抽象的线性空间涵盖许多不同的数学实体，而它们可以表达成列向量和矩阵来计算。将抽象空间中的运算一一对应到一个具体空间中来研究，这是学习抽象方法的一个重要入口。习惯了它，在学习抽象代数时，你就能自然地欣赏同构，同态和商空间运用的美妙。 4.1 基与坐标 线性代数课程主要在讲矩阵的运算。这是为什么？列向量和矩阵仅仅是抽象线性空间中向量和线性算子的一个具体实现，满足抽象定义的具体数学实体有无数种，线性空间和算子的许多证明都直接在矩阵上讲，而不是根据一般的抽象定义来证明，这样的结论会具有普遍性，能适用于其他吗？ 这里的原因，一是作为抽象数学的入门课，线性代数课从列向量和矩阵开始的学习内容，提供了一个从直观的构造主义传统数学，到抽象的形式主义公理化现代数学思想方法的过渡。另一是，列向量和矩阵可以看成各种向量和线性算子的表达，它们之间建立起的一一对应关系，在线性运算中也保持，在线性代数的结构上是等价的，所以相关结论也适用于其他。 如果一个线性空间 X 里线性无关向量组里最多有 n 个向量， n 是有限的，那么它称为 n 维线性空间 。记为 dim(X)=n. 例如长度为 n 数组的线性空间是 n 维的。最高阶小于 n 的多项式空间是 n 维的。 两个数学空间 X ， Y ，如果它们间的元素存在着一个一一满映射σ，对抽象空间中的运算φ有 φ ( σ x, σ y) = σφ (x, y) ，即其一空间中的运算完全对应于在另一个空间中的运算，则称为它们是 同构 的。如果忽略同构对象的属性和运算的具体定义，就结构而言，同构的对象是等价的。相同维数线性空间之间的满秩线性算子，即是一个能够保持线性运算的一一满映射，所以相同维数的线性空间都是同构的。 同构意味空间的数学结构是一样的，在抽象代数学习中，可以用其中一个简单熟悉的数学实体作为代表来作研究。对于线性空间，列向量和矩阵就是这个的代表，有限维线性空间的计算和性质可以通过它们的计算来实现。 向量和线性算子都能表示成数域上的列向量和矩阵。这列向量在有限维的线性空间是有限的数组，在无穷维的空间则是无穷级数中的系数或积分中的加权函数项。下面介绍其映射关系。 取 n 维线性空间 X 中一组 n 个线性无关的向量， { e 1 ,e 2 ,…,e n } ，称为一组 基 ，按最大线性无关组的定义， X 中任何向量都可以分解为基向量的线性组合， ， 向量 r 对这组基分解的系数，称为向量在这组基下的 坐标 ，它们是一组数，把它排成一列按矩阵的形式运算，表示为上面的列向量 (r i ) n . 列向量线性空间 R n 的基，是 n 个只有一个分量为 1 ，其余都为 0 的数组集合。把列向量看成坐标的数组，在列向量作为线性空间 X 中向量坐标表示的映射中， X 的基向量 e i 对应着 R n 的，只有第 i 分量是 1 的基向量。 给定一组基下的线性表示， n 维线性空间 X 中的向量与数域上 n 阶的列向量建立起一个一一对应的满映射。不难证明这种对应关系，对向量的加法和数乘也保持。相同数域上的相同维数的线性空间都是对线性运算同构的。这意味着 n 维线性空间中的线性运算，都可以通过映射对应到对列向量的运算。 显然在不同的基上，同一个向量的坐标表示是不同的。 例如所有的小于5次的多项式构成一个5维线性空间，1, x, x 2 , x 3 ,x 4 , 是一组基，所有小于5次的多项式都可以表示成它们的线性组合。式子x+1, x-1, (x-1) 2 ,( x-1) 3 ,( x-1) 4 也是一组基，这空间里的多项式也都可以表示为它们的线性组合。 设 $\alpha $ 是 n 维线性空间 X 到 m 维线性空间 Y 的一个线性算子， { e 1 ,e 2 ,…,e n } 和 { g 1 ,g 2 ,…,g m } 分别是 X 和 Y 上的一组基， $\alpha e_j$ 是 Y 上的一个向量，可以表示为 $ a_{1j}g_1+ a_{2j}g_2,+ \cdots + a_{mj}g_m $ ，所以对 X 上的任意向量 r ，我们有 将等式右边表示成矩阵形式就是： n 维到 m 维线性空间上的线性算子 $\alpha$ ，在给定的基下表示为一个 m*n 数域上的矩阵 A ，矩阵中 n 个列向量，分别对应于 $\alpha$ 将 n 维空间每个基向量，映射到 m 维空间上向量的坐标表示。这个线性算子对向量 r 的作用所得向量的坐标列向量，等于矩阵 A 乘以 r 的坐标列向量。类似的，可以证明复合线性算子的矩阵表示，等于它们表示矩阵相乘所得的矩阵。 同一个线性空间上的线性算子对加法和数乘构成一个线性空间，它与算子的矩阵表示构成的线性空间，对线性运算和乘法运算都是同构的。所以通过基形成的对应关系，线性空间的向量和线性算子的运算都可以通过列向量和矩阵的运算来表示。 函数求导是一个线性运算，它也是在那个小于5次的多项式线性空间上的一个线性变换，在 x 4 , x 3 , x 2 , x,1, 的基下，它可以表示为一个矩阵D，多项式x 4 +2x 3 -3x 2 +x+12在这组基下表示为向量r，对这多项式求导得到4x 3 +6x 2 -6x+1，也可以从下面矩阵运算中体现。 请在x+1, x-1, (x-1) 2 ,( x-1) 3 ,(x-1) 4 这组基下写出这例子中的矩阵、向量并验算求导的答案。问这矩阵的秩是多少，给出一个零空间中的向量。 在你头脑的图像中，向量、基向量、线性算子所指的，是有向线段、坐标轴、多项式、函数等等数学世界符合抽象定义规范的东西。而这些向量和线性算子，对应着在基坐标的列向量和矩阵，是它们在数值世界上的影像。在不需要区分时，人们经常直接用列向量和矩阵代表所对应的向量和线性算子。在不同的基下，同一个向量和线性算子有不同的列向量和矩阵表示，这就像我们用不同的角度来描述同一个物体一样。它们之间对应着一个坐标变换。 4.2 坐标变换 满映射的线性变换，称为是 满秩 的。满秩线性变换矩阵中的列向量组是线性无关的，其矩阵的行列式不等于零。当表达线性空间 X 从一组基 { e 1 ,e 2 ,…,e n } 换成另外一组新的基 { g 1 ,g 2 ,…,g n } 时，同一个向量 r 对应于这旧的基上的坐标列向量 ( r i ) n 也相应变化成新的坐标列向量 ( h i ) n . 记 n 维线性空间 X 中两组基间的线性变换为 $\mathbb{T}$ ，它把旧的基 { e 1 ,e 2 ,…,e n } 变换成新的基 { g 1 ,g 2 ,…,g n } ， g i = $\mathbb{T}$ e i , i=1,2,...,n ，这可以表示成一个满秩的 n 阶方阵 T ，其中的列向量对应着新的基向量在旧的基下的坐标。 它将 X 中向量 r 在新的基下坐标的变换成旧的基下的坐标。 记 T i 是新的基向量 g i 在旧的基 { e 1 ,e 2 ,…,e n } 上坐标的列向量，矩阵 T=( T 1 , T 2 , … T n ) ，它是由新的基向量在旧的基地上坐标列向量排成一行的矩阵。向量在旧的基上坐标的列向量，是新的基上坐标的列向量，对新旧基表示的列向量组 { T 1 , T 2 ,… T n } 的线性组合系数。 不难看出对应于不同基坐标的列向量之间是个满秩的线性变换。 T -1 = ( F 1 ,F 2 , …, F n ) ，其中 ( F i ) n 是旧的基向量 e i 在新的基上坐标的列向量。满秩的方阵也代表着一个坐标变换。 4.3 坐标变换中的矩阵表示 线性算子是从一个线性空间到另一个线性空间的映射。算子 $\alpha$ 的作用将 n 维线性空间 X 中的向量，变成 m 维线性空间 Y 中的向量，在给定这两个空间的基上，它表示为一个 m*n 矩阵 A 。两个线性空间的基是各自独立的，可以各自分别更换。继续沿着向量坐标变换的思路可以看出，在两个空间基的更换中，如果 X 中坐标变换的矩阵是 V ，在 Y 中是 U ，在新的两个基上， $\alpha$ 的矩阵表示是 U -1 AV. 通过满秩变换 P 和 Q ，把一个矩阵 A 变为另一个矩阵 B=PAQ ，称矩阵 A 和 B 是 等价 的。 P 和 Q 都是满秩的方阵， P -1 和 Q 分别可以看成是算子输入和输出空间的坐标变换，等阶的矩阵可以看成是同一个线性算子在不同坐标系下的表示。 线性变换是线性空间到自身的映射。变换的输入和输出在同一个空间。在给定的基上，它的作用表示为一个方阵 A 。基的更换不仅影响着变换作用输入的向量表示，同样影响了输出的向量表示，所以当新旧基间坐标变换为 T ，在新的基上，矩阵的表示将是 T -1 AT ，它与旧基上的 A 是相似的矩阵。 任何满秩的方阵 T 都对应着一个坐标变换，矩阵 B=T -1 AT ，称 A 和 B 是 相似 的，说明它们可以通过坐标变换来相等。相似的矩阵是同一个线性变换在不同基上的表示。 对于一个方阵 A ，它是既可以表示一个线性变换，也可以是一个线性算子，当它代表一个线性算子时，输入 X 和输出 Y 是相同维数的不同空间。它们的坐标变换是分别独立的。 4.4 标准正交基 向量对一组基的线性组合分解是唯一的，这直接可以从基的线性无关性来证明。但这只是说明这个线性空间与相同维数列向量的欧几里德空间是一一对应，而且是同构的。这并不意味着这种映射是唯一的，即不意味着对应的坐标是确定的。到目前为止，我们都不确定向量在基上的坐标，因为这涉及到向量与基向量之间的关系。引入两个向量间关系的内积概念，将让这个坐标映射清晰起来。 假设向量表达成基向量的线性组合的式子，用基向量对这表达式两边取内积，得到一个以坐标为未知数的线性方程组，它的解便确定了向量在这基上的坐标。 如果基中的向量长度都为 1 ，并且相互正交，它则称为 标准正交基 。向量在标准正交基上的坐标等于向量在那个基向量上的投影，即它与基向量的内积。如果两组基都是标准正交基，那么它们间的变换 T 便是一个正交阵（酉阵对于复数域），它的转置（共轭转置对于复数域）便是它的逆，把向量新坐标变成它旧的坐标。 列向量只有在作为标准正交基坐标上的向量表示时，它的内积才等于所表示向量的内积。在一般情况下，基向量的内积构成一个正定矩阵 E = ( e 1 ,e 2 ,…,e n ) T · ( e 1 ,e 2 ,…,e n ) ，向量 x , y 的内积等于它们在这基上坐标表示列向量 (x i ), (y i ) 与它的乘积 $(\bar{x_i})^TE(y_i)$. 所以，列向量作为内积空间向量的坐标表示时，它是在标准正交基上的表示。用标准正交基上的向量坐标表示，内积等于一个列向量共轭转置与另一个列向量的乘积。这样列向量所在的坐标空间与内积空间才是同构的。 前面说，满秩的线性算子建立起相同维数的线性空间的同构关系，这只是对线性运算而言。但这并不足以保证对应的内积运算也相等。内积空间还包含着内积的运算，能保持内积空间同构的线性算子，是正交阵（酉阵对于复数域）。从几何直观来看，在线性算子作用下保持向量的长度和夹角不变（即内积不变），这个作用只能是旋转和翻转的组合。 这一小节陈述了着线性空间坐标变换关系的直观图像。如果读者不能在脑海中清晰地看到，建议花点时间，在代数表达式推演的帮助下来消化理解。有了对同一个向量和线性变换，在不同基下列向量和矩阵坐标变换的直观理解，将会比较容易看清抽象的概念与具体的数值表示间的关系。 （待续）
算术是从给定条件和已知数，得出符合条件数值，计算的学问。算法用给定的条件，构造性地定义了从已知数到得数的映射。算术所在的数域仅仅是抽象空间包含的一个实例。近代分析把抽象空间作为给定条件，定义在空间的映射称为算子，研究它们的一般性质。 例如，迭代算法是用相同的子算法，把得数作为下次计算的已知数，一次次地迭代计算来逼近结果的计算方法。抽象空间里的压缩映像是能够应用于这类计算的算法。 距离空间（ X ， d ）具有如下性质的映射称为 压缩映像 $T: X \rightarrow X, \;\; d(Tx, Ty)\le ad(x,y), $ $a \in (0, 1), \; \forall x, y \in X$ 。 这里的 $d(x,y)$ 是 x 和 y 间的距离，如差值的绝对值及范数等等。应用压缩映像不断地迭代计算，能够逼近至多一个不动点。巴拿赫不动点原理说，压缩映像 T 在完备距离空间 X 中，有唯一的不动点 x ，即 Tx = x. 有了压缩映像 T ，在 X 中任取一点 x 0 ，令 x n+1 = Tx n , n=0,1,2,… ，它将收敛于一个不动点 x. 重要的原理都是简单和直观的。这个定理在分析中是个强有力的工具，以此可以证明空间和流形上的各种的反函数定理，它不仅可用来定性地证明常微分方程解的存在和唯一性，而且是解方程迭代算法的基础。 压缩映像是个算子，可以是线性也可以是非线性的。但在分析中，研究最多并最富有成果的是无穷维空间的线性算子。 为什么要研究无穷维空间的线性算子呢？因为物理的动态系统从初始状态开始的变化，微分方程由状态函数映射成微分关系和边界条件，工程系统由输入转变成输出，都可以看成一个算子作用在函数空间进行变换。出自叠加原理应用和近似的简化，这些算子也多是线性的。微分和积分作为算子是线性的，它们与其他因子组合而成的算子，例如傅立叶变换，拉普拉斯变化等积分变换，线性常微分方程，数理方程，这些数学工具都是无穷空间的线性算子。 数学上，代数关心的是集合中元素在运算映射下的性质。分析则研究这些代数运算在无穷空间中变动极限的性质。这就要考虑集合所在空间的拓扑性质，和了解在这些代数运算角度下空间的结构。上一篇，我们用有界线性泛函的内积形式，揭示了巴拿赫空间以及希尔伯特空间的对偶关系。这里要介绍线性算子的基本性质。 请注意，空间的线性，是集合中的元素对线性运算封闭，例如连续函数集合是线性空间，因为连续函数的数乘和相加仍然是连续函数。而算子的线性，则是算子的映射对空间上的线性运算保持不变的关系，即线性组合的映像等于组合中元素映像的线性组合，例如积分是在闭区间连续函数空间上的线性算子，线性常微分方程的系数可以是非线性的函数。线性算子必须作用在线性空间上，而线性空间上的算子可以是非线性的。 复习一下这里要用到的几个空间的概念。距离空间在集合任意两点中定义有距离，以此定义开球和邻域，生成空间的拓扑。赋范空间是线性空间，是以向量长度为范数导出了距离的距离空间。在这距离定义下，如果它对收敛还是完备的，则称为巴拿赫空间（ Banach space ）。希尔伯特空间是定义有内积的巴拿赫空间。这篇谈定义在赋范空间上的线性算子。线性代数课程讨论问题在欧几里德空间，它是有穷维的巴拿赫空间 $\mathbb{R}^n$ ，其线性算子在基底下表示为矩阵，它只是局限在有穷维的表现，我们对比地来介绍一般的线性算子。 上篇说过，对线性算子 T ，如果存在着一个正数 c ，对其定义域上所有的点都有 $\left\|Tx \right \| \le c\left\| x \right \|$ ，则这个算子是有界的。这个 c 的下确界称为 线性算子 T 的范数 。 欧几里德空间上的线性算子都是连续的和有界的，这在巴拿赫空间未必成立。 例10.1：闭区间 上连续函数集合C ，以$\left\|x \right \|_\infty = \max_{0\le t \le 1}|x(t)|$ 为范数构成巴拿赫空间。定义在C 到C 的微分算子D，是这空间上的线性算子，它的定义域是在 C 中所有连续可微函数构成的线性子空间。D不是有界的。因为函数序列$\{x_n(t)|x_n(t)=e^{-nt},n\ge 1\}$在C 中，有$\left\| x_n \right \|_\infty =1$，不难推出它是个有界的集合（这集合中任何两点的距离都小于2），但是$Dx_n(t)=\frac{d}{dt}x_n(t)=-nx_n(t)$ 的集合，却是C 中的无界集。算子D将有界的集合映射成无界的像，所以它是无界的算子。 线性算子是否有界，还取决于映射所在空间的拓扑。微分算子 D 定义在另一范数的空间，可以是有界的。 例10.2：连续函数集合C 以范数$\left\| x \right \|_\infty$，构成巴拿赫空间。记函数x的导数为x’，连续可微函数集合C 1 的范数定义为$\left\| x \right \|_1=\left\| x \right \|_\infty + \left\| x' \right\|_\infty$，它也是个巴拿赫空间。 微分算子D也是C 1 空间到C 上的线性算子，有 $\left \|Dx \right \|_\infty = \left \| x' \right \|_\infty \le \left\| x \right\|_\infty + \left\| x' \right \|_\infty = \left\| x \right \|_1, \;\;\; \forall x \in C^1 $ ， 这说明C 1 空间中有界的集合，在算子D映射下在C 上仍然是有界的，所以它是这空间里有界的算子。 尽管赋范空间中线性算子不一定是有界的，但有界性和连续性却是等价的，甚至只要在某一点上连续，它们就有了全体的连续性和有界性。 在欧几里德空间，线性算子 T ，用下面的内积式子，可以定义它的对偶算子 T* ， $\left\langle Tx, y \right \rangle = \left \langle x, T^* y \right \rangle, \;\;\; \forall x \in \mathbb{R}^n, \;\; \forall y \in \mathbb{R}^m$ 用矩阵表示， T* 是 T 的共轭转置矩阵。对于赋范空间，我们也对线性算子用相同的方法定义其对偶算子。不过从空间 X 到 Y 的算子不一定对全空间都有定义，例如在微分算子 T 在连续函数空间 C ，只对其中连续可微的函数有定义。上述的定义只限在各自的定义域里。 算子 T 的定义域记为 D(T) 。如果 D(T) 是稠集，即空间 X 中任何一个点，都可以表示为 D(T) 中点序列的极限， T 则称为是 稠定 的。赋范空间 X 到巴拿赫空间 Y 上的有界线性算子，如果是稠定的，它可以唯一地（按连续性）延拓到整个空间，成为定义在 X 上的有界算子，且算子的范数与原来的相等。 如果 T 的值域充满了 Y 的全空间，则称为是满的。如果 D(T) 中的序列 (x n ) 当 x n → x ， Tx n → y ，有 x 也在 D(T) 中， Tx=y ，则称 T 是闭的。 闭算子 定义域中所有的点 x 与对应像 Tx 的组合 (x, Tx) ，在 $X \times Y$ 空间中是个闭集。 如果 T 是两个希尔伯特空间中的线性算子， T 是稠定的则 T* 是闭的，如果 T 还是闭的，则 T* 也是稠定的，而且有 T**=T 。 欧几里德空间上的线性算子，可以表达成矩阵 A ，其范数 $ \left \| A \right \| $ 是它与共轭转置矩阵相乘 A’A 最大特征值的开平方值，它们的全体也是个欧几里德空间。相应的，赋范空间 X 到巴拿赫空间 Y 上的有界线性算子，所有这些有界线性算子 $L(X,Y)$ ，在算子的范数下也是巴拿赫空间。 微分方程可以看成算子 T 作用在线性距离空间的点上，等于另一空间的点（函数，初始或边界条件），例如 Tu = v 。应用算子理论研究微分方程，解的存在性对应着算子 T 有右逆，解的唯一性对应着算子 T 有左逆，所以 T 的逆算子存在意味着解的存在和唯一性。解的稳定性说，当参数、边界或初始条件变化很小时，解也应该变化很小，这对应着逆算子的连续性即有界性。在未知是否有逆时，稳定性的要求表达成算子的开映像性质，而微分方程解对初值一致连续性则表达成算子族的一致有界性。 这些问题，对于巴拿赫空间 X 到 Y 的线性算子 T ，都已经有了很好的答案。 开映像定理 ：如果 T 是闭的和满的，对于任意小的 ε 0 ， 有相应的 δ 0 ，使得 $ \forall y\in Y, \; \left \| y \right \| \delta \Rightarrow \exists x \in D(T), \; \left\|x\right\|\epsilon , \; y=Tx$ 简言之，开集的像是开的。 巴拿赫逆算子定理 ：如果 T 是闭的，满的，一一对应的，则它的逆算子存在且是有界的。 闭图像定理 ：如果 T 是闭的，定义域是 X 全空间，则 T 是有界的。 共鸣定理 ：如果一族有界线性算子在 X 上是逐点有界的，那它们也是一致有界的。 上述这几个是泛函分析中线性算子的基本定理。它们都还有在更广泛的线性距离空间，附加上一些条件的版本。有兴趣请看泛函分析的教科书。 线性算子的这些性质，让线性微分方程成为描述世界强有力的工具。在这种线性描述下，逆算子的存在，证明了一切的变化都可以由已知的原理、参数、边界和初始条件唯一地确定；逆算子的连续性保证了一切的误差都是可以无限地消减。这个关于无穷过程线性数学利器的成功应用，让人们相信世界是确定性的，无穷可分的，差不多是线性的，几乎忘记了为了能够应用这个利器，曾经省却了一些细节，作过了一些假设，即使非线性的研究也只往这方向靠，忽略本质不同难以想象的部分，直至非线性动力系统以混沌、分叉、孤立子突兀在眼前，打破了幻想，在数学上揭示了系统上不确定的机制。 三百多年前，微积分以函数为阶梯从无穷小分析的思路，把人们带进了想象中的无穷世界。由线性联系着微观机制和宏观的表现，线性系统的叠加原理所惠，让它成为研究动态和连续系统最强有力的工具。短短的三百年时间，研究函数科学的分析，成为数学最大的分支。在这无穷可分几乎是线性的世界里，数学分析是撰写自然律法的笔墨文书，是从事理工研究必不可少的工具。我们对世界的认知，其实是符号的象征和想象的产物，数学工具极大地影响着研究者对事物构造的想象和规律的理解，进而推及大众。计算机的出现，将可能改变世界的图像，影响着数学研究方向和对世界的认知。世界也许将回到有穷分立的结构，非线性将是主流，复杂和不确定系统或成为富饶的主题。但无论怎么改变，数学都是人们用逻辑来及远的工具，指使计算机的方向，描绘世界的画笔。现在的计算机在科研中，还基本是分析计算的工具，图像表达的机器和记忆搜索的助手。人们还未找到代替叠加原理超越线性，组合分立研究结果的方法，还在等待着一个革命性的思想，来指引怎样用计算机来描述，理解和控制我们的世界。在这之前，数学分析仍然统治着物理和工程的世界，理科生还离不开这时代战士必备的这个武器。 【扩展阅读】 关肇直等，张恭庆，冯德兴，线性泛函分析入门，上海科学技术出版社， 1979 程代展，系统与控制中的近代数学基础，北京：清华大学出版社， 2007 http://product.dangdang.com/9350967.html
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