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可变系时空多线矢主人 2009-6-3 23:53

关于数学的对话（ 12 ）（接（ 11 ））甲：我们可以具体看看：无穷项级数与其极限值的相等，也是必须注意有这个无穷项条件的。乙：是啊！应该举几个实际的例子来说明。甲：这种实例很多，我们就看看利用泰勒公式把一些重要的函数展开成的无穷项级数吧！乙：泰勒公式就是： f(x)=f(a)+(x-a)f(a)/1! +(x-a)^ 2f (a)/2!+ ，吧？甲：是的！当 a=0. ，就得到麦克劳林公式： f(x)=f(0)+ xf(0)/1! +x^ 2f (0)/2!+ ，乙：啊！这就能把 f(x) 展开成的 x 的无穷项幂级数了。甲：例如，对于函数 e^x, 就有： f(x)= f(x)= f(x)= =e^x ， f(0)= f(0)= f(0)= =1 ，乙：啊！这就得到了函数 e^x 的无穷项幂级数： e^x=x^n/n!,n 由 0 到无穷求和。甲：当取 x=1, 这就得到了 e 值的无穷项级数表达式： e=1/n!,n 由 0 到无穷求和。乙：由此，已可看到当取 n=10 时， e 只能准确到 6 位小数： e~2 ． 7182819 （最后一位， 9 ，已不准确），只有 n 趋于无穷，才能得到 e 的精确值。甲：也只有 n 趋于无穷，才能得到函数 e^x 的精确值。否则，就只能是一定精确度的近似。乙：有个欧拉公式，将函数 e^(iA) 表达为实、虚两个 3 角函数表达： e^(iA)= cosA +isinA, e^(-iA)=cosA -isinA, 这个公式的两边就应是严格地相等吧？甲：是的！这个公式两边都是有限的项，无须相等的任何条件，就应是严格地相等的！乙：这个欧拉公式，联系起 e^(iA) 函数和 3 角函数，这两种重要的函数，确实很有用处。它是如何得到证明的呢？甲：这就还是要利用泰勒公式。乙：这个欧拉公式涉及复数，还能利用泰勒公式吗？甲：当然，利用泰勒公式已证明了多种涉及复数的函数。例如：由 e^x=x^n/n!,n 由 0 到无穷求和，当取 x=iA ，即得： e^(iA)=(iA)^n/n!,n 由 0 到无穷求和。又有3角函数与双曲线函数： siniA = iA -(iA)^3/3!+(iA)^5/5!- +(-1)^(k-1)(iA)^(2k-1)/(2k-1)!+ 。 cosiA =1-(iA)^2/2!+(iA)^4/4!- +(-1)^k(iA)^(2k)/(2k)!+ 。 sinh(iA)=(iA)+(iA)^3/3!+ (iA)^5/5!+ +(iA)^(2k-1)/(2k-1)!+ 。 cosh(iA)=1+(iA)^2/2!+ (iA)^4/4!+ (iA)^(2k)/(2k)!+ 。乙：啊！因有； sinh(iA)=isin A; cosh(iA)=cos A, 而有： e^(iA)=cosh(iA)+sinh(iA)=cosA +isinA, e^(-iA)=cosh(iA)-sinh(iA)=cosA -isinA, 这就证明得到了欧拉公式。甲：还应看到： e^(iA) ， cosh(iA) ， sinh(iA) ， cos(iA) ， sin(iA) ，各函数都是表达为无穷项幂级数的形式，因而都必需趋于无穷的项，才能趋于各相应的函数，否则，就只能是有一定精确度的近似。但是，由它们证明得到了欧拉公式，就因消去了必需趋于无穷项的条件，而成为严格地相等的！乙：这就更加表明：区分等号 = 两边趋于与等于的差别，弄清其差别及转变的条件，的重要性。甲：当 A= 派（ 180 度），由欧拉公式还可得到重要的关系式： e^(i 派 )=cos 派 +isin 派 =-1+0 ， e^(i 派 )+1=0 ， e^(-i 派 )=cos 派 -isin 派 =-1-0 ， e^(-i 派 )+1=0 ，以及： e^(i 派 )+e^(-i 派 )=-2 ， e^(i 派 )-e^(-i 派 )=0 ，（未完待续）

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关于“数学”的对话（11）

可变系时空多线矢主人 2009-6-1 16:56

关于数学的对话（ 11 ）（接（ 10 ））乙：有位游客看到必须弄清：循环小数只是趋近于而非通常严格意义的等于等于相应的分数，责问：这话对吗？甲：已经具体说明，还须特别注意：无限循环小数与有限位小数的原则差别：有限位小数是与其相应的分数相等的。而循环小数和无限不循环的小数，虽然仍用 = 号表达与其相应的分数，但由于：它们都必须有无限的小数位，而只能是趋近于，而不是等于其相应的分数，或开方数，或圆面积等等。他认为这些论点 , 怎么不对 ?! 要怎样才对 ?! 乙：他给出了无限循环小数 0.999999 和 1 ，在严格意义上相等，的初等证明，即：设 x=0.999999 , 则 10x=9.99999=9+0.999999=9+x, 即 9x=9, 所以 x=1. 并说：如果小数点后只写有限个 9 ，那才叫逼近。批评作者对极限概念的理解太肤浅，希望不要传播错误的知识。甲：他这个所谓证明 , 也只在小数点后有无限多个 9, 才是成立的 , 否则 , 若非无限多个 9 ，例如 : 设只是 x=0.999999, 则 10x=9.99999 就 =9+0.999999 （小数点后就少了 1 个 9 ）就不 =9+x, 所以 x 就不 =1! 既然必须有无限多个 9, 就表明 :0.999999 只是趋近于 !, 而不同于绝对意义的等于 ! 这就，显然，与 0.5=1/2 ， 0.25=1/4, 等等有限位的小数是不同的，必须把它们严格区分 ! 否则，就会分不清如上的差别，而会像二傻那样遇到鬼的 ! 乙：而且 , 他所谓 : 如果小数点后只写有限个 9 ，那才叫逼近，也是弄错了概念。那只是近似，并未逼近 ! 甲：是的！只有小数点后有无限个 9 ，才趋近于 , 也叫逼近于 1! 这里所讲到的，正是要纠正他这种错误的观点啊 ! 乙：确实，小数点后有无限位的如上两种情况，虽然也都用 = 号表达，但由于：它们都需有无限的小数位，而只能是趋近于，而不是等于其相应的分数。但是，那位游客却仍然认为：这个观点是错误的！并说：关键在于对有限与无限过程的差别没有区分开来，是拿有限的观点考虑无限过程。甲：实际上，从他那个 x=1 的所谓证明，而要否定趋于与等于的差别，才说明 : 他自己对有限与无限过程的差别没有区分开来啊 ! 乙：看来，他确实没有弄清无限循环小数只能是趋近于相应的分数 ! 需要弄清楚：无限循环与趋近于的必然关系 ! 无限循环小数只能是趋近于相应的分数 ! 甲：其实，求无穷项级数的极限，虽也是用 = 号，表达与其极限值的关系，但是，其求和项 n 也是必需趋于无穷，因而，实际上，也只是趋于其极限值。也是有条件的相等。乙：看来，对于无穷项级数的极限，也确实必须弄清楚这个条件。（未完待续）

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关于“数学”的对话（10）

可变系时空多线矢主人 2009-5-29 21:10

, 关于数学的对话（ 10 ）（接（ 9 ））甲：其实，所谓小数，就是不带分母的十进分数，乙：确实，小数的每位数字都是它的前一位单位的十进分数。甲：所有的分数都可以表达为有限位小数与无限循环小数两类。乙：而且，有限位小数是严格意义的等于相应的分数；无限循环小数只能是趋近于相应的分数。甲：还要注意，：前面所说的无理数，还可以表达为无限位的，不循环的小数。但是，这种小数是不能用通常的分数表达的。乙：这就是称它们为无理数的原因吧？！甲：也就是它们不能用有理数及其简单分数表达。但还可用相应的连分数表达。乙：看来，这个小数与分数的关系，还真有不少名堂值得注意哩！（未完待续）

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关于“数学”的对话（9）

可变系时空多线矢主人 2009-5-27 17:11

关于数学的对话（ 9 ）（接（ 8 ））甲：还须特别注意：无限循环小数与有限位小数的原则差别：有限位小数是与其相应的分数相等的。但是，循环小数和无限不循环的小数，就虽然仍用 = 号表达，但由于：它们都需有无限的小数位，而只能是趋近于，而不是等于其相应的分数，或开方数，或圆面积等等。乙：这个问题很重要吗？甲：是的！你看，曾经有小傻问： 0.9999999 ( 无限循环数 ) 是不是等于 1 ? 乙：啊！对这问题，确实就曾使得二傻感到：严格说应该不等于 1, 但在极限情况下和 1 没有区别。但是，在说这话的时候心里又特没底 , 总觉得像是在骗小孩子 ! 因为，可以十分容易地证明 : 1/3 = 0.333 ，又有 : 0.333 * 3 = 0.999 ， . 所以 : 0.999 = 0.333 * 3 = 1/3 * 3 = 1. 显然，在严格意义上，它就等于 1. 真是见了鬼了 ! 甲：这在于：只有无穷循环的小数 0.333 （后面的 3 有无穷多个），才趋于 1/3 ！它，实际上，并不是通常意义的 =1/3 ！区分清楚：趋于与等于，就应是捉住在此所感到的那个鬼的关键所在！乙：二傻又举出，有人给出： 1/3 不等于 1/6* 2 的证明如下 : 1/3=0.333 ( 最后一个数字是 3) 1/6*2=0.161616 ( 最后一个数字是 6)*2=0.333 2 ( 最后一个数字是 2) 两者并不相等！甲：这里所证明的，实际上，只是：有限位小数 0.16 6 （后面没有了） *2 不等于有限位小数 0.3 3 （后面没有了），并不是证明了 1/6*2, 不等于 1/3 ！因为： 1/6 应只是 0.16 16 （后面还有无穷位 16 ），趋近于而非等于， 1/3 应只是 0.3 3 （后面还有无穷位 3 ），所以： 0.16 16 （还有无穷位 16 ） *2 只是趋近于而非等于 0.3 3 （后面还有无穷位 3 ）！于是 : 0.16 16 （后面没有了） *2 当然就不等于 0.3 3 （后面没有了）！但是， 1/6*2 却是等于 1/3 的！这也正表明：不能把趋近于混同为：通常严格意义的等于！不能把分数混同为：通常严格意义的等于循环小数！在此分数和循环小数的定义都是确切无疑的，严格的，只是必须弄清：循环小数只是趋近于而非通常严格意义的等于相应的分数！乙：二傻还提出：等号是一种定义或赋值 ! 在数学中 , 我们习惯地以为等号意味着两边的东东是一模一样的 ! 如 A=B ，就意味着 A 和 B 是一模一样的 ... 可以随便代换的 . ！学过计算机程序的人都知道赋值的这个意思！甲：但是 , 对于这里所说的那个鬼，循环小数与相应分数间的等号 = ，就必须注意到 : 那个循环是必需无限地进行下去的！这就是它有趋近于的意义！否则，就不能相等 ! 因而，这个等号 = ，就确实应与不循环的小数与相应分数间的等号 = 有区别！这两者虽然用同一个符号 = 来表示，就还必须弄清它们的区别！也只有区分这两种等号 = ，才不致被所感到的鬼纠缠不清 ! 还应了解：若要将 1/3 定义或赋值为： =0.333 ，就必须无穷多个 3 ，否则，就只能是近似于，而不是趋近于，更不是等于！学过计算机程序的人，更会知道这几种定义或赋值的差别！乙：这确实能够说明：区分清楚无限循环小数与其它小数的原则差别的重要了！（未完待续）

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一个物理学中的“等于还是趋于？”的难题

热度 1 chenfap 2009-5-17 12:25

一个物理学中的等于还是趋于？的难题博友鲍得海博士同吴中祥研究员关于无穷循环小数 0.33333 是等于还是趋于 1/3 的讨论，给了我很多启发，使我想到在物理学中的规律或概念也有类似的问题。由于不仅是数值上的问题，而且涉及到出发点不同的规律或概念，所引起的问题和疑惑更多。下面我就提出一个使我感到疑惑难解的问题向诸位博友请教。人们都说，牛顿力学理论和牛顿引力理论是狭义相对论及广义相对论在一定条件下的近似；这里就存在规律之间或概念之间的等于还是趋于？的问题。说牛顿力学理论是狭义相对论在一定条件下的近似，是由于狭义相对论中的也就是广义相对论中的引力场方程变成了牛顿引力理论中的引力场方程，广义相对论中的一个不受其它外力作用的质点在引力场中的运动方程变成了牛顿力学理论中质点在引力场中的运动方程；这是等于还是趋于 ? 或是 ? 大家知道，广义相对论继承了狭义相对论的基本精神，时间与空间也是紧密结合在一起形成时空的，信号（包括光）传播速度也是有限的；当广义相对论中的引力场方程变成了牛顿引力理论中的引力场方程以及广义相对论中的一个不受其它外力作用的质点在引力场中的运动方程变成了牛顿力学理论中质点在引力场中的运动方程之时，也要出现与前述当狭义相对论中的质点动力学方程变成牛顿质点动力学方程之时，所要出现的相同的问题和疑惑，这里就不重复了。下面我们着重谈谈广义相对论的黎曼时空是如何变成牛顿力学理论中的伽利略时空的问题。黎曼时空是弯曲的，伽利略时空是平直的（狭义相对论的即洛伦兹时空也是平直的）。弯曲的时空能变成平直的时空吗？或者反过来问，平直的时空能变成弯曲的时空吗？从式 (3) 来看 , 若物质场的能量密度可以从有变成无、或从无变成有，这种时空的转变似乎是有可能的。上述时空转变在实质上是时空度规张量的转变。可是，我所了解的微分几何，流形上的度规都是给定的；我不知道，在微分几何中，有没有度规可变的理论？我多么希望能有这种理论。我在前些时的博文中，讨论 Lorentz 与 Levi-Civita 守恒定律时，多次指出过，这个定律允许物质能量创生。据此我提出了一个关于宇宙可起源的一种可能性的猜想：或许宇宙有可能起源于物质场的能量密度为零的洛伦兹时空，通过物质能量的不断创生而出现物质场的现有分布，并使时空弯曲。如果存在度规可变的微分几何理论，我的这个猜想就有理论依靠。我的这些想法是否有些道理，欢迎博友们评论指正。参考文献 Weinberg S. 1972, Gravitation and Cosmology, Wiley, New York.

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