海森堡临死说：既然生了我海森堡，为什么还要生出湍流和相对论？翻成中文就是：“既生周瑜何生亮？！” 原文地址： 关于计算流体力学中一些大牛的故事 作者： summykuku Jameson的故事 Jameson是当今CFD届的超级大牛。偶的超级偶像哦。 Jameson是个英国人，出生在军人世家。从小随老爹驻守印度。于是长大了也抗起枪到海外保卫日不落帝国，军衔是Second Lieutenant。无奈“日不落”已落，皇家陆军已经不需要他了。大概有什么立功表现把，退役后就直接进了剑桥大学。在那里拿到博士学位。辗转间从英国来到了美国，从工厂又到了学校。成了Princeton的教授。在那里提出了著名的中心差分格式和有限体积法。就是在这里，发表了他那篇著名的中心差分离散的有限体积法。中心差分格式，大家都知道，是二阶，但是稳定范围特别小，Pe不能超过2，于是就得加人工粘性（一听这名字，数学家就倔嘴巴，不科学嘛），这是大学生都知道的事，怎么加就是学问了。Jameson用二阶项做背景粘性，用四阶项抑制激波振荡（也亏他想得出来），配合他提出的有限体积法，获得了极大的成功，很快风靡世界，工程界几乎无一例外在使用他的方法，原因很简单，他的方法乐百氏，而且又有相当精度。从此大行于市，座上了P大的航空系系主任，也确立了CFD界第一大牛人的地位。Jameson发文章有个特点，喜欢发在小会议上或者烂杂志上，反正是SCI检索不到地方。包括后来关于非结构网格，多重网格等等经典的开创性文章，都是这样。（如果按照清华的唯SCI论的评判标准，我估计在清华最多只能给他评一个副教授当当。）牛牛的人总是遭人忌妒，哪里都这样。看着Jameson的有限体积方法这么受欢迎，有些人就红眼了。于是说，有限体积方法不错，可惜只适合于定常问题计算，非定常计算就不怎么样嘛。Jameson那里能容忍别人对他的得意之做胡说。于是，灵机一动，想出了一个双时间尺度的方法，引进一个非物理时间，把非定常问题变成了一个定常问题计算，还真好使，又风靡世界，从此天下太平。 97年，Jameson年龄到了，就从P大退休了，结果又被聘请到Standford大学当Thomas V. Jones Professor搞起了湍流来。前不久偶导师见他回来，对欧们边摇头边说，“几年不见，老得快不行了”，言下之意，我们如果想多活几年，不要去搞什么湍流。 Steven A. Orszag Steven A. Orszag是一个天才级别的人物啦。在直接数值模拟，谱方法，湍流模型等等许多方面都有开创性的贡献。天才嘛，总是有缺陷的，不是生活不能自理，就是不懂得处理人际关系。前者还好办，只是lp不舒服，后者嘛，让同事和同行不舒服，可麻烦就大了。不幸的是，Orszag属于后者。对于他的恃才傲物，有人早就恨得牙根痒痒，报复的机会终于来了。三十年前，湍流模型的先驱们，是通过数值试验，再连懵带猜的确定下了双方程湍流模型的参数。20年前，Orszag突发奇想，能否用RNG（重整化群理论）从理论上推导这些参数呢？RNG理论在相变上取得了很大的成功，发明者也在81年获得了Nobel奖。牛人就是牛人很快居然真从理论上推出了这些参数。这下湍流模型界可炸开了锅，这岂不是要砸掉很多人的饭碗？这不等于说那些老家伙几十年前的工作一钱不值么？这帮大学霸可不是省油的灯。环顾地球之大，Orszag居然找不到一本杂志愿意接受他这篇文章。Orszag这个郁闷呀，这个生气呀，好歹俺也是绝代高手嘛，昨这么不给面子呢？ 他一气之下干脆自己扛杆旗，办份杂志，自己当主编，自己出版，看谁说闲话。1986年，《Journal of Scientific Computing》终于开张了。第一篇文章就是“Renormalization Group Analysis of Turbulence: I Basic Theory”。这篇文章很快获得了大家的广泛认同。但是对RNG的攻击并没有到此为止。偶看到最搞笑的是一个牛牛（不想提他的名字了）在AIAA J. 上的一篇文章。当然是吹自己的模型计算比标准双方程模型多么多么的好。都已经比较结束了，他还觉得不过瘾，话锋一转，把RNG模型胡算一把，然后一通狂批，还煞有介事的分析为啥算不好。其实我倒觉得，既然RNG能够从理论上推导出他们当年胡乱搞出来的参数，不正是对他们工作的证明么？能够从完全黑暗的世界寻找到这些参数，这除了天才，还能说什么呢？ Godunov Godunov大家都晓得吧，迎风类型格式的开山鼻祖。二十世纪CFD的数值方法基本上是沿着他老人家开创的Godunov类型格式的方向发展。连如今大姥级的Roe，van Leer都要发文章pmp，毕竟他们都是靠着老大发家的嘛。他座上老大宝座的屠龙刀－Godunov格式，实际上是1954年他25岁时候的博士论文。老板上课时候曾经讲，当时不知道为啥他得罪了苏维埃政府要砍他的头，于是他一着急，弄出了这把屠龙宝刀，拣回了小命（不过这个传闻，我没有找到相关的文献得以证实，好在我相信偶老板读的书比我多，二来嘛本来就是八卦系列也无所谓了）。 我现在就来讲讲有根有据的东西，老大是怎么弄出这把屠龙刀的。1954年春天，苏联的第一台电子计算机“Strela”就将送到老大当时所在的单位Keldish Institute of Mathematics，上级要求他们弄几个格式来算一算。当时一个叫Zhukov的人就弄出了一个东西。这家伙也算是个牛人了，弄出来的这个东西，同1年后 P.D Lax的CFD奠基性名著中提出的东西是完全一样的。可惜呢，这家伙数学不好，他是连蒙带猜弄出来的，尤其是为了自圆其说的那几个假设，现在回过头来看根本就是错误的，是推不出这个结果的。当时为了弥合这个问题，就请来了Godunov看能不能解决这个问题。结果一发不可收拾，居然就借此搞出了Godunov格式。后来老大回忆刀，幸好当时他没有看到Lax的文章，要是看了，压根就不会有Godunov格式了。（If I would have read Lax’s paper a year earlier, “Godunov’s Scheme” would never have been created.） 这么重大的贡献得发文章让大家都晓得才行呀。老大于是一毕业就四处投杂志，他先投了一家叫Applied Mathematics and Mechanics的杂志，杂志居然把他拒了，理由是，老大的工作是一个纯粹的数学工作，没有做任何关于力学的研究。老大一想也对，他本来就是数学家嘛，于是他改投一个纯数学的杂志，谁知道，没过多久，又被退稿了，这次的理由是，老大的工作是一个纯力学的研究，没有任何关于数学的内容。老大当场晕倒。后来老大又投了几家还是不中，这下没有办法了，老大只好找后门，托他的老板Petrovskii了，正好老板是Mathematicheskii Sbornik杂志的编辑，终于在1959年，毕业四年后这篇文章发表在了这个杂志。 Van Leer Van Leer 原先同Roe关系非常的好。后来Roe发表了著名的后来用他名字命名的Roe格式，Van Leer就有点坐不住了。因为他一直相信他比Roe高明那么一点点。于是他决心超过Roe。当时迎风格式在应用上有两个发展方向，一个是Roe格式为代表的通量差分分裂类型，另一个就是矢通量差分类型，典型代表就是Steger－Warming格式。很快van Leer找到了突破口，他注意到Steger－Warming格式有个不大不小的缺陷，通量分裂是不可微的，这在计算激波时候，有可能发生过冲现象。于是van Leer对此做了一番改造，提出了一个满足可微条件的分裂。van Leer兴高采烈地投到杂志社，然而令他失望的是，杂志社把他给拒绝了。他可受不了了，于是自己掏钱，飞到西伯利亚，向Godunov求教。Godunov看过后大加赞赏。这下可乐坏van Leer。既然老大首肯了，谁还敢说不字，这篇文章顺利出版。后来这个格式就用van Leer本人的名字命名并流行起来，终于，他还是跟Roe平起平坐了。 Batchelor Batchelor是GI Taylor之后，剑桥学派的领袖。不过他其实并不是英国人，而是澳大利亚人。他从小在墨尔本长大。第二次世界大战其间，在从事了一个航空相关的课题研究中，他对湍流研究产生了浓厚的兴趣，尤其是GI Taylor三十年代关于湍流研究的工作。于是他就给Taylor写信，想做他的research student。Taylor很快同意了。Batchelor是一个很跋扈的人，说话颇有些像黑社会的老大的风范。他有一个死党和跟屁虫。他非常想让这个跟屁虫跟他一块到英国去研究湍流，省得他一个人寂寞。这个死党呢，大学学的是跟湍流八竿子打不着的核物理。这并不要紧，Batchelor充分发挥了他黑社会老大般的威严对他说，“跟我到英国找Taylor研究湍流去吧！”这个铁杆兄弟也不含糊，立刻说，好，跟老大走。不过走前，你回答我两个问题：谁是G.I. Taylor? 湍流是什么玩艺？前一个问题好回答，后一个问题，Batchelor究竟是怎么回答的，是威逼利诱，还是晓之以理动之以情说服的，大家一直为这个问题争论了几十年。总之，最后两人都去了英国。见了Taylor呢，两人都失望了，原来Taylor已经不搞湍流了，全力搞什么水下爆炸之类的跟军事有关的课题（估计这个来钱）。好在大师就是大师，让这两个年轻人自编自导自己去折腾，在旁边指导指导。最后两人都成为大师。Batchelor的这个小兄弟究竟是谁呢？呵呵，就是大名鼎鼎的AA Townsend。这个故事再次说明跟好一个老大是多么重要亚。 Batchelor曾经一度以为可以在他手上终结湍流问题。所以那段时间，在湍流研究上特别努力，结果当然是大失所望。Batchelor被湍流折磨得心力憔悴，50年代后期以后逐渐把精力从科研转移到了写书，创办应用数学力学系和JFM杂志上来。前面文章说了，为了多活几年不要搞湍流，这个故事则告诉我们，为了不郁闷，生活充满阳光，也不要搞湍流。另一个被湍流折磨死掉的大牛就是量子力学里面的Heisenberg。年轻的时候，靠着他的天才禀赋，胡乱猜了一个湍流解获得了博士学位，后半生被湍流研究折磨而死，临终时候都念念不忘。用《大话西游》里面的话来说应该是怎么来着？我猜中了这个开头，可是却猜不到这个结局。 Von Neumann Von Neumann是天才里面的天才。据说他6岁能心算8位数除法，8岁时已掌握了微积分，12岁时能读波莱尔的著作《函数论》……。有一次，冯·诺伊曼对他的朋友说：”我能背诵《双城记》”。人家就挑了几章作试验，果然他-一背诵如流。他对于圆周率π的小数位数，自然对数的底e的数值以及多位数的平方数和立方数…… 四十年代的时候，Von Neumann在曼哈顿计划里面主要负责数值计算工作，他的另外两个同事就是费米和费曼。牛人在一起当然就喜欢比一比。需要做一个复杂的数值计算时，他们三人立即一跃而起。费米呢，上了点年纪，就拉计算尺计算，费曼呢，年轻人喜欢接受新事物，就用台式计算机，而冯·诺伊曼啥都不用，总是用心算。可是冯·诺伊曼往往第一个先算出来，当然这三位杰出学者所得出的最后答数总是非常接近的。（好啦，好啦，俺实在不愿继续写他的非凡事迹了，越写越自卑，越写越郁闷。）也就是在这段时间，Von Neumann提出了CFD上面非常有名的Neumann稳定性分析。这个现在本科生都晓得的东西，在当时被美国军方列为高度军事机密，这一保密就是十年。俺每次读到这段的时候，常常想起哈里森.福特的《夺宝奇兵》的最后一个镜头。【说到这里，顺便扯远一点，很多人，包括数学系人都认为Neumann稳定性分析为无条件稳定的格式，就意味着计算时间步长选取是不受限制的，这个认识是不正确的。Neumann稳定只保证格式的对幅度是保真的，但是并不保证是保相位的，相位的误差的累积也足以把一个结果改得面目全非】 前面讲过了一个让同事不爽的天才，而Von Neumann则属于让lp不爽的天才。某天lp让他上班途中顺便仍包垃圾，结果中午回来的时候，他又把垃圾带回来了，而他的公文包被他当垃圾扔了。另外一次，lp回来后，Von Neumann问她，我的水杯在那里呢，我找了一下午都没有找到。Lp大叫，天啦，我们在这个房子里面生活了十五年！ 天才的才气往往同寿命成反比，Von Neumann也不例外，刚过50多点点就去世了。应了俺本科上铺曾经爱说得一句话，天才是两头燃烧的蜡烛，明亮，但不会长久。
分子云中的湍流激荡 中国科学院国家天文台 钱磊 (本文发表于国家天文台公众号，) “When I meet God, I am going to ask him two questions: Why relativity? And why turbulence? I really believe he will have an answer for the first.” —— Werner Heisenberg 摘要：湍流作为经典物理中的重要现象，其规律至今没有被完全理解。湍流普遍存在，和生活、工作和科学研究有紧密联系。凡是和流体有关的地方，很多时候都绕不开湍流。湍流虽乱，却“乱而有序”，这也是吸引众多科学家对其进行研究的原因。分子云作为恒星育婴所，湍流在其中起到了重要作用。湍流不仅可能解释了恒星形成的种子的来源，也可以给出分子云性质的一些信息。我们虽然已经了解了分子云中湍流的一些规律，但我们仅仅看到了冰山一角，还有很多未知等待我们探索。 湍流简述 湍流（turbulence）是经典物理学中最重要的未解决问题之一。公认关于湍流的文字和图像描述可以追溯到达芬奇的著作（图1）。按字面意思，湍流是急流的意思，抓住了湍流的一个特征。湍流以前也称为紊流，字面意思是乱流，也抓住了湍流的一个特征。从表象上看，紊流这个名称更符合实际，而湍流这个名称更加深刻——我们观察到，当流动速度变大到一定程度，就会产生湍流。 图1. 达芬奇著作中描绘的湍流。（来源：Wikipedia） 湍流虽乱，但一方面对我们的工作生活影响很大，另一方面乱中有序，吸引了众多学者对其进行研究。朗道 和钱德拉塞卡 这样的物理和天体物理大家都尝试提出湍流理论。虽然他们的理论有严谨的形式，但最终还是没能正确、完整地描述湍流。 图2. 层流。（来源：《An Album of Fluid Motion》） 在流动速度较小的时候，我们观察到流动是平稳有序的。如果对流体进行部分染色，我们可以看到流动时明显分层的，这种流动称为层流（laminar flow，图2）。当流速增大到一定程度，我们观察到，层流中会出现旋涡，流动变得杂乱无章，看不到明显的分层，这种流动称为湍流。注意到，我们说流动增大到“一定程度”，就会出现湍流，为什么不给个明确的判据，而要用“一定程度”这种模糊的词？因为我们不知道这个判据是什么。虽然一直以来，我们用雷诺数（Reynolds number）$Re\\equiv \\frac{uL}{\\nu}$（代表惯性力和粘滞力的比值）的大小作为层流向湍流转捩的判据，但是我们并不能给出一个精确的数值，大于这个值，湍流就能发生。事实上，虽然目前公认纳维-斯托克斯方程可以完整描述湍流，但是这个方程的一般解的存在性作为克雷数学研究所的七个千禧年问题之一还未得到解决。 虽然湍流的基本理论碰到了很大困难，但湍流的实验、观测、统计、唯象描述以及数值模拟取得了很多进展。其中，最重要和最著名的结论大概就是苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1941年给出的不可压缩湍流（即密度不变、速度场散度为零的湍流）的指数为-5/3的幂律能谱 ，$E_k\\propto k^{-\\frac{5}{3}}$，对应的速度和尺度的关系为$v\\propto l^{\\frac{1}{3}}$。这个幂律是对于三维各向同性情形，假设能量在一个较大尺度注入，以固定的速率沿尺度从大到小级联传递，在一个较小尺度耗散而得到的。此后的研究给出了其他一些幂律关系，但公认的鼻祖还是柯尔莫哥洛夫的-5/3幂律。对于可压缩湍流，没有简单的规律，但有文献指出，将密度和速度结合起来仍然可以给出一个幂律，$\\rho v\\propto l^{\\frac{1}{3}}$。 不可压缩湍流的简洁性使其在理论和实验研究中有重要价值。而在实际应用，尤其是天体物理学中，可压缩湍流才更符合实际情况。 分子云中的湍流 湍流对于分子云有重要意义。（可压缩）湍流造成的密度涨落产生了密度较高的区域，这些区域可能是云核和恒星形成的种子。观测中发现，只有几十分之一的气体形成了恒星，因为致密气体的比例只有那么高。这些致密气体的形成可能和湍流有密切关系。 观测发现，分子云的谱线宽度通常比热致展宽要大很多。通常认为是分子云中的湍流导致了这种展宽。对众多分子云的观测也发现了分子云线宽$\\Delta v$和尺度 L 之间的一个有趣而重要的关系 ，称为拉尔森关系（ Larson’s law ），以其发现者命名。拉尔森最早发现$\\Delta v\\propto l^{0.38}$，幂指数 0.38 接近 1/3 ，大家认为这可能说明分子云中的湍流是不可压缩的。但是后来更多的观测表明$\\Delta v\\propto l^{0.5}$ ，这表明分子云中的湍流是可压缩的。根据线宽估计，分子云中的湍流马赫数可以达到 10 ，对于这么大的马赫数，湍流应该是可压缩的。 由于动态范围（观测区域大小和望远镜最小可分辨尺度之比）有限，早期拉尔森关系的研究无法对单块分子云进行仔细研究，而是对一个分子云样本进行统计。随着观测数据的积累，已经对近邻的一些分子云，例如金牛座分子云、蛇夫座分子云，进行了成图观测，动态范围达到了 2000 ，这使得可以对这些分子云进行“拉尔森关系”的研究，即研究不同尺度上的速度弥散。要进行这项研究，还需要找到流场的标记物。曾经，人们通过一次偶然投放到海洋中的橡胶鸭子对洋流进行了标记（图 3 ）。在分子云中，我们用的是云核。因为是用云核测量速度弥散，所以这种方法叫做云核速度弥散（ CVD ）。 图 3. 掉入大海中的橡皮鸭子可以用来标记洋流。（来源：geogarage.com） 我们的研究发现，对于金牛座分子云，速度弥散和尺度的关系符合拉尔森关系 （ Qian, Li, Goldsmith 2012, ApJ, 760, 147; http://nao.cas.cn/xwzx/kydt/201210/t20121017_3659876.html ），即$\\Delta v\\propto l^{0.5}$（但仔细分析可以发现不同尺度似乎有不同的幂指数，背后的原因还值得探讨）。而对于蛇夫座分子云，速度弥散似乎和尺度无关。这是因为天文观测不可避免地受到投影效应的影响，我们观测到的尺度都是投影到天球上的“二维投影尺度”，而湍流的幂律关系中的尺度是三维尺度，当分子云厚度较小时，三维尺度和二维投影尺度相差不大，而当分子云厚度较大时，二者相差很大。所以一个自然的推论是，如果我们在一块分子云中看到速度弥散和二维投影尺度之间满足拉尔森关系，则这块分子云可能是薄的！金牛座分子云（图 4 ）可能就是这样一块薄的分子云 （ Qian et al. 2015, ApJ, 811, 71; http://nao.cas.cn/xwzx/kydt/201509/t20150909_4422532.html ），我们对金牛座分子云中 B213 区域厚度的测量也证实了这一点 (Li, Goldsmith 2012, ApJ, 756, 12) 。此外，由于分子云可能在一个维度受到压缩，并且存在磁场，分子云中的湍流可能存在各向异性。这可以通过速度弥散沿不同方向的变化趋势进行研究。 图 4. 金牛座分子云。（来源：国家天文台） 分子云中的超声速湍流给天文学家造成了很大困扰，因为理论上湍流能量应该很快就耗散掉了。我们能观测到湍流普遍存在，说明一定存在某种能量注入机制。已经提出的可能的能量注入机制包括星系盘的较差转动、引力塌缩以及恒星演化过程中的反馈（例如，星风和外流）。我们的研究发现，恒星演化的反馈过程提供的能量足以维持分子云中的湍流 (Li et al. 2015, ApJS, 219, 20; http://nao.cas.cn/xwzx/kydt/201511/t20151104_4453609.html ) ，但湍流能量注入机制到底为何，还有待进一步研究。一头一尾，说了能量来源，再说说能量的去处，有研究指出，可以通过观测中阶 CO 转动跃迁看到湍流的耗散 。最近，我们也用云核速度弥散方法估计了金牛座分子云中的湍流耗散率，得到的结果和用数值模拟得到的半解析公式估算的结果一致 (Qian et al. 2018, ApJ, 864, 116) 。 结语 自达芬奇描述湍流以来已经有近五百年了，自柯尔莫哥洛夫提出-5/3幂律能谱也已经有近八十年了。对湍流的研究仍然处于博物学阶段和唯象学阶段，仍然在收集湍流的标本，寻找这些标本的统计规律，提出湍流的统计理论。要从根本上理解湍流，还需要在基础理论中进行探索，至少首先回答纳维-斯托克斯方程一般解的存在性问题。未来，在基础理论没有大的进展的情况下，最有希望依赖的可能还是不断变得强大的计算机。 另一方面，在分子云的观测中，仍然存在天球投影造成信息不全的问题。精确测量分子云的三维结构和三维速度场是进一步了解分子云中湍流的必由之路。 参考文献 L. D. Landau, E. M. Lifshitz 1987, Fluid Mechanics. S. Chandrasekhar 1954, The Theory of Turbulence. A. Kolmogorov 1941, Doklady Akademiia Nauk SSSR, 30, 301 R. B. Larson 1981, MNRAS, 194, 809 P. M. Solomon, A. R. Rivolo, J. Barrett, A. Yahil 1987, ApJ, 319, 730 L. Qian, D. Li, P. F. Goldsmith 2012, ApJ, 760, 147 L. Qian, D. Li, S. Offner, Z. C. Pan 2015, ApJ, 811, 71 D. Li, P. F. Goldsmith 2012, ApJ, 756, 12 H. X. Li, D. Li, L. Qian, D. Xu, P. F. Goldsmith, A. Noriega-Crespo, Y. F. Wu, Y. Z. Song, R. D. Nan 2015, ApJS, 219, 20 A. Pon, D. Johnstone, M. J. Kaufman, P. Caselli, R. Plume 2014, MNRAS, 445, 1508 L. Qian, D. Li, Y. Gao, H. T. Xu, Z. C. Pan 2018, ApJ, 864, 116
1 ）湍流级串图像发源于 Richardson ，光大于 Kolmogorov ，但是 Kolmogorov 在其首发论文中对 Richardson 只字未提，反而由他的学生 Obukhov 在同时期的论文中大引特引了。 Kolmogorov 的思想到底受 Richardson 影响没？这一段公案直到几十年后才由 Kolmogorov 本人了结，他承认其中的物理思想是参考 Richardson 而来的。这一段有意思的历史， Frisch (1995) 书中给出了一段精彩的描述： “In Kolmogorov’s 1941 papers no explicit reference to Richardson is made, but in his 1962 paper Kolmogorov writes thatthe K41 hypotheses ‘were based physically on Richardson’s idea of the existence in the turbulent flow of vortices of all possible scales…’. Furthermore,Richardson’s work is quoted in Obukhov’s (1941a, b) papers, written under thedirection of Kolmogorov . ” 2 ） Kolmogrov 第二相似性假设：“。。。 the distribution of velocity increments are uniquely determined by the quantity of average dissipation rate and do not depend on the viscosity. ” Average dissipation rate 中含有 viscosity ，怎么理解这个看似矛盾的假设？ 答： average dissipation rate 是运动学量，与流体运动状态有关。 Viscosity 纯粹是流体的固有属性量，就像流体的密度一样。 Kolmogrov 这个假设是要说明在惯性区，湍流纯粹是一个运动学问题，与流体的具体特性无关。这个假设可以用一个流水的池子来形象的说明：试想两个尺寸一样的池子，池子内都充满相同的液体，再在池子底部开一个口，接根管子，让液体流出。不同的是，不同池子接的管子不一样，一个接光滑点的，一个接的管子毛毛糙糙（粘滞性不一样）。但是通过控制开关阀门，可以保证每一时刻流出池子的液体总量相等（耗散率相等）。在远离底部开口的地方（远离耗散区），两个池子的流场形态都是一样的，都只取决于流出池子的流量。然而在靠近开口的地方（靠近耗散区），毛糙的管子必然会干扰流体的光滑性，产生大大小小的漩涡，因此在这个区域，两个池子的流场形态不一样，其运动必然与管子的光滑度（粘滞性）有关。
以下英文部分摘自 A.S. Monin and A.M. Yaglom, Statistical Fluid Mechanics,Vol.2, Dover, 2007, p.600. 中文部分是博主的评论。 The data summarized above suggest that small-scale turbulence components are almost always, or simply always, intermittent 间歇性是小尺度湍流的固有属性，是常态。 As the Reynolds number increases, the degree of intermittency increases too and simultaneously the scale range (or wave number range) for which there is appreciable intermittency continues to expand. This is clearly seen from the fact that in natural turbulent flows, characterized by especially high Re, and in particular in the free atmosphere and in the interior of the ocean , there was observed the existence of alternating regions of intense turbulence and nonturbulence, i.e. intermittency is observed here even for disturbances from the energy range. 大气大尺度间歇性莫非是小尺度间歇性逆向传播的结果？
以下英文部分来自B. B. Mandelbrot, Possible refinement of the lognormal hypothesis concerning the distribution of energy dissipation in intermittent turbulence. Statistical Models Turbulence, Springer, 333-351, 1972. 中文是博主的点评。 Self-similarity and the k^(-5/3) spectrum have not only been observed, but are found to hold beyond their assumed domain of applicability. An unexpected embarrassment of riches, and a puzzle! 大气湍流中能谱的-5/3律延展的范围要远远宽于结构函数2/3律，故不能仅根据能谱来判断惯性子区的范围。 For many scientists, studying turbulence is synonymous with attempting to derive its properties, including those listed above, from the Navier-Stokes equations of fluid mechanics. But one can also follow a different tack and view intermittency and self-similar statistical hierarchies as autonomous phenomena. 湍流表现出很多与复杂系统相似的特征。这些特征可能是更高层次集体行为的涌现。这就好比一个社会系统，本质上都遵循牛顿力学或量子力学和麦克斯韦方程组，但是社会的行为是更高尺度的涌现行为，根本不可能从这些方程组出发来研究。这里的尺度不仅仅表示空间尺度，还有着层次的概念。分子量级是一个层次。分子组成细胞，所有的细胞集团构成一个层次。细胞构成人体器官，所有人体器官是一个层次。个人构成家庭，所有家庭是一个层次。家庭构成国家，所有国家集团是一个层次。。。。不同的层次可以涌现出不同的行为，也可以有相似的行为。回到湍流，湍流在不同尺度上的涌现特征，也完全没必要从微团层次的Navier-Sotkes方程来理解。
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