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关于不完备性定理和不确定性原理的探讨（十）（9）: etreeasky 2015-12-6 21:40; 10.9 多重子结构按照上一节的分析，“深度学习”模式实施过程大致如下（以股市预测为例）：一大堆原始数据（拟投资企业的所有相关数据）－－首先找到数据间的线性关系（在企业报表中找哪些科目是成本类的基础科目、哪些是相关科目、脉络关系如何）－－然后把某一层次的线性特征作为某个抽象概念的“偏线性”特征（比如，制作一个成本类相关数据的线性空间）－－再与另外层次的特征线性空间外积成张量模型的某抽象概念（比如，成本类线性空间矩阵与销售类线性空间矩阵相乘）－－检验此抽象概念和实际对象的误差（计算收益率数据与实际数据对比误差）－－不断外积另外层次的特征线性空间（比如，重积上下游情况矩阵、同行情况矩阵、市场潜力矩阵、兴衰周期矩阵等等）－－直至此抽象概念和实际对象的误差至可容范围内（达到准确预知股指走势）如果人工智能每次股指预测都非常准确，呵呵呵，那不是发财了，财富滚滚而而来挡都挡不住，想来睡着了都要笑醒哈哈。 “人工智能”炒股完胜之日，料想其它复杂系综问题也必能迎刃而解。理论而言，那只需要通过一层又一层所涉线性矩阵的乘积，通过计算机（逐单元丁对丁卯对卯地）对每个矩阵元素叠乘演算。任何难题任何真理，因此当然能够得以完美地解决。文明智慧的康庄大道近在眼前啊。耳边又萦绕着希尔伯特先生的豪言壮语“Wir müssen wissen, wir werden wissen.”（我们必须知道，我们必将知道。）是这样么？也许，单层线性空间（一阶逻辑）的缺陷，因多重线性的张量可以克服。歌德而不完备性定理的瓶颈，因多重线性的张量可以突破。不过遗憾的是，仅仅如此至少在实践中仍然是行不通的（即使纸上谈兵的理论可行）。因为运算量过于巨大！我们知道，多重无穷维矩阵的乘积，其运算量甚至可能达到阿列夫2之多。运算能力再强大的计算机都做不到。更深一步来看，是不是可以这样思考：既然我们并不苛求绝对完备的数据、也不苛求完全准确的与现实完美绝对地匹配，也许可以舍弃一些不那么重要的数据，把有限的演算资源留给主要的问题，只取那些最重要的数据演算。这样不就可以减少运算量了吗？可是因此真的行得通吗？抓大放小的想法在线性方程中可能并不会有太大问题，因为线性方程的总数总是精确地等于各个部分的加和，一个微小的误差永远只是一个微小误差（或者最多以正比方式线性增长）。不过非常遗憾的是，类似想法在张量模型中基本上是行不通的。因为张量中的变量不是一阶的一个变量x，而是二阶的两个变量xy乘积、或者三阶的三个变量xyz乘积、甚至n 阶的n 个变量乘积。在高阶变量乘积情况下，哪怕微不足道的不准确或者不完备，都有可能导致指数级非线性的巨大误差(蝴蝶效应)。将导致所谓诸如股市预测模型、天气预报模型等全然无用。也就是说，除了偏线性的理论指导深度学习，我们还需要另外的诀窍来补充。 “深度学习”人工智能模型的关键困难是如何有效简化演算。这也许还是应该回到张量模型研究相对深入的量子力学和相对论中，寻找方案。当年爱因斯坦思考相对论时，出发点是因为经典力学只能通过静止（或匀速）参照系表达，而无法解答相对运动的多个非运势参照系的系综中的问题。换句话说，爱因斯坦发现经典力学所依赖的单一参照系（向量空间），无法解答更复杂的多参照系问题，所以他才咬牙花了8年光阴苦练张量神剑。因为一个向量空间只能有一个参照系，但一个张量空间可以包含不同的偏线性子参照系。由于基本线性结构类似，初学者容易混淆向量和张量的概念，特别是在有限维的情况下。在有限维的情况下，张量空间的数学定义一般是这样的： ( φ+ψ) (x) =φ(x)+ψ(x) (a φ)(x)=aφ(x) 上式可以化成下面的一个式子： ( φ+ψ) (ax+by) =aφ(x)+aψ(x)+bφ(y)+bψ(y) 初学者容易混淆：如果把φ(x)、ψ(x)、φ(y)、ψ(y)各看成基矢量，这不就是一个向量空间吗？其实不然。因为向量空间（平面矩阵）是单层次线性空间，逻辑结构图如下：而 ( φ+ψ) (ax+by) 构造的是双线性映射（二重线性映射）。并且，我们还可以构造更复杂的三重线性映射：（F+g) ( φ+ψ) (ax+by) 这是更高阶张量，其链接线条的逻辑结构比单层次的向量空间要复杂得多：请注意，“ （F+g) ( φ+ψ) (ax+by) ” 的三重线性映射结构，包含了多重子线性结构，分别是（F+g) 、 ( φ+ψ) 和 (ax+by)，它们分别表达了三个不同的偏线性空间。（F+g) 是一个线性空间， ( φ+ψ) 是另一个线性参照系， (ax+by）又是另外一个参照系。我们关心的问题是，有没有一种更高层次的统一参照系，能同时包含表达各种子结构系统呢？一般而言，“系统”可看作“集合”+“结构”。当一个系综（张量）由多个系统而成时，则这个集合由多个‘子集合’组成，同时包含了多个‘子结构’。比如，一个细胞看作细胞核、核糖体、细胞质、内质网、高尔基体、囊泡、溶酶体、线粒体、细胞骨架、细胞膜、中心粒等等子集合；同时放大镜下，细胞中包含了不同子结构，这些子结构各不相同。有时候，不同子结构需要不同的子参照系，以各自不同的特色方式表达。如果对这些子结构我们以同一统一参照系结构来度量，有时并不一定适合。因为如果取的参照系不合适，描述方式可能会非常复杂。比如，在地心学说时代，占星家以地球为原点，也能够制作准确的火星轨道图（只不过有点复杂），见下图：到了日心学的时代，如果我们一太阳为参照系原点，则火星轨道图要简单得多：进一步，如果我们把太阳系作为整个银河系的子系统，则火星轨道是一种简洁的螺旋前进的轨迹。选取合适的子参照系，行星轨迹在整个银河系中的运行也一目了然的清晰：选择合适的参照系，能使问题描述变得清晰简单。同样道理，选择子参照系共同组成大系综的合适的整体参照系，也能减化问题，大大有易于复杂张量系统的演算。那么，有没有这样的普遍适用的大统一参照系呢？ exp(ipr)就是这种张量多重子结构多层次子参照系的典型代表（连续无穷维微分几何嵌套着旋量子结构）。前面说过，虚数i本质是单位周期结构最基本形式：如果我们计算i、i平方、i三次方、i四次方、i五次方、i六次方、i七次方、i八次方......，结果是i、-1、-i、1、i、-1、-i、1.... 即，i、-1、-i、1的周而复始的循环。带虚数i的复数则意味着一维旋量子结构，而带有虚数i 的exp(ipr) 复指数，则可看作螺旋前进的结构体。由于这种层层递进的螺旋体是具有普遍意义的广泛存在，因此exp(ipr) 有特殊意义，因此它成为所有线性时不变系统的共同本征函数系，是卷积定理化繁为简的根本。; 6252 次阅读|0 个评论

统一路-10-自旋的奥秘: 热度 23 tianrong1945 2015-4-29 08:11; 10.自旋的奥秘人类最早探索到自旋的奥秘，与著名的“泡利不相容原理”有关。在量子力学诞生的那一年，沃尔夫冈·泡利（ Wolfgang Pauli，1900年-1958年）也在奥地利的维也纳呱呱坠地，二十多年后，他成为量子力学的先驱者之一，是一个颇富特色的理论物理学家。泡利在物理学界以犀利和尖刻的评论而著称，丝毫不给人留面子。有一次，泡利对一个刚做完报告的同行说：“我从来没听过这么糟糕的报告！”，马上转头又对另一位同行说：“如果是你作这个报告，想必更糟糕！”泡利有一句广为流传的评论名言：“这不是对的，甚至也谈不上是错的！”据说泡利自己讲过他学生时代的一个故事，有一次在柏林大学听爱因斯坦讲相对论的报告，报告完毕，几个资深教授都暂时沉默不言，似乎正在互相猜测：谁应该提出第一个问题呢？突然，只见一个年轻学子站了起来说：“我觉得，爱因斯坦教授今天所讲的东西还不算太愚蠢！”原来这愣头愣脑地小伙子就是泡利【 1】。波尔将他誉为“物理学的良知”，同行们以“可怕的泡利”、“上帝的鞭子”、“泡利效应”等昵称和调侃来表明对他的敬畏之心。这些“头衔”，加上以上的几个例子，容易给人造成一个错觉，以为泡利是个傲慢自负、目中无人的家伙。但事实上并不如此，当时的物理学界十分重视泡利对每一个新成果、新思想的尖锐评价，并且，泡利对自己也一样挑剔。泡利的学生们也能感觉出泡利的亲切和平易近人，特别是：他们在泡利面前可以问任何问题，不必担心显得愚蠢，因为对泡利而言所有的问题都是愚蠢的。的确，泡利在年轻时就表现出过人的聪明，高中毕业时发表了他的第一篇科学论文， 20岁时写了一篇200多页纸的有关相对论的文章，得到爱因斯坦的高度赞扬和好评。当年的物理学家波恩甚至认为，泡利将成为比爱因斯坦更伟大的科学家。不过，聪明过头的人往往不快乐。年轻的泡利在经受了母亲自杀和离婚事件的打击后，患上了严重的神经衰弱症，因而不得不求助于当时也在苏黎世并且住得离他不远的心理医生卡尔·荣格。荣格是弗洛伊德的学生，著名心理学家，分析心理学创始人。从那时候开始，荣格记录和研究了泡利的 400多个“原型梦”，这些梦境伴随着泡利的物理研究梦，荣格二十多年如一日，一直继续到泡利逝世为止。泡利也和荣格讨论心理学、物理学、和宗教等。后人将泡利与荣格有关这些梦境的书信来往整理成书，这些内容为探索科学家的内部心理状况与科学研究之间的关联留下了宝贵的原始资料。比如说，伟人爱因斯坦、虚数i、与精细结构常数有关的137……都曾经来到过泡利的梦里。或许，在泡利不短不长的生命中，清醒和梦境，科学和宗教，总是经常融合纠缠在一起。 1922年到1923年，泡利应波尔之邀到哥本哈根波尔研究所工作一年，研究的课题是反常塞曼效应。人们经常看见他漫无目标地游走在哥本哈根美丽的大街小巷上，似乎显得很不开心闷闷不乐的样子。泡利自己后来在一篇回忆文章中描述过当时的心情，大意是说，当你被反常塞曼效应这种难题纠缠的时候，你能开心得起来吗？图 10-1：泡利、荣格、及费米子的不相容原理塞曼效应指的是原子的光谱线在磁场的作用下发生分裂的现象。当原子中的电子从激发态返回到基态时，便释放能量，发出一定波长的光谱。反过程则形成吸收光谱。根据波尔的半经典原子模型，电子在原子中只能按照一定的能量量子化了的轨道运动，使得光谱成为一条一条的分离谱线，对应于不同的能级。如果原子位于外磁场中，电子运动受到磁场影响而产生更多的能级，表现为谱线产生分裂。正常塞曼效应中，一条谱线在磁场作用下分裂成双重线或三重线，而反常塞曼效应的谱线分裂数多于 3，有时4条、5条、6条、9条，各种数值都有，似乎复杂而无规则。当时，塞曼发现了谱线分裂的正常效应，洛伦兹则用电子轨道角动量与磁场作用的概念解释了这种效应，因而两人分享了1902年的诺贝尔物理学奖。塞曼在他的诺奖演讲中提到了当时尚不知如何解释的反常塞曼效应，宣称他和洛伦兹遭到了“意外袭击”。那时候的泡利还是个2岁的娃娃，没想到过了20年后，这个反常塞曼效应的难题仍然困惑着物理学家，并且还“袭击”到了泡利的脑海中和梦境里。泡利在一堆年轻的量子革命家中，偏向左派，算是更彻底的革命者，他不相信经典的原子实模型，最后断定反常塞曼效应的谱线分裂只与原子最外层的价电子有关。从原子谱线分裂的规律，应该可以找出原子中电子的运动方式。 1922年的施特恩-格拉赫实验，也有力地证明了额外角量子数的存在。仿造前人，泡利引入了4个量子数来描述电子的行为。它们分别是：主量子数n、角量子数 l 、总角量子数 j 、总磁量子数 m j 。这些量子数的取值互相有关，比如说，角量子数给定为 l 时，总角量子数 j 可以等于 l 加（减） 1/2。在磁场中，这些量子数的不同取值使得电子的状态得到不同的附加能量，因而使得原来磁场为0时的谱线分裂成多条谱线。泡利在 1925年提出不相容原理【 2】，于1945年，由爱因斯坦提名而因为此项成就获得诺贝尔物理奖。泡利不相容原理大概表述如下：电子在原子中的状态由四个量子数 (n、 l 、 j 、 m j )决定。在外磁场里，处于不同量子态的电子具有不同的能量。如果有一个电子的四个量子已经有明确的数值，则意味着这四个量子数所决定的状态已被占有，一个原子中，不可能有两个或多个电子处于同样的状态。实际上，在泡利之前，当物理学家们使用不同的量子数来排列原子中电子运动规律的时候，就多少已经暗含了电子的状态互不相容的假设。但是这个费米子“互不相容、必须独居”的原理，直到 1925年才被泡利正式在论文中提出来，这大概便与泡利的“左派”思维方式有关了。不相容原理并不是什么大不了的理论，实在来说只是一个总结实验资料得出的假说，但它却是从经典走向量子道路上颇具革命性的一步，因为在经典力学中，并没有这种奇怪的费米子行为。自旋也是这样一种没有经典对应物的革命性概念，但奇怪的是，泡利革命性地提出了不相容原理，却也因为过于革命而阻挡了别的同行提出“自旋”。从泡利引入的四个量子数的取值规律来看，自旋的概念已经到了呼之欲出的地步，因为从四个量子数得到的谱线数目正好是原来理论预测数的两倍。这两倍从何而来？或者说，应该如何来解释刚才我们说过的“总角量子数 j 等于 l 加（减） 1/2”的问题？这个额外1/2的角量子数是什么？克罗尼格（ Rolph. L. Kronig，1904-1995）生于德国，后来到美国纽约哥伦比亚大学读博士。他当时对泡利的研究课题产生了兴趣。具体来说，克罗尼格对我们在上一段提出的问题试图给出答案。克罗尼格想，波尔的原子模型类似于太阳系的行星：行星除了公转之外还有自转。如果原子模型中的角量子数 l 描述的是电子绕核转动的轨道角动量的话，那个额外加在角量子数上的 1/2是否就描述了电子的“自转”呢？克罗尼格迫不及待地将他的电子自旋的想法告诉泡利，却得到了泡利的严厉批评，泡利认为提出电子会“自转”的假设是毫无根据的，服从量子规律的原子运动与经典行星的运动完全是两码事，如果电子也自转的话，电子的表面速度便会超过光速数十倍而违背相对论。克罗尼格受到泡利如此强烈的反对，就放弃了自己的想法，也未写成论文发表。可是，仅仅半年之后，另外两个年轻物理学家乌伦贝克（ GeorgeE. Uhlenbeck, 1900—1988）和高斯密特（Samuel.A. Goudsmit, 1902—1978）提出了同样的想法，并在导师埃伦费斯特支持下发表了文章。同时， Thomas进动从自旋的相对论效应解释了1/2的因子差异，因而他们的文章得到了波尔和爱因斯坦等人的好评。这令克罗尼格因失去了首先发现自旋的机会而颇感失望。不过，克罗尼格认识到泡利只是因为接受不了电子自转的经典图像而批评他，并非故意刁难，因此后来一直和泡利维持良好的关系。心胸宽大的克罗尼格活到91岁的高龄，于1995年去世。泡利虽然反对将自旋理解为“自转”，但却一直都在努力思考自旋的数学模型。他开创性地使用了三个不对易的泡利矩阵作为自旋算子的群表述，并且引入了一个二元旋量波函数来表示电子两种不同的自旋态。三个泡利矩阵是 SU(2)群的生成元，再加上二阶单位矩阵组成一组完全基，可以展开任何2×2复数矩阵。但泡利的二元自旋模型是非相对论的，并且是将自旋额外地附加到薛定谔方程上。在我们上一节中介绍的相对论性量子力学的狄拉克方程中（特别是如果写成洛伦茨协变形式的话），自旋以及正负电子的概念，都作为电子波函数四元旋量的分量，被自然地包含在方程中，充分体现了狄拉克所崇尚的数学美。自旋是量子力学中的一种可观测物理效应，物理学家们对它的数学模型和物理效应都可以说了解得颇为详细，但是如果要深究自旋的本质到底是什么？这个问题却难以回答，目前的结论只能说：自旋是基本粒子的一种类似角动量的内禀量子属性，它与粒子的时空运动无关，没有经典物理量与它对应。也许你会说，物理学家在解释不了某个概念的时候，就用“内禀”这个词来忽悠人。但科学研究的过程就是如此，任何时候的理论都只能解释有限多的实验事实，解答有限多的问题，而“为什么？”和“是什么？”却可以无限地追问下去。基本粒子的内禀属性除了自旋之外，还有质量、电荷等等，但这些物理量在经典力学中也有意义，因而更容易被人理解，只是自旋并不如此，它没有经典对应物。不过，自旋的确有它的神秘之处，无论从物理意义、数学模型、实际应用上而言，都还有许多的谜底等待我们去研究、去揭穿。刚才说过，物理意义上可探究的问题多多：这个内禀角动量到底是个什么意思？自旋究竟是怎么形成的？为什么费米子会遵循泡利不相容原理？为什么自旋是整数还是半整数，决定了微观粒子的统计行为？与自旋相关的数学概念也很有趣。我们曾经介绍过的群论是其一。此外，自旋也与哈密顿发明的的四元数 (w,i,j,k)有关。数学家的脑袋里总是盘旋着一些古怪的东西，哈密顿就是如此一位学者，哈密顿（William Hamilton，1805年-1865年）是爱尔兰人，在都柏林度过了他平静而伟大的数学人生。夫妻二人经常沿着都柏林的皇家运河悠哉悠哉地散步，夫人看风景，哈密顿则琢磨数学问题。有一个哈密顿思考多年的问题就是在1843年散步时突然开窍的，他立即将它刻在了金雀花桥的一块石头上： I 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1 这便是哈密顿所发明的四元数的基本运算公式之一。读者也能看出，这 3个i,j,k的性质，像是原来的虚数 i ，却又不是那个原来的虚数 i ：它们的平方都是-1，这点像是虚数 i 。但是，如果将它们看着 i ，那后面一条等式不会成立，这又是什么意思呢？哈密顿将这“虚而不虚”的三个东西，再加上另外一个实数w，结合在一起称之为“四元数”。原来，哈密顿的目的是要将复数的概念扩展到更高的维数，但思考多年都未得其果，散步时灵光闪现才发现他的这种四元数代数必须以牺牲原来的实数和复数中乘法的交换律为代价，那其实也就是上面最后一个公式所表达的意思。根据哈密顿4元数的定义，进行一点简单的代数运算便能发现：i,j,k的乘法是互不对易的。换言之，四元数运算是复数运算的不可交换延伸。之前曾经说到，泡利将自旋粒子的波函数用旋量描述。旋量也是个奇怪的东西，在三维欧氏空间中，标量是 0阶张量，矢量是1阶张量，矩阵是2阶张量，泡利2维旋量的位置在哪儿呢？旋量好像是一个标量和矢量之间“半路杀出来的程咬金”。在一定的意义上，它可以被当作是矢量的平方根。看起来，“平方根”运算产生了不少新玩意儿，狄拉克方程也是由算符开平方而得到的，其中又引进了4维的狄拉克旋量。有关旋量的更多数学概念请见wiki 【3】。旋转群、四元数、旋量，这些与自旋相关的数学，又都与 Clifford代数有关【 4】。奇怪的是，像自旋这么一个抽象的内禀物理概念在实际应用上也神通广大，它解释了元素周期律的形成，光谱的精细结构，光子的偏振性，量子信息的纠缠等等。现在又有了一个方兴未艾的自旋电子学，要用它来解释物质的磁性，研发新型电子器件，也许将在工程界发挥大用途【 5】。下面是简单说明，旋量可以看作3维矢量的平方根：参考资料：【 1】Wolfgang Pauli，Sources in the History of Mathematics and Physical Sciences，Volume 18 2005 ，Editors: ProfessorDr. Karl von Meyenn。【 2】W. Pauli,On the Connexion between the Completion of Electron Groups in an Atomwith the Complex Structure of Spectra, Z. Physik 31, 765ff, 1925 【 3】 http://en.wikipedia.org/wiki/Spinor 【 4】 http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_algebra 【 5】 http://en.wikipedia.org/wiki/Spintronics 上一篇：薛定谔到狄拉克系列科普目录下一篇：费曼的游戏; 个人分类: 系列科普|19237 次阅读|78 个评论

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