经过几十年的考察，正当集合论被广为接受，成了数学的基础时， 1903 年罗素（ Russell ）和策墨罗（ Zermelo ）几乎同时发现了悖论。罗素悖论是：定义罗素集 R 为所有不包含自己作为元素的集合： R = { x | x ∉ x } ，然后问 R 是不是属于这个集合？麻烦的是，如果 R ∈ R ，即 R 是集合 R 的元素，依定义有 R ∉ R ；反之如果 R ∉ R ，按集合 R 的定义， R 是集合 R 的元素，即 R ∈ R 。无论哪一种情况都是矛盾。 为了让这个悖论更通俗易懂，罗素编了个“理发师悖论”：村里的理发师宣布，他给自己不刮胡子的人刮胡子。问他给不给自己刮胡子？ R 为理发师给刮胡子人的集合， R 的成员条件是自己不刮胡子的人，问理发师是否属于这个集合。这就把罗素悖论对应于理发师悖论。 罗素悖论是受 1899 年康托尔“宇宙集（ universal set ）”悖论的启发后设计的：设宇宙集 U 为包含所有集合的集合，问它的势是多少？由康托尔定理知道，集合 U 的幂集 P(U) （即集合中所有子集构成的集合）的势比 U 的势大， |P(U)||U| 。但是按定义，集合 U 包含所有的集合， P(U) 的元素都是集合，它当然也包含了集合 P(U) 的所有元素，所以 |U| ≥ |P(U)| ，这产生了矛盾。 康托尔悖论的技术含量不在这逻辑里，他的精华是在康托尔定理的证明中。这定理先假设定理的反命题成立，造成一个自我指涉的悖论来反证。其中的技巧被罗素借用来构造他的悖论。关于罗素悖论和康托尔定理的详细证明请参考看【 1 】。 集合论的悖论在数学界引起极大的震动，虽然谎言悖论早已知道，人们总是以为是语言歧义引起的，多说几句话就可以澄清了。数学要求极其精确严谨，基础理论中任何的不一致都将导致整个数学系统崩溃。作为数学基础的集合论出现了自相矛盾的现象，这该怎么办？ 挑剔疵瑕或编个自圆其说的解释来绕过它？这是糊弄自己。判断是不是悖论，不是按照自己的想象，而是按照大家公认的逻辑和原则。本质的问题没解决，还会以其他的面目出现。 说这两个例子不合法？你必须说出它具体违反了什么规则，才能有效地排除类似的悖论。 禁止自我指涉？生活和数学中有无数的自我指涉，这打击面太宽。科学研究要找出一般的规律和通用的规则，不是仅仅为了解脱眼前的困境来因例设规。基础的修补要保留原来基础上的绝大多数成果，而不是重起炉灶。 康托尔的朴素集合论基于一个非常直观的思想：给定一个属性，等价于定义一个集合包含着具有这种属性的所有个体。这让集合成为非常基本，几乎是自明的概念，从而被广泛接受成为数学的基础。这个思想叫“无限制的抽象原理（ unrestricted abstraction ）”或者 unrestricted comprehension principle ，用形式逻辑的公式表示为： ∀ u (u ∈ { x | φ(x) } ↔ φ(u)), for all formulae φ(x). 罗素悖论证明了“朴素集合论不相容定理（ Inconsistency of Naive Set Theory ）”： 任何理论包含有无限制的抽象原理，会产生自相矛盾。 塔斯基定理和它类比的说法是：形式化表达直观自然的真理，将导致自相矛盾。 不相容定理说明我们必须对集合定义加以限制，才能避免悖论。这两个悖论都因自我指涉，在集合和它元素间的包含关系上出现了矛盾。第一个补救方案由罗素和 Whitehead 作出，叫做“类型理论（ type theory ）”。他们认为函数的变量是限定在一定类型的，所以定义集合的公式φ (x) 的变量也必须受到类型的限制。于是建造了一个类型的层次结构，每个数学对象都属于一个类型，数学对象的类型从底层一直明确定义上来，互不兼容。这样避免了自我指涉。这相似于塔斯基的语言层次结构。实际上塔斯基是受到类型理论的启发，建立起语言层次结构的。所以用类型理论定义的集合，也有塔斯基方案中过多限制，生硬不好用的缺点。 现代数学中最广为接受的是 Zermelo-Fraenkel 集合论（ ZF ）。它是个隐层次结构的解决方案，类似于 Kripke 的真理论，用构造的方法逐步定义集合，从而在集合间分出层次来。由于多数教科书只谈康托尔的朴素集合（ naive set ），对大多数只了解朴素集合和基本集合论（ Basic Set Theory ）的人，在悖论出现后，可能会不知所措。 朴素集合论是直观的，给予一个属性的描述，就能定义一个集合。集合的悖论否定了这种简单想法。公理化的集合论通过严格的方式给集合的构造一个约束，来避免这些悖论。 ZF 用严谨的形式逻辑语言来书写，又因公理化的定义方式，对此不熟悉的人比较难懂。这里用熟知的集合概念，简略剖析一下 ZFC 【 2 】的公理和目的，给出一个直观的图像，让大家重拾信心知道趋避。 ZF 是由下面几个公理组成的。 外延公理（ Axiom of extensionality ）定义集合相等，是它们有着相同的元素。 正规公理（ Axiom of regularity ）禁止集合具有循环包含和无限包含链的情况。 空集公理（ Axiom of null set ）定义了空集的存在。 并集公理（ Axiom of union ）包含有几个集合中的所有元素，构成一个集合。 幂集公理（ Axiom of power set ）集合的所有的子集，也构成一个集合。 无穷公理（ Axiom of infinity ）提供迭代公式来构造一个无穷集合，它对应于自然数集合。 替代公理（ Axiom schema of replacement ）集合 A 的映射像 F(A) 是个集合【 3 】。这对任何的映射（ functional formula ） F 都有效，所以称为公理的模式。 上面几个公理支撑起 ZF 集合论。有些 ZF 的介绍还包含着分类公理和配对公理，但它们都可以从这里推出。对已有朴素集合论知识的人，上面公理的性质都很容易理解。由这些公理导出合法的 ZF 集合，比朴素集合多的限制只是正规公理和替代公理。正规公理说：非空的集合，必须至少有一个元素它不包含这集合里的其他元素。这样就杜绝了循环包含（如： x ∈ y y ∈ z z ∈ x ）和无限包含（如：… x3 ∈ x2 ∈ x1 ∈ x0 ） non-well-founded 的情况。这意味着集合系统是个 well-founded 的阶层结构。替代公理用来从已有的集合产生新的集合。 替代公理和空集公理可以导出著名的“分类公理（ Axiom schema of separation ）”，它原是在 Z 里设计为限制“无限制的抽象原理”的核心公理。它类似于替代公理，只不过把这个映射变成是对已知集合 A 中元素的约束 φ(x) ，以此来构造（ A 的子）集合 { x ∈ A | φ(x) } 。从而可用类似朴素集合论的方法来定义集合，只要把它局限在已有的集合里，就不必担心会发生悖论。已知的集合包括数学上常见的各种集合。这时无限制的抽象原理在 ZF 下改变为局限抽象原理： ∀ u(u ∈ { x ∈ A | φ(x) } ↔ φ(u)), for all formulae φ(x) on set A. 有朴素集合论的概念的人，运用分类公理足以定义普通数学应用所需要的集合。只有对数学基础的研究，需要特定公理化集合论特征的集合时才用到替代公理及其他。 替代公理和分类公理必须从已知的集合中生成新的集合。那些初始的集合是从哪里来的？它们是类似于 Kripke 方案那样逐层构造的。从空集开始迭代地用并集和幂集公理，建立起越来越大的集合系统。空集是最底层，集合的幂集高一个层次， 只有高层集合对低一层的集合，存有集合与元素的包含关系。 无穷公理说明它们可以高到无穷，并构造了自然数集。并集和替代公理构造的集合填充了每一层，外延公理说明了集合相等的条件。正规公理阻止了低阶集合包含高阶集合的可能，让每个集合呆在这累积层次结构的某一层。这杜绝了罗素集和宇宙集的生成，也就避免了悖论。虽然我们无法确信 ZF 将来不会再有悖论，但这个隐层次结构已经避免了已知的集合悖论。 在 ZF 公理里加一个选择公理（ AC ），便是 ZFC 。这个 AC 如同平面几何里的第五公设一样，有了它，就可以用来非构造性地证明许多数学定理，使得现有的数学丰富精彩。没有它则按构造主义主张，只承认能被构造出来的事实才存在。这很可靠，但没有想象力的世界很单调。 选择公理（ Axiom of choice ）说：在集合的一组互不相交的非空子集里，存在着一个方法能够从每一个子集挑出一个元素来。这个选择公理与Zorn引理，Tukey引理和Zermelo定理互相等价，其中最有应用的是Zermelo定理：任何集合都可以良序化。 隐层次结构的另一种补救方案是 Quine （ 1937 ）的新基础（ New Foundations ）集合论（ NF ），它认为 ZF 排除过多不至于产生悖论的集合。【 4 】 Quine 把无限制的抽象原理改为分层抽象原理（ NF comprehension ）： ∀ u(u ∈ { x | φ(x) } ↔ φ(u)), for all stratified formulae φ(x). 公式 φ(x) 是分层的（ stratified formulae ）指存在着一个从公式 φ 的变量到自然数的映射 σ 符合这样的关系：对于 φ 的子公式 u ∈ v ，则有σ (v) = σ(u)+1 ，对 u = v 则有 σ(v) = σ(u). 显然罗素悖论中公式 x ∉ x 是不满足分层的，这也避免了罗素悖论。 现行的几种集合论补救方案都通过限制某些集合的生成，成功地避免的悖论，付出的代价是集合不再像过去那样无所不包，也不再像过去那样简明直观。朴素的集合论就像物理和化学的原子论一样，单纯质朴。集合的悖论如同打破原子不可分的发现一样，颠覆了这个思想。现在形式公理化的描述，像用复杂的基本粒子理论来构造原来单纯的原子。集合论曾以简单直观被视为数学的基础，现在要了解这个基础超越了大多数人的数学训练。这是科学发展的宿命，研究越深入麻烦也越多。 （待续） 【参考资料】 【1】 科学网博文，理解数学——逻辑（ 2 ） http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-709084.html 【2】 Wikipedia ， Zermelo–Fraenkel set theory http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory 【3】 Wikipedia Axiom schema of replacement http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_replacement#Axiom_schema_of_collection 【4】SEP ， Quine's New Foundations http://plato.stanford.edu/entries/quine-nf/
集合，这里使用本人喜欢的定义：一群元素的集合，这些集合含有一个共同的特征性质。如果将集合与概念相对应，则此处的特征性质对应内涵，而元素的集合对应外延。 所以，概念可以放到集合论的框架下去。 而概念是人类智慧的来源。人类从自然世界获取信息，从信息中抽取出概念。依据概念建立模型，然后根据模型的发展预测自然世界的发展。预言能力是人类最终极的竞争力。所以，本人认为：概念是人类智慧的来源。 所以，研究集合论可能能够给出人类进行思考的框架，或者说是方法论，即：思考的方法。 那么，回顾一下，普通的集合论可进行一些什么操作呢？回想起来，主要有子集、交集、并集、补集、差集以及直积。 这些操作能告诉我们什么呢？如果将其与对概念的操作进行类比我们能发现什么呢？ 首先，本人想补充一下。任何操作都是需要操作者的。对于普通集合论，我们可以给它加上一个信息机（人类、图灵机）作为操作者。假设这一操作者对某一集合执行一个求子集的操作，那么这对应概念操作中的什么呢？ 是分析。 总可以找到这样的特征性质，使得操作可以依据特征性质来进行。首先，存在全集 U ， U 对应一个特征性质 u 。然后，给出一个特征性质 a （在这里元素对于 a 只存在满足和不满足两种情况），则可依据 U 中元素是否满足特征性质 a 而放入哪一个集合。满足 a 的元素放入 A ，不满足 a 的元素放入 B 。这就完成了 U 上对 a 的分析。 显然这一过程可以多次的进行下去，从而完成对 U 的系统分析，即将 U 分解为性质足够清楚的子集的集合。 与分析对应的是综合。综合过程就是对通过分析获得的集合系列进行整理。寻找各个集合之间的共同点与不同点，最终形成一个有机的整体。这个整体就大大不同于原来的全集 U 了， 它包含了 U 的子集之间的各种联系。 交、并、补、差则可对应的放到分析与综合的框架中去，他们只是特征性质定义不同而表现出的不同操作而已。 然而直积并不能放到分析与综合中去。 直积又可称为笛卡尔乘积。将两个集合进行直积，可获得一个更大的集合。这个集合中的元素由原来两集合的特征性质共同决定。两个一维的坐标轴进行直积生成一个平面是其一个典型的例子。 直积能够与概念的哪一种操作方法相对应呢？ 是想象。 想象是人类依据现有的概念创造出新概念的过程。但大多数情况下，人类的想象是模糊而自发性的，是缺乏步骤与目的的。而这掩盖了想象的本质，让大多数人认为想象是人类特有的功能，不能建模，不能对想象进行分析，不能揭示想象的本质，不能让计算机拥有想象的能力。 而直积提供了有序的建立新概念的操作步骤。这是一种有序的想象。精确化、步骤化、明确化的想象。 另一方面，直积事实上是所有操作或者映射的来源。直积提供了进行映射所需的空间。例如我需要将数轴上的一点映射到数轴上的另一点，一种隐含的操作即我们通过直积对这两个数轴构建了对应的平面，此处的映射正是在这平面中实现的。 数学以集合论为基础，而集合论正是人类思维方法精要（概念、分析、综合、想象）的精确化，步骤化的浓缩。难怪数学被称为人类理性智慧之花。 理解了这些，或许能更好的做数学、使用数学。
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