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背九九表的误区: 热度 1 arithwsun 2013-9-30 20:43; 背九九表的误区王永晖关于九九乘法表的问题，我以前的博文有好几篇讨论过。这里看到一种做法，而且被伏羲班领导者吴鸿清置顶，所以特地说一下： ---------------- http://blog.sina.com.cn/s/blog_addd65b80101gjuz.html ------------------- 关于数学基础教育的问题我有一点实践经验。放眼世界，数学素养最高的是印度，原因可能多方面，但有一点值得注意。在基础教育阶段，我们孩子学的记的是小九九乘法表，而印度孩子从小熟背大九九，区别如下：小九九乘法表是1乘1到9乘9，大九九是1乘1到19乘19。小九九到9，大九九到19，试想继续扩大到49，也就是50以内的乘法信手拈来，相对于小九九、大九九，我们称其为“超九九”，继续扩大到99，也就是100以内的任意两位数相乘，信手拈来，比电脑还快，我们称其为“神九九”。 “神九九”共计4950个算式，长度与《道德经》相当，记忆的方法同上，只读不背，一天六遍，一个月180遍就能轻松掌握，半年1080遍，相信终身难忘，能够进入血液，进入染色体，进入DNA，刻入基因，并且能够以人类进化中的记忆功能遗传给子孙后代，这个家族，这个民族不出数学家都难。 -----------阅读结束------------------ ----------------------------------- 这个方法，想出这个方法的这位老师，自己又学到了多少数学，敢放口说“不出数学家都难”。做教育，还是要脚踏实地，不能空口无凭，吹牛事小，误人子弟事大！中国科学院数学所办的《数学译林》，坚持出版了很多年，其中也介绍了不少卓有成效的数学教育家，但还没见其中有一个人敢这么高调，相比之下，这位老师不觉得自己有些大言不惭么。做教育，千万不能走野路子，更不能采用这种虚浮夸张的态度。能把孩子们，教育成实事求是的人，就已经是功劳甚大了。好了，我们现在来说其中数学教育的原理，我先抛砖引玉，不足之处请诸位数学家/科学家们补充。第一九九表要背，至于该文中那种超九九表，则不必要，数学主要还是靠推理能力，用九九表来推别的大数乘法，才是数学思维。第二背九九表，是一个复杂的心理过程，名之为“背”，但是跟背古诗相比较，它们身后的心理过程是不一样的，背只是表面的现象，可能现在的科学研究也不能完全搞清楚，但是之所以提醒这一点，就是想指出，背九九表，背只是个名称，将“背”改为“读”，已落下乘，此“背”不同于彼“背”，跟数学上强调推理，并不矛盾，里面蕴含着算，俗称“口算/心算”。第三两位数的乘法，即100以内的两个数相乘，是可以作为口算内容来进一步考察孩子的，是口算，而不是死记硬背，更不是什么诵读，两位数的乘法，里面已经蕴含了数学四则运算规律，如交换律、分配律，孩子们口算的时候，是不自觉地运用了这些运算规律，而不是靠死记硬背，三位数的加减法，对于口算熟练的孩子们来说，也不会是大问题。数学不是背答案，数学的思维推理过程，赋予了那些抽象符号以意义，孩子们在数学上才有了“感觉”，每个符号才因此不再是独立的。口算，锻炼孩子们的智力，是综合的，里面有逻辑推理能力，也有记忆能力，片面强调其中一种，都是不合适的，更不能削足适履，让孩子把数学搞成诵读。这种荒唐的事情，我的数学同事在考察北京的中小学数学教育的时候，还真地遇到过，远远走过去，听到一片朗朗读书声，很高兴，走近听清楚了，原来在朗诵的是数学，让他讶异无比，回来做为笑谈。关键还是在老师的水平！一个老师对数学毫无理解，又想搞点出什么，就能做出这样的事！现在国学上有一帮人，推崇瞎背，推崇孩子们不懂文章意思来背书，长大后再明白。这种荒唐的说法，其实一点就破，如果国学经典上所阐述的做人道理真是非常重要的，为什么要孩子们在长大后才知道。数学，更不能这样了，背九九表，当然是应该在孩子已经明白九九表的意思后再背，更不能瞎背了。这位老师，将数学口算变成了国学上的诵读，是等而下之了。数学跟武术在很多方面的道理是相同/相通的，我们的武术家魏巍老师就不断地指出，武术基本功要练，但是够用就行，不要练成杂技或戏子，那样反而不是练武了。数学也是一样，九九表背熟，确实是必须的，跟武术的要求很类似，三个字，准、多/狠、快。北京教育系统下的学生，一直不重视这个，近几年才稍有改进。凡事皆有个度，如果真学了数学，就知道，数学就是让我们去把握这个度，这个度，掌握在九九表，够用就行。做教育，一定不能“疯狂”，误人子弟，不可不慎！附注. 我们工作坊的孩子，除了每天要背九九表之外，还需要再做一下百格计算（日本教育家阴山英男的书中有介绍，网上能查到），是个很好的方法，其实也是九九表的一种变形。附记1. 『骆小红：读或者背，是让孩子练习定力，不被杂事干扰，长时间的修习定力，以后从事各种研究都很容易一门深入，长期熏修，成为专家真的不是难事（十年磨一剑！参照“一万个小时定律”）。这与佛家的由戒得定，由定开慧的修行之法是妙合的。我们之所以培养不出大师，就是在基础教育阶段尤其是小学阶段过分强调广学各种知识，而忽视了定力的养成，即使有好苗子也被拔苗助长式的教育毁掉了。』王永晖：让天真浪漫的孩子，去修戒定慧，不是野路子是什么，这样主张的老师，真地学过佛法么？凡事皆有度，不是这么胡来的。儿童是先天之体！不适用后天之法！！儿童的定力练习，一谈上练习二字，就落入后天，这才是真正的误人子弟！如果想深究，倒底应该怎么做，可以看看我们博客上武术课程的教学。附记2. 『骆小红：武术如果不打基础也是练不成大器的，蜻蜓点水学点花架子倒完全可以的，哪个小孩不经过严厉的约束和苦练能过站桩这一关？』王永晖：您对武术，真是无知的可怕！！！我一般对事对人都会保持礼貌，保持客气的，但是跟魏巍老师一样，对于这样无知无畏的行为，恕我实在心中意难平。武术苦练，那是奥运精神。传统的内家拳修炼，不是这个样子的，这里面是有学问的。小孩子，是绝对不能练站桩的，武术基本功，童子功，要练，但不是您这种外行在那儿自己瞎琢磨出来的，还是要听专家的，真正童子功出来的，像魏巍老师。我文中说的已经是很礼貌了，我为什么提实事求是，其实真正的意思是，做为老师，先把自己教育好再说，先做到最起码的不浮夸再说。这既是学问问题，又是人品问题，不能觉得什么话都敢说，说错了也没什么了不起，做教育，还是要严肃，严谨，不严谨的教育口号，家长们一定要非常警惕。工作坊数学课入学测试; 个人分类: Book-W|6764 次阅读|8 个评论

有没有英文的乘法口诀表？: 热度 13 jiangxun 2013-1-19 01:29; 作者：蒋迅最近九九表似乎又热闹起来了。彭翕成老师写了“ 九九乘法表那些事 ”，新增视频后，还得到了科学网的推荐。彭老师觉得“九九乘法表在正常教学中是小学三年级的内容。家长催得太厉害！”但我认为还应该更早。有时候小孩子不懂其中的道理，家长只能这样做。正如陈奂生的评论所说：“我们小学时就要背诵这个表。记得那一次我们老师留著我们背诵，背不过就不能回家吃饭。后来放午学好一阵了，有人来找我们老师去给猪看病，我才走脱。我的小学老师是民办教师，除了上课还要种田，还是个兽医。我那时候很不服气，背诵这个表有什么用？做题时我可以翻书查表啊。就这样被罚了很多次，后来自己多次查表之后，不背诵也记得了。”而后彭老师说：“据说国外不要背，以致计算很慢”。又据钱江晚报报导，“ 九九乘法表震撼英国顶尖的25所中小学校长 ”。文中说：“九九乘法口诀中文最多五个字，而且一目了然，而用英文就是很长一段，比如‘九九八十一’，英文是‘nine nine eighty one’。”对此我也不同意。在我看来，英文的“nine nine eighty one”和中文的“九九八十一”的音节数是一样的。要说不一样的只是英文里的字母多一些。英文九九表我以前曾经写过一篇“ 乘法口诀表凸显汉语的优越性 ”。最近看到有美国人苦于如何教孩子们背诵乘法。旁人指出，在中国和日本等国，孩子们学习乘法就像唱歌。我猜想，这是指我们的乘法口诀表，或称“ 九九表 ”( Chinese multiplication table )。那么能否弄出一个英文的九九表呢？我试着做了一个，不知道是否符合英文的习惯。我想，如果让美国小孩从学前班就开始背这个表的话，长大后一定做到脱口而出。中国的乘法口诀已经存在了三千多年了，而英文的乘法口诀至今没有出现，一定是有原因的。我这个尝试估计不会成功，但万事开头难，总是要有人开始的。上面的表不清楚。我在这里写出前四行，把表的精神表现一下。注意关键是表中的“be”的用法。最后的一格里就没有“be”。 one one be one one two be two two two be four one three be three two three be six three three be nine one four be four two four be eight three eight be twelve four four sixteen 肖陆江：我的处女贴九九表救美眉; 个人分类: 谈数学|11182 次阅读|21 个评论

数学九九表---兼及华德福小学低年级数学教学方法 II: 热度 5 arithwsun 2012-8-22 13:27; 数学九九表---兼及华德福小学低年级数学教学方法 II 王永晖因为儿子的学习进度已经到了背乘法九九表，暑假老师布置了作业，其中一项就是背九九表。这个任务意味着，小学数学中最基本的能力，一年级开学时的数数，加法，二年级的乘法九九表，这些最基本的概念引入和培养，其实是由家长们完成的。公立小学老师们所做的，只不过是巩固和提高，有三大参数，准确性，速度，熟练度。我把这个意思说明白后，可能会有很多家长不高兴，甚至有些家长会气愤，但是，我认为老师（对家长）的这个要求是合理的。最基本的概念引入，应该是个性化的，是需要花很多日常时间让孩子慢慢来的，所以，只能家长来做，你自己不做，孩子若不是天才，跟不上，那又怪谁呢。学校在引入概念方面，不可能做到适合每个孩子的进度，这是公立学校班级教学的能力所限，即使是小班教学，一个班20人以下，其实若要人人都照顾到，把概念引入做得特别切合孩子，这都是不太可能。如果你想让孩子在班级教学里享受到个性化教学，一分价钱一分货，什么样的价钱才能做到这种程度呢，我认为即使是目前民间教育那种高价学费，每年3万以上，也是无法做到的。IB小学的学费是每年10万，他们做到了吗，知道的不妨介绍一下。若是家长们全部信任这种民间教育/高价教育，不像公立学校的家长那样，把这些最基本的教学任务，揽到家长自己身上，那孩子就“毁”了，这是说得不好听的一句话，只是我的直觉，不见得对。但是，我也有一定的理性成份在里面，我始终认为，一个孩子，在小学三年级结束的时候，一定要把四则运算的口算能力做好，准、快、熟。如果一个孩子，到了三年级结束的时候，口算时还磕磕巴巴，我觉得这是不太好补了，即使补，恐怕也就是补到达标程度而已，很可能已经丧失了将来在数学上出类拔萃的机会。什么事，例外肯定会有，那些小时候心算慢的数学家/数学大师，可能也会有，但就我局部所见来推理，比例会非常少，实际上就我自己接触的数学家来说，没有脑子慢的。我有两位同事反对过“强调心算”的教学理念，一位老师其实不能算是数学研究者，只是在做数学教育方面的出版编辑工作，确实有很多很好的想法和理念，很有影响力，但他自己其实是没有真正做过数学研究文章的，没有上到那个台阶，使得他的观点就不见得有那么大的现实份量。另一位同事是李克正老师，他是国内很高级别的数学家了，所以他的意见，相比于普通数学教育工作者的意见，更为值得重视，但是，他的反对意见，也在我经过慎重考虑，认为是无效的（不光是我，我们讨论班的数学家们在饭桌上和电邮里也讨论过）。原因很简单，李克正老师是我们讨论班上脑子最快的，他自己的心算能力绝对很高，所以他的反对无效，他在初三的时候，就读完了范德瓦尔登的抽象代数，这么早熟，再小的时候会怎样大家可想而知。当然，谈及小学低年级阶段的心算/口算，这里要提到“珠心算”的问题了，我也有数学家同事让孩子在学前练过珠心算，我儿子没练过，可能这也是他在班上，目前为止口算还只是中下水准的一个原因，可能班上不少同学练过。为了与“珠心算”区别，大家需要注意，本文中提到的“心算/口算”，就是硬算，两位数以内的就可以了（最多到三位数），关键点是，不讲究那些速算口诀之类的附加规则，就是最基本的四则运算规则为基础。我之所以没让儿子练习珠心算，原因写在以前的教育记录里面，大家可参考幼小阶段数学教育的真功夫整理版笨男孩的幼小数学教育日记 - 豆瓣相比于珠心算，这里我要再次推荐阴山英男书中所介绍的“百格计算”，其实就是中国传统九九表的变形而已。我儿子的公立学校，这一级比较注重孩子的心算能力，据调查以前的家长，就是在北京，也不是每个学校都给孩子布置口算作业，并由老师认真批改的。儿子的心算/口算作业，都是式子计算，跟百格计算的形式还是不同，我还是觉得百格计算在初始学习阶段更好点，儿子的反馈也让我更为确认。儿子说，百格计算都是有规律的，发现了规律就很容易写出来。夫人很担心，所以每次都想把百格出题的边框数字顺序再改的混乱些（如果不乱就是九九表），以让孩子发现不出规律。我觉得，这可能恰恰是百格计算的优点，它本来就是九九表的变形形式，让孩子从中发现规律，没什么不好的。百格计算的时候，儿子给自己出题，就喜欢出简单的题，夫人也是觉得头疼，觉得孩子在偷懒。我是觉得不然，孩子愿意做简单的题，那就让他们做呗，等做够了，自然就会愿意去做复杂的了。我想，数学家跟普通人的分界线，也许不是那么玄妙，也许就在这些平平常常的细小差别里。关键是愿意，孩子愿意做简单的，就做呗，普通学识的家长们，只看到“简单”，而没看到前面的那个“愿意”，如果此时去纠正孩子，逼他们做复杂的，这样的效果就对么。这也是传统公立小学的不足之处，公立小学都是往前赶，不会让孩子们尽兴停留，刚到一个教学质量点，接着就又往前去追，在公立小学的教学进度里，就不容易做到我所说的这种想法。我这种想法，与民间教育的“不做作业”/“不强调练习”相比，还是有区别的，我还是赞同孩子们要做作业，但不一定要赶难度，可以让孩子们自选难度级别，在做与不做上，我的态度是要做，如果孩子不愿意做，家长要引导，而不能附和孩子，放任自流。但是，在怎么做上，我的态度是，要尊重孩子的难度选择，要相信他们自己的直觉，如果他们愿意做这样难度的题，很可能这样难度的题，对于他们的成长就是最合适的。我说过，班级教学如果想弄成个性化，成本将很高，但是，每个孩子的教学记录乃至于作业练习，是完全可以个性化的，如果靠现代网络技术的帮助，成本摊在每个家长身上还可能会非常低。这里就可以接着说说华德福的数学教学方法，我在以前的文章中曾有提及，这里可能会有内容上的重复。前篇博文附录中摘有华德福圈子里的反馈：『数学的练习如果您参看华德福教学大纲可以发现华德福一年级一下讲出来四则运算，但在1-4年级的时候逐步给予练习来强化而没有在一年级做大量的练习。』我不止一次指出，语文学习，可以按照格式塔心理学，先整体后局部，先掌握模糊的轮廓，再弄细节。数学是绝对不能这么搞的，一定要会一道做一道，细节清楚了，才能再谈整体的掌握。我们可以把传统的数学教学方法“简单到复杂，细节到整体”当作教学过程的第一阶段，而把华德福教育所注重的“从整体到部分"的走法，当作数学教学的第二段过程。所以，数学学习，分为两个阶段，缺一不可。华德福是有点忽视第一个阶段，急着走第二个阶段，而传统教育，在不够资质的老师手里，就有可能只走第一个阶段，而不再走第二个阶段。两者当然都是错的，但是在效果上，华德福这种数学教法产生的损失会更大。我这里再具体进一步解释一下，我为什么不赞同华德福数学教学方法提倡的一年级就把四则运算全部引入，为什么要加法先学好了，做了大量的练习之后，才能开始正儿八经地学乘法，我们不排除有些孩子底下就接触和知道了乘法的概念，我们现在说的是班级教学进度。这种基本的问题，可能普通家长/教师们都没管，因为传统都是这么做的，现在华德福引入一种新教法，才使这个问题显现出来，传统的方法是有教学道理的，所以在现实中才能长存。但是，我们不能等到华德福的这个数学教学方法，在中国孩子们身上实践出很多问题来之后，才知道它错了，甚至将来很可能，家长们都认识其错误后，老师们仍然死扣教条而不改，这种情况在国外华德福已经有了。所以，本文就要把这个最基本的问题，讨论一下。四则运算，你让孩子学什么，当然是最基本的概念引入和培养才是最关键的，我们说过公立学校认识到教育的内在规律，适应实际情况，而把这个任务明智地交给家长们来做。现代社会的家长们，在知识上肯定是能完成这个任务的，达到公立学校的要求，家长们都是有能力做到的，关键是家长对孩子的爱心有多大，那些成天希望公立学校提高爱心水准的家长们，其实最现实的应对方法是，扪心自问一下自己对孩子的爱心有多大。本文还是希望能给大家些参考，这些教学方法蕴含着思维方式，基于我自己的科学研究经历，看看大家在实践后，又会跟以前有什么进一步的不同。华德福教育，则是一股脑把四则运算都放在一年级，而且都由主班老师来进行概念引入和培养，家长们基本上就放手了，因为不布置作业。这意味着什么，缺少练习，加法练习不够，就让孩子们去学乘法，这样对么。这就牵扯到我们对教学的理解，加法练习不够就学乘法，孩子只是把乘法概念“背”下来的，他们不可能有充裕的时间，去体会人类在“加法”跨越到“乘法”时的巨大思想进步。儿子现在背九九表，有时候我就会问他，你为什么要背九九表，他答不上来。我这么告诉他，背了九九乘法表，很多以前的计算，就不用一个一个加了，把那些背下来，然后再运用，一下子就把算术题做简单了，儿子认同这个道理，很高兴，因为他发现真是这么回事。乘法，其实意味着，当n个相同的数连加时，这样的加法被我们认为是最简单的，这个特殊的加法，我们专门取之名曰，乘法（这段需要以后在契合的时机时，再跟儿子讲，这才是真正的个性化教学）。要有这个认识，是不是需要大量的先前练习，而不能一股脑地灌给孩子，否则孩子们对“最简单”这个词，没有体会。儿子是在公立学校，小学一年级练过整整一年加法之后，才进入乘法九九表的，我认为这种节奏，对于他这样的孩子是合理的。他这几天在背乘法表的时候，如果出错，他能感觉到自己错了，有点迷茫地耽搁在那里时，我就问他，“如果背错了怎么办”，“---再背”，儿子说。我说，“不对”，他就不知道怎么回答我了，我只好告诉他，“你如果背错了，即使再背，再背出来的你也不知道是对还是错啊。”儿子点头称是。 “背错了，自己就重新算一遍啊，算出正确的数后再把他记住”，儿子有恍然大悟的表情。其实，这已经蕴含了最基本的数学学习方法，并能够贯穿他的一生，当然，那时候的知识更高阶而已。数学学习和思维方法，就可以这么简单，其实很多数学基本思维都是如此，并不玄乎。可是，就我了解的民间教育，以及华德福中的数学教学方法，有些地方就搞得花哨了，有些教师，甚至主观上就有追求花哨的个性趋势，反而把数学中最基本的东西忽视了，孩子们光接触花哨的东西，却没有掌握最基本的练习，更谈不上寓于其中的最基本的学习方法。儿子其实在数学上，一直是偏于硬算，而不太采用记忆功能的，比如最基本的个位数加法，我从去年他6岁生日之后开始教他数学，光数数，就花了很长一段时间，有专门的豆瓣帖子作为教育记录，发帖的时候就把时间自动记下来了，方便以后回顾。个位数的加法也是如此，那些个位数的加法，如果使用记忆功能，很快不就学会了么。可是，儿子偏偏放弃了记忆功能，每次把个位数加法，都当作一道新题来算，儿子的记忆能力本来是很好的，但是，他在数学上却自觉地放弃了记忆，这让我很欣慰。这个过程中，缺少练习肯定是不行的，必须有足够的练习，才能让儿子跨过这一关，最终像成年人那样对待个位数加法。虽然儿子这么搞，算得自然比小学同学们慢，一直在赶班上的进度，免得垫底，但是，这种练习是很有益的，他每次都这么从原始定义来算，甚至自己形成了一套跟教师传授所不同的算法，真的是成天在用，比如 34-16= 34-20+4=18 我问他竖式计算老师教过没，早就教了，但是儿子愿意这么算。问他，竖式计算和他这种计算，哪个会更快一些，他觉得还是竖式计算快，但是后来我俩又分析了一下，当时我其实还不太明白他怎么算出来的，反正他每次都算对了，通过分析，我才明白了他的算法，这个算法按理也不应该慢多少，但是孩子就是慢。所以，需要练习。孩子的这个算法，其实还体现了另一个非常基本的数学思维方法，加一项减一项，他个性上更喜欢这样算，而不喜欢竖式计算那种算法，我们分析之后，他每次做题仍是那样，就由着他呗，反正对的就行。儿子在数学上的这些创意闪光点，我都记录在那个豆瓣帖子里，此处继续专注本文主题。我和儿子在背九九表的时候，采用了华德福数学教学中的另一个方法，相比于前面批评的那个，这个方法我认为是很好的用身体来学数学：数学课与体育课的交集华德福要求，孩子们在数数的时候，要一边口中数数，一边拍手，当然也可以用脚，大概意思是这样。我们在以前实践的时候，儿子并不喜欢，每次都是我耐心引导，但这个方法对儿子的吸引力一直都不大。这也体现了儿子的特点，他的协调性不好，一边念数，一边拍手，对协调性的能力要求比较高，所以他不喜欢，光念数就轻松很多。不过，有个变形形式，一边上台阶，一边数数，遇到山城那种上百级台阶时，就会让儿子非常喜欢了。这次到了九九表了，华德福也有他的背九九表的方式，但念法上跟中国传统的不一样。我为了跟公立小学衔接，还是按照中国传统的九九表念法来教，这个时候采用了两人面对面拍手，也许这是儿子这次喜欢这个方式的原因，以前拍手数数其实都是他一个人在拍，对拍的比较少，但我们已经过了那个时期了，孩子小，愿意试验这个方法的可以再参考我这个观察点，多试试亲子对拍。一一得一。。。九九八十一，这是中国传统九九表的节奏，四拍节奏，不妨把九九八十一中的“十”略去不拍，以便整个表统一。我和儿子的对应拍手方法是，第一拍到第三拍都是，两人分别各拍各自的，互相注意动作对应但不接触，第四拍则两人出掌对拍，手心相对，两掌相拍。第一拍和第三拍可能有多种选择，我们用的是，第一拍，自己两手相拍，第二拍，两手往下拍大腿面，第三拍，自己两手相拍。儿子这次很喜欢这种用身体来学数学的方法，很有兴致，比以前强多了。男孩爱动，如果光在那背，时间稍长，真不一定能集中精力，有了跟家长对拍，我们练的时候，经常能练一个小时，甚至90分钟。这是夫人给我布置的暑假任务，让我监督儿子背九九表。夫人以前的方法是，每天背上一会儿，或练上一会儿，但这样就提高速度太慢，我这种做法，儿子当然开始有点不愿意，我得跟他解释道理，这样子你一下子就背会了啊，下次背不就花的时间短了么。儿子欣然同意，因为他也觉得就是这么个理啊，这次没背好，下次背的时候，不就要重新算，多花时间么。其实，这也是简单的教学道理，其实也可以说是人生道理，就这么简单，但是恐怕有很多人，在自己事业的成长中，就是绊倒在这些简单的道理上。儿子的体力足以达到这个强度了，而且跟拍手配合，中间再贯穿点小花絮，完全能够坚持下来。这么短短一周的功夫下来，有个别两天我们还没练，足以交差夫人的要求了。儿子在“心意”上，其实还没有真正掌握乘法，他概念上已经掌握了，早就知道2×4就是两个四，他也早就知道3个8=8个3，推理方式我还没跟他深究。现在这两天，乘法表也练得逐渐完整顺溜了，虽然不够熟练。我为什么说儿子在“心意”上其实还没有真正掌握乘法呢，这就要回头说到“百格计算”，今天做百格计算的时候，他来划格子，画出一个9×12矩阵，他觉得多了，我问他，多了多少，比平常10×10矩阵的百格计算多了多少个算式。他觉得多了好多，那就算吧，倒底真正多了多少。算的过程中，最笨的办法是一个格子一个格子的数，这种办法儿子没有采用。他采用的确实是乘法的思想了，一列（刨去首项标记数字）是8个，二列就是16个，四列就是32个，经过一番反复，八列是64个，后面直接去16个8个的加，最后11列共有88个题。儿子想的时候，包进去了二倍法，这种思维他以前就有过，见那个豆瓣笔记。百格计算则是9×9=81道题，所以我们今天算的，比平常并不多太多。儿子还没有意识到直接算出来，即，8×11=88，还是中间要有过度，说明，九九表虽然背是背了，但是还没有融化到他的心灵里，没有认识到乘法是个大规律，是加法中那类最简单的归总，他需要后继的练习，增加这方面的感觉后，才能点破。所以，背九九表的教学过程很重要，能体现出学习的思维方式，各种能力是综合的，不仅仅是表象上的背，背只是名词而已，人类的心理活动是极为复杂的，岂能被简单的名词所障。有些教育改革者，个性上不喜欢“背”这个词，所以一听到背九九表，就反对，并给大家传递错误信息，说什么美国学生不用背九九表，这些我已经写到本系列文章的第一篇中了。背，是九大教学环节中的一个环节，既不能全盘突出，也不能全篇否定，这么一说，岂不明白，内容请参看本博置顶文档。相关延伸阅读幼小阶段数学教育的真功夫整理版笨男孩的幼小数学教育日记数学九九表要不要背的讨论贴-----兼及华德福小学低年级数学教学方法 I 用身体来学数学：数学课与体育课的交集我对华德福教育的粗浅认识（豆瓣讨论贴，已经被该华德福小组封无法跟帖）附注1. 心算的要求，准、快、熟，前两个字好理解，第三个字需要解释一下，熟，熟练程度倒底是什么意思呢，就是小孩子把心算能力，不仅仅是知道和做到，而且进入到了他的本能层次，说得再晓白一点，其实就是换成动词方式来说，就是孩子累了的时候，精神头不是最好的时候，仍然能够比较好地完成心算练习，这只有达到熟练后的孩子才能做到。这种要求是有意义的，我认同阴山英男的百格计算就在这个道理，阴山英男的书上对此有不少感性支持，他是实际的小学教学者，他认为，对于小学低年级学生来说，计算比推理更能促进孩子的大脑，我相信很可能这是对的。; 个人分类: Book-W|12091 次阅读|13 个评论

数学九九表要不要背的讨论贴-----兼及华德福小学低年级数学教学方法: arithwsun 2010-6-6 21:28; 数学九九表要不要背的讨论贴-----兼及华德福小学低年级数学教学方法 http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=332828 王永晖去年科学网的一位博主，写了篇博文请不要让孩子象背唐诗一样背九九乘法表 http://www.sciencenet.cn/m/ user_content.aspx?id=227860 当时对这位博主还不是很了解，将其论点作为一个重要的学术问题，很认真地回复了。不过，不知何故，现在他的原文已经隐藏，下面是我当时的回帖： ----------------------讨论贴阅读分割线------------------------------------------------------------------------------------------------ 『该博主：所以，如果真是这样的话，发发敢断言，您是不太善于创新的。』你是有心搞教育的，所以正好可以理论一下。上面引用的你那种说话方法，本身不应该是搞教育的人说出来的话。何也，违背了一个基本的规则，不要将冲突范围扩大化（当然我们这里的冲突是理性方面的，这里的扩大方式是将局部问题抽象为个人的性格判断，即教育者最好不要将局部事例扩大到一个更大的抽象范围）。呵呵，我来一句要摘你招牌的话，最后你回一句对人的判断，可说，两个人都犯了这个规则。都是从某些局部事例出发，以已之意，来推断别人的抽象个性。这种上纲上线，其实与教育研究不合。很多老师会犯这种错误，对小孩子的一些事情一些局部表现，就上纲上线，扩大其抽象范围，往往其原因只在这些老师的水平只是半桶水而已，而不在于那些年轻孩子，所以不管老师是半桶水还是整桶水，最好都不要对学生，对其他人，使用这种抽象扩大式思维方式。这种思维方式，科学界人士往往容易犯，因为它在科学研究方面是有益的，符合科学研究的规律，即使错了，也是进步。但是在教育领域，则最好不使用这种思维和说话方式。好了，现在说具体问题： 1. 说实在的，谁都知道学数学，一定要自己做出题来，重现这种自我发现的过程，这是没错的。在《我要做数学家》这本传记里，Halmos介绍过，在美国，是Moore最早开始提倡的这种教学法的，当初只是给大学精英学生使用（二战前），到了现在，在美国中学数学课堂上已经是薇为风气。据一个美国中学介绍，他们在90分钟一节课内，必须至少有一半的时间，不是老师讲，而是学生自己做题发现。否则该老师是要被校长辞退的。即使如此，但是： a. 就是数学家自己，也没人能自己把本领域的所有定理重新证一遍，实际上这里面是有学问的，所谓一个学派的奥秘，也在这里。中国数学上不去的原因，也在于国内还未形成真正的学派。 b. 当然上点，跟博主的不矛盾，我只是引个题。那么，我在前面讲的，是提出一些问题，希望楼主能释疑 i. 心算能力对学数学重要不重要，九九表，只不过是个表象，你把它归于记忆能力，但是为什么我不能把它归于心算能力，你家孩子只能在纸上写九九表，不能心算出九九表。我就换了个名词，将记忆换为心算，看你回答否，可惜未。 ii. 数学史，数学家传记，当然是从事数学教育的重要参考材料，所以问问你，你的研究有多少是参考了这些材料的。并不是要你拿自己孩子跟那些数学天才比。这是很浅显的做科研方法，创新的必要条件，一定是要参考前人，尤其是前面领袖人物的工作，自己在那不参考，瞎想，名曰创新首创，名词而也，不重要，重要的是你对不对。当然，我这样说，并不意味我认为你错，请勿使用扩大范围，我还只是问，并未对你的方法否定，只是问惑，这是有相当大区别的。 iii. 记忆，心算，推理，对于数学应该都是重要的，但是它们在孩子的发育上，时间上是有不同敏感期的。我的问惑是， 6岁的孩子，进入了数学推理的敏感期吗，现实的答案是对于某些数学天才，这完全是可能的，如UCLA的Terence Tao，Stanford的Akshay Venkatesh，都属于少年早熟之人（前者2、 3岁就开始教别的孩子算术，7岁会编程，13岁获奥数金牌，应该问问他们的爸爸妈妈，是他们的爸爸妈妈发掘了他们的本能态，还是他们本就是天上的星星下凡，或者二者皆有之）。这样，自然就表达出我的观点，如果孩子自发进入数学推理敏感期，引导他做这些事，当然没错。所以前面发言问问你，你的孩子是不是进入此敏感期了，看你所说，你的孩子应该也很不错，但跟我理解的有些不同，数学上这种理解，往往是顿悟，不需要是那么长时间，往往一天之内就可完成。这既是我个人的经验，也是有些数学家传记上的白纸黑字，比如还是那本《我要做数学家》里的一些例子。还是说我吧，那个例子年纪已经是大学生了，我当年到了5岁还不会数数，数不过3，好在那时候大家都在闹革命，没把心思放在小孩的教育上，由着我迟钝。但是就在一天下午，自己一个人，用一根扁担、一堆沙子，一本带页码的小人书，学会了数数，而且一经学会，就所有的数都会数。这大概让博主讲，就叫做发现式学习，老一辈称作顿悟，哪个名词，各人各取其所好，名词而已。但是后一个名词，包含了前一个名词缺少的信息，即这个过程，其实费时不长。所以我的经验，跟你的经验不同，于是多问几句，想弄清楚你在这个较长过程中起的作用。你所答较简，但基本上可以看出，你的小孩能够将注意力集中于此，历时颇长，不管其是否真正进入数学推理敏感期，说明已经很不简单了。 c. Jiang兄引用王财贵的方法，跟博主理论， i. 其实九九表是心算能力的一部分，你曰记忆，我曰心算，一个名词换一个名词（看明白我想说什么意思没有）。这点刚才已经提过，这里再强调一下，很多心理现象是非常复杂的，不能用个名词来做见知障。记忆现象并不简单，心算能力也不简单，博主的孩子现在只会笔算九九表，不会心算九九表，更别说印度人传统那种30以内乘法级别（美国体系的乘法表是12以内的，博主言美国学生不背乘法表，即使对于现在的很多美国学生实际上也并不成立）。这就引起我的问惑，博主就能自信自己的孩子，在将来数学发展上会比心算能力强的孩子水平高，但是我怎么看数学家传记科学家传记，很多人物都是具有非常强的心算能力的，心算能力拙劣的数学家也出现过个别的，有，很少。 ii. 王财贵那种让孩童背诵经典的做法，跟背九九表并不同，数学记忆，跟文科记忆，背文章背英语还是有很大不同的。对于王财贵南怀瑾倡导的幼童背经典的方法，我也表示怀疑。这一点，薛涌在其博客上也做了些讨论，大家可去看看，大意是，孩童有更多的重要事情去做。当然，真正实行了王财贵南怀瑾方法的家长更有发言权。 2. 至于博主本能态的开发时间是0~6个月，最多可到9个月，以后便不可能再进行了。，我倒是很感兴趣，现在一般把这种叫做敏感期，也确实是有些基本的能力教育，在 0~ 9个月可以做，但过了那个时间，小孩就没兴趣不配合了。长大了，十几岁以后也许会重新能配合去做，但跟婴儿敏感期时做，就差别非常大了。看了你本能态分类中的介绍文章，好像确实没有说明具体是哪些能力教育。这个，我倒是结合自己小孩，写过一篇文章，其中几个能力，属于你所说的开发时间是0~6个月，最多可到9个月，以后便不可能再进行了。但是如果你的本能态跟我的有所重复，就别在我面前说什么首创二字，我可不是学你的。如果你的本能态中没有我说的那些，想借用，也可以，但也别说我首创，我还真不稀罕做什么创新性人才，注重引用和对前人历史的承认，这是起码的学术规范，开始研究之初得如此，发表成果之时更得如此。不过敏感期这个词，确实跟博主自创首创的本能态词（本能这个词，已经有之，博主多加了个态），还不完全相同。（注意，我的用语是我暂且可以承认这个词是博主自创或曰首创，但是这个词背后的那些道理和做法，则未必，很可能有些在心理学教科书上已经有了，不过博主若能将其发扬光大，虽不算首创，但也是其功甚伟的，呵呵估计博主会喜欢我这么讲，一般喜欢首创这些词的人，对其功甚伟这些词都是笑纳的，调侃，莫怪。）敏感期这个词，面向的范围会更广一些，虽然包含了在某个时间，孩子必须经受这些训练，否则将来在这些方面就会能力不足甚至没有，没有这种每个人都有的本能，如狼孩之说话问题等等。除这种本能态问题外，敏感期看来还包含了一些，即在这些时间段加强训练，则效果更好的意思。如走路有走路的敏感期，早了、晚了虽不至于让小孩长大后不会走路，但终归在一些方面会有影响的，如走路敏感期训练不够，过了那个时间，小孩虽是会走路了，但容易犯懒容易希望大人抱。至于数学推理方面、心算方面道理亦然。一般来讲，心算敏感期应比推理敏感期来得早些，若是在他本来心算敏感期的时候，去做推理敏感期的事。那过了这个敏感期，估计心算能力要想再建好就难了，数学能力会不会因此打折扣，是可以有相当理由去问问这个惑的。其实这些问惑，博主只回答了（1.b.iii）中一点点，其他问惑均未触及，就急急忙忙想对别人的创新能力做个论断。这不是一个教育者所应为，一是不够谨慎，二是违反了我前面所述的，切勿扩大冲突的（抽象）范围这一文明规则。至于你的招牌，能不能挂住，是你自己的事，我只是开玩笑，起码首创那样的字眼，我这种非创新性人才是从来不用的，名词尔，不挂碍。 -------------------------------------------------------------------------------------- 其他不用回复太多，大家分歧不大，只说一点本能态不是指的数学知识，这些都是属于后天性习得的东西，不能归入本能态里面。本能态讲的是人在无意识形态下表现出来的智慧和力量，不需要经过大脑而产生的那种能量。数学是不是人的一种本能，实际上是心理学的一个问题，有心理学实验证明，孩童是有先天的数学概念的，但这种数学先天本能，倒底在孩子身上有多少，我还不晓得最新的研究状况。所以，博主此处的说法本能态不是指的数学知识，这些都是属于后天性习得的东西，是有问题的。如果往往以有问题的观念指导实践，实践也许可能会有成功，但不会长久。正如，我把背九九表换了个名词，变成心算，博主就表示赞同了。其实，只不过是名字转换而已，背后的实践是一致的，因为博主自己在前贴中说小孩只会笔写不会心算，所以我才问惑，至于博主后来又在回言中说小孩会心算，这个心算和背九九表，不就是名词不同吗，你作为大人，站在小孩子脑子外面，怎么判断他是在背还是在推，大脑的复杂现象，其可以用简单的一两个汉语名词来区分。至于博主建议，先不要背九九表，先让孩子去推出来，再心算。这个观点，还是需要置惑，主要还是在敏感期问题。不要在心算敏感期，用推理敏感期来替代。当然，是有些天才，很早就进入数学成熟期的。博主能让孩子集中精力在数学推理上，坚持几个月，是值得介绍一下经验的。博主可能没接我的话，我只好再自己接自己说一下，就是数学是不是人的本能，答案由心理学家肯定，但倒底达到多大程度，态是如何，则应该尚属未知。以此观点，数学何尝不需要本能态的训练。数学家也是有本能，这种本能常人往往是没有的。我经常给大一学生举个例子，把粉笔从粉笔盒扔出来，问，教室里其它东西是不是不变的，这就是常人关于这个物质世界的本能，但若把这种本能带到数学世界中，则会经常因此发生错误。一个符号变了，可能很远的地方的另外一些符号会跟着变，大一新生还是常人本能，把符号当作那根粉笔一样，其它地方不管。所以，博主可以把自己小孩的算术实践仔细写写，现在的问题是，如果只按博主的理解，发展小孩的数学推理能力，会不会掩盖住他的数学直觉能力，数学本能，当然后者定义也不是特别清楚。博主写完，我可凑热闹贡献一个我设计的算术方案，既针对推理，又针对本能。没实践过，只是自己瞎想出来的，不过可提供给博主这些热心探索、胆大敢为的同好试验。 -------------------------------------------------------------------------------------- 要不要背九九表这件事情，反映了大家在数学学习和研究中，对记忆的应用态度。但是实际上，记忆和推理只不过是个名词，其背后的大脑运作相当复杂，具体到数学，数学的记忆，跟英语的记忆或文科背唐诗的记忆相同吗。如果不同，其不同点在哪里。所以博主此文的标题，即是为此的一个规避，不过文中并未述及此问题。我把记忆这个词换成心算这个词，博主的态度就立刻变了，其实对于数学来讲，二者真有特别大的区别吗。再换一个现象来讲，就是上数学课时，研讲者要不要脱稿讲课？所以，其实不用谈什么概念，记忆、推理之类，那其实都是虚的，名词尔。一个简单的问题，研讲者要不要脱稿讲课？我也不管你什么记忆出来脱稿，还是推理出来脱稿，我就问，你要不要脱稿讲课。所以，在我的经验，要背九九表，就跟我们上课或自己复习数学时最好脱稿一样，确实是该做的事情。 ---------------------讨论贴结束分割线------------------------------------------------------------------------------------------------------- 最近接触到华德福教学理念，感觉其中确实有学习的地方。传统上，教育上把数学归类于智育，而华德福的教育理念和教育方法，将数学跟德育、体育也做了联系，做了个交集。比如，数学和体育的一个交集，即在背乘法表中有体现。其实现方法可能多种，这里只述一个，现在流行拍手功，华德福的方法非常类似，只不过在拍手的时候，要求随拍手节奏，同时背乘法表，念 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 2,4,6,8,10,12,14,16,18,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,.... 很明显，为了念诵方便，将中国传统上的 21=2, 22=4 中等号前面的内容都省略了。关于这种方法的点评，可参我以前的博文 2010-05-23 周日讲座通知：小巫，华德福教育简介和小学低年级数学教学实践我对华德福教育的粗浅认识关于数学跟德育的交集，其实早已经被很多西方政治家认识到，蔡天新老师专门写过一篇文章，其中就讲了几个例证，如林肯年轻时做律师工作之余的自我数学锻炼。这种中外政治家修养上的差距，被不止一个中国数学家认识到。华德福在小学阶段，数学和德育如何取交集，我接触的还浅，不过感觉它们的做法，跟格式塔心理学很有关系。试想，一个内心达到完形的人，德性不可能差到哪里去。具体做法，简单来说，就是发给孩子们几个围棋子，让他们摆。想想看，3个棋子，在一个画好的圆线上摆，最终会被摆成什么样？如果放在一张白纸上摆呢，3个棋子又有多少种摆法，6个棋子呢？这怎么就跟德育有关了呢？不说格式塔心理学这种比较大众少知的理论了，说一下孙瑞雪在家庭教育上的一个体悟，将爸爸，妈妈，孩子这三个词，分别写到三个象棋子上，然后让家庭成员摆，每个人按自己内心的喜好摆。不同的摆法，确实能够体现出不同的家庭心理认知，有些认知可能是存在问题，需要去解决的。这种点位的思想应用，即使到了成年，科研、政治、商业，也均能用得上，所以，值得将其加入到以人类思想史删繁就简之后的教育体系中去，人类思想实在是太多了，将什么加入到教育体系中去，必须讲清楚其中的道理，不能自己都讲不清楚道理，只图表演性，这是教育改革的大忌。当然，在这种思想下，数学和格式塔-完形心理学相交，作用于德育，应该还可以有另外的实现方式，毕竟华德福教学方法是在1920s年代由Steiner制定的，有一些东西，是他一百年前难以想象得到的。譬如说，俄罗斯方块，这种电子游戏，已经被证明了对人类的巨大吸引力，其本质来说，也是上述类似思想的实现。何也，现在不想3个棋子，而是想国外那种方格型作业纸，问，将连着的3 个小方格剪下来，有多少种减法，4个，5个，6个呢？俄罗斯方块，就是这样，只不过，它只取了其中5种小方格组合方式（只取4个连着的小方块），分左右不同，又变成7种，正好对应7种颜色，参 Wiki 。华德福教育和其他儿童教育理论，都不太提倡儿童过早地接触电子游戏，但是，对剪纸却是非常提倡的，我儿子现就读的华德福幼儿园，就很鼓励孩子们剪点东西，可能普通公立幼儿园会因为剪刀的安全性问题，不敢让孩子们动手，但回到家，在家长帮助下，应该没问题。所以，完全可以让孩子，做这种俄罗斯方块的剪纸游戏，先剪后粘，先分割-----整体到局部，再整合-----局部到整体，比俄罗斯方块的电子游戏还多半个过程--剪。在这整个过程中，其实锻炼的不止是智力，更是人心中对完形之德的经验。附注：现在国内的一些民间教育家和家长们，准备攒出华德福教育理念下的小学，通过阅读一些相关书籍，感觉确实是一个非常有意义的尝试。希望能有更多的科学家，也对此感兴趣。; 个人分类: Book-W|11075 次阅读|1 个评论

乘法口诀表凸显汉语的优越性: jiangxun 2010-4-6 02:45; 个人分类: 谈数学|15556 次阅读|6 个评论

我的处女贴九九表救美眉（一）: 热度 2 lujiangxiao 2009-3-21 07:52; 我的名字叫小炉匠，老师给起个大名叫肖陆江。其实还是叫我小名好。我朋友叫我小炉，同事叫我老炉，开政协的时候叫炉老，演艺圈里叫我炉老师。今天收到咿妹妹，请我在科学网上开一博，那就献上我的处女贴吧，还要请本地的各位江湖大老多多照应。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－九九表救美眉（一）小炉匠咱不是教小学的，可大学的问题也许是来自于小学啊。前几天讲完课，一个MM很紧张地对我说，你讲得那些太复杂，我们这些没有物理背景的人恐怕都要考不过去了。什么！？，听她一说我脑袋嗡了一下，我在这门课上讲的东东本来已经简化了N级，专门哄那些MM级，没有物理基础的护士学生玩的，怎么还听不懂？接着她又说她属于那种比较好的学生，专门给落后学生补课的。我一听问题严重了，好学生都听不懂，再给坏学生乱讲一气，那不全砸锅了吗？赶紧跟她谈谈巴。仔细一了解，原来她上课听不懂，只好把希望寄托在读懂一本教科书上，可那书虽是2006年版，却是50年代开始写的，用了不少数学公式。MM卡在一道习题上，用能斯特方程计算电位，那里有点对数运算。她不明白为什么有时那公式有负号，有时没负号。我一步一部地讲，中间问她100除以10的对数是多少，她拿出计算器，按下100，再按除键，再按10，再按对数键，答到是1。那10除以100的对数呢？她照样按了一遍，答，－1。问题就在这啦，咱们中国人从不用计算器做100除以10。也不用计算器做10的对数。都用计算器，咋能体会出那负号出在10除以100的对数呢？讲了半天，似懂非懂地走了，偶好郁闷那，靠，搞到下午3点半了还没吃午饭，我容易吗我。那问题究竟是出在中学还是小学呢？今天的另一件事给我一个启发：我在医院候诊时旁边坐着个妇女帮着一个四五年级的小女孩做作业。那作业是乘法，有2x4,6x5,8x8等。每次小孩孩都答不对，那妇女就喋喋不休地讲道理，什么4x8就是先用2x8，再乘2啦，讲了半天下一道题还错。我听着都急了，真想上去给那小孩孩讲讲九九表。呀，忍住了，在米国是不能随便跟小孩孩搭话的，人家怕你是性变态。米国没有九九表，以前好像听人说是语言的问题，英语不压韵。可我现在一想，汉语也不压韵呀。于是拿出一张纸写到：oneoneisone,onetwoistwo..... twotwoisfour,twothreeissix... 一直写道nineeightseventy-two,ninenineeighty-one，这不也挺朗朗上口的吗？算3x3讲什么道理，背下来不就行了吗？不背书可能一辈子也学不完古阿拉伯的代数。没有九九表，小学万古如长夜。由此想到古玛雅人没有发明轮子，后来被欧州来的侵略者灭族了。怪不得美国公立学校教育经费世界第一，水平倒数第几呢. 咱们新总统是讲究教育立国的，一个九九表可能省下上千亿呢。站上哪位好事者给奥八马的教育部长写封信巴。（本来题目是九九表英语版，为了吸引看客，咱也网络新闻化一下）; 个人分类: 未分类|8190 次阅读|11 个评论

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