义坐标和广义速度写出正确的 Lagrangian. 如果 Lagrangian 中仍有约束，则对应的 Lagrange 方程也必须有所改变 . Lagrangian 写对之后，首先看一下有无 “ 可遗坐标 ” ，其次找一下 “ 广义能量积分 ” ，然后再由 Lagrange 方程得到问题的运动微分方程 . 或者，由问题的 Lagrangian 根据 Legendre 变换写出问题的 Hamiltonian ，其次看一下有无 “ 可遗坐标 ” 、找一下 “ 广义能量积分 ” ，然后由 Hamilton“ 正则方程 ” 得到问题的运动微分方程 . 关于惯性参考系中自由运动的质点， L. D. Landau 在其《力学》（中译本，高等教育出版社， 2007 ）中说： “ 我们立即可以得到其 Lagrangian 形式的一些结论 . 时间和空间的均匀性意味着这个函数不显含质点的径矢和时间，即 Lagrangian 只是速度的函数 . 由于空间各向同性， Lagrangian 不依赖于速度矢量的方向，只能是速度大小的函数，也就是说 Lagrangian 是速度平方的函数 .”“ 由 Lagrangian 不显含质点的径矢可知 …… 速度是常矢量 .”“ 可见，在惯性参考系中任何自由运动的速度的大小和方向都不改变 . 这个结论包括了惯性定律的内容 .” Landau 接着研究了 “ 自由质点的 Lagrangian” ，并指出 “Lagrangian 在速度无穷小变换下满足 Galileo 相对性原理 ”. Landau 这些由时空特征直接得到自由运动质点的 Lagrangian 的观点应当引起重视，因为分析力学不仅仅是数学或力学，它首先应该是物理！这就是所谓 “Landau 风格 ” ！ Landau 的书之所以好评如潮、经久不衰，不是没有道理的 . 当然， Landau 的《力学》比起他的另外 8 本书（《弹性理论》除外）显得单薄了些，其中更是没有多少习题可资利用 . 除此之外，在分析力学中还有一些技巧性的问题，例如正则变换、 Poisson 括号的计算、 Hamilton-Jacobi 理论、 “ 化动量正则变换 ” 和 “ 经典对易子 ” 、 Liouville 方程的精确解等，都可以在解题过程中加以熟悉 . 其实都不难 . 值得一提的是张量计算在分析力学中的应用：由于引入了张量运算规则，使得某些复杂的 Poisson 括号的计算突然变得十分简单、方便起来，它的应用前景也突然变得宽广起来 . 当然，学习过程并不仅仅是解题过程，即使是思想十分开放的解题过程也还是远远不够的；所谓 “ 学问 ” ，就是有 “ 学 ” 也有 “ 问 ”. 最好能有几个志同道合的 “ 谈话对象 ” 经常 “ 切磋 ” 、 “ 交流 ”. “ 切磋 ” 、 “ 交流 ” 也可以是很激烈的 . （如 N. Wiener 在《控制论》一书的 “ 导言 ” 中所说的那样： “ 宣读者必须经受一通尖锐批评的夹击，批评是善意的然而毫不客气的 . 这对于半通不通的思想，不充分的自我批评，过分的自信和妄自尊大是一济泻药，受不了的人下次不再来了 . 但是，在这些会议的常客中，有不少人感到了这对于我们科学的进展是一个重要而经久的贡献 .” ）我在中国科学技术大学任教时，就曾有过几个 “ 谈话对象 ” ，例如汪秉宏、张之欧、陈银华、完（颜）绍龙、张鹏飞等人 . 孔夫子说： “ 学而时习之，不亦乐乎！ ” （《论语》第一篇 / 学而）若能认真解题，并能有所顿悟，则必然 “ 下士闻道，大笑之；弗笑，不足以为道！ ” （《老子》第 41 章）沈惠川谨识 2008 年 5 月 10 日于中国科学技术大学

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沈惠川、沈励：《经典力学题谱》序

热度 1 ShenHuiChuan 2011-12-6 14:38

沈惠川、沈励：《经典力学题谱》序 “ 谱 ” 者，籍录也（《说文新附》、《辞源》） . 《辞源》更云：如家谱、年谱、食谱、棋谱 . 除此之外，还有剑谱、琴谱等 . 这本 “ 题谱 ” ，所籍（作动词用）录的是《经典力学》（沈惠川等，中国科学技术大学出版社， 2006 ）一书中的 240 余道习题的详解， 160 余道例题的选解，以及 10 多道 “ 题外题 ” 的精解 . 谈不上是 “ 秘笈 ” （或许有个别独到之处） . 棋谱练棋，琴谱练琴，剑谱练剑，题谱当然练题 . 棋谱练心，琴谱练耳，剑谱练胆，题谱练的是脑 . 练题之前，先来一番 “ 摆 ‘ 谱 ’” . 《经典力学》一书，自 2006 年 8 月出版以来，一年之内，已销售 3000 册，外界评价很高，业绩还算不错 . 出版社在安排第二次印刷的同时，建议撰写一本《题谱》 . 《经典力学》书中，本来就有许多例题、习题 . 一本教科书，理应有许多例题、习题 . 对教授来说，手中有题，心中不慌 . 对学生来说，心中有题，考试不慌 . 许多相当好的专业书，之所以没有被连续选为教科书，就是因为没有许多例题、习题，或者没有习题答案 . 反而让相对不是最好的专业书，却被连年选为教科书 . 这是教训 . 一将功成万骨枯，一士名就万卷破 . 学生做题，是天经地义 . 这是功课 . 光说不练假把戏，光练不说傻把戏 . 又说又练才是真把戏 . 现在的学生，久经沙（考）场，斩获无数，不在乎多做题 . 但要在做题后 “ 顿悟 ” ，并非每个人的天赋 . 事业尚未成功，同学更应修炼 . 在正书之后，再 “ 谱写 ” 一本《题谱》，确实主意不错 . 个别在正书中未来得及交代的问题，可以在《题谱》中做出交代 . 算是补充 . 许多在讲课时临时想到、触类旁通的问题，可以在《题谱》中有所发挥、做出评论 . 算是拓展 . 这正是本《题谱》中每一道习题结尾处 “ 点题 ” 的目的和功效 . 《经典力学》一书以 Lagrange 力学和 Hamilton 力学为主线，旁及 Newton 质点和质点系力学、 Euler-Newton 刚体力学、 Hooke-Navier 弹性力学，因而本《题谱》的主要内容当然在 Lagrange 力学和 Hamilton 力学方面 . 甚至在处理第一章 “ 经典力学的基础 ” 中的个别动力学问题时，所动用的 “ 武器 ” 也是 Lagrange 力学的 . 有人或许会认为这是 “ 杀鸡用牛刀 ” ， “ 大炮打蚊子 ”. 但这样做未必不妥，未必不事半功倍 . 正如用导数算斜率、用积分算面积，没有人会有异议 . 而且更加精准、更加省事 . 正如用张量确定矢量运算公式，常使人产生惊喜 . 而且不用强记，不用劳神 . 何乐不为？！没有人会拒绝用新式武器 . 所有的动力学问题都可以用 Lagrange 力学的方法来解决，甚至某些运动学问题 . Lagrange 力学和 Hamilton 力学的算法都是程式化的 . 首先建立坐标系，其次写出所关心的点的坐标，第三构造系统的 Lagrangian ，第四寻找可遗坐标得到循环积分，第五算出系统的广义能量积分，第六列出系统的运动微分方程，最后根据初条件解出这些微分方程，这就是 Lagrange 力学算法的程式 . 首先写出系统的 Lagrangian ，其次应用 Legendre 变换得到系统的 Hamiltonian ，第三代入正则方程，最后解算正则方程，这就是 Hamilton 力学算法的程式 . Hamilton-Jacobi 理论以及 “ 化动量正则变换 ” 等，也都是程式化的 . 整个经典力学都是程式化的 . 程式化就是一种力量，给人的印象就像是作战的部队 . 有纪律，有气势 . 无往而不胜！ Lagrange 力学中最值得关心的，是 “ 非线性非完整约束 ” 问题 . Hamilton 力学中最值得关心的，是 Hamilton 原理能否推广成 “ 相空间中的 Hamilton 原理 ” 的问题 . 在《经典力学》一书中已对此作了充分的阐述 . 这是《经典力学》一书的特色之一 . 关于 “ 非线性非完整约束 ” 问题，必须引入 “Euler 条件 ”. 关于 Hamilton 原理能否推广成 “ 相空间中的 Hamilton 原理 ” 的问题，应该倾听吴大猷先生的意见 . 本《题谱》中有关这两个问题的习题倒也不多 . 只有两三道 . 但是其解法必须引起高度重视 . 而且值得玩味 . 本《题谱》有两大特色：一是每道题末的 “ 点题 ” ，二是每章末的 “ 题外题 ”. “ 点题 ” ，主要是对每一道习题的评论，从中引出的其他结果，间或还有一般性的介绍 . “ 题外题 ” ，主要是对《经典力学》一书中未涉及的问题的讨论 . 这些问题，对往后的学习和研究或许是有用的 . 其中最值得关注的是第三章后面的 “ 题外题 ”. 表面上是 Hamilton 力学方法在热力学中的应用，实际上已进入所谓 “ 分析热力学 ”. 另辟一个新的话题总是具有吸引力的 . 本《题谱》是与《经典力学》一书配套的 . 因此大部分 “ 例题 ” 以 “ 例题萃要 ” 的形式仅仅给出答案，而不再重复写出解题过程 . 但是，对一些证明题，对一些常用公式的推导 , 对一些非力学问题，仍然重复写出了解题过程 . 因为这是重要的 . 因为这是有用的 . 因为有些问题在书中仅出现过一次 . 或许在其他书中甚至都不出现 . 例题，按《经典力学》一书中的排序，以【例 x.xx 】标记 . 习题，亦按《经典力学》一书中的排序，改以【题 x.xx 】标记 . 附录中的例题，在本书中移入第一章，按《经典力学》一书中的排序，以【 Ax.xx 】标记 . 题外题，按内容排序，另以【外 x.xx 】标记 . 学艺宜精，格物致理 . 治学要严，即物穷理 . 学而时习，细推物理 . 察物内之物 , 思理中之理 . 本书绝大多数题解以及全部 “ 点题 ” 由沈惠川教授完成和撰写 . 部分题解和计算机输入由沈励先生完成 . 越说越离 “ 谱 ” 了，就此打住！是为序 . 沈惠川沈励于中国科学技术大学 2008 年元旦

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沈惠川：《经典力學》作者序

热度 1 ShenHuiChuan 2011-12-6 14:30

沈惠川：《经典力學》作者序 1996 年 12 月，吴大猷先生将台湾新竹清华大学 1994 年出版的《吴大猷先生手稿：古典力学（ 1941 年，昆明西南联合大学）》影印手稿（有限本）惠赠于我。这本影印手稿的历史，其年代之久远，远甚于 H. Goldstein 的《经典力学》。它在经典力学发展史上的重要意义，尤其是对理论物理学的贡献，已不仅仅是学术上的、教学上的了。吴大猷先生的这本手稿，就是他后来《古典动力学》一书的蓝本。在吴大猷先生和 Goldstein 以及 L. D. Landau 之前的有关经典力学或分析力学的书籍，绝大部分是专著并且基本上是为数学家和力学家而写的，而不是为物理学家或理学院物理系专业的师生所写的教科书。为物理学家或理学院物理系专业的师生所使用的教科书，应当更注重物理概念的陈述及其在理论物理学中的应用。在本书 “ 代序 ” 中吴大猷先生对某些经典力学或分析力学教科书里所谓 “ 修正的 Hamilton 原理 ” 或 “ 推广的 Hamilton 原理 ” 的批评，就是正确使用物理概念的典范。吴大猷先生的批评，极具穿透力和震撼力。 H. Goldstein 的《经典力学》和 D. T. Greenwood 的《经典动力学》等教科书中对所谓 “ 修正的 Hamilton 原理 ” 或 “ 推广的 Hamilton 原理 ” 的辩解，是无力的和自欺欺人的。 “Hamilton 原理 ” 是物理学（或力学）命题（或 “ 原则 ” ）而不是数学变分法；在真实的运动路径上，位形和动量将同时到达终点而不可能存在不同时到达的 “ 虚变动 ” 。所谓 “ 修正的 Hamilton 原理 ” 或 “ 推广的 Hamilton 原理 ” ，实际上是不顾 Legendre 变换的 “ 纯数学 ” 变分。推导 Hamilton 正则方程可以有多种方法；最好的方法是直接从 Legendre 变换出发。如果从 “Hamilton 原理 ” 出发，则仍需要 “Legendre 变换 ” 出手相助。企图凭借旁门左道式的 “ 修正的 Hamilton 原理 ” 或 “ 推广的 Hamilton 原理 ” 来投机取巧或搪塞，在物理上难以自圆其说甚至是说不过去的，只会遭到人们的质疑因而自取其辱。本书详述了三种推导 Hamilton 正则方程的方法；在利用 “Hamilton 原理 ” 推导正则方程的过程中，特别强调了吴大猷先生对物理概念的陈述。通过比较，读者自然会认可，只有直接从 Legendre 变换出发推导 Hamilton 正则方程的方法，才是最好的方法。在经典力学或分析力学中，另一个需要物理学家动脑筋的就是几十年来争论不休的 “ 非完整系统 ” 问题。许多专著和教科书，包括吴大猷先生的《古典动力学》和 Landau 的《力学》，在这一问题上都采取回避的态度，至多只是对 “ 线性非完整 ” 问题作有限的讨论；而另一些谈到 “ 非线性非完整 ” 问题的书中的说法，则全都是错的，其中有些还相当可笑。 “ 非完整问题 ” 涉及速度对系统的约束；它同时在耗散力学、流体动力学、塑性力学流动理论中具有很现实的应用需要。这个问题是物理学家和力学家的 “ 百年之痒 ” 。 1933 年由 N. G. Chetaev 引入的 “Chetaev 条件 ” 在物理学上是毫无道理的：它既不能由分析力学的形式得到（即不能从 Hamilton 原理导出），又不能由约束方程的逻辑诱导得到（即不能从变分约束方程导出），更不符合变分学方法的规范程序（即其偏导数是对广义速度的而它的变分量则是对广义坐标的），但应用 Chetaev 条件后确实可以导出线性非完整系统的真实轨道方程。 1982 － 1983 年间提出来的另一个被称之为 “Vacco 模型 ” 的数学结构，尽管满足 Hamilton 原理，但由它导得的却是系统的测地轨道方程而并非 Routh 方程；换言之，对非线性非完整系统而言， Vacco 模型也行不通。到底是 “Chetaev 条件 ” 对还是 “Vacco 条件 ” 正确，抑或是二者都有问题？这是一个必须严肃思考的问题。有些理论家在万般无奈的情况下，引入 “Gauss 最小拘束原理 ” 和所谓 “Jourdain 原理 ” ，乃至 “ 万有 d’Alembert 原理 ” 来糊弄人，自以为将适用于理想约束条件的 “d’Alembert 原理 ” 作一番 “ 推广 ” 就能处理非线性非完整问题。但是根据 N.G.Chetaev 的说法， “d’Alembert 原理 ” 、 “Gauss 最小拘束原理 ” 和所谓 “Jourdain 原理 ” 这三者，对完整约束、对线性非完整约束是相容的，而对非线性非完整约束则是不相容的；即使将虚位移的概念加以推广，也只能使 d’Alembert 原理与 Gauss 最小拘束原理同时成立，而不能保证 Jourdain 原理成立。（语见 N.G.Chetaev“ 关于 Gauss 原理 ” 一文，载《持续发展：分析力学著作》，苏联学术科学出版社，莫斯科， 1962 年第 323 页。）换言之，任何用改变 “ 理想约束条件 ” 定义来导出非线性非完整系统 Routh 方程的企图，都只是一厢情愿的和靠不住的。除此之外，另有一些学者试图从其它角度出发来解决非完整系统的问题；关于这方面的介绍和总结，可以参阅梅凤翔先生在《高等分析力学》和《非完整系统力学基础》中的有关章节。据我了解，这些努力中的绝大部分都收效甚微、影响极小。可以说，经典力学或分析力学的近代发展，都与最终解决非完整问题的 “ 愿景 ” 有关。本书分析了 “Chetaev 条件 ” 和 “Vacco 条件 ” 在理论上的不足，提出可以用所谓 “Euler 条件 ” 来统一它们；从而基本上一举解决了这个问题。这是本书的另一个重要 “ 看点 ” 。非完整系统的问题是属于 Lagrange 力学中的问题，而利用 “Hamilton 原理 ” 推导正则方程的问题则属于 Hamilton 力学中的问题。 Lagrange 力学和 Hamilton 力学是经典力学或分析力学中最主要的内容；吴大猷先生和 Goldstein 以及 L. D. Landau 的书都是以 Lagrange 力学和 Hamilton 力学为写作重点的。记得吴大猷先生的《古典动力学》一书刚在中国大陆出版发行时，中国科学技术大学的一位教授就敲着桌子对我说： “ 理论力学或经典力学的教科书就应该这么写！ ” 本书写作之初，就是打算以吴大猷先生的《古典动力学》为铺垫进行重新演绎，并以合作的名义出版。吴大猷先生在世时，我就有此想法，只是没有机会向吴先生当面提出。在没有得到吴大猷先生家人授权之前，我不能贸然行事。现在的选择是以我在中国科学技术大学 20 多年讲授经典力学或理论力学的若干次授课讲稿为基础所作的改编；此讲稿获得学生们的一致好评，十多年之前就有学生建议我将此讲稿改编成书。个别学生的课堂笔记甚至比我的讲稿还写得整洁，有的还私下影印授售。当然从目前中国大陆的大学本科生物理学水平来说，在 Lagrange 力学和 Hamilton 力学之前增加一章 “ 经典力学基础 ” 也是必须的，以便与普通物理学的力学部分相衔接。实际上，在吴大猷先生和 Goldstein 以及 Greenwood 等人的书中，也有相关的内容，只是在先后次序上和选材上有所区别而已。然而，必须特别指出的是，那种以 “ 经典力学基础 ” 为主、以 Lagrange 力学和 Hamilton 力学为辅的写作格局应当废止，被颠倒了的主次关系应当被重新颠倒过来。面向 21 世纪的全新教科书尤其要如此；这也是教学改革实际的需要。写作方针确定之后，选材就是决定的因素。质点力学和刚体力学自不用说：凡是在普通物理学的力学部分中没有讲到的主要内容，都要讲一遍；次要内容可以略而不述。在弹性力学和流体动力学这二者之间，本书选择讲解弹性力学。考虑的出发点首先是，弹性力学的数学结构完全可以纳入 Lagrange 力学和 Hamilton 力学的形式体系；此外，弹性力学已经完全数学化而且其形式已经完全固定。相反，流体动力学在数学结构上与 Lagrange 力学和 Hamilton 力学的形式体系相去较远，而且它在物理上还有一些问题没解决，形式上变化多端。当然这样的安排并非是说流体动力学不重要；相反，在连续介质力学的范围内，流体动力学比弹性力学更需要单独成书。流体动力学中关于 “Euler 描述 ” 或 “ 系综 ” 的概念是划时代的；这些概念现在已经成为统计力学中和量子力学中讨论问题的基础。相比之下，弹性力学较为传统；对弹性力学的理论探讨已经成为过去，它目前的地位与刚体力学一样仅仅是应用（其最新的应用是在生物物理学对 DNA 形状的研究中）。将弹性力学纳入 Lagrange 力学和 Hamilton 力学的形式体系之后，弹性力学将失去独立存在的理由；同时本书的内容则会更具特色，旗帜更为鲜明。出于差不多相同的原因，本书中也不专门涉及狭义相对论。相对论无疑是物理学的最重要的支柱之一。相对论（包括狭义的和广义的），热力学，以及分析力学（包括 Lagrange 力学和 Hamilton 力学），是物理学中的 “ 铁三角 ” ；是物理中的物理，是物理学中的哲学。相对论，热力学，以及分析力学是评估其它物理学理论是否正确的最后标准，是所有其它物理学学科必须共同遵守的 “ 约束条件 ” 。这三门课程，在大学授课阶段应该得到进一步加强而不是削弱。面对社会上某些没有经过系统训练的年轻人和某些自以为是者对相对论的无理责难，应当更高地举起 Einstein 的大旗。在大学课堂上，只讲 6 至 12 学时相对论是远远不够的；联系到某些量子力学理论家在相对论知识方面是如此贫乏和他们到处散布对相对论的怀疑的现实，在大学里花一、二个学期的时间来讲授和解读相对论也不算过分。但是由于本书的目标不在这里；为了突出重点节约学时，因此只得割爱少谈。有关知识，读者可以通过阅读 Einstein 原著和其他名家之作来得到。作为一个统一的理论体系，本书与其它经典力学或分析力学的教科书一样，还将经典电动力学纳入了 Lagrange 力学和 Hamilton 力学的逻辑结构。从这一意义上来说，经典电动力学（除了其中有关相对论的内容外）也没有独立存在的必要了。在本书的附录中，有专门一节介绍经典电动力学的基本公式。但是，经典电动力学有一种比较特殊的数学结构，它同时又能被纳入流体动力学的形式中去。（不能由于经典电动力学的基本方程可以变换为流体动力学的基本方程，以及流体动力学的基本方程可以变换为经典电动力学的基本方程，就说 “ 有超音速就一定有超光速 ” ；因为声速和光速是两个完全不同的物理概念，因为与经典电动力学的基本方程对应的仅仅是 “ 相对论 ” 流体动力学的基本方程。） Lagrange 力学和 Hamilton 力学，尤其是 Hamilton 力学，与热力学在数学上十分相像。它们都以 Legendre 变换和 Pfaff 方程作为讨论问题的基础。在经典力学和热力学中，有着类似的变分原理。所谓 “ 分析热力学 ” ，就是在这些基础上建立起来的。至于 “ 分析热力学 ” 的细节，本书不打算涉及。在本书的附录中，也有专门一节介绍热力学的基本公式。由于经典力学，尤其是其中的 Hamilton 力学部分，与后续课程量子力学和统计力学有着千丝万缕的内在联系，因此本书在需要介绍的地方，总是不加回避地介绍一些有关量子力学和统计力学方面的信息。但是这种介绍，只是点到为止。这对以后的学习和研究是有好处的。在 Goldstein 的《经典力学》第三版中，还有关于 “ 混沌 ” 方面的内容。在经典力学教程中谈论混沌，已经成为一种时髦。在本书目前的第一版中，没有介绍混沌的打算。吴大猷先生批评 Goldstein 的《经典力学》 “ 内容庞杂而不精 ” 是应当引起重视的。以后的事，以后再说。除此之外，本书中特别还提到了钱伟长先生在 “ 变分原理 ” 方面所做的工作。钱先生是我母校清华大学的老师。钱先生当时住在照澜院 16 号时，我就与他有通信来往并受益良多。我在《应用数学和力学》和在《中国应用数学和力学进展》杂志上所发表的论文，全都是钱先生审阅推荐的；钱先生对我有知遇之恩。钱伟长先生的《广义变分原理》曾惠赠于我一本。《广义变分原理》是一本资料丰富、充满特色的书；书中关于变分原理的积分形式可以很方便地变换为微分形式。书中还记录了就变分原理与胡海昌进行学术辩论的材料。从物理学家的观点来看，钱先生的意见是正确的，而胡海昌的说法有问题。钱先生曾对我说过，他是 “ 学物理出身的 ” 。本书的参考文献中有梅凤翔先生的 11 本书。梅先生是中国国内分析力学研究方面的领军人物；他对我的论文曾经作过评审，所以当他在 “ 湖州会议 ” （全国第五届分析力学学术会议）上第一次见到我时就打趣说： “ 久闻大名，如雷贯耳。 ” 梅凤翔先生是中国力学学会理事会常务理事、中国力学学会一般力学专业委员会分析力学专业组的组长；我进入力学学会分析力学专业组就是梅先生提名的。在梅凤翔先生的书中，资料详实全面，是读者进行深入研究的必读之物。梅先生本人也在分析力学方面尤其是非完整系统方面做了许多出色的工作；对 Birkhoff 系统的研究就是梅先生为深入理解非完整系统而引入国内的（从文献资料中可知，数学家 Birkhoff 是 Einstein 的朋友）。为了教学需要和帮助读者自学，本书配备了大量的例题和习题。在本书的第二、第三章有许多传统的 “ 主干 ” 内容；为这些传统的主干内容所配备的一组例题本来是可以作为其 “ 应用 ” 单独编成 “ 一节 ” 的，但本书为了叙述的完整并未作此人为的分隔。例题分为两种：一种是为说明问题或观点在逻辑上所必须具有的；另一种则是解题的示范。前一种例题不可或缺，后一种例题则可多可少。教师授课的时候，对后一种例题可酌情处理。对学生来说，则希望每道例题都能看懂。习题是为学生和自学者准备的；为了学到知识，必须自己动手算（尤其是张量方面的例题和习题，更要亲自动手算）。本书的内容较多。如果学时数宽裕，第一章的内容可以有选择地讲一些，第二、第三章全讲；如果学时数不够，则第一章内容建议自学，第二、第三章中的非主要内容也可以免讲。对自学者的建议是全书都读。本书第一章中的 “§1.1 Newton 质点和质点系力学 ” 和 “§1.2 Newton-Euler 刚体力学 ” 由李书民教授执笔（鼠标）初稿，其余由我执笔（鼠标）初稿；全书由我统一校阅编撰并定稿。在本书的写作和出版过程中，得到中国科学技术大学理学院的大力支持和中国科学技术大学出版社尤其是美丽能干的张春瑾小姐的鼎力帮助。梅凤翔先生对本书的出版也有推力。对他们的支持和帮助，我和李书民教授谨致深深的谢意。感谢已故吴大猷老师的多次热忱教导和信任，感谢钱伟长老师的鼓励和扶持！本书的出版得到国家自然科学基金（编号 10475070 ）的资助。沈惠川 2006 年 3 月 1 日于中国科学技术大学

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物理理论之间是难以包含的

zhulin 2009-11-10 12:53

甘永超先生强调的光的量子理论能够包含光的经典电磁理论居然找不到一个像样的实验证据，光的量子理论能够包含光的经典电磁理论是错误的这个重要问题，好像同一般认为狭义相对论包含牛顿经典力学（ v 远小于 c ）、广义相对论包含牛顿引力理论（ g 很小）、量子力学包含牛顿经典力学（ h 约为 0 ）相类似。而实际上，这些说法大概只是理论间的定域或层次关系，或一定条件下的数学公式的近似，而非基本概念间逻辑关系。其实每一种有价值的科学理论，都不存在谁包含谁的问题，它们看物质世界的角度不同、基本观念不同、逻辑基元不同，本质上是不可比拟的。比如往往有人说，绝对时空是错误的，可是没有绝对时空意义上的本征时间和本征长度，相对论的相对时空甚至都无法表示出来，更没有客观比较的基础，从而就会失去相对的意义。难道相对时空必须得需要错误的绝对时空才能展现出来吗？那些号称绝对时空是错误的大侠们对此为何都刻意回避呢？

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《相对论》解决了迈克尔逊实验显示的经典力学无法解释的问题

可变系时空多线矢主人 2009-5-21 11:43

《相对论》解决了迈克尔逊实验显示的经典力学无法解释的问题 1 ．迈克尔逊实验的时代背景和目的当初，人们认为光是在所谓以太，即：一种弥漫整个宇宙、还弄不清其性质、也无法实验证实其存在的，一种介质，中传播。斐索 (H.L.Fizeau) 还根据实验结果，认为：运动物质的折射系数反映该物质带动以太牵引运动的程度。而大气 ( 近乎真空 ) 的折射系数几乎为 1 ，就认为它不会显著地带动以太。经典力学中，不同参考系间牵引合成运动是按伽利略公式表达的。迈克尔逊又在前人的基础上，精确地测定了光速。就想要按伽利略公式，在大气中，利用地球绕太阳的运动，实际测定地球与以太的相对运动。 2 ，迈克尔逊实验的设计和结果为此，他设计了如下的一个实验，即：用半镀银的透明薄片，将光束分为彼此正交的两束，使其传播方向分别平行或正交于与地球相对以太的运动方向，经不同的光程差反射折回发生干涉，而形成干涉条纹。设两分光束各单程的长度为 s ，地球绕太阳相对以太参考系的运动速度为 v ，大气 ( 近乎真空 ) 中 3 维空间的光速为 c ，平行参考系运动方向的光束往返光路所需时间为 t(1) ，垂直参考系运动方向的光束往返光路所需时间为 t(2) ，则按通常经典力学的伽利略变换，有： t(1)= s/(c-v)+ s/(c+v)= (2 s /c)/ (1-v^2/ c^2), t(2)= 2( s^2+( vt)^2)^(1/2)/c= (2 s /c) / (1-v^2/ c^2)^(1/2) , 两光束往返光路所需时间差为 t(2)- t(1)= (2 s /c)(1/ (1-v^2/ c^2)^(1/2)-1/ (1-v^2/ c^2)) , 因 v/c 甚小，上式近似为 t(2)- t(1)~ s (v/ c) ^2/c ，实验中，还使整个仪器旋转 90 度，使原来垂直与平行参考系运动方向的光束互换，这两次的时间差就成为 2s (v/ c) ^2/c 。这样，仪器旋转前后，干涉条纹将发生移动的条纹数应是 n=2s (v/ c) ^2/(cT)= 2s (v/ c) ^2/L ，其中 T ， L 分别为所用光的周期和波长。由他最后几次实验所用光束的波长 (5.9 乘 10^(-5)cm) 、所用反射的光程 (2 乘 11m ) 、和地球绕日运行的速度 (3 乘 10^ 6 m /s) 估计，干涉条纹应移动 0.4 条。而实验的观测精度可达百分之一条，应完全观测到干涉条纹的移动。但是，在不同季节，不同地理条件，进行的多次实验观测，却都看不出干涉条纹的移动。 3 ．迈克尔逊实验结果对经典物理学产生的震动由迈克尔逊实验结果的以上分析可见，实验的计算是严格按照经典力学，并且已经计及光在往返两程传播方向的速度变化。因而，实验的结论只能是：伽利略公式与实验结果不符。在惯性牵引运动系，真空中 3 维空间的光速不随参考系运动改变！这一实验结果，在当时，引起了很大的困惑。 4 ．狭义相对论才圆满地解决了这一问题。洛仑兹仍用以太的观点，而提出所谓长度收缩、时钟变慢，以适应相应的观测结果。但仍有许多悖论，而不能自圆其说。直到爱因斯坦 (Einstein) 的狭义相对论，采用 4 维时空的闵可夫斯基矢量，才圆满地解决了这一问题。 5 ．对狭义相对论的有关误解有人认为迈克尔逊实验中往返光束会彼此消去了光程差，才观测不到干涉条纹的移动；而要否定迈克尔逊实验提出了经典力学无法解释的问题，从而否定、批判《相对论》，就只是错误地理解迈克尔逊实验中光程差的具体计算，而产生的误解。有人认为爱因斯坦提出的狭义相对论是错误地假设了光速不变原理，而要以此否定、批驳相对论。其实，一般而言，光速并非不变，在不同的介质中，光速就各不相同，因而有不同的折射率；在各向异性的介质中，不同方向的光速也不相同，因而才有所谓双折射。光速不变也不是假设，而是实验（著名的迈克尔逊实验）具体表明真空中光速的 3 维空间分量不随参考系的运动改变，正因如此，对于高速运动物体的位置须用 4 维时空的闵可夫斯基矢量表达，不同参考系间的变换应是洛仑兹变换。显然，这里所说的不变，只是光速的 3 维空间分量不随参考系的运动而改变。、真空中光速 3 维空间分量的模长是不变的常量。而对相对论的这种所谓批驳就显然只是对以上认识的严重误解。

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《相对论》及其发展 (44)

可变系时空多线矢主人 2009-5-6 11:32

《相对论》及其发展 (44) 43 ．非惯性系，高速运动物体（例如高能粒子、光子等）的牵引运动合成公式和运动特性也都与经典力学和狭义相对论的牵引运动合成公式和运动特性，显著不同 ( 接 (43)) 对于非惯性系，高速运动物体（例如高能粒子、光子等），必须按照反映时空弯曲特性的 4 维时空 1- 线可变轴矢系，建立各牵引运动合成公式。并以 4 维时空可变系的洛仑兹变换取代经典力学 3 维空间的伽利略变换和狭义相对论不变系的洛仑兹变换。因而，其牵引运动合成公式和运动特性，也应从非惯性系和高速运动，这两个方面，与经典力学和狭义相对论的牵引运动合成公式和运动特性显著不同。 ( 未完待续 )

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论证《关于电子Lorentz力和能量测量的实验》

zyfnew 2009-3-3 22:27

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经典力学发展的两条路径

热度 1 武际可 2009-2-17 11:50

经典力学发展的两条路径武际可 1 引言在经典力学中有两个最重要的概念：动量和动能。而经典力学的核心内容是运动方程，如果令质点的质量为 m ，速度为 v ，所受的外力为 f ，他可以表述为以下两种等价的方式：其中 t 是时间 s 是路程。 (1)和(2)的等价性是显然的，因为。由于动量和动能是完全不同的两类概念。后者需要建立功、能等一系列新的概念。所以更不能说第二种表述是第一种表述的推论。事情还得从意大利科学家伽利略（Galilei Galileo,1564-1642）说起，1638年，伽利略发表了他的巨著《关于两门新学科的对话》。在这本书中，虽然还不严格，他第一次提出了对运动的两种度量。伽利略借对话的人物萨耳维阿蒂说：对于迄今为止所提到的抛体的动量、冲击或打击，我们必须添加一个非常重要的考虑；去确定打击的力和活力，只考虑抛体的速度是不够的，我们还必须考虑目标的性质与条件，它在不小的程度上确定了冲击的效果。首先，如所周知，从抛体的速度当目标部分或完全阻止运动时，它遭受强烈的损害；因为如果冲击落在一个对象上，它就产生冲力，没有阻力这一冲击将是没有效果的；同样，当一个人用枪杆攻击他的敌人，并且在一个瞬时赶上敌人，而敌人以相等的速度逃跑，这将会是一种没有伤害的接触。但是如果打击部分地落在一个对象上，则冲击将不会有它的全部的效果，破坏将与抛体的速度超过目标后退的速度成比例的；这样，例如，如果射击以速度10达到目标，而或者以速度4后退，动量与冲击将以6来表示。最后，就抛体来说，当目标完全不后退而且如果完全抵抗和阻止了抛体的运动，冲击将是最大的。当涉及抛体时我曾经说过，因为如果目标会逼近抛体，碰撞的冲击会更大，它是与两个速度之和成比例的，它比单独是抛体要大。这里伽利略提出只考虑抛体的速度是不够的，还要添加非常重要的考虑去确定打击的活力。伽利略只是提出了这个问题，书中他远没有解决这个问题。而且这恐怕也就是经典力学后来发展的两条路径的起点。 2 第一条路线的完成 1644年法国科学家笛卡尔（B.Descartes,1596-1650）在他的著作《哲学原理》中讨论了碰撞问题，他提出了8条定律，虽然这些定律都不正确，不过他引进了严格的动量的概念。 1668年英国皇家学会提出碰撞问题的悬赏征文。应皇家学会的邀请，瓦里斯（J.Wallis，1616－1703）、雷恩（C.Wren,1632－1723）、和惠更斯参加了这项研究。不久，三个人都交出了各人按不同方式研究写成的论文，他们都在这个问题上作出了贡献。瓦里斯讨论了非弹性体沿它们重心联线运动时的碰撞，同时也讨论了斜碰撞的情形，随后于1671年还发表了弹性碰撞的结果。他在讨论中利用了动量的概念。他的结果是：若令与的速度分别为与，碰撞后的公共速度为则有在同向运动时，在反向运动时。现在看来，这就是碰撞后两个物体粘在一起时的动量守恒定律。雷恩与鲁克合作做了碰撞的实验，于1668年提交了论文。马略特在论文《论物体的撞击与碰撞》中描述了这些实验。马略特(E. Mariotte,1620－1684)是法国教士，又是惠更斯的朋友。他写过《水和其他流体的运动》，讨论了流体的浮力、射流等流动。在1677年还写了论文《论物体的撞击与碰撞》描述了雷恩等球的碰撞实验。利用这实验马略特证明了动量守恒定律。牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》书中明确提出了后人称之为的牛顿第二定律。牛顿的表述是：定律II 运动的变化永远跟所加的外力成正比，而且是沿着外力作用的直线方向发生的。这也就是式（1）的另一种表述。至此，经典力学沿着第一条路径的发展就基本完成了。如果第一条路线的研究开始于1644年笛卡尔提出准确的动量概念，那么，到1687一共只有四十多年。而沿着第二条路径的发展却刚刚开始。却花费了将近两个世纪之多的漫长岁月。 3 第二条路线的进程 1669年，惠更斯在论文《论物体的碰撞运动》中对碰撞问题进行了系统的讨论。他讨论的前提是：惯性定律，碰撞是完全弹性的。在这样的条件下他提出13个命题，得到了一些重要的定律。如：两个物体相互碰撞时，它们的质量乘其速度平方之和在碰撞前后保持不变。这个定律正好是莱布尼兹关于活力定律的表述。莱布尼兹的叙述是：宇宙是一个不与其他物体进行交换的物体系统，所以，宇宙始终保持同样的力。通过碰撞问题的研究，产生了早期的动量守恒与动能守恒定律的表述。这样，瓦里斯、雷恩和马略特在碰撞问题上沿着动量的路线讨论，而惠更斯则是沿着动能或者说是沿着活力的路线来讨论的。莱布尼兹对活力的研究是从反对笛卡尔的动量开始的。1686年，他投给《学术学报》（Acta Eruditorum）一篇论文，反对以质量与速度的乘积作为力的度量。之后笛卡尔派与莱布尼兹派就这个问题争论了多年，这场争论几乎席卷了欧洲所有各国，延续了数十年之久。最后法国学者达朗贝尔（Jeanle le Rond dAlembert,1717－1783）于1743年在他的书《论动力学》中指出，整个争端只不过是一场关于用语的无谓争论。他指出，对于量度一个力来说，用它给予一个受它作用而通过一定距离的物体的活力，或者用它给予受它作用一定时间的物体的动量同样都是合理的。在这里，达朗贝尔揭示了活力是按作用距离力的量度，而动量是按作用时间力的量度，这个结论是非常确切的。莱布尼兹认为，以落体运动来说，物体升起的高度是与初速度的平方成正比，因之作用在物体上的力的效应必定是与其重量所给予的速度平方而不是速度成正比的。当时莱布尼兹取为活力，而不是用。以现在的语言来说，令 w 为加速度， f 为力， m 为质量， v 为速度， s 为距离，则 mw=f 牛顿第二定律是与等价的，在这里， f 被称为死力，被称为活力。到了19世纪20年代，当法国学者科里奥利（Gustave Gaspard Coriolis,1792－1843）引进了功的概念后，即功等于力乘物体在力作用线上的位移，才在前面加上了，成为。 4 拉格朗日与勒让德的工作在第二条路线的发展过程中，应当提到的是两件重要的事。即18世纪的拉格朗日和勒让德的工作。在牛顿的《原理》出版后的101年，也是法国大革命的前一年，即1788年，却在法国出版了一本不含几何推理也没有任何几何插图的力学书。这就是J.L.拉格朗日(Lagrange)著的《分析力学》。这本书的出版标志了力学发展的一个新阶段。他首先引进可以完全描述力学系统状态的有限个参数称为广义坐标，后人也称为拉格朗日坐标。其次，他在系统运动时计算系统的动能，用的函数来表示，并且以表示作用量，使最小的便是真实运动。拉格朗日称之为最小作用量原理。并且论证真实运动必须满足方程这里是作用力在广义坐标中的表达式。如果将他表为的函数，且是有势力的情形，即这时若令则有这个方程称为第二类拉格朗日方程，函数是S.D.泊松引进的称为拉格朗日函数。如果说拉格朗日所引进的拉格朗日函数是一种作用量，随后，拉格朗日的学生勒让德引进的勒让德变换就允许把这个函数以的别的自变量来表述。1787年，勒让德在蒙日关于最小曲面研究的启发下，给出了勒让德变换。勒让德变换在力学和物理上的应用，可以把作用量的自变量换成与原来变量对偶的变量。由此就可以发展出一系列的另外的作用量和运动方程的新的表述形式。后来的哈密尔顿力学与雅科比力学，都可以由此推出。勒让德变换是从以下偏微分方程出发的（3）其中令，再令 R 、S 、T 仅是 p 、q 函数，令曲面的切平面为，（4）则应当有（5）（4）式就在函数变量 x,y 与 p,q 之给出了一个变换。即。由(4)微分得考虑到上面两个式子的右端一个和另一个的转置互逆。就有把以上结果代入（3）就得到（5），这一变换可以把一个拟线性方程化归为一个线性方程求解。把以上思想推广。设有 n 个自变量的函数它具有直到二阶的连续微商，取新的一组变量（6）它们组成对的一组变量替换，设其Jacobi行列式从（6）就可以把原变量反解出来。得（7）考虑新函数（8）可以证明（9）在勒让德变数替换下，两个函数 U ，和的关系由（8）给出，对应的变量与函数的关系由（6）和（9）给出。它概括了力学与物理上各种作用量之间的关系。 5 静力学的两种路线上面所说的关于动力学研究的两条路线，可以追溯到静力学的研究中。一条路线是直接研究力的性质与平衡，我们现今采用的工程力学教材中，大多是沿着这条路径展开讨论的；另一条路线是研究位移并且把位移和外力在位移上做功联系起来，这就是从虚位移原理来讨论平衡。实际上，位移和力所表述的空间是相互对偶的，把一个的性质搞清楚了，另一个也就清楚了。以下我们采用第二条路径的方法，就刚体的平衡与位移来讨论。设在空间中有m个质点，每个质点引进一个位移，则这些位移构成一个n=3m维的向量空间，而它的对偶空间相当于在每一点上给定一个力，由这些力所构成的3m维空间。显然这个力系在任意位移上做功为零的条件为： (12) 如果我们给定的位移并不是任意的，比如说m个质点是约束在同一个刚体上，则可以表示为： (13) 这里与为两个任意的常向量，为空间质点的坐标向量。在这一段的讨论中，我们采用通常三维空间中向量的运算。将（13）式代入(12)式，得：由于与的任意性，有： (14) 这就是刚体的平衡条件。同样，考虑作用在各点的力系任意变化下都做零功的位移所满足的条件，即考虑(12)式在满足刚体平衡条件(14)时位移场应当满足的约束条件。在这种情形下，我们把(12)与(14)两式联立，寻求任意变化下的解空间。为此，将(14)式的两个等式分别乘以待定乘子与两个向量后与(12)式相减，得： (15) 显然(15)式可以化为： (16) 由于上式中是任意变化的，于是我们得到： (17) 这也就是刚体位移的约束条件。上面所讨论的刚体在两个相互对偶的空间内满足做零功的相互对偶的两个条件，就是刚体力学中的静力平衡条件（（14）式）和运动学几何条件（（17）式）。 6 结论通过以上的讨论，我们至少可以有以下几点认识：第一，把经典力学不加区分地称为牛顿力学，是不十分合适的。牛顿是完成第一条路线的大师，但对第二条路线来说，很难说有多少贡献。第二，经典力学的这两条路线，可以追溯到力学的静力学中。在静力学的研究中，也一直存在着两种不同的方法。一种是直接从力的平衡着手讨论。另一种是从力系被扰动后系统的行为来讨论的。前者是从力、而后者是从几何来讨论的。或者从力学上来说，前者是平衡，后者是虚功原理。从几何上来说前者与后者是在互相对偶的空间中来讨论的。第三，恩格斯说： mv 是以机械运动来量度的机械运动；是以机械运动所具有的变为一定量的其他形态的运动的能力来度量的机械运动。这两种量度因为性质互不相同，所以并不互相矛盾。可见，沿着第一条路线的研究，只是解决了前一类问题，而后一类问题是属于第二条路线的事。第四，现今在大学力学教学体系上，主要是按照第一条研究路线来整理材料的。而把动能定理纳入它的框架内。可能是由于第一条路线完成得早而先入为主吧。从虚功原理开始的分析力学，要么不讲，要么分量很小。这和经典力学在现今整个科学中的地位是不相称的，近代科学的发展，恰恰需要加强分析力学部分。而这只有少数教材才反映这种要求的，如朗道栗复希兹的《力学》和阿诺尔德的《经典力学的数学方法》。致谢：本文受到国家自然科学基金10172002项目的资助，特致谢意。参考文献〔1〕恩格斯，《自然辩证法》，人民出版社，1957年，第72页。〔2〕武际可，《力学史》，重庆出版社，2000年。在第九届现代数学和力学学术会议（MMM-IX）2004年10月4－7日，（上海）宣读 Posted in Uncategorized | No Comments 经典力学发展的两条路径

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