科学网 › 标签 › 无穷

标签: 无穷

相关帖子	版块	作者	回复/查看	最后发表

没有相关内容

相关日志

理解数学——逻辑（5）: 热度 23 xying 2013-7-30 08:23; 上一篇里有关“无穷”、“无限的推理过程”、数学归纳法、反证法等概念和它们间的关系引起一些有意义的讨论，其中不乏数学专业的教授和对数学问题钻研很深的网友，让我觉得值得向更多的读者分享些相关的概念和逻辑。这里谈的并不针对讨论的所有内容，而是大多数读者可能感兴趣的核心观念和逻辑。有人说：“看了讨论让我有点崩溃，我真的被搞糊涂了！” 这说明“无穷”的问题并不简单，正是动了脑筋考虑才会遇到的境界。数学的严谨性，就是在对原来习以为常，以为是很简单明白答案的怀疑中，得到发展的。无穷是最古老并且至今一直争论不休的话题。数学的三次危机，后两次都是关于无穷，德国大数学家魏尔（ C.H.H. Weyl ， 1885-1955 ）说 : “数学就是无限的科学。” 什么是无穷大？直观的印象是：“比任何数都要大的数。”这是个自相矛盾的陈述，作不得数的。但如果它不是个数，又怎么来比大小？上小学时，老师告诉我们，任何正数除以 0 是无穷大。这是用保持除法的封闭性来定义的数，是个数学实体了。古希腊开始的潜无穷一派认为：无穷只是个进行中的过程，不是个数学实体。除以 0 的运算不合法。这个观念被很多数学家继承，高斯（ K.F.Gauss ， 1777-1855 ）说 : “我反对把一个无限量当作实体 , 这在数学中从來是不允许的。无限只是一种说话方式 , 当人们确切地谈到极限時 , 是指某些比值可以任意近地趋近于它 , 而另一些则允许沒有界限的增加。”柯西（ A.L. Cauchy ， 1789-1857 ）通过无穷定义极限，又用极限定义无穷大和无穷小，实际上和高斯是一个意思。布勞威尔（ L.E.J. Brouwer, ， 1881-1966 ）的口号是“存在即是被构造”，他坚定地认为 : “数学的基础只可能建立在构造性的程序上，它必須细心地注意有哪些论点是直观所容許的 , 哪些不是。”无穷的观念被他排除在外。古希腊开始的实无穷一派认为，无穷可以是个完成的数学实体，没有它很多事说不清。牛顿、莱布尼茨用无穷小量的数学实体构造了微积分。戴德金（ J.W.R. Dedekind ， 1831-1916 ）对无穷集合的定义是：如果集合有与其一一对应的真子集，则是无穷的集合。康托（ G. Cantor ， 1845-1918 ）认为：必须肯定实无穷的合理性，数学才可能发展。任何有变量的域，无论是数论、分析或代数，都必须看成是实无穷。无穷大可以由集合的势来定义，是个比任何自然数要大的势。数学归纳法是最基本的证明方法，无论哪派的数学家都承认它。数学归纳法能够证明的是对于任何具体的自然数 n 都成立的性质。不是对自然数全部成立的性质。前者是有限的，后者是无限的。人们不经意会把这两者混淆起来。有些人听了这个解释后，更加糊涂了。这是自然语言的模糊性，在两种无穷观的混乱中造成的。对数学命题中的“任何”，“所有”，“全部”这些词的不同解读。潜无穷否认有无穷的集合。现代直觉主义用不可构造性，明确地反对无穷作为数学的实体，认为没有自然数集全体这个观念，因为任何有限步骤都不可能把所有的自然数都构造出来。这解读上面这些词就比较简单，它们全是一个意思，在数论中指的是随便哪个具体的自然数。实无穷用集合的概念，把无穷个元素和无穷个元素组成的集合分开，自然语言中“所有”和“全部”就可能有两种不同的解读，既可指这些元素任何一个，也可以指它们整体的集合。而人们习惯很多是按潜无穷观念数学证明的解读，一但越过这个限制，混淆便起。 Stephen Willard 《 General Topology 》在证明了数学归纳法原理后，介绍一个悖论。集合{1}是有限集，假如{1,2,…,n}是有限集，那么多一个元素的{1,2,…,n,n+1}也是有限集，根据数学归纳法，这对所有的自然数都成立，所以所有自然数{1,2,3…}是个有限集。有人觉得这是谬论，这结论明显是错的，没人会这样地证明。但悖论的目的是让你思考，要准确指出逻辑错在什么地方，才会避免类似的错误。这本教科书面向的读者是读过实变和泛函等数学系的学生，训练严谨的数学基础。我读这悖论没看到解释前，愣了很长时间迷惑这里的逻辑。实际上，这悖论里前面的“所有”指集合里任意的某元素，后面是“所有”元素构成的集合，是两个不同的含义。数学归纳法只证明对自然数集合中所有元素成立的性质，不能得出对所有自然数组成了集合的性质。无论数学哪一派都不允许使用无限的推理过程。因为这是无法确定的结果。上一篇里对数学归纳法原理的证明，可以看出这是个有限步的证明。应用数学归纳法证明时，只要证明满足那两个条件，然后应用数学归纳法原理就可以得出对任何具体的 n 都成立的结论。这样也只涉及到有限步的证明。数学归纳法和康托的对角线证明都只用了一次的反证法，它们都是有限的推理过程。什么是无限的推理过程？比如说一个偶数能不能分解成两个素数的和，理论上逐个试过总是可以有个肯定或否定的答案。这就是个无限的推理过程，因为你无法判断这个过程中，什么时候可以得到结论。也许有人还觉得这些都很简单，那么大家看看能否指出下面的悖论错在哪里。我们知道自然数可以用一些汉字来准确地描述。比如说： 1024 是：“二的十次方”； 997 是：“小于一千最大的质数”。定理：任何自然数都能用不多于20个汉字来描述。证明：假设有些自然数不能用20个汉字来描述，这些自然数里一定有个最小的数。基于这个性质，这个数可以表达成“不能用不多于二十个汉字描述最小的数。”这与假设矛盾，反证法证明了定理成立。反驳：全部的汉字是个有限的集合，设为N，20个汉字最多只能表达$N^{20}$个不同的意思，而自然数有无穷多个数，不可能由这些有限个意思来区分。所以定理不成立。你认为哪一方对，另一方到底逻辑在什么地方出错？【后记】写于评论 32 ，点击 1521 时。在篇末的悖论里，这句话“不能用不多于二十个汉字描述的最小的数”，就像博文里“比任何数都要大的数”的定义一样，是个自相矛盾的表达，不能作为描述数的合法表达。这句话的本身并没有什么不妥，问题在于用它来描述一个自然数会产生矛盾：它的字数少于 20 ，如果用它来描述一个数，这个数就不符合它的描述。所以在证明里不能用它来表达那个数，这样证明就不能成立。悖论里这句话是 Berry paradox 的中文版。这是个自我指涉（ Self-reference ）的悖论。自我指涉是在陈述中引用或牵涉了自己。在自然语言，数学和计算中自我指涉是个合法的和有效率的方法，只有在某些情况下会导致悖论。例如 $x = f(x)$ 是个自我指涉的表达式，它的含义可以直接通过一个递归的推理或迭代的计算来取得，这也许是个无穷的过程，也可以经其他途径来决定。比如说这表达式里的函数： $f(x)=0$ if $x \neq 0$, otherwise $f(x)=1$ 这时 $x = f(x)$ 等式永远是假的，无法确定 x 的内涵。当悖论发生时，规则的制定者经过取舍可能在论域里避免或限制使用它，而不是简单地认为自我指涉是非法的。在证明中也可以包含有悖论的环节，可以用它来否定引起悖论的假设，就像康托尔和哥德尔的定理证明那样。潜无穷和实无穷这两者的区别在对待无穷的观念，潜无穷派基本是否认无穷的存在，只用无穷作为谓词来描述一种状态或进程，不允许有个实体。实无穷认为除了可以作为谓词外还能作为个体词。所以实无穷认为自然数的集合可以是个数学实体，潜无穷否认它是个数学实体。博文中数学归纳法的悖论，数学归纳法只证明了 {1,2,…,n} ， n=1,2,3,… 都是有限集，而不能说 {1,2,3,…} 是个有限集。集合 {1,2,3,…} 只在实无穷观念里被承认，是个具有无穷个元素的数学实体。潜无穷派只承认作为状态或过程的 n=1,2,3,… ，不承认作为集合的 { 1,2,3,… } 。; 个人分类: 科普|10807 次阅读|72 个评论

理解数学——逻辑（4）: 热度 17 xying 2013-7-25 10:19; 经过千年的犹豫和百年的争执，人们意识到不能再回避无穷作为数学的实体，终于将现代的数学建立在集合论的基础上。时间淘汰了盛行过的各种流派，在现代有影响的还有三大数学流派，它们都在 1900 年到 1930 年间形成。首先是罗素为代表的逻辑学派，认为数学和逻辑是全等的。每一条的数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。数学真理的逻辑命题是逻辑真理。数学真理可以由少数逻辑公理和逻辑规则推导出来。他以集合论为基础，相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统。形式主义的奠基人是希尔伯特，他将抽象的原则发挥到极致，认为数学研究的是没有意义符号之间的结构性质，数学的推理是一个“有限化”的机械的操作。逻辑主义和形式主义都在集合论上，建立支撑整个数学的公理系统，所不同的是：逻辑主义将数学归结为逻辑后，还想探寻逻辑规律后面的真理含义。形式主义不在乎它们是什么，甚至逻辑公理系统的公理也无所谓真假，只是约定的符号而已，关心的是它们组成系统的相容性，不自相矛盾是数学的终极意义。前者努力将数学建立在公理系统上，后者致力于公理系统的逻辑结构和推理的严谨性，最终发展了数理逻辑来指导这个建设。虽然他们的理性化目标都没有达到，但是，他们的公理化系统和对数学的基本主张成为现代数学的主导思想。克劳威尔代表的直觉主义是一种有限主义的主张，不考虑无穷的数学对象，不允许使用无穷步骤的推理，不承认无穷领域使用排中律。否认选择公理，认为根据选择公理而作的集合，没有能行性，就不能承认其存在。认为数学对象必须是思维构造的产物，不能够被构造出来的概念不存在。不存在的否定不等于存在。这主张的一切都在直观可以想象的范围内，固然是安全可靠，但也把许多很有意义的结果排除在外。现代数学的构造主义撤销了直觉主义激进的主张，只坚持构造性的证明。尽管集合论对无穷的研究被接受，受到有限主义的影响，人们对于无限领域的推理还是十分的谨慎。在无穷时的证明始终是数学家的心病，希尔伯特将大部分人公认的方法归纳为“有限化”的规则：证明是一个逻辑推理的过程，每一步只能是已知的定理，或根据前面有限个数学对象，按照逻辑的推论，推理的步骤必须是有限的。这里“有限”的意义来自法国年轻数学家厄布朗的总结：每一步证明只讨论确定的有限数目的对象及函数；这些对象及函数要能确定它们的真值产生协调一致的计算结果；一个对象如不指出如何构造它，就不能肯定其存在；必须永远不考虑一个无穷集体中所有对象的集合。在无穷领域里的推理，数学家的关注有三个方面：逻辑规则，无限的数学对象和无限的推理过程。我们逐一来了解它们。从最保守的有限主义到比较宽松的结构主义都反对在无穷的领域使用反证法，只允许使用归谬法。反证法是：先假设要证明定理的反命题成立，然后以此推出矛盾，否定了反命题，依照排中律，定理就必然成立。这样的证明是非构造性的，不能指出如何构造它，称为“存在性证明”。不承认排中律，就要放弃一大批数学成果，这是现代数学不能承受的牺牲。反证法在现代证明中已经广泛地使用。就像康托尔没有构造出一个超越数，就证明存在着不可数的超越数。现代数学承认反证法的证明，但更欣赏结构性证明的价值。归谬法是从前提中推出矛盾，以此来否定前提，可以用它得出否定性的结论。显然归谬法比反证法弱，反证法里包含着归谬法的环节，然后用否定之否定的还原律来完成证明。古典的形式逻辑有同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。归谬法只需要根据矛盾律，反证法需要根据矛盾律和排中律。这四条定律是古典形而上学的逻辑说法，在数理逻辑中命题逻辑的演绎规则被严格地规范在逻辑系统里研究（见【附录】），数理逻辑研究证明，反证律可以推出归谬律和还原律，后两者联合起来可以推出反证律。所以结构主义，不认为在无穷时，否定之否定就等于肯定。不存在的否定不等于存在。现代数学基于集合论允许使用无穷作为数学的实体。有限主义禁止使用无穷的数学实体和过程。那后者怎么处理反映无穷多个关系，比如说从 1 加到 N 的累加公式证明？用数学归纳法。因为自然数是用归纳法来定义的，所以用数学归纳法来证明所有自然数具有某种性质的命题，是符合直觉的，是自明的。从集合论的观点，数学归纳法原理可以从自然数是良序集和反证法里得到证明。数学归纳法定理：设S(n)是自然数为参数的逻辑命题，假如：a）S(1)是真的；b）对于任何n，S(n)为真，推出S(n+1)为真；则对于所有的n，S(n)为真。证明：假如这结论不成立，因为自然数是良序集，让S(n)为假的数必定有最小的，记为k。因为a），k不可能是1；因为k是让S(n)为假的最小数，所以S(k-1)为真，根据2），推出S(k)为真。这与假设矛盾，定理得证。注意，用数学归纳法证明的是潜无穷的无穷多个关系，比如说，下面运用数学归纳法证明是错误的。集合{1}是有限集，假如{1,2,…,n}是有限集，那么多一个元素的{1,2,…,n,n+1}也是有限集，根据数学归纳法，这对所有n都成立，所以自然数的集合{1,2,3…}是个有限集。数学归纳法证明了对于所有自然数成立的命题，是指对于任何（有限）的自然数，而不是自然数的全体（实无穷）。哥德尔定理揭示了希尔伯特“有限化”证明的局限性，哥德尔定理里所说的“判定”或“证明”是指局限于使用公理系统里的公理和“有限化”方法的形式证明。哥德尔定理是使用了公理系统之外的“元数学”来证明的。哥德尔定理说“ PM 不能证明自身的相容性（ consistency ）。”这个事有点大。如果不能够用可信的方法证明集合论的无矛盾性 ( 至少 ZF 系统无矛盾 ) 和数学分析的无矛盾性，我们还有信心在这上面做研究吗？这里，最基本的当然是算术的无矛盾性。哥德尔的不完全性定理说明，用有限化的方法，这个目标是达不到的。希尔伯特引进证明论来研究这个问题。证明论又称元数学，它研究数学证明的合理性问题，是数理逻辑的一个分支。 1935 年，甘岑用超穷归纳法证明自然数算术形式系统的无矛盾性。几年后，他和其他人又给出了其他的证明。数学分析的无矛盾性， 1967 年由日本高桥元男用非构造性的方法证明。超穷归纳法也称超限归纳法，有几种表达形式，一个是这样的：设S(x)是良序集Ω上序为参数的逻辑命题，假如：a）对Ω上最小元l，S(l)是真的；b）若所有x y，S(x)为真，推出S(y)为真，则对于Ω上所有的x，S(x)为真。不难看出数学归纳法只是超限归纳法的特殊情况，相同的方法可以证明它的正确性。超限归纳法是数学归纳法向良序集的推广，它的方法也不依赖于选择公理，但很多应用是无穷的偏序集，用到了选择公理可以将它良序化，或者直接用等价的 Zorn 引理。“有限化”要求“一个对象如不指出如何构造它，就不能肯定其存在”，限制了选择公理的应用。哥德尔定理之后，人们意识到“有限化”的局限，探索较宽的限制，比如说原来“有限化”对于无穷的对象只能用数学归纳法，现在倾向于接受“超穷归纳法”，它在无穷集合上被广泛应用，犹如数学归纳法在自然数上那样的犀利。什么是无限的推理过程？比如说一个偶数能不能分解成两个素数的和，理论上逐个试过总是可以有个肯定或否定的答案，有人由此得出哥德巴赫猜想不是不可判定的。这其实相似于数论上的定理，理论上逐个试过总是可以有个肯定或否定的答案；计算机程序逐个试过总知道会不会停机。但这里的“试过”可能是一个无限的过程，是不能实现的，不合法。哥德尔的不可判定定理和图灵的停机问题都是否定了这样推理的结论。哥德尔定理说明了现行演绎推理的局限。但放宽一些局限并不能解决哥德尔揭示的问题。就像归纳法中的“所有”只包含着趋向无穷的过程，而不包括无穷的极限，这是潜无穷和实无穷的区别。数学的推理不能使用无限的推理过程，就像无穷步的计算没有结果一样。哥德尔定理后，人们对解决这类古典难题的信念大减，现在对难题努力的意义是寻找新的思想方法。数学不同流派的分歧在于不同的和谐信念和严谨性追求，人们总以为数学是枯燥冰冷的逻辑，实际上这些数学家争执的是抽象世界中美学的不同理解。 G. H. Hardy 说：“ Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics. ” 【附录】数理逻辑中命题逻辑系统 P ，与大家熟悉的语言描述的命题逻辑系统等价，描述了数学里应用的命题逻辑演绎推理的规则。它由两个符号和三条形成规则定义合式公式： 1 ）单独一个命题词是合式公式； 2 ）如果X是合式公式，则┐X是合式公式； 3 ）如果X和Y是合式公式，则（X→Y）是合式公式。记 A1, … , An ┣ A 为合式公式 A1, … , An 推出合式公式 A 。 P 系统里有 5 条形式推理规则，它们严格地规范了命题逻辑的演绎运算。（ε）A1, …, An┣ Ai(i=1,2,…,n)；肯定前提律。前提中每个命题都可以作为整个前提的结论。（τ）如果Γ┣Δ┣ A（Δ不空）, 则Γ┣ A；演绎推理传递律。Γ和Δ分别是一组命题。（┐）如果Γ, ┐A┣ B, ┐B, 则Γ┣ A；反证律。在Γ前提下，反命题推出错，得出在Γ前提下正命题成立。（→-）A→B，A┣ B；蕴含词消去律。如果A则B，有A，推出B。（三段论推理）（→+）如果Γ, A┣ B则Γ┣ A→B；蕴含词引入律。在Γ前提下，有A推出B，即Γ时，如果A则B。除了 ( ┐ ) 条即反证律外，其他 4 条都很基本。由反证律和其他条可以推出还原律（┐┐ A ┣ A ）和归谬律（如果Γ , A ┣ B, ┐ B, 则Γ┣ ┐ A ）。反过来，由还原律和归谬律合起来可以推出反证律。因为直觉主义等构造主义流派认为反证律太强，反对无条件使用，所以包含反证律的系统称为古典逻辑演算，包含减弱程度反证律的称为非古典逻辑演算。有几种非古典逻辑演算系统，在 P 中把反证律换作归谬律称为极小系统，在极小系统中加上推理规则（ A, ┐ A ┣ B ）称为海丁系统。这些弱化的逻辑系统在结构性证明中使用。; 个人分类: 科普|13920 次阅读|47 个评论

怎样才能挑战数学权威——也谈《统一无穷理论》: 热度 16 xying 2013-3-8 06:58; 前些天写了篇《无穷大能比大小吗》，原是解答网友“为什么无理数比有理数多”的问题，给关心无穷集合问题的人，普及一下最基本的概念和逻辑，好用自己脑子想通这些不算难的问题，不再会被网上广征博引的公理语录吓住了。这两天到网上一搜，发现还真有人对这些基本的问题不明白，也有提出挑战的，其中最新鲜热辣，整出点动静来的是《统一无穷理论》。这是一本书，看了简介和目录后，我就明白为什么玩数学的人都不啃声。这主题是个简单的数学问题，但要评论就得看这一厚本，你要赔不起这时间，除了这标题就不知道该说什么。我原来也不想凑这热闹，只是刚写了篇无穷集合的普及文，不好意思不说两句。幸好陈绥阳教授花了一个月看完这书，写了篇博文《千虑一失，一虑百得》是压缩过的注记。再看了几篇作者的介绍和辩驳【 1 】，本着数学抽象的原则，略过故事、哲理、联想、展望、感叹、形容词、副词，直接抓住有关数学的核心命题，作者何教授说：康托尔理论不对，无穷集合只有一种势 $2^{\aleph_{0}}$=$\aleph_{0}$ 他的证明是“无限倍增法生成的实无穷层满二叉树可与自然数集一一对应”，网上查到这个方法的介绍，原来他用一种构造方法，生成（ 0 ， 1 ）区间的实数，树的每个节点对应着有限小数，无穷分支处的叶片对应着无限循环的有理数和无限不循环的无理数，这样这区间内的所有实数都可以用树的节点和叶片来表示。现在从树根处起对应 1 ，第 1 层 2 个节点，对应 2 和 3 ，第 2 层 4 个节点，对应 …… ，逐层逐个点过，直至无穷，岂不是将这所表示的实数与自然数一一对应起来？作者说：这证明实数的势也是 $\aleph_{0}$ 。这里的问题是：这个对应的过程中，始终只把一个自然数对应到一个有限的小数，还没有一个无理数被一个自然数对应到，更谈不上全体。就是说，没有证明一个无理数被这样的规则对应到。所以这证明只能说实数的势大或等于 $\aleph_{0}$ 。他可能抗议，有理数可数不也是这样三角形曲折法逐个对应过来证明的？有理数的确也是这么走，两个可数集的笛卡尔积可数也是用类似的手法证明，但是它们构造的对应规则都保证这个映射是满的，也就是说，给出任何一个具体的有理数，或者笛卡尔积里的一个元素，都在这规则下有一个自然数和它对应，你都能确切的知道是有这个自然数。这才是双向的一一映射，而他的这个对应规则做不到。 “如果允许无穷序列，实数可以用 0 和 1 序列表示”，这说法比较靠谱，应该是他的核心思想。这个数学模型是：每个实数对应着一个整数的一个子集，这在我那普及博文里提到：实数可以用 0 和 1 来表示，每一个实数中的数字为 1 的位数集合，比如说 10.101 ，一一对应着整数的一个子集，例如这个是 {2 ， -1 ， -3} ，也就是实数与可数集上所有子集集合的势相等， $c=2^{\aleph_{0}}$ 。然后用康托尔定理可以推出 $c=2^{\aleph_{0}} \aleph_{0}$ 。所以何教授这个理想模型的构造方法，只不过说实数与自然数子集的集合等势，并没有证明康托尔理论不对，他不承认康托尔说的 $2^{\aleph_{0}} \aleph_{0}$ ，这就绕回来了。要证明康托尔说的不对，就要挑出康托尔证明错在哪里。其实康托尔定理的证明也很简单，不需要什么预备知识就能读懂，这定理是 General Topology 【 2 】，第一章里的一道习题，我把这作业再做一遍写在下面：康托尔定理 (Cantor’s theorem) ：集合 $A$ 上所有子集的集合 $\mathcal{P}(A)$ 的势要比 $A$ 的势大，即 $|\mathcal{P}(A)||A|$ 。换成幂集的符号便是 $2^{|A|}|A|$ 。证明：设 $a\in A$ ，令 $F(a)=\{a\}$ ， $\{a\}\in\mathcal{P}(A)$ ，则 $F$ 是 $A$ 到 $\mathcal{P} (A)$ 的一一映射，所以有 |$\mathcal{P}$(A)|$\geqslant$|A| 。假如 |$\mathcal{P} (A)|=|A|$ ，这就存在着一个一一满映射 $G: A \rightarrow P(A) $ ，对于每个 $x\in A$ ，记 $A_x=G(x)$ ，则有 $\mathcal{P}(A)=\{A_x|x\in A\}$ ，定义 $A$ 上的子集 $B=\{x \in A|x\notin A_x\}$ ，则 $B\in\mathcal{P}(A)$ ，按照假设，有一个 $y\in A$ ，使得 $B=A_y$ ，这时候问： $y$ 是不是属于 $B$ ？如果答是， $ y \in B$ ，按照 $B$ 的定义则有 $y\notin A_y$ ，由 $B=A_y$ ，所以 $y\notin B$ ，反过来通过等式和 $B$ 的定义也推出矛盾。这两者皆不对，按照排中律这是不允许的。按矛盾律，这假设不成立。所以 |$\mathcal{P}(A)||A|$ 。这里只需要集合和势的定义以及逻辑。在集合 $A$ 是可数集时，便有 $2^{\aleph_{0}} \aleph_{0}$ 。如果你对这抽象的逻辑有点吃力，那建议看我的普及博文《无穷大能比大小吗》，用对角线法来证明实数的势是不可数的，那里解说得不厌其烦，只要有中学程度懂得逻辑，心思澄明就能理解。这是康托尔定理的一个特例，但也够了。要说康托尔错了，如果反例不给力，就要指出康托尔证明错在哪里。据说那文章也“对康托尔对解线法进行了细致的分析”，我没看到作者在这简单证明里挑出什么毛病来。好像是不喜欢这样的证明方法，不直观。要是这样子，他只要说“不接受反证法的证明”这句话，玩数学的都知道是什么意思，也不用写一本书了。早在 1908 年数学直觉主义的创始人布劳威尔，就以反证法不直观，反对在无穷集合使用逻辑中的排中律，他主张无穷集合只有一种势，就是可数的无穷，同何教授说的一个样，在一百多年前。不过他是数学家，明白反对一种证明方法的理由，也必须一视同仁地对数学的所有证明，他反对在无穷问题上使用逻辑中的排中律。提倡直观，谁都喜欢，但要否定了逻辑中的排中律，你能想象现代数学还剩下什么吗？连布劳威尔赖以成名的不动点定理，自己也是依赖于反证法来证明！一百多年过去了，主流数学没有接受这个观点，也有一些数学家沿着直观主义和比较温和的构造主义做探索，都成绩寥寥。但他们还是讲逻辑的，他们的直观是要求构造性的数学证明。连续统假设，几个公理的数学界讨论，和这实数是可数的问题根本是两回事。连续统问题争论的是：自然数和实数之间还有没有其他无穷集的势。把这样的事混为一谈，能受玩数学的人待见吗？数学证明不需要旁征博引，追求的是抽象简化，只用逻辑推理来分是非。有人反对这样的抽象和推理，认为这是书呆子，形式逻辑，举出一些悖论的推理来，说明是荒谬绝伦。抽象地略去这话的贬义和情绪词，这说到了点子。数学就是用形式逻辑把给定的假设推到极致，这里不能参杂任何个人的想象和情绪。悖论的意义是在磨砺和检验你的智力，感到荒谬是因为推理的结果和直觉的常识相矛盾，这里的错不在于逻辑的规则，而在假设、推理和常识三者之间，如果前两者没有错，需要修正的是常识。不接受形式逻辑的证明，那就不是数学，是浮想。网上又查一下，现在何教授也不反对康托尔证明的逻辑，只反对他的概念，说这概念不符合客观实际。他的实数是理想计数器里的概念，他认为“现在的数学家习惯于不管基本概念是否符合客观实际，只管逻辑推理是否正确，这是十分片面的。”（他在跟帖里的原话）这是把数学家当作物理学家和工程师了，纯数学确实只管逻辑推理，而不在乎前提是不是客观实际。那个是搞应用人的事。你最多只能抱怨自己所会的那些数学不好用，不会用。何教授的理想计算器模型里，如果不是数学里面抽象的实数，谈的就不是那个数学问题了。要真正挑战数学难题或者已有结果，最好的办法是尽可能简练地把数学问题表述出来，提出证明或者反证。其他无关的一慨不用说。如果有几个问题，一个一个地谈，尽量明确，对就是对，错就是错，不要打包混为一谈。这样或许会让数学界的人关注，或得评点，或者接受，或者拒绝，这样都比在外边叫嚷更有意思。数学玩的是逻辑，除此之外别无原则，如果你的逻辑不能让人读懂，或者你读不懂有关基础知识的逻辑，那就无法交流了。认为数学公理必须是真理的，那是几百年前的事了。自从出了罗巴切夫斯基的非欧几何后，数学界都明白，公理都只不过是一种假设，现代数学家毫无敬意地审视原来的公理，将它们切碎重组，以便具有最大的功利。现在的数学公理都是非常一般和广泛，直达人类理性可以分辨的最基本概念和命题单元。称为科学的一切逻辑推理的成果都建造在这个数学基础上。那数学家对公理的争吵，数学的悖论，哥德尔定理是怎么回事？数学也像其他科学一样不断地发展上层和修补基础。基础的公理如同物理中的原子，现在又用基本粒子来解释了。所不同的，物理用实验来判别正误，数学所凭的只有逻辑，寻求基本假设的自洽和效益。经过几千年的发展，我们现在住在一座豪华的数学系统大厦里，地基有点疵瑕和裂纹，这只有最犀利的逻辑和极致的思辨才能觉察，数学家正在讨论怎么修补它，这是个细致活，必须考虑到方方面面，和对已有系统的影响。这事几千年来都不断有，对逻辑粗放些的上层科学研究和日常活动影响不大，只不过现在资讯发达了，嚷得大家都知道，你不会因此跑出去住帐篷，或者提个大榔头来帮忙吧？【参考资料】【 1 】《统一无穷理论》评论园地 http://wenqinghui163.blog.163.com/ 【 2 】 Stephen Willard ， General Topology ， Addison-Wesley （ 1970 ）; 个人分类: 科普|12601 次阅读|134 个评论

集合论不适合用于解决无穷问题: 热度 3 HAITIAN136 2013-2-27 11:38; 集合论不适合用于解决无穷问题康托尔的集合论，本是为解决无穷大问题而创立的，无可非议的说：集合论是数学中很有创造性的分支。但在无穷问题上，集合论遇到了很多无法跨越的坎，造成很多似是而非的悖论。本人认为：康托尔已把集合论发挥得淋漓尽致，但还是无法解决无穷问题。看来，要解决无穷问题，用集合论是无法做到的。也就是说：集合论不适合用于解决无穷问题。何华灿教授的《统一无穷理论》，引起了一轮无穷的争论，也引出了无穷的新认识：康托尔的无穷理论有明显的缺陷。何华灿教授想建立一个完全新的集合论公理系统，来解决无穷的问题，但也得不到有效的证明和大家的一致认同。沈卫国先生用“无穷层满二叉数上包含有单位区间全部实数”的方法，构造了一种单位区间实数集与自然数集一一对应，证明了实数可数。但问题的关键是：能把全部二进位制实数都排列完吗？吕陈君指出：“ 现有的集合论是有毛病的，必须对它做出某些修正。这可能会让大家难以接受，会这么反问：现有的集合论哪有毛病啊？教科书里不是用它推导出了全部经典数学吗？这里焦点就是实数可数问题。 ” 显而易见：实数问题是解决无穷问题的关键，集合论是无法实数解决，因此集合论也是无法解决无穷问题的。至今为止，实数可数还未能得到证明，其实实数是不可数的，只有用集合论无法证明而已。抛开集合论，试试用其它方法来解决无穷问题，也许能得到意想不到的结果。; 5409 次阅读|4 个评论

漫漫的无穷路: 热度 2 HAITIAN136 2012-9-12 14:29; 一场“ 统一无穷理论”之争，终于告一段落。从起点开始到终点，终点又回到起点，无穷之路依然漫长。由于无法证明实数是可数的，最终“统一无穷”缺乏根基，无法立足。实数与线上的点一一对应，不容置疑。康托尔的超限数理论依然是对的，无穷大至少有两个：可数无穷和不可数无穷， 2 ∞ ∞。集合论是康托尔创建的，其目的也是要解决无穷大的问题。可以说康托尔已把集合论发挥到极致，他无法解决的无穷问题，已很难用集合论来解决了，除非有新的理论或新的构思。用集合论来反证康托尔的超限数理论不成立更是不太可能。无穷，看似简单，到达其边缘，发现其实有太多的岔路，哪一条才是正确的呢？由于集合论容易产生太多的自相矛盾的论据和推论，可以说每一个假设就产生一个不同的推论，单单靠集合论不可能解决无穷问题。要有其它的理论相结合，才能走上正确的无穷之路。漫漫的无穷路，依然漫长 ……; 3348 次阅读|5 个评论

0的倒数——终极数U: HAITIAN136 2012-8-17 16:04; 一、数数有这么一个故事，说的是两个匈牙利贵族决定做一次数数游戏——谁说出的数字最大谁赢。 “好，”一个贵族说，“你先说把！” 另一个绞尽脑汁想了好久，终于说出他所想到的最大数字：“ 3 ”。现在轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了更久，他表示弃权说：“你赢啦！” 这也许只是一个笑话，但说明 1 、 2 、 3 中， 3 是最大的数。我也来编个故事：未来有两个中国人打赌，一样做一次数数游戏——谁说出的数字最大谁赢。 “好，”一个中国人说，“你先说把！” 另一个想都不用想，马上说出想到的最大数字：“ U ”。现在轮到第一个动脑筋了。他没办法想了，只好弃权说：“你赢啦！” 是啊，现在也是 3 个数： 1 、∞、 U ，没有比 U 更大的数了。二、 “部分可以等于全部”有可能吗？康托尔证明了实数轴上的点与上的点一一对应（见图 1 ，实数轴上每一个点 L 1 ， L 2 ， L 3 ， … ， L n 与上的某个点一一对应），并推出了“部分可以等于全部”的结论。（图 1 ）图 2 是两个大小不同的同心圆，大圆的半径是小圆的两倍。因为圆的周长和它的半径成正比，所以大圆的周长是小圆的两倍。从圆心开始随便划直线，马上就可以知道任何和大圆交于点 N 的半径也会和小圆交于唯一的对应点 N 1 ，没有多余也不会重复，从而证明了两个圆的圆周上点一样多。（图 2 ）这些看是事实，再看又不太可能的现象，造成了几百年来一直扯不清的悖论。康托尔也同样用所谓“超限数”理论解决。难道说，“部分可以等于全部”真有可能？三、点与实数的概念现在要补充一些概念。从书上可以找到下述概念：点的含义：“ 一个点可以构成一条线，也可以构成一个平面，也可以构成一个立体。” “点是空间中只有位置，没有大小的图形。”点作为最简单的几何概念 , 通常作为几何、物理、矢量图形和其他领域中的最基本的组成部分。“点成线，线成面，点是几何中最基本的组成部分。” 实数的定义较为复杂，至今还没有一个公认的、完整的、准确的定义。实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数包括整数和分数。由于点没有大小，一个点的周围有无穷多个点。实数具有稠密性，任意两个点之间必定有第三个实数。四、点是不可数的，实数是可数的沈伟国和吕陈君两位学者用不同的方式已经证明了实数是可数的。沈伟国用“无穷层满二叉数上包含有单位区间全部实数”的方法，构造了一种单位区间实数集与自然数集一一对应，证明了实数可数。吕陈君引入潜无穷公理也证明了实数可数。是的，实数是可数的，实数与自然数都有同一个∞。但是，点是不可数的。在无穷小的区域里，点与实数不可能一一对应！从图 1 、图 2 我们可以看到：部分等于全体的结论是发生在点与点的一一对应上（注意不是实数的一一对应）。当我们把缩短到（ δ为无穷小），一一对应依然存在；再缩成一点，一一对应也依然存在。这可以看出：这一一对应其实是一个错误的视觉，点是不可数的！五、引入终极数引入终极数 U ，把 U 定义为不可数序列的极限。因为不可数再也无法去数，因此也不能再分。线段上的点、平面上的点、多维空间上的点，以及由点组成的线、面、体都是不可数，它们都是同一个终极数 U 。终极数的性质如下：终极数 U 是 0 的倒数。即： 1/U ＝ 0 ， 1/0 ＝ U 终极数 U 大于无穷大 ∞ 。即： U ∞ 终极数 U 的引入，也使数的排列趋于完美： 0 ， δ ， C ，∞， U 参考文献：何华灿、何智涛著，《统一无穷理论》，科学出版社， 2011 年 12 月戴维 · 福斯特 · 华莱士著，胡凯衡译《跳跃的无穷》，湖南科学技术出版社， 2009 年 4 月 G ·伽莫夫著，暴永宁译《从一到无穷大》，科学出版社， 2002 年 11 月; 5231 次阅读|1 个评论

网友谈《统一无穷理论》一书的几个疑点: 热度 3 HAITIAN136 2012-8-6 15:19; 看了《统一无穷理论》一书，也看了网上对该书和作者的评价，我认为该书造成了一场网络大战的原因起码有三点： 1 、该书否定了康托尔的超限数理论，认为无穷大只有一个，康托尔的超限数分层是错的。并且证明了 2 ∞ ＝∞。对这一点，由于我知识的欠缺，无法判断是对是错，我只能相信数学家们的判断。按理来说，这是对是错，还是无法判断，都应该很容易下结论。但至今为止，我对该观点更为混乱，因为网上不少自称“数学家”反对该观点。 2 、公理性问题。该书否定了很多公理，是造成网上不少人反对的又一原因，很多数学的公理虽然无法验证，但都是合理的，也得到大多数人的肯定。该书有很多前提条件，是不是该理论在一定的范围才能成立？如计算机应用、人工智能范围等。 3 、无穷小问题。现在的高等数学教材里，对无穷小的定义和运算（比较）都有了很详细的描述。《统一无穷理论》一书几乎完全改变了教材里的无穷小。我也很困惑：高等数学教材里的理论，一般都是得到严格论证，而《统一无穷理论》一书找不到该书与教材里不相同的解释或论证。; 4036 次阅读|8 个评论

穿跃空洞——才能到达无穷: 热度 1 HAITIAN136 2012-7-31 15:26; 无穷大，一个人为创造的、神秘而又遥远的数。说它神秘，人们对它知之甚少，各人对它有各自的见解；说它遥远，人们总是觉得它离我们很远、很远，没有办法接近它。无穷大，它并不存在于我们的现实世界里，我们日常用到的常数，是无法接近、更无法达到无穷大。无穷大似乎离我们很远、很远。难道在常数与无穷大之间，就没有其它的数存在吗？答案是肯定的：常数与无穷大之间存在“空洞”！从自然数引申到无穷大数学家皮亚诺提出的自然数公理：① 1 是一个自然数；②任何自然数的后继是一个自然数；③没有两个自然数具有相同的后继；④ 1 不是任何自然数的后继；⑤任何性质，如果 1 具有，而且如果任何自然数具有，它的后继也具有的话，则所有自然数都具有此性质。（注：现在把 0 也归到自然数里，在讨论无穷时， 0 有其特别的意义，还是暂时把 0 单列在自然数外。本文自然数不包括 0 ）自然数系列常用下列方法表示： 1 ， 2 ，……， N ， N+1 ，……，∞ 很明显，用无穷大（∞）来表示自然数的最终值也是人为的，显然∞不具有自然数的性质，因其不具备自然数公理②， ∞＋ 1 ＝ ∞。自然数 N+1 与无穷大∞之间，只能用省略号“……”表示，这个省略号到底是什么？自然数走到尽头，似乎就是无穷大。自然数到无穷大之间缺失了一环根据自然数公理，不存在最大的自然数，我们只能尽可能取很大很大的自然数（简称极大数） U 。当然 U+1U ， U 之后依然有自然数 U+1 ， U+2 ，…… 极大数 U 依然离∞很远很远。 U ﹤ ∞ U+U ﹤ ∞ U × U ﹤ ∞ ∞＋ 1 ＝ ∞ ∞－ 1 ＝ ∞ ∞－ U ＝ ∞ 穿跃空洞才能到达无穷大很明显，极大数 U 还是无法接近无穷，那怕再极大极大的数，也是无法靠近无穷大，自然数与无穷大之间明显有无法连接的地方，不少数学家提出了各种方法，有的还提出“过渡大”数，想通过“过渡大”数来连接自然数与无穷大，但遗憾的是：“过渡大”数无法找到。其实，自然数与无穷大之间无法连接的地方，本来就没有数——这就是“空洞”，只有穿跃这“空洞”，才能到达无穷大。 0 与无穷小，无穷小到常数之间也存在“空洞” 引申到常数 C ，我们可以把数排列如下： 0 ，无穷小 δ ，常数 C ，无穷大∞ 显然 0 和无穷小 δ之间，无穷小 δ 与常数 C 之间，都与常数到无穷大之间一样，都存在着没有数的“空洞”！; 3765 次阅读|4 个评论

[转载]转载：科学出版社竟然出版如此反智的书: 热度 14 ymin 2012-7-4 11:09; 科学出版社竟然出版如此反智的书　　作者：数学工作者　　这两天在新浪微博看到一些网友转载的帖子，说是科学出版社去年出版《统一无穷理论》，其基本观点完全错误，甚至可以说是反智的。原来该书作者竟然能断定自然数集与实数集等势！这毫无疑问是极其荒谬的。科学出版社竟然能出版如此反智的书，除了可笑之外，也着实让人觉得可悲。　　 1. 先罗列一下我们的问题：　　（1）这本反智书的基本观点如此荒谬，违背基本的数学常识，为什么居然能通过审稿专家的评审？科学出版社为什么能出版这样的伪科学书籍（想想看要误导多少读者）？良心何在？底线何在？如何向读者还交代？　　（2）诸如《无穷概念的重新统一》（见后面）这种连基本观点都错误的学术胡扯论文，为什么能发表？审稿人为什么没把好关？为什么这类胡说八道的学术研究能受到国家自然科学基金资助？评审同行有没有认真审查过？学术理论的底线何在？　　（3）有人辩称这本反智书是哲学书。难道借着“哲学”幌子就能够不顾基本事实和逻辑基础？到底是“泛逻辑”还是“反逻辑”（据以下资料称，何华灿是所谓泛逻辑创始人）？　　（4）能提出如此反智观点的泛逻辑创始人，他的其他学术观点和学术成果是否也应该重新接受同行的有效检验呢？　　 2. 这本书的详细信息可参看china-pub书店网站的链接　　http://product.china-pub.com/1178376 　　或卓越亚马逊网站的链接　　 http://www.amazon.cn/%E7%BB%9F%E4%B8%80%E6%97%A0%E7%A9%B7%E7%90%86%E8%AE%BA-%E4%BD%95%E5%8D%8E%E7%81%BF/dp/product-description/B006QTE294 　　其中基本信息为：出版社：科学出版社 //ISBN：9787030325709 //出版日期：2011 年12月　　 3. 我们从这本书的内容简介里的第三条可以看到（见以上链接），作者 “断定完整的自然数集和单位区间实数集等势”。而编辑推荐则更是搞笑：　　“我国著名的人工智能学者、泛逻辑学专家何华灿教授，提出了统一无穷概念和理论，撰写了专著《统一无穷理论》，他的贡献在于：纠正了传统自然数集概念的局限性，证明了单位区间实数集与完整的自然数集一样大，2∞=∞，从而修正了康托尔的层次无穷观，理清了潜无穷过程与实无穷过程的辩证关系，突破了传统无穷观的局限性与片面性，展现了统一无穷观的协调性与和谐性。” 　　换言之，这本书的所谓“统一无穷”就是用掩耳盗铃的方式否认各类无穷的差别，然后建立所谓的理论。　　任何具有基本数学素养的人都知道以下的数学常识：自然数集与单位区间的实数集不等势。这个证明来自于康托的对角线方法。　　大家也可以在以下网址看到该书摘要中的搞笑段落　　 http://www.philosophy.org.cn/article_info.aspx?n=20120411143952837695 　　其中第二段写道　　“作者何华灿是毕生从事计算机科学技术和人工智能研究的信息科学工作者，晚年对信息科学的基础理论泛逻辑学产生了浓厚的兴趣，通过逻辑学进而发现了数学中的层次无穷概念和理论存在严重问题：本来是大而无外的无穷大怎么能无限地升级？本来是小而无内的无穷小为什么仍然在无限地变小？整个信息科学已经被这种畸形的无穷理论压缩到了一个狭小的零级无穷空间内无法伸展，让人感觉窒息和无助。再仰望那层层叠叠的高级无穷空间，它是那样的漆黑一片，让人感觉恐惧和渺小。于是作者产生了统一无穷概念和理论的强烈愿望，希望还信息科学一片蓝天。经过数年跨学科的潜心研究，有了这本无穷问题的专著。” 　　 4. 这本反智书之所以最近被网友提及，可能是因为张景中院士在顾森新出版的《思考的乐趣:Matrix67数学笔记》的序言中委婉地批评了《统》--可参见链接　　http://product.china-pub.com/3662817 　　这里摘录序一中的部分段落　　“简单而巧妙的数学推理得到很多人至今不肯接受的结论：实数比自然数多！这是伟大的德国数学家康托的代表性成果。　　说这个结论很多人至今不肯接受是有事实根据的。科学出版社去年出了一本书名为《统一无穷理论》，该书作者主张无穷只有一个，不赞成实数比自然数多，希望建立新的关于无穷的理论。他的努力受到一些研究数理哲学的学者的支持，可惜目前还不能自圆其说。我不知道有哪位数学家支持“统一无穷理论”，但反对“实数比自然数多”的数学家历史上是有过的。康托的老师克罗内克激烈地反对康托的理论，以致康托得了终身不愈的精神病。另一位大数学家布劳威尔发展了构造性数学，这种数学中不承认无穷集合，只承认可构造的数学对象。只承认构造性的证明而不承认排中律，也就不承认反证法。而康托证明“实数比自然数多”用的就是反证法。尽管绝大多数的数学家不肯放弃无穷集合概念，也不肯放弃排中律，但布劳威尔的构造性数学也被承认是一个数学分支，并在计算机科学中发挥重要作用。　　平心而论，在现实世界确实没有无穷。既没有无穷大也没有无穷小。无穷大和无穷小都是人们智慧的创造物。有了无穷的概念，数学家能够更方便地解决或描述仅仅涉及有穷的问题。数学能够思考无穷，而且能够得出一系列令人信服的结论，这是人类精神的胜利。但是，对无穷的思考、描述和推理，归根结底只能通过语言和文字符号来进行。也就是说，我们关于无穷的思考，归根结底是有穷个符号排列组合所表达出来的规律。这样看，构造数学即使不承认无穷，也仍然能够研究有关无穷的文字符号，也就能够研究有关无穷的理论。因为有关无穷的理论表达为文字符号之后，也就成为有穷的可构造的对象了。” 　　 5. 新浪微博上最早介绍这本反智书的单位—按照我搜索的结果—应该是 “科学出版社工程技术部”（见其新浪官方微博主页）。为什么是工程技术部呢？　　 6. 何华灿出版过的书籍，可参见以下链接（可能不完整）　　http://search.china-pub.com/s/?key1=%u4f55%u534e%u707ft=2 　　对于何灿华以及泛逻辑（创始人）的介绍，我们也可以参看　　http://www.ycyz.com/html/1024ArticleShow_5230.html 　　及　　http://www.ycyz.com/html/1024ArticleShow_5231.html 　　基于作者能写出如此反智的书，我们有理由怀疑他的其他著作书是否也存在问题。当然这就需要相关方面的同行验证并作出判断了。比如其《泛逻辑学原理》--据简介说“作者于1996年提出泛逻辑学”--这么一个玩意儿到底有专家检验过没？　　另外允许我们神经质地问一下：何华灿和何智涛是什么关系？（也许真没有关系）　　7. 我们也查阅了何智涛的学术论文（共查到6篇），其中一篇《无穷概念的重新统一》(这俩人合作的) 让人忍俊不禁，择其摘要如下：　　“证明了实数可数、连续统假设不成立，实现了实无穷概念的重新统一，从根本上解决了希尔伯特第一问题” 　　请注意这篇文章是受到国家自然科学基金资助的（项目号： 60273087,60575034）　　另外一篇《论第2次数理逻辑革命》（除他们之外还有一合作者），我们就留给逻辑方面的同行去判断吧。 (XYS20120702); 个人分类: 杂谈|4342 次阅读|46 个评论

一个统一无穷的实例: 热度 3 uranus2008 2012-6-13 17:43; 个人分类: 逻辑学|479 次阅读|2 个评论

从二进制到二进制的思维方式: 热度 4 liuchao666 2012-4-23 08:54; Normal 0 7.8 磅 0 2 false false false EN-US ZH-CN X-NONE MicrosoftInternetExplorer4 /* Style Definitions */ table.MsoNormalTable {mso-style-name:普通表格; mso-tstyle-rowband-size:0; mso-tstyle-colband-size:0; mso-style-noshow:yes; mso-style-priority:99; mso-style-qformat:yes; mso-style-parent:""; mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-para-margin:0cm; mso-para-margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:10.5pt; mso-bidi-font-size:11.0pt; font-family:"Calibri","sans-serif"; mso-ascii-font-family:Calibri; mso-ascii-theme-font:minor-latin; mso-fareast-font-family:宋体; mso-fareast-theme-font:minor-fareast; mso-hansi-font-family:Calibri; mso-hansi-theme-font:minor-latin; mso-bidi-font-family:"Times New Roman"; mso-bidi-theme-font:minor-bidi; mso-font-kerning:1.0pt;} 从二进制到二进制的思维方式 ——从计算机的思维到人类的思考之一同语言，同文字相同，数字，也是人类常用的描述客观世界的一种符号体系，差别在于，语言文字易于理解，数字则枯燥难以记忆。从哲学上说，“世上不存在两片相同的树叶”，类似地，我们还有：“世上不存在两个体重相同的人”，“世上不存在两个身高相同的人”，“世上不存在两个 DNA 相同的人”……因此，无论是身高，还是体重，和姓名一样，都可以唯一的标识一个客观的个体。二进制，作为一种计数方式，同三进制，十进制，二十进制……相似，只是一种数学描述手段，其主要优点在于符号简单。但是，由于二进制在计算机中的广泛使用，由于计算机在今天的飞速发展，这就使之形成了一种独特的文化体系——二进制的思维方式。本质上说，从二进制的计数方式到二进制的思维方式，两者没有本质的联系，但社会有时很无奈，人类的某些固有属性在此起到了决定性的作用——二进制的思维，是人类在二进制计数方式上的一次简单而粗暴的扩张。在二进制计数体系中，只有两个符号： 0 ， 1 ；在人类的社会生活中，对于语句有两种判断方式：真，假。如果用 0 表示假，用 1 表示真，然后定义一下“与”，“或”的运算关系，突然使得人们发现了一个新天地——用数学描述逻辑，或者说，用数字来严格的描述语言文字。这种扩充在理论研究中获得了一种实质的应用——命题逻辑。可以说，这也是一次成功的扩展。遗憾的是，人类的语言不仅仅是由于命题组成，更多的时候，语言最多涉及的仍然是关于名词自身的判断——存在性。有没有上帝，有没有金山，有没有鬼神……什么是公平，什么是正义，什么是动物的本质属性……所有的概念词似乎才是语言世界的主宰，而“有”，“无”则是更加基本的属性。由于有了命题逻辑上的成功应用，人们再次对二进制进行了扩张， 0 ：没有， 1 ：有——这次的扩充并没有取得预想的成功。 “张三吃饭了”或者“张三没有吃饭”两者必有一个成立。 “马是白色的”或者“马不是白色的”两者事实上都不成立。有、无的判断似乎与概念本身似乎具有一种相关性，不错，这就是专名与通名的差别。二值判断逻辑只能处理专名——计算机不能处理通名？？换个方法就可以补救一下。既然没有办法用计算机表示“所有的马都是白色的”，那就是用“任意一个动物，如果他是马，那么他是白色的”的来表示。这样一来，通名就转换为了专名。至此，我们不需要“马不是白色的”的表达方式了，而是“存在一个动物，他是马，但不是白色的”。问题似乎得到了解决，但是，这里把一个简单的仅与“有限”相关的问题转换为了和“无穷”相关的问题。用“ ∀ x(A(x)→B(x)) ，其中， A(x) 表示 x 是 A ， B(x) 表示 x 是 B ，”表示“所有的 A 都是 B ”，这就是一切麻烦问题的根源——从二进制计数转换到二进制的思维，然后再在此基础上做简单的修补工作，这就是现有计算机思维不及人类的主要原因之一。再后面的系列中，我们将进一步探讨究竟如何实现人类思考的模拟。; 7429 次阅读|8 个评论

认知与无穷: 热度 2 htrmt 2010-10-9 11:36; 本文是应沈老之邀写的关于无穷的内容。由于无穷是认知的对象之一，因此有了下文，欢迎拍砖。由于HTML中的数学符号使用起来不方便，所以直接贴为图片。这里是PDF版本：认知与无穷 2010.1012.0139补充（来自回复何老的信件内容）：下面是我思考无穷的简要历程：在无穷方面，断续的思考了很多年，但即使到现在也不认为自己完全了解了它。关于无穷观，从认知论的角度出发可能是最好的出发点。因为一直以来，之所以有各种理解结果，主要是因为个体的认知角度、认知方式或方法不统一造成的结果。这是人理解、认识自然最基本的过程，也是最容易为我们所忽略的东西。因为我们从小就被告知并“坦然的”接受了所受教育所影响的那种我们甚至不知道该如何称谓的那种认知的方式。正是这种认知方式使我们形成了时下的认知行为和结果。但是，如果我们换一种认知方式后，会得到怎样的结果？这种结果还会是一样的结果吗？是否会让我们了解到更多的内容？事实是，在很多的“ xx 比较”，较常见的是社科类的“ xx 文化比较”这样的文献里，我们经常会看到令人耳目一新的内容。对于数的困惑最早发生在刚学习加法的时候，一开始，这种困惑一直持续了几个月，直到后来我下意识的学会不再质疑它而直接使用它才得以摆脱（当时的我很小，也不知道用现在这里的语句去描述当时的感受。但当时那种困惑感一直断续的困扰着我，这是因为在长大后，每次遇到其它认知困难时，就会让我回忆起早先学数和加法时的困惑，并让自己在这类现象上不时耗费一些精力）。为解决这些困惑，或者是为了说服自己不再困惑于这类现象，这使我对“认知”及“认知行为”进行了长期的思考。“认知与无穷”那篇文章中前两段是到目前为止我关于“认知的方法论”的最好结果。后来，我在教小孩学习数和加法时意识到了这种关于数及加法的认知困难具有普遍性。人类对于数这个概念的认识虽然历史悠久，但却依然原始。造成这种现象的缘由在于世界中没有“纯净的”数可供观察，人们只能从庞杂、具体的、涉及数的现象中去一点一点、缓慢的摸索和了解它。在我看来，数的本质是它的唯一性，序则是人们在数上施加的一个属性及操作。而可数概念本身仅涉及数的多少，所以“可数”是一个与数的序、甚至是与数本身都无关的概念。在这个意义上，由于可数数与实数不存在多、少的差别，因此如果我们定义可数数是可数的，那么实数同样也是可数的。之所以给出这样的描述性解释是因为我们只能用比具体的数更为基础的认知概念进行解释才能得到更接近真实的数的概念。 2011.0129.0006修正文中“可能的度量方式为” ，令，则可能度量方式总数的递推计算公式为 2011.0217.0918修正PDF文中第二段最后一句为“...,相互间有依赖的项用' '号括起来。”; 个人分类: HintsNet|4726 次阅读|4 个评论

有限无穷的实数人生: luocun 2010-10-5 05:59; 曾经在华人基督教会的查经班──算是入党兴趣小组吧──上讨论生死。牧师讲，你想想，如果信主而升天堂，见到逝去的亲人，跟他们永享幸福，岂不美哉。俺就开始发臭言了：如果你老爹他总在喝酒是个混球呢？如果天堂里的生活一切都好只缺烦恼呢？一天天重复，也很没劲啊！维特根斯坦也说过：永生不解决问题。。。通常，人们像这位牧师朋友那样，把永生理解成无限，无限理解成无限延续：今天过了，还有明天，没有死亡，就像自然数一样，绵延不绝，没个尽头。可是，与其像自然数那样干巴巴孤零零一个个地没完没了，还不如活出有密度有质感的有头有尾的实数生活：从0到1的区间虽然是有限的，却有无穷多的数，比所有的自然数还多。或许有限的人生本来就是无穷的，或许不是如何长生不老，而是如何与这种无穷相协调，才是人生的意义问题之所在。这个道理挺简单。或许可以试一试。; 个人分类: 胡思乱想|4812 次阅读|3 个评论

关于连续运动的哲学思索: gaoshan1900 2010-9-6 18:41; 自然界无跳跃。莱布尼兹不识庐山真面目，只缘身在此山中。苏轼，《题西林壁》如果你相信运动是连续的，那么你并不孤独。最伟大的物理学家牛顿和爱因斯坦也这么认为。但是，运动真的是连续的吗？自然界确实没有跳跃吗？物体究竟如何运动？这是一个千古之谜。绝大多数人可能会认为，运动明显是连续的；这符合我们的日常经验。事实上，当人们谈论运动时，他们所指的就是连续运动。字典中诸如路径和轨道这样的词汇都隐含着连续运动的图像。但是，连续运动是运动的真实形式吗？毕竟，我们生活在经典世界中。我们只熟悉连续运动，因而对它十分珍爱。我们一直想当然地认为连续运动不仅是真实的运动形式，而且是唯一可能的运动形式。初看起来，连续运动的存在似乎十分自然。在没有外部影响的情况下，一个物体将保持它的速度，因为没有原因导致它的速度改变。于是，自由物体只能处于静止状态，或者以不变的速度连续地运动。此外，一个自由运动的物体在某一时刻处于空间中的某个位置，在下一时刻它将只能位于邻近的位置，因为没有原因导致它从一个位置直接跳跃到另一个不相邻的位置。的确，我们从未见过一个物体从一个地方跳到另一个地方而不经过中间的空间。总之，连续运动的存在似乎是必然的。它不是运动的真实形式，还有谁是呢？由于我们从未见过，也从没听说过，甚至从未梦见过另一种运动形式，它怎么会是真实的运动呢？然而，正如赫拉克利特所言，自然总喜欢隐藏起来。连续运动很可能只是一种幻象。也许我们生活于其中的经典世界正是一个柏拉图洞穴；连续运动只是真实运动的影子。当我们看电影的时候，我们也认为电影中的物体是完全连续地运动。但实际上，每部影片都是由一组离散的照片组成，它们被投影到屏幕上并以极快的速度（一般每秒24帧）依次放映。由于我们无法分辨这样快的变化，电影便可以产生出连续运动的视觉错觉。类似地，我们关于连续运动的感觉经验可能也会欺骗我们。现在，就让我们更仔细地探查一下连续运动吧。设想一个物体沿直线从位置0运动到位置1。如果物体的运动是连续的，那么它必须依次通过0与1之间的所有点。但是，在0与1之间有无穷多个点，如1/2，1/4，1/8。我们无法在有限的时间内数完它们，也无法跟踪物体的每个位置。那么，如何能知道物体真的连续地通过了0与1之间的所有点呢？如果不能知道，又怎么证明物体的运动是连续的呢？! 也许存在其他方法可以证明连续运动的存在。例如，尽管无法直接证实物体通过了0与1之间的所有点，但是可以通过一个合理的假设来证明这个结论，从而证明物体的运动是连续的。一个可能的假设是：物体由一点运动到另一点必先经过它们的中间点。可是，如何验证这个假设呢？对于较大的空间距离，它也许是对的，但对于极小的空间距离，它被检验过吗？由于存在无穷多个长短不同的空间距离，这个假设同样无法验证。事实上，即使上述假设被证实了，它也无法证明运动的连续性。例如，只包含有理点的非连续的轨迹同样满足这个假设。因此，连续运动的存在看来也无法利用其他假设来证明。总之，连续运动只是一个无法证实的假设。然而，这一事实本身并不能否证连续运动的真实存在。或许，实在本质上就是无法探究的。归根结底，无穷挡住了我们的去路。我们必须进入越来越小，甚至是无穷小的时间和空间，才能最终发现真实的运动形式。那么，是否有一些迹象已经显示运动不是连续的呢？（待续）注：更详细的讨论请参见《上帝真的掷骰子》（清华大学出版社，2010）。; 个人分类: 科普文章|2227 次阅读|1 个评论

无穷的世界: 热度 1 songshuhui 2010-7-4 23:46; 科学松鼠会发表于 2010-06-30 8:00 作者：jdxyw 无穷，这是一个比较抽象的概念，如果我们说无穷，可能第一印象是那些很大很大的数，所以我们先从比较直观的大数开始。大数与无穷大在汉语中，如果我们要具体表示数量大小的话，我们可以用十，百，千，万，或是它们的组合一百万，一千亿，一万万亿等等去表示。如果是英语的话，我们就用hundred,thousand,million等去表示。当一个中国人对你说出一万亿亿，或是一个美国人民用着正宗的伦敦音跟你说ten billion的时候，你是不是觉的这些数字已经有点震撼到你了？其实这还只是热身。大家都用过Google吧，如果你对IT界的八卦比较熟悉的话，那么你应该知道，Google这个名字来源与西方世界的一个单词Googol，这是西方世界中能够用独立名词说出来的最大数，它为10的100次方。但这还不是最大的，在除了浩瀚无边，恒河之沙之类的虚幻性的描述和当当用数字表示以外，具有独立名称最大数是佛教的asankhyeya，它等于10的140次方。这些数已经很大了，对于我们大多数人来说，我们一生都不见的会遇见或是用到这么大的数。可是在无穷前面，无穷大与Googol的距离和无穷与1的距离是一样的。因此无穷大不是一个数，而是一个概念。在数学和物理学上，有着许多不同的常数，可是如果你稍微留心一下，你就会发现它们之间有个很有趣的差别：数学上的常数都很小，而物理学上的常数要不很大，要不很小。在数学上，算是两大明星，可是它们的值一个大约是3.14，一个大约是2.72，跟物理学上的常数比起来，真是有点那不出手。物理学上一出手就是10的10次方以上，你要是弄个8次方，你都不好意思见人。例如电子质量是 ,普朗克常数是。以上举了这些大数的例子，视乎与无穷没有太大的联系。如果你这样想的话，就对了。因为它们都是陪衬。就像我在第一段讲的，无穷是一个概念，它是无法用数去表达出来的。无论你写出了多大的数，它与无穷大的距离与1还是一样的。哪怕你把宇宙中的所有原子排成一排，第一个当1，后面都当0，这个数依然离无穷大很遥远。无穷大是一个无法企及的距离。在现代数学中，我们用表述无穷大，这是英国数学家在1655年首次使用这个符号。级数与无穷我们先来看一个非常著名的级数－调和级数如果问你一个问题，这个级数是发散的还是收敛的？如果你对数学不是很了解的话，乍一看，这就是一个收敛的级数。然而你错了，这是一个实实在在发散的级数。只不过它的发散速度实在是令人发指。调和级数的前1000项的和约为7.485，前100万项的和约为14.357，前10亿项的和约为21，前一万亿项和约为28，当它的和超过100时，如果每一项在纸带上只占1毫米，我们必须使用10^43毫米长的纸带，这大约是10^25光年，而宇宙估计尺寸只有10^12光年。当宇宙都已经被贯穿了，而调和级数才不过100.如果想让其趋向无穷，我觉的这件事情还是交给无穷去做吧，人类就不要插手了。另外一个无穷级数的例子，跟一个著名的悖论有关系，那就是芝诺悖论： AB两点，一个人从A点走向B点，他必然要经过AB的中点，我们称为C点。同样他也要经过C和B的中点，我们称为D，依次反复，他要经过无穷个中点，因此，他永远也到不了B点这种说法乍一看，视乎是正确的。但是我们可以看看下面的一些计算，首先假设AB之间的距离为1米，这个人走的速度是每秒1米。根据这个人要经过无数个中点，我们可以得到下面这个式子： S为他通过的距离。大家一看这个无穷级数，立马可以得出S的值为1.而人行走的速度为每秒1米，我们可以用同样的式子计算出行走的时间为1秒。 Euler一生中最喜欢研究的一个方面就是无穷级数了。在他的那本被称为数学界的七大奇书之一的《无穷分析引论》中，可以看到他用大段大段的篇幅介绍着各种各样的无穷级数：这些级数如果没有了无穷这个条件，是无法写出这样优美的式子，你可以这样说是无穷赋予了它们生命，没有了无穷的这个条件，这些式子就失去了意义。康托尔眼中的无穷康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造。以上是一段康托尔的介绍，还是要告诫同学们，没有很强大的精神力量，为了身心健康，要谨慎的去思考宇宙从何而来，将往哪去？苍穹深深深几许之类的问题。康托尔认为，不是只存在一个无穷大，而是有很多类型的无穷大；这些种类在本质上互不相同，但在很大程度上也像寻常数一样可进行互相比较。这种观点与当时流行的观点不同。换句话说，无穷大与无穷大是不一样的，还是有高低大小之分的。我们先来看一个例子。大家先考虑一个问题，是自然数集合大还是偶数集合大？也许很多人会脱口而出，当然是自然数集合大。要是我告诉你，它们一样大，你是不是觉的有点不可思议，有种我在散布伪科学的想法？ 2 4 6 8 10 12 14 16.. 1 2 3 4 5 6 7 8 我们可以看到，自然数集中的任何一个数都能在偶数集中找到唯一相对应的数，相反，偶数集中的任何一个数也能在自然数集中找到唯一的一个相对应的数。也就是说自然数集与偶数集一一对应，它们两个集合的元素数目一样多！这与我们平常的生活经验相悖－整体大于部分，一个集合的子集等于集合本身！这是多么让人难以相信的事情。有这样想法的人是很正常的，因为我们的经验局限于有限世界中，它们并没有扩大到无穷大。而在无穷集合的世界里面，有限集合的规律都被打破了，有种到了新的山头，有新的规矩的样子。康托尔的理论是很博大的，感兴趣的同学可以自己找相关的熟悉看看。这里只不过是沧海一粟。几何与无穷我们说数学是美的，并不仅仅说它有着非常巧妙的证明，优美的公式。数学也能在感官上给予我们美的震撼，就像绘画，雕塑一般，有种不朽的感觉。首先，先介绍一个人：埃舍尔。埃舍尔把自己称为一个图形艺术家，他专门从事于木版画和平版画。1898年他出生在荷兰的 Leeuwarden，全名叫 Maurits Cornelis Escher. 说到埃舍尔，首先让人联想到的就是迷惑的图画。明明是向二楼上去的楼梯不知为什么却返回到了一楼，鸟儿在不断的变化中不知什么时候却突然变成了鱼儿，这些图画就是埃舍尔所描绘的幻想的异次元空间，它具有不可思议的魔力，征服着人们的心灵。他那特别稀有的画风在很长时间以来被美术界视为异端，后来数学家们开始关注埃舍尔的画面的高难度构成，接下来他的画又在年轻人中间大受欢迎，并在世界范围内确立了其不可动摇的地位。有的时候，一张图片比上千字的说明都来的有效。周而复始的瀑布，走不完的楼梯，把我们带入到一个无穷无尽，没有开始，没有尽头，周而复始的世界当中。无穷的话题是一个贯穿几千年数学历史的一个重要话题，从阿基米德推算出球体体积，到Euler的无穷级数的研究，从牛顿－莱布尼茨创建微积分，到康托尔的集合论，无穷这个概念在逐渐的得到完善和发展。不仅仅在数学上得到了充分的发展，在多年来的发展中，也让许多人重新思考了许多有关神学与哲学的问题。这里只是尽我所能，列出一些喜闻乐见的内容，希望大家对这个比较抽象的概念有个其它方面的认识。; 个人分类: 数学|1328 次阅读|2 个评论

从历史的角度看万岁: lix 2009-10-4 10:36; 万岁的呼喊牵动了网友的心。有说不科学的，有从数学上来讲的，有从地质上来讲的，老邪年纪大些，从我们怎么认识和使用0、无穷小、1、万、无穷大，这个历史来讲吧。老邪对《七月》的研究，似乎证明了周先民在开始编制物候历的时候，还不会从十，进位到十一、十二。但周人毕竟是聪明的，没用到两千年，到春秋时十进制就已经很成熟了。万就已经成为大数的代表单位。很快，我们的数学哲学家，又进一步形成了无穷大，无穷小的概念：一尺之棰,日取其半,万世不竭。这里是用相对于日来说，很大的模糊数字万世来表达的无穷大。但一般仍用万来代表很大的数。这样万岁就成了人们常用的祝福语，或者欢呼语，甚至死的避讳语。比如说，老子教训儿子，就可以说：你们不好好念书，等老子万岁千秋以后，看你们怎么办！用法相当自由。所以我不同意批评用万岁作祝福语就不科学。汉武帝时代，决定把万岁收归自己独享。这样其他人要相互祝福，怎么办呢？就往地质年代上打主意，比如寿比南山；或者往无穷大上打主意，比如万寿无疆，这些祝福语，老百姓还是可以用的。但是万岁则严格限定为只有皇上才能用。想创新，搞双万岁制的，只有两个人，都没有好下场：一个是东王杨秀清，一个是少奇同志当选国家主席以后，游行口号有一先一后两个万岁。不过不知是谁，很快发现了这个问题，向大家明确了只能喊毛主席万岁，不要再喊刘主席万岁，只能有一个主席万岁。有的干部功劳很大，怎么办呢？比如魏忠贤，就加封到了九千岁。到文化大革命，红卫兵比较有文化，认识到万寿无疆其实比万岁还大。所以也收归毛主席专用。但是还是有老问题，有的干部功劳很大，怎么办呢？九千岁给魏忠贤搞臭了，双万岁肯定不行。秀才们想了一个办法，除了万岁万岁万万岁仍归毛主席专用以外，可以呼：敬祝毛主席万寿无疆！万寿无疆！后边，则配以：敬祝林副主席身体健康！永远健康！毛主席他老人家什么事不洞若观火？但大度宽容，直到南巡吹风，才开玩笑说，永远健康比万寿无疆的生活质量还好些嘛。听得四野出来的领导同志背上冒冷汗。但不管怎么，从数学上来讲，毛主席他老人家给无穷大增加了一个品质指标，应该算创新吧？附：网友问：那个万岁应该是山呼还是三呼？制曰：均可。三呼很明显。山呼有典故。汉武帝把万岁收归御用的过程是这样的。封泰山的时候，汉武帝问随行群臣：我听见群山好像在呼喊，好像是在喊万岁万岁万万岁，众卿听见了吗。当然众卿都听见了，连随行的兵丁，乡绅，人人都听见了，大家满山遍野跪倒齐呼：万岁！万岁！万万岁！！！这次真的群山响应，众皆以为神迹。从此以后，万岁收归御用。; 个人分类: 历史杂谈|4285 次阅读|11 个评论

物质无限可分观念的终结: wliming 2009-7-26 23:38; 不知道从哪个年代开始，人类建立起了奇妙的无限观念。之所以说奇妙，是因为人类事实上从没见过无限却先验地认可了无限的存在。人们对《庄子天下篇》一尺之捶，日取其半，万世不竭。的无限可分的思想深信不疑。今天，社会大众仍然非常普遍地认为，宇宙是无限的，时间也是无限的，无始无终，物质无限可分。无限的观念已经在人们大脑中根深蒂固地存在了相当长的年代。在数学上无限的观念取得了惊人的成就，如极限，微积分等等。物理学借助无限的概念定义了瞬时速度加速度这样一些重要物理量。上个世纪，中国科学家还做了一件令人惊讶的事情，他们在哲学的无限可分思想的指导下建立了层子模型，和西方科学家提出的夸克模型在一定程度上不谋而合。然而，现代科学宣告了无限观念的破产。首先，天文学表明，宇宙不太可能是无穷大的。著名的奥本斯佯谬已经非常浅显地论证了宇宙的有限，如果宇宙有无穷长的年龄无穷大的范围和均匀分布的星系，那么夜晚的天空一定和白天一样明亮。宇宙大爆炸学说更是很明确地宣称宇宙有时间起点和有限的尺度。这个学说的很多预言都得到了天文观测的支持，如宇宙微波背景辐射，星系光谱红移等，所以被主流天文学家普遍接受。现代天文观测也基本上肯定了有限的宇宙年龄大约140亿年左右(注: 这里说基本上是因为结论还不是十分肯定)。现代物理学也基本上否定了无限小的时间和空间，时空很可能有一个最小的时间单位和长度单位。时间是跳跃着前进的，空间也是一格一格的，只不过这些单位是如此之小以至于人们无法觉察。现代科学实验还远远没有达到足够的精度来检验这样的结论。但是，主流物理学家有相当充分的理由更愿意采纳这样的信念。上世纪后半叶，夸克模型取得了惊人的成就，已经在很大程度上得到了科学实验的检验（只是自由夸克自由胶子没找到）。夸克模型表明: 强子由夸克组成，其中，一个介子包含两个夸克，一个重子包含三个夸克。根据无限可分的思想，人们自然会想到，夸克应该还可再分。很遗憾，现代物理学并不支持这样的想法。当人们试图切割夸克的时候，由于巨大的能量输入，切割出来的粒子比夸克还大！一个粒子的组分比粒子本身更大，所以，传统意义上的无限可分到此终结。事实上，人类至今也没有分离出自由的夸克来，更是没人观察到过夸克的内部结构。我们有相当足够的理由相信，三代轻子（其中有电子，中微子等）和夸克是宇宙物质的最小单元。无限的概念甚至会在某些特殊的数学场合失效。比如，我们沿着一个正方形的对角线画一条台阶型的折线，当台阶的宽度和高度逐渐下降趋于零的时候，这条折线看起来趋近于对角线。可是，这条折线的总长度却永远等于边长的2倍，而不是根号2倍，即不等于对角线的长度。这种情况在分形领域普遍存在。可见，物质无限可分的思想已经失效了。（本文还很不成熟，有待修改，请大家多提宝贵意见）。; 个人分类: 物理学|4925 次阅读|7 个评论

长度是怎样炼成的（一）: eloa 2009-5-7 23:27; 木遥发表于 2009-05-06 15:06 写在前面的话：这篇文章写于三年前，严格说起来，这是我认真写过的第一篇关于数学的文章。写作动机来自于一次在网络上和一个学哲学的朋友的聊天，当时谈到了几个关于长度的哲学问题，那个朋友想知道从一个学数学的人的角度来看，这些问题是怎样被回答的：点没有长度和面积，为什么由点组成的线和面会具有长度和面积？长度面积这些词汇究竟是在怎样的意义上被使用的？有的时候我们把点的长度叫做零，有的时候叫做无穷小，这两个称呼是不是都有道理？当时松鼠会还没有出现，我也并不觉得自己有资格写所谓的科普，但是既然这些问题摆在面前，我也就认认真真地尝试着把自己关于这些问题的理解用尽可能非数学化的语言描述出来。当我最终完成这一组文章的时候所得到的那种满足感，相信很多朋友们也都体会过。后来有了松鼠会，有这么多朋友们也在兴高采烈地做着同样的事情。现在松鼠会即将迎来自己的周年庆了，我把这组文章发在这里，算是我自己的一点致意。松鼠会，生日快乐。（一）关于无穷当我们使用无穷这个词的时候，我们必须时刻谨记，这个词有两种截然不同的意义不，我这里说的不是亚里士多德关于实无穷和潜无穷的那些绕口令，而是某些重要得多的本质问题，对他们的清晰阐释开始于伟大的德国数学家康托Georg Cantor (1845-1918)：当我们说一个集合有无穷多个元素的时候，我们必须指明这里的无穷是哪一种，是可数无穷还是不可数无穷。虽然都是无穷集合，但是它们会体现出截然不同的性质。为了说明这一问题，我们引进集合的势（cardinality）的概念。简单说来，势就是集合的元素的个数。一个集合有三个元素，我们就称其势为3。两个集合如果元素个数相等，我们就称它们为等势的。很显然，要判断两个集合是不是等势，只需要看这两个集合之间能不能建立起元素的一一对应即可，如果可以的话，我们就说这两个集合的元素是一样多的。到这里为止都显得很简单。可是最有趣的部分马上就要出现了：康托指出，不但对于有限个元素的集合我们可以讨论它们的势，对于无穷个元素的集合，我们同样可以讨论它们之间是否等势。换句话说，我们可以讨论两个无穷集合的元素是不是一样多！之所以如此，是因为集合之间的一一对应本质上只是个数学概念，是可以被精确研究的对象（请回忆高中数学课本关于映射的那一章）。从而，随便拿两个集合来，它们之间是否能建立一一对应只是数学上的问题而已。以下是一些最基本也是最著名的例子和命题，请尽量耐心的阅读。所有这些陈述都是可以基于最简单的形式逻辑给出严格证明的，证明可以在参考文献上查到：每一个集合都和它自身等势。注：废话。全体正整数的集合和全体正偶数的集合等势。注：这是第一个有趣然而迷惑人的结果。我们等于是在说：一个集合可以和它的一部分一样多！但是这并不是一个悖论。我们通常觉得一个集合不能和它的一部分一样多只是针对有限集合而言的，本来就没人说过无限集合不能和它的一部分一样多，只是有时候大家会不自觉地有这个误解而已。全体正整数的集合和全体有理数的集合等势。（什么是有理数来着？查书去！）注：这是在数学上很重要的一个例子，说明一个实数中的稠密集可以和一个离散集等势，不过大家看到这里大概已经开始打瞌睡了跳过这个例子！全体正整数的集合和全体实数的集合不等势。注：睁大眼睛，迄今为止最重要的一句话出现了！你永远不可能在全体正整数的集合和全体实数的集合之间建立起一一对应来。对这个陈述的证明是数学上最有趣也最迷人的证明之一，可惜的是篇幅所限我不能在这里证明给大家看。那么只讨论结论好了：并不是所有的无穷集合都是等势的，有一些无穷集合比另一些无穷集合的元素更多，换句话说，无穷之间也是有大小的。任给一个无穷集合，我们都能够造出一个集合包含它，而且和它不等势。注：换句话说，无穷和无穷相比，没有最大，只有更大。但是请注意，虽然我们能够造出越来越大的无穷集合，但是我们并不真正对那些太大的无穷感兴趣，因为和这个世界没什么关系。如果两个集合都和第三个集合等势，那么它们彼此也等势。注：好像也是废话，但是它引出了下面的重要陈述。有很多集合都和全体正整数的集合等势，从而它们彼此也等势，我们称所有这样的集合为可数无穷的（countably infinite）。有很多无穷集合比全体正整数的集合的势更大，我们称所有这样的集合为不可数无穷的（uncountably infinite）。但是，不存在无穷集合的势比全体正整数的集合的势更小。注：我们待会儿再来讨论为什么起这么两个名字。前面的例子告诉我们，全体正偶数的集合是可数无穷的，全体有理数的集合是可数无穷的，但是全体实数的集合是不可数无穷的。在不可数无穷集合中间，有些集合是和全体实数的集合等势的，这些集合被称为连续统（continuum）注：好了，现在我们对全体无穷集合建立了一个简单的分类。最小的一类称为可数无穷集。剩下的都叫不可数无穷集。不可数无穷集里面又有特殊的一类叫作连续统，剩下当然还有一些非连续统的不可数无穷集，但是它们几乎和真实世界没有任何关系，所以忽略之。（有人不愿意忽略它们，非要去研究里面的一些麻烦的问题，于是产生了数学中间最让人头晕的一部分结论，比如什么哥德尔不完全性定理之类这个定理偏偏还特别著名，很多人都问过我它究竟说的是啥。相信我，你不可能弄明白的。）也就是说，我们真正关心的是两类特殊的无穷集合，一类称为可数无穷集，一类称为连续统。所有的可数无穷集彼此等势，所有的连续统彼此等势，但是任何可数无穷集和连续统之间不等势，后者总是更大一些真绕嘴阿。下面是一些可数无穷集和连续统的例子：可数无穷集：自然数集，整数集，有理数集。（基本上，如果你在平面上或者直线上随手点无穷个点，并且这些点彼此都不挨着，那么它们的总数就是可数无穷的。但是也存在一些不这么简单的可数无穷集。）连续统：实数集，直线上点的个数，平面上点的个数，一个正方形里点的个数，或者简而言之，一切几何对象里的点的个数都是连续统。（这里一个常常被人提到的推论就是直线上的点和平面上的点一样多，都是连续统那么多。其实证明很简单，但是一言难尽，请查书去。）好了，现在我们可以讨论这两个名字是怎么来的了。请注意，所有的可数无穷集都是可以和正整数建立起一一对应的，这是什么意思呢？这意味着，我们可以把一个可数无穷集中的每个元素都对应到一个正整数，这相当于给他们编了号码，从而我们可以去数它们（这就是可数这个词的来历）。也就是说，我们可以按照1号、2号、3号这么一直数下去，虽然总数是无穷的，但是只要我们在理论上一直数完所有的自然数，我们就能真正数遍这个集合的所有元素（至少在想像里是这样）。而连续统集合却不是这样。一个直线上的点是连续统，这就是说，无论怎么巧妙的给这些点编号，我们都是不可能给所有的点都编上号码然后一个一个的数下去把它们都数完的。它们是不可数的。有人会说，这不是自欺欺人么？反正都是无穷个，反正事实上总也不可能数得完，那么在理论上区分想像中数得完和想像中也数不完有什么实际意义呢？有的。正是这一点微妙的差别，使得有些事情我们能够对可数集去做却不能对连续统集合去做，也正是这一点差别，促成了从没有大小的点到有大小的直线和平面之间的巨大的飞跃。（待续）; 个人分类: 数学|2455 次阅读|1 个评论

更多...

帐号		自动登录	找回密码
密码			注册

关闭 安全验证

标签: 无穷

相关帖子

相关日志

关闭安全验证