Google map 无疑凝聚了许多当代最先进的科学和技术。前一阵子听说有人还用它做出了科学上的重要发现 — 从 googlemap 上他看到有一块绿色的区域没有任何标识，于是他按图索骥找到那个地方，发现了一处不为人知的热带雨林。 我们虽然不期待做出重大发现，但是透过精美的 google map 图片，能够看到其中蕴含的一些物理规律还是非常有趣的。这篇博文要讲的就是 google 的卫星拍下来的船在水面留下的波纹。 如图一所示，在一些港口，河流附近，很容易发现一些非常清晰的行船照片。图一来自上海黄浦江。我们注意到船的后面留下了一个精致的波纹图案。这个被称作兴波（ wake ）的波纹与许多人熟悉的“马赫角”有些关系。 图一：黄浦江上的船波。 当飞机，子弹等以超音速在空气中飞行时，它们所激发起来的声波被落在了身后，如图二所示。子弹在 A 点处激发起来的各种频率的声波向外扩张（图中以 A 为圆心的圆代表了声波的波前），由于各种频率的波具有相同的速度，所以它们齐头并进。当 t 时刻，子弹到达 B 点时，声波的波前到达了 O 点。 BO 两点的连线与 AB 的夹角满足 , 即声波速度与子弹速度之比。此角为马赫角。容易证明， AB 连线上其他点所发出的声波的波前在 t 时刻也到达了 BO 连线上。所以所有声波的能量都被局限在了马赫角内。通过测量马赫角的大小，以及对声波速度的了解（大约三百多米每秒），我们就能推断出子弹的速度来。图三上图显示了子弹的马赫角，而图三下图则显示了飞机的速度刚刚超过声速时，突破所谓“音障”，此时马赫角 度（图片来自网站 http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/doppler/doppler.html ）。 图二：马赫角。 图三：马赫角的实例。 那么我们能否通过测量船身后的波纹所形成的夹角来推算出船的速度呢？一百多年前，伟大的开尔文勋爵告诉我们这是不可能的。他的计算显示，不论船的速度大小，其波纹形成的夹角始终为 39 度多一点。因此船的波纹被称为 Kelvinwave 。 那么船在水面的波纹与子弹在空气中的“波纹”为什么会有如此大的差别呢？这完全来自于空气和水的不同色散关系。空气中所有声波，不论波长的长短（在一定的波长范围内），都有相同的声速，这被称为没有色散的介质；而水面上的波纹，波长越长的速度越大（适用于深水区），这被称为有色散的介质。 图四显示了这两种介质的不同。图四上图是空气中的情形 ，下图是水面的情形。空气中，由于各种声波的速度都一样，在某一时刻， O 点处接收到的声波都是从 A 点发出的，从其他点发出的声波无法达到 O 点（如图中的红色圆圈代表从 C 点发出的声波），所以 BO 连线上的点总是能接收到单一波源发出的很强的声波，不会由于不同波源之间的干涉而减弱。而水面的情况就不一样了。因为任何一点发出的水波的波长有长有短，波速也有快有慢，所以从 A 点发出的某一种波长的水波和从 C 点发出的更长波长的水波可以在 O 点相遇形成干涉。实际上， AB 连线上的各点发出的波都有可能在 O 点相遇，通常情况下由于这些波的相位，波长和波速千差万别，它们会在那里干涉相消，从而看不到波纹。 图四：无色散与有色散的介质。 可以计算表明（见参考资料 1 ， 2 ），水面上从 A 点发出的各种波长的波，与其他点发出的波干涉之后，只在一个有限的区域内不会干涉相消，这个区域如图五所示，它是一个圆， A 是圆周上的一点，圆的直径 AC 等于船行驶距离 AB 的一半。这样，所有的水波都被局限在了一个夹角内，其角度 满足 ，即 约为 19 度，也就是说 BO 和 BO’ 之间的角度为 38 度左右。图一中黄浦江上的船后面形成的波纹夹角就为 35 度左右，考虑到一些测量和照片的误差，已经非常接近理论预期了。 图五：计算船波夹角。 用某个物理学家的话说，无论是一只鸭子还是一艘万吨巨轮，其身后留下的波纹形状都是类似的。物理之美也许就体现在这里了吧！ 参考资料： 1：Scientific American 1988 年的相关文章 http://jesseenterprises.net/amsci/1988/02/1988-02-fs.html 2：H. D. Keith, Simplified Theory of Ship Waves, American Journal of Physics, 25, 466(1957)
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