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代数几何小科普0：从埃及分数的分拆问题管窥代数几何: 热度 3 mathlujun 2014-8-4 19:10; 博主按：这篇小文章是由博主以前在百度贴吧上所写旧稿整理而得。我们把1/n这样的分数叫做单位分数或埃及分数（因为据说古埃及人喜欢把有理数分拆为这种分数的和）。如何将一个有理数p/q分拆成不同的埃及分数之和，是一个很有趣的问题。如果你对这种分拆加上不同的限制条件，会得到许许多多未解决的数论猜想。有兴趣的读者可以参看相关的百科词条或参看柯召、孙琦的《单位分数》一书。此处不再赘述其历史及研究现状等。博主这里提供一种新的初等方法将既约分数p/q(1)分拆为埃及分数。第一步, 找小于q的正整数r, 使得pr-1能为q所整除。第二步：将q/r表示称如下形式的连分数 e 1 -1/(e 2 -1/(e 3 -...-1/(e s-1 -1/e s )...)), 这里ei是大于等于2的正整数. 第三步: 构造严格递减的正整数序列 n 0 =q,n 1 =r,n k+1 =e k n k -n k-1, 实际上最后一项n s =1. 第四步：我们得到埃及分数的分拆 p/q=1/(n 0 n 1 )+1/(n 1 n 2 )+...+1/(n s-1 n s ) 这个分拆的一个特点是，分母逐项递减。举个例子说吧，我们取p/q=5/13, 第一步，取r=8, 第二步:13/8可写为连分数 2-1/(3-1/3) 第三步：构造数列 n0=13,n1=8,n2=3,n3=1. 第四步：5/13=1/104+1/24+1/3. 这个方法的证明只需要用到初等数学技巧，自不必多言。博主这里想谈谈它的几何背景。在代数几何中，人们关心一个方程（或方程组）的零点集合构成的几何图形的性质。比如古典解析几何里，人们关心一次方程: ax+by+c=0 所描绘的直线以及二次方程 ax 2 +2bxy+cy 2 +dx+ey+f=0 所描绘的圆锥曲线的几何性质。有些方程所描绘的图形不一定是光滑的，上面带有奇点--就是摸上去尖锐的、不光滑的点。比如xy=0描绘了两条交叉直线。它的原点就是一个奇点。在该图像上其他地方当然都很光滑。我们也可以考察三维空间中的二次锥面 z 2 =xy 它的形状就是常见的锥形冰激凌、其原点是一个尖锐的锥点--也就是奇点。锥面就是由一族通过原点的直线组成的曲面。我们也可以进一步考察三维空间中更复杂的几何图形 z n =x a y b 这个曲面通常比较坏，也就是说上面奇点很多（这些奇点构成了一些线，叫做非正规轨迹）。直观地理解，这个曲面被挤压出很多褶皱。通过一些技术手段，我们可以把这个曲面的背景空间放大到更高维度的空间中，这样曲面就能自由舒展开来，打开褶皱，最终能保证曲面只在原点处有一个奇点。这个奇点叫做Hirzebruch-Jung奇点。我们前面的埃及分数分拆解法就和Hirzebruch-Jung奇点密切相关。请想象一下，这个奇点是你脸上的一个痘痘，你用手指把它挤爆了。在数学上，有类似的方法，叫做奇点解消。就类似于把奇点挤爆掉。奇点解消后，原来的奇点就变成了一些线。这些线叫做例外曲线，因为它们是从奇点里挤出来的，不是原来曲面上的线。解消后的新曲面没有了奇点，也就光滑了。打个形象比方，比如二次锥面 z 2 =xy 你把锥点戳破了，使劲拉开口子，锥点就成了圆环。原来的锥面就成了柱面。这就是奇点解消的直观意思。 Hirzebruch-Jung奇点如何解消呢？首先, 我们可以把原来的方程替换成形如 z n =xy n-q , 这里q是小于n的正整数.因为可以证明替换后的曲面奇点与原来是一样的。第二步，就是来具体解消这个奇点--称为Hirzebruch解消首先考虑连分数 n/q=e 1 -1/(e 2 -1/(e 3 -...-1/(e s-1 -1/e s )...)), 然后可以断言，例外曲线是一连串的直线首尾相接而成的链条--称作Hirzebruch-Jung链。我们可以依次对它们编号e1,e2,...,es. Hirzebruch-Jung奇点与Hirzebruch-Jung链是一一对应的。因此奇点的几何信息可以从链的组合信息读取出来。比如，我们可以用前面例子中的数列n 0 ,n 1 ,...,n s 来定义一个拓扑量 1/(n 0 n 1 )+1/(n 1 n 2 )+...+1/(n s-1 n s ) 这个量就是前面用来求解埃及分数分拆问题的关键工具。博主无意中找到埃及分数的上述分解法，也正是来源于这一几何背景。 Hirzebruch-Jung奇点的许多几何拓扑性质都与数论性质紧密相连（比如连分数，戴德金和，以及前面的例子）。如果你要研究这方面的数论问题，就可以考虑构造所需的奇点，用几何方法去研究它。反过来，这个奇点的几何性质也能通过连分数的数论性质来刻画。尽管这种奇点在复数域上相比其他曲面奇点来说比较简单，且已经有了很成熟的讨论，但是在特征p域上，这类奇点还剩下许多没有能够解决的代数几何问题。博主曾经听专家Lorenzini做过一个与此类奇点相关的报告，有一些在复数域上看似简单的问题到了特征p上就变得非常困难。; 个人分类: 科普|8492 次阅读|4 个评论

费马小定理、欧拉定理与威尔逊定理: 热度 1 primeacademy 2014-1-21 12:02; 代数结构带来的“结构式的直观”经常会使一些经典命题的理解自然而流畅，以下三个经典的初等数论的定理即是如此： ------------------------------------------------------------------------------------------- 九章格物真智慧，究竟圆满在数学！; 个人分类: 大学数学|9647 次阅读|2 个评论

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