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【12】《极限内外》: zhaoxc 2016-11-8 08:20; --公众号-- 微高数 --- 【摘要】带着极限是数学，拿掉极限是生活；能求得好极限是学好了高数，能拿得掉极限是学活了高数。【极限之江湖地位】极限在高等数学中的江湖地位，就像爱情在影视剧中的位置，绕不过，躲不掉，“此情无计可消除，才下眉头，却上心头。”因此，高数体系中的带头大哥非极限莫属。【极限之浅尝辄止】函数极限是个局部性质，反映函数在某局部区域的稳定趋势，因此脱离了邻域就无从谈起极限，不过邻域的表现形式各不相同，甚至邻域有时候不像我们想的那么小。 x-a 的极限对应 a 点的去心邻域， x-inf 对应邻域是远于找到 X 的无穷区域，数列极限对应邻域是大于找到 N 的所有自然数构成的集合。【极限之差不多先生】若 x 在某变化过程中存在极限 a ，即 limf(x) = a ，可以理解为 f(x) 在 x 的该过程中的轨迹会有确定的有限趋势 a ，拿掉极限近似理解为 f(x) 在该变化过程中差不多等于常数 a ，这么理解的话，好多极限题即使不会严格写，也可以快速准确的猜出结果。极限与差不多先生的支撑其实是极限与无穷小的关系定理。例题： x-inf 时， lim(f(x)-ax-b)=0 ，求 lim(f(x)/x) 。严格写法或许大家都会做，现在我来说说猜的过程：由于 x-inf 时， lim(f(x)-ax-b)=0 ，所以 x-inf 时， f(x) 和 ax+b 差不多，既然 f(x) 和 ax+b 差不多，因此 f(x)~ax+b ，那么 f(x)/x 是什么？如果还想不出来的话，那就要反思你的初中数学是不是 *#@ 教的了？哈哈，玩笑。 f(x)~ax+b ，对这条差不多直线 f(x)=ax+b 上任意一点 (x, f(x)) 来说， f(x)/x 其实表示的就是该直线的斜率，因此 f(x)/x 就差不多等于 a ，所以极限意义下 f(x)/x 就严格等于 a 。因此我在讲授高数过程中，经常把一些问题在拿掉极限号的情况下划归为中学、甚至小学一些很常见的问题和套路，这样就由不得他们不会想了（对认真听课的学生），因此我在课堂上的一个口头禅就是“你们猜猜？”，由此衍生出我高数教学的一个基本出发点：培养学生随时能拿掉极限号思考，猜一猜，蒙一蒙。因为我个人始终相信：带着极限是数学，拿掉极限是生活；能求得好极限是学好了高数，能拿得掉极限是学活了高数。【极限之百花齐放】 “极限”这个词在高数中的意思和在社会大众的普遍认识有很好的重叠性。例如， (1) 高数中： x-a 时 f(x) 的极限是 A ，刻画了函数 f(x) 在 x 无线逼近于 a 时 f(x) 的极限状态； (2) 生活中：你对我的忍耐已经达到了极限，描述了你对我的忍耐已经达到了忍无可忍的地步，亦即你对我的忍耐的极限过程已经结束，类似于高数中已经取到了极限； (3) 极限运动：极限运动是最大限度地发挥自我身心潜能，向自身挑战的娱乐体育运动，当自我身心潜能达到最大限度的发挥时，不就意味着取到极限了吗？因此极限运动成了人们超越自我、挑战自我极限的形式。极限还有很多其他的形式。在石猴到来之前，水帘洞之于花果山的猴子们是可望而不可即的目标，类似于函数有一定的变化趋势、但取不到极限，但石猴到来之后水帘洞就是花果山的猴子可以取到的极限了；被招安，然后兄弟们各有所属、各有所为，是宋江的最终理想，也是宋江理想的极限状态；扫除贼寇，复兴汉室则是诸葛孔明的极限理想；我初步的理想就是先挣他一个亿（希望健林同志哪天把他的这个无穷小打到我账户上，哈哈），最终理想则是有想用就用的钱，有想有就有的闲，有想玩就玩的力，有想走就走的路。极限在这些情形下的意思有点“蝶去莺飞无需问”的明显，但细品其中的韵味恐怕就“把吴钩看了，栏杆拍遍，无人会，登临意”了。【极限之超越极限】数学的极限反映了函数在自变量的某变化过程的最终趋势，而极限行为和人们最大的理想（或梦想）也反映了社会和个人的最终最大的愿望。这么一说破，细心之士或许会发现问题，“最终的愿望？”怎么感觉有点别扭呢？因此极限行为或最大理想只限于在某阶段或某局部，而我们需要不断超越极限、超越梦想，即 Beyond limit ，这才是我们和社会不断前进的源动力。【注：图片来自网络，若有侵权，告知即会删除，谢谢 @版权所有@】; 个人分类: 教育教学|4493 次阅读|0 个评论

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