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简单介绍、全面证明“歌德巴赫猜想”，研究、发展数论: 热度 3 可变系时空多线矢主人 2015-1-21 09:27; 简单介绍、全面证明“歌德巴赫猜想”，研究、发展数论中国科学院力学研究所吴中祥提要本文全面、具体地简单概括了“哥德巴赫 (Goldbach) 猜想”的基本内容、已有的主要证明方法，及其主要进展、和存在的困难和问题。给出了 1 个表达并确定各素数的序数、数值和变化规律的简便方法，简单、确切地全面证明了 “歌德巴赫猜想”，并全面研究、发展，素数、数论和解析数论。 1. 什么是哥德巴赫 (Goldbach) 猜想？它要求证明什么？哥德巴赫在 1742 年致信欧拉 (L.Euler) ，提出证明猜想 (A) ： “ 每个等于或大于 7 的奇数都能写成 3 个素数之和” 欧拉回信指出，为了解决这个问题，只须证明猜想 (B) ： “ 每个等于或大于 6 的偶数都能写成 2 个素数之和 ” ，对就是所谓 “ 歌德巴赫猜想 ”(A) 和 (B) 。也就是它要求证明的内容。 2 ．现有证明 “ 歌德巴赫猜想 ” 的主要方法所谓 “ 歌德巴赫猜想 ”(A) 和 (B) 都只是奇数、偶数与素数关系的，看来很简单的问题，而许多数学家为证明它，却做了 200 多年长期的努力，虽已取得很大进展并推动了整个解析数论的发展，但是，这个猜想至今仍然未被完全证明。它为什么如此难以证明呢？纵观对此问题的研究现况，关键在于数学家们考虑到：每个自然数 , n, 除 1 而外，都可表达为： n= p(1)^a(1) p(2)^a(2) … p(k)^a(k), 其中， p(1)p(2) … p(k), 是顺序增大的素数， a(1),a(2) , … , a(k) 等于或 0, 的指数，但各个素数却很难由自然数或整数的简单表达式表达。 1918 年 G. H. Hardy, 和 s. Ramanujan, 采用一个由 p 从 2 到 n 求和 2iknp 的指数函数 S(k,n) ，其中 k 是 0 到 1 的变量，而在自然数 , n, 和素数 , p, 间建立起联系，因 2iknm 的指数由 k 从 0 到 1 的积分 =1(m=0); 0(m 不 =0), 其中 m 为任意整数，因而，方程 n=p(1)+ p(2) 中 , p(1), p(2) 大于或等 3 的解数为： D(n)= 在上述积分的核乘以 S (k, n) 的平方 ; 方程 n=p + p + p 中 , p , p , p 大于或等 3 的解数为： T(n)= 在上述积分的核乘以 S (k, n) 的立方，这样：证明猜想 (A) ，就只要证明：对于偶数的 n 大于或等于 6 ； D(n) 大于 0 。证明猜想 (B) ，就是要证明：对于奇数的 n 大于或等于 9 ； T(n) 大于 0 。因而，证明 Goldbach 猜想 , 就只须计算积分 D(n) ， T(n) ，这就是 Hardy - Littlewood - Ramanujan 圆法的基本思想，它确定了证明 “ 歌德巴赫猜想 ” 的重要研究方向。 3 ．迄今的主要进展，但仍未全面完成的困难和问题但是，计算积分 D(n) ， T(n) ，也并不容易，一些学者创造、发展、简化、和证明了估算 S(k, n) 的方法和公式，它对于研究猜想 (B) 是很成功，而对于研究猜想 (A) 却收效甚微。为了化解证明猜想 (A) 的困难：人们采用首先证明， “ 每个充分大的偶数是不超过 a 个素数的乘积和不超过 b 个素数的乘积之和 ” ( 即所谓：命题 {a, b} 或 “a + b” ), 其中 a, b, 是正整数，当使 a, b, 逐步递减为 1 ，命题 {1,1} ，即所谓： “1+1”, 就是猜想 (A) 。一些学者采用不断改进的 ” 筛法 ” ，即：对其中的积分函数相应作某些改进，或改为某种相应合用的极限求和，例如：某种 pai 函数、 lin 函数，等等，使 a, b, 逐渐减小的命题 {a, b} 得到了证明，我国数学家陈景润 1966 年宣布证明了命题 {1,2}( 即所谓： “1+2” ) ， 1973 年发表了命题 {1,2} 的全部证明，这就距歌德巴赫猜想的最终解决，仅 “1” 之差，但仍未全面完成，人们甚至尚不能肯定沿用现有的方法是否确能最终解决。其实，哥德巴赫猜想原命题 (A) 、 (B) ，都分别只是要证明：等于或大于 6 的任意偶数；都能表达为 2 个素数之和，以及，等于或大于 7 的任意奇数；都能表达为 3 个素数之和，。并没有任何更多的要求，实际上，它只是关于奇数、偶数与素数关系的初等问题。而“圆法”，和相应的“筛法”却要由素数的指数乘积的指数函数的积分，这样复杂折腾的方法，来解决。虽然在发展数论，特别是解析数论，方面起了积极的推动作用。但是，却把这个简单的问题作了自讨麻烦地，过分复杂化的处理。当然，这种方法，及其改进型，对于进一步证明哥德巴赫猜想、发展解析数论，仍不失为一种研究方向和数学分支。而且，由于快速计算机的迅猛发展，这类复杂函数的积分或极限求和的计算，已远比 40-50 年前，容易得多。甚至当年条件下，不可能完成的计算，也不必像陈景润当年那样，用大量稿纸进行推导、计算，就能实现。因而，仍不失为一种可行的方法。但是，有些人，甚至有关的专家，却把证明哥德巴赫猜想原命题，局限于创造、发展、简化、估算， S(k, n) 的方法和公式，发展圆法和相应筛法基础上的解析数论方法。乃至，背离证明哥德巴赫猜想的具体目标，片面追求用某种积分函数或极限求和，全面概括在 “ 圆法 ” 基础上的各类 “ 筛法 ” ，全面掌握素数的分布，及其与其它数列的相互关系。甚至认为，这是证明哥德巴赫猜想的必经步骤，和终极结果，而毫无根据地排斥、否定其它方法。甚至，认为，此法不通，就无法解决。乃至多方阻止对它的研究、探讨。 4. 表达并确定各素数的序数和数值的简便方法其实，各个自然数 , n, 根本无需采用顺序增大的素数来表达，更无需用复杂的所谓“圆法”和相应“筛法”来联系素数、奇数和偶数，而是：只需由各个自然数的顺序， n ，就能确定其数值， n 。 “偶数”或“奇数”，是由可被或不可被“ 2 ”整除，而区分的两类整数。因而，也可采用整数， m ，为序，以， 2m ，顺序表达各“偶数”；以 2m+1 顺序表达各“奇数”，并确定其数值。而“素数”或“合数”，是由除“ 1 ”和其自身外，可被或不可被任何整数整除的整数，所区分的两类整数，虽不能简单地顺序确定其数值，但是，按素数“除“ 1 ”和其自身外，不可被任何整数整除”的定义，就有，各素数都有不能被，小于它的所有素数，整除，的基本特性。而可采用：整数， m ，以表达各“素数” j(m) 的顺序 . 而由 j(m)/j(m-k); k=0，1,2, … ,m-1, 都不是整数，判定 j(m) 是素数。就完全可以：对 j(m) 逐次 +2 ，直到 j(m)+2s 时， (j(m)+2s)/j(m-k); k=0，1,2, … ,m-1, 都不是整数，就可以判定 j(m)+2s 是 j(m+1) 。就可以按序， m ，列表，具体确定各个素数， j(m) ，的数值，并可以确定， r(m,1)=j(m+1)-j(m) ，例如： m 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … j(m) 　 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 … … … r(m,1) 　 1 　 2 　 2 　 4 　 2 　 4 　 2 　 4 　 6 　 2 　 6 　 4 　 2 　 4 　… … … 2006 年 1 月 4 日，美国密苏里州堪萨斯城官员宣布： 2005 年 12 月中旬，史蒂文·布恩领导的的美国密苏里州立中央大学研究小组和数学教授柯蒂斯·库珀，花了多年时间给 700 部电脑编程，得出迄今最大素数：它有 910 万位，被称为梅森数 M30402457 ，即： 2^(30402457)-1 。 “梅森数”即： MP=2^P-1 ，其中 P 是素数。但需注意并非所有的“梅森数”都是素数！德国《焦点》周刊网站 2008 年 9 月 16 日报道：美国洛杉矶以加州大学的埃德森。史密斯为首的研究小组， 2008 年 8 月 23 日，发现的梅森数 M43112609 ，即： 2^(43112609)-1 。超过了 1200 万位。国际素数搜索项目“互联网梅森素数大搜索（ GIMPS ）”经复核验算证实这两个数都是素数。当然，也完全可以具体确定所有素数， j(m) ，的数值， j(m) ，和序数， m 。 5. “歌德巴赫猜想”的简单、确切全面证明采用如上方法表达和确定素数的数值和序数，就有：除 j(1)=2 ，为“偶数”外，所有的 j(m) ； m1 ，的“素数”，都是“奇数”。而且，所有的“偶数” + “偶数” = “偶数”，所有的“偶数” + “奇数” = “奇数”，所有的“奇数” + “奇数” = “偶数”，因而，对于正实整数 ( 也适用于负实整数或正负虚整数 ) ，就已能容易地，简单、直接、完全证明： “除 2 以外，的所有“素数”都可 =1 个“偶数” +1 个“奇数”，或 =3 个“奇数”相加”，还可以扩展为：“除 2 以外，的所有“素数”都可 = 偶数个“偶数” + 奇数个“奇数”，或 = 奇数个“奇数”相加。而且，偶数 6= j(2)+j(2) ，而对于大于 6 的所有偶数，当偶数 2m=j(m-s)+j(m-s ‘ ) ； s ， s ’ =0，1,2, … , 或 m-1, 则按素数的基本特性， j(m)/j(m-k) ； k=0，1,2, … ,m-1, 都不是整数，就可以判定，至少必有如下的 1 种情况是素数： 2(m+1)-j(m-k)=j(m+1-k ‘ ) ； k=0，1,2, … , 或 m-1 。如此逐次，增大 m ，就证明了，大于 6 的所有偶数都至少有 2 个素数相加，等于它们奇数 7= j(1) +j(1)+j(2) ，而对于大于 7 的所有奇数，当奇数 2m+1=j(m-s)+j(m-s ’ )+j(m-s “ ) ； s,s ’ ， s “ =0，1,2, … , 或 m-1, 则按素数的基本特性， j(m)/j(m-k) ； k=1,2, … ,m-1, 都不是整数，就可以判定，至少必有如下的 1 种情况是素数： 2(m+1)+1-j(m-k)-j(m-k ’ )=j(m+1-k “ ) ； k,k ’ ， k “ =0，1,2, … , 或 m-1 。如此逐次，增大 m ，就证明了大于 7 的所有奇数都至少有 3 个素数相加，等于它们。对于 m3 的任意偶数， 2m ，由下表具体分析，可知，例如： m 2m j(m) j(m1)+j(m2) m1 m2 2 4 3 3 6 5 3+3 2 2 4 8 7 3+5 2 3 5 10 11 3+7 5+5 2,3 4,3 6 12 13 5+7 2 4 7 14 17 3+11 7+7 2,4 5,4 8 16 19 3+13 5+11 2,3 6,5 9 18 23 5+13 7+11 、 3,4 6,5 10 20 29 7+13 4 6 11 22 31 3+19 5+17 2,3 8,7 12 24 37 5+19 7+17 3,4 8,7 13 26 41 3+23 7+19 2,4 9,8 14 28 43 5+23 3 9 15 30 47 7+23 11+19 4,5 9,8 对于 m3 的任意奇数， 2m+1 ，由下表具体分析，可知，例如： m 2m+1 j(m) j(m1)+j(m2)+j(m3) m1 m2 m3 2 5 3 3 7 5 2+2+3 1 1 2 4 9 7 3+3+3 2 2 2 5 11 11 2+2+7 3+3+5 1,2 1,2 4,3 6 13 13 3+3+7 5+5+3 2,3 2,3 4,2 7 15 17 3+5+7 5+5+5 2,3 3,3 4,3 8 17 19 3+3+11 5+5+7 7+7+3 2,3,4 3,3,4 5,4,2 9 19 23 3+3+13 3+5+11 7+7+5 2,2,4 2,3,4 6,5,3 10 21 29 3+5+13 5+5+11 7+7+7 2,3,4 3,3,4 6,5,4 11 23 31 2+2+19 3+3+17 3+7+13 5+5+13 1,2,3 1,2,3 8,7,6 12 25 37 3+3+19 3+5+13 7+7+11 11+11+3 2,2,4,5 2,3,4,5 8,6,5,2 13 27 41 2+2+23 3+5+19 3+7+17 7+7+13 11+11+5 1,2,2,4,5 1,3.4,4,5 9,7,6,3 14 29 43 3+3+23 3+7+19 3+13+13 2,2,2, 2,4,6, 9,8,6 5+5+19 11+11+7 3,5 3,5 8,4 15 31 47 3+5+23 3+11+17 5+7+19 5+13+13 2,2,3,3 3,5,4,6 9,7,8,6 也都给上述结论以具体验证。以此类推， m 更大的任何偶数和奇数的上述结论也都成立。因而，对于，正实整数 ( 也适用于负实整数或正负虚整数 ) ，就已简单、直接地完全证明了：大于 6 的所有偶数都至少有 2 个素数相加，等于它们，或大于 7 的所有奇数都至少有 3 个素数相加，等于它们，的“ 歌德巴赫猜想” (A 和 B) 。完全无需引进复杂复数积分的所谓“圆法”、和相应“筛法”而至今尚不能完全证明歌德巴赫猜想的复杂运算。特别是，分别给出了偶数， 2m ，和奇数， 2m+1 ，随着 m 改变到 m+1 ，由素数， j(m), 、 j(m-k) ； k=0，1,2 , … ,k-1 ，表达的变化规律，对研究素数特性，乃至发展数论、解析数论，都有重要作用。 7. 对素数其它有关特性的研讨有了表达并确定各素数的序数、数值和从 m 到 m+1 的变化规律的如上方法，就不仅能直接地完全证明歌德巴赫猜想 (A 和 B) ，而且，能全面研讨素数的各种特性，例如： (1) 具体顺序表达各自然数、偶数和奇数有了表达并确定各素数的序数、数值和从 m 到 m+1 的变化规律的如上方法，就能由：素数 j(1)^a(1) j(2)^a(2) … j(k)^a(k), 其中， k 从 1,2 , … ,s ， s 从 2,3, … , 任意大整数，指数， a(1),a(2) , … , a(k) 依次单独从 1,2 , … , s ， =1 ，而其它指数均 =0 ，直到往返重复 s-1 次，则， k= s 从 2,3, … , 任意大整数，或级数， J(s) =j(1)^s,j(2) 乘 j(1)^(s-1) ； j(1)^s+1,j(2) 乘 j(1)^(s-1)+1 、 j(1)(j(1)^(s-1)+1),j(1)(j(2) 乘 j(1)^(s-j(1))+1) 、 j(1)(j(1)^(s-1)+1)+1, j(1)(j(2) 乘 j(1)^(s-j(1))+1)+1 、 j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1), j(1)^j(1)(j(2) 乘 j(1)^(s-j(2))+1) j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1)+1, j(1)^j(1)j(2) ( 乘 j(1)^(s-j(2))+1)+1 、 … … … j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1), j(1)^(s-j(1))(j(2) 乘 j(1)+1) 、 j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1)+1, j(1)^(s-j(1))(j(2) 乘 j(1)+1)+1 ； s=1,2, … , ( 任意大的整数 ) 。就可依次顺序表达，除 1 外的全部自然数， n 。类似地，可由 2(j(1)^a(1) j(2)^a(2) … j(k)^a(k)) 或 2 J(s) 表达，除 2 外的全部偶数， 2n 。可由 2(j(1)^a(1) j(2)^a(2) … j(k)^a(k))+1 或 2 J(s)+1 表达，除 1 和 3 外的全部奇数， 2n+1 。 (2) 任意 2 个素数的数值差 r(m,s)=j(m+s)-j(m) ，除 m=1 ； s=1 时， r(1,1)=1 ，是奇数，而外，其他所有 m 大于 1 的 r(m,s) ，都是偶数。而有： r(m,1)=j(m+1)-j(m) ， r(m+1,1)=j(m+2)-j(m+1) ， r(m+1,1)+ r(m,1)=j(m+2)- j(m) ， r(m,s)=j(m+s)-j(m) ， r(m+s,1)=j(m+s+1)-j(m+s) ， r(m+s,1)=j(m+s+1)- j(m) - r(m,s) ， j(m+s+1) =r(m+s,1) + r(m,s) + j(m) ， (3) 孪生素数孪生素数是指差为 2 的素数对，即 p 和 p+2 同为素数。前几个孪生素数分别是：（ 3 ， 5 ）、（ 5 ， 7 ）、（ 11 ， 13 ）、（ 17 ， 19 ）等。 100 以内有 8 个孪生素数对； 501 到 600 间只有两对。随着数的变大，可以观察到的孪生素数越来越少。 2011 年，人们发现目前为止最大的孪生素数共有 20 多万位数。但这个数后面再多找一对孪生素数都要花至少两年的时间。几百年前就有无穷多个孪生素数的猜想，但至今人们都不知如何证明这个猜想。 2013 年 5 月 14 日，《自然》在 “ 突破性新闻 ” 栏目里，宣布一个数学界的重大猜想被敲开了大门。 5 月 18 日，《数学年刊》诞生了创刊 130 年来最快接受论文的纪录。华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章，证明了存在无数多个孪生素数对（ p,q ），其中每一对素数之距离，不超过七千万。世界震动了！ 5 月 20 日，《纽约时报》大篇幅报道了这个华人学者的工作。文中引用了刚刚卸任《数学年刊》主编职务的彼得 · 萨纳克的讲话： “ 这一工作很深邃，结论非常深刻。 ”5 月 22 日，老牌英国报纸《卫报》刊登文章，文章的标题是：鲜为人知的教授在折磨了数世纪数学精英的大问题上迈进了一大步。印度主流报纸把作出这一非凡贡献的人，与印度历史上最伟大的天才数学家拉马努金相媲美。存在无数多个素数对，其中每一对素数之差值，如何估算？有了表达并确定各素数的序数、数值和从 m 到 m+1 的变化规律的如上方法，这问题即：当 j(m+s)= j(m)+r(m,s) ， j(m+s+1)=j(m+s)+2 ， r(m,s)= ？并有： j(m+s)/j(m+s-k); k=0，1,2, … ,m+s-1, 都不是整数， j(m+s+1)/j(m+s+1-k); k=0，1,2, … ,m+s, 都不是整数。因此，即有： r(m,s) =j(m+s)-j(m) ，例如： M=2 ， s=5 j(m)=3 ， j(m+1)=5 ， j(m+s)=11 ， j(m+s+1)=13 ， r(m,s)=8=j(m+s)-j(m) ， M=2 ， s=7 j(m)=3 ， j(m+1)=5 ， j(m+s)=17 ， j(m+s+1)=19 ， r(m,s)=15=j(m+s)-j(m) ， M=7 ， s=26 j(m)=17 ， j(m+1)=9 ， j(m+s)=101 ， j(m+s+1)=103 ， r(m,s)=86=j(m+s)-j(m) ， M=7 ， s=28 j(m)=17 ， j(m+1)=9 ， j(m+s)=107 ， j(m+s+1)=109 ， r(m,s)=92=j(m+s)-j(m) ，等等。显然，只要按表达并确定各素数的序数、数值和从 m 到 m+1 的变化规律的如上方法，确定了： j(m) ， j(m+1) ， j(m+s) ， j(m+s+1) 都是素数，而且， j(m+1)-j(m)=2 ， j(m+s+1)-j(m+s)=2 ，就可以由 j(m+s) 、 j(m) 或 j(m+1+s) 、 j(m+1) 的数值完全确定： r(m,s)=j(m+s)-j(m) ，或 r(m+1,s)=j(m+1+s)-j(m+1) ，就不仅能估计 r(m,s) 或 r(m+1,s) ＜某数的范围，而是能完全确定 r 的具体数值。而 j(m+s) 、 j(m) 、 j(m+1+s) 、 j(m+1) ，都是有限的数值，当然， r(m,s) 或 r(m+1,s) 就只是小于 j(m+s) 或 j(m+1+s) 的有限数值。类似地，还可研讨有关素数的更多特性。 8. 对于复数的有关问题复数 A ， A1+iA2 ，与相应的“共轭复数” A* ， A1-iA2 ，相乘 = 相应的实数， A1^2+A2^2 。复数 A/ 复数 B=(A1+iA2)/(B1+iB2)=(A1+iA2)(B1-iB2)/(B1^2+B2^2) =(A1B1-A2B2)+i(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2) 。只有“复数”， F=F1+iF2 ，的实部与虚部，即： F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与 F2=(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2) ，都是整数，成为 N=N1+iN2 ，才是整数， N 。只有“复数”， F=F1+iF2 ，的实部与虚部，即： F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与 F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2) ，除 2 都是整数， M=M1+iM2 ，才是偶数 , 以 2M 表达。只有“复数”， F=F1+iF2 ，的实部与虚部，即： F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与 F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2) ，除 2 都不是整数， M=M1+iM2 ，才是奇数 ,2M+1 表达。只有 J(m)=J(m)1+iJ(m)2 除以 J(m-k)=J(m-k)1+iJ(m-k)2 ； k=1,2, … ,m-1 ，的实部与虚部，即： J ’ (m)1=(J(m)1J(m-k)1-J(m)2J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2) 与 J ’ (m)2=(J(m)2 J(m-k)1- J(m)1J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2) ； k=1,2, … ,m-1 ，都不是整数，才是“复数”素数，以 J(m)=J(m)1+iJ(m)2 ，表达。因而，对于复数，要证明除 2 以外，的所有“素数”都可 =1 个“偶数” +1 个“奇数”，或 =3 个“奇数”相加，或扩展为：“除 2 以外，的所有“素数”都可 = 偶数个“偶数” + 奇数个“奇数”，或 = 奇数个“奇数”相加”，以及大于 6 的所有偶数都至少有 2 个素数相加，等于它们，的所谓：“歌德巴赫猜想” (A 和 B) ，就都必需，也仅需，增加要求相应的各“复数”都满足以上的条件。否则，就不能证明。这也正是采用复数表达的“圆法”和相应的“筛法”的现有证法，不能最终证明，命题 {1,1} ，即所谓：“ 1+1 ”，的实质原因。 9 ．对解析数论的发展序数为从 m 到 m+1 的变量， x ，的正实整数 ( 也适用于负实整数或正负虚整数 ) ，素数， j(x) ，的微分， dj(x) ，按其基本性质，应是： d(j(x)/j(x-k))=dj(x)/j(x-k)-j(x)dj(x-k)/j(x-k)^2 ，即应是： dj(x)-j(x)dj(x-k)/j(x-k) ； k=1,2, … ,x-1, 序数为为从 m 到 m+1 的变量， x ，的的复数素数， J(x)=J(x)1+iJ(x)2 ，的微分， d J(x)=dJ(x)1+idJ(x)2 ，的实部应是： dJ(x)1=d((J(x)1J(x-k)1-J(x)2J(x-k)2)/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)) =(dJ(x)1J(x-k)1+J(x)1dJ(x-k)1+-dJ(x)2J(x-k)2--J(x)2dJ(x-k)2) /(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2) -2((J(x)1J(x-k)1-J(x)2J(x-k)2) (J(x-k)1dJ(x-k)1+J(x-k)2dJ(x-k)2) /(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)^2 ； k=0，1,2, … ,x-1, 即应是： (J(x-k)1^3+J(x-k)1J(x-k)2^2)dJ(x)1 -(J(x-k)1^2J(x-k)2+J(x-k)2^3)dJ(x)2 +(-(J(x)1J(x-k)1^2+(2J(x)2J(x-k)1+J(x)1J(x-k)2)J(x-k)2)dJ(x-k)1 +(-(2J(x)1J(x-k)2+J(x)2J(x-k)1)J(x-k)1+J(x)2J(x-k)2^2)dJ(x-k)2 ； k=0，1,2, … ,x-1, 虚部应是： dJ(x)2=d((J(x)2J(x-k)1-J(x)1J(x-k)2)/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)) =(dJ(x)2J(x-k)1+J(x)2dJ(x-k)1-dJ(x)1J(x-k)2-J(x)1dJ(x-k)2) /(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2) -2(J(x)2J(x-k)1-J(x)1J(x-k)2) (J(x-k)1dJ(x-k)1+J(x-k)2dJ(x-k)2) /(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)^2 ； k=0，1,2, … ,x-1, 即应是： (J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)J(x-k)1dJ(x)2 -(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)J(x-k)2dJ(x)1 +(-J(x)2J(x-k)1^2+(2J(x)1J(x-k)1+J(x)2J(x-k)2)J(x-k)2) dJ(x-k)1 +(-(2J(x)2J(x-k)2+J(x)1J(x-k)1)J(x-k)1+J(x)1J(x-k)2^2) dJ(x-k)2 ； k=0，1,2, … ,x-1, 这样，有了表达并确定各素数的序数、数值和变化规律的如上方法，就能，类似和利用现有的各种解析运算方法，分别由 j(x) ，的微分， dj(x) ，和复数素数， J(x)=J(x)1+iJ(x)2 ，的微分， d J(x)=dJ(x)1+idJ(x)2 ，和 x 从 m 到 m+1 的积分，具体发展素数在的解析运算方法。 10, 参考文献：数学百科全书第二卷编委会 ( 顾问 ) 苏步青等 ( 主任 ) 王元等科学出版社 1994 歌德巴赫猜想潘承洞潘承彪科学出版社 1981 数论导引华罗庚科学出版社 1957 “ Asymptotic formula in combinatory analysis ” , Hardy, G. H., Ramanujan, S., Proc. London Math. soc. (2) 17 (1918), 75-115.; 个人分类: 数理|3746 次阅读|12 个评论

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标签: 研究、发展数论

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