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数学为什么这么抽象？: 热度 1 mayaoji 2018-3-2 12:17; 从算术说起在幼儿园是这样学数学的。桌上有一个苹果，再放一个苹果，是两个苹果，所以 1+1=2 。有 5 个苹果，拿走 3 个，还剩 5-3=2 个。苹果分成 3 排，每排 5 个，共有 3x5=15 个。总之，加减乘除都是很容易的，理解起来毫不费力，但为什么越学下去会发现数学越抽象呢？算术虽然简单，可是用途非常广泛。不但能用于算苹果算绵羊，还能算一些看起来完全不同的东西。比如甲在奔跑，速度是 10 ，而甲前面有一辆车，车相对于甲的速度也是 10 ，则可算出车的速度是 10+10=20 。速度和苹果非常不同的东西，但也同样能用加法解决。又如，有个足球重量为 10 ，我们一脚踢过去，足球飞出去那瞬间的加速度是 5 ，我们可以算出那瞬间足球受到的力是 10x5=50 。为什么截然不同的现象都要用到算术？因为数学本质上是抽象的。是的，即使幼儿园的数学简单，它本质上也是抽象的。这句话如何理解？有这样的脑袋急转弯题目。什么时候 1 加 1 不等于 2 ？其中一种回答是一滴水加一滴水还是一滴水。又有这样的题目，树上有 10 只鸟，一枪打下一个，还剩几个？答案是没有了，因为全吓跑了。上面这些题目能说明算术错了吗？ 1 加 1 不等于 2 ？ 10 减 1 不等于 9 ？不能。它只能说明，加法不能用于水滴相加这种情况（或者 1 不能解释为 1 滴水），减法不能用于打鸟这种情况。算术本质上是一些数进行运算，我们规定了它的运算规律。它是抽象的，不管现实世界如何，它都是那样子，永远都是 1+1=2 ， 1+2=3 。我们可以对数和运算给予解释，将它和现实世界联系起来。在有的解释下，算术成了很有用的工具，比如数苹果。这些数对应着苹果的数量，加法就是将苹果放在一起，苹果的数量规律和算术规律完全相同（注释 1 ）。又如算术可用于计算速度计算受力，因为这些日常现象的规律和算术规律相同。但在有的解释下，这工具不能用，比如水滴，比如打鸟。正因为数学是抽象的，它可以有不同的解释，所以才会有广泛的应用。它是抽象的，所以不用做实验检验一个数学定理是否正确，所以它不会错，除非出现自相矛盾。它是抽象的，所以可能有些数学会完全没有用，因为找不到适合它的解释。人们花了很长的时间才认识到了数学的抽象性。 3 减 5 等于几？我们现在都知道等于— 2 。但负数究竟存不存在，人们争论了很久，因为那时人们还不理解数学的本质。— 2 个苹果存在吗，这是什么意思？后来发现— 2 可以理解为欠了两个苹果。能将负数开方吗？是 5 ，但存在吗？它是多少？后来将这类数称为虚数，规定了它们的运算规律，将它们纳入数学中。再后来，发现可以在坐标系中表示虚数，还发现它们在物理上有很多应用。数学本质上是抽象的，就算负数和虚数没有找到解释，在现实中没有任何应用，只要它们不出现矛盾，就可以将它们加到数学中去。我们之所以觉得小学数学简单，是因为这些数学运算是从熟悉的日常经验中总结出来的，尽管它们本质上不依赖于这些经验存在，可以有其他的解释。深入学下去，会觉得数学越来越抽象，那是因为我们学一些更深层更普遍的结构，它们不是直接来源于生活经验。数学是抽象的，它的元素和运算都可以人为规定。因此我们可以构造不同的算术，比如布尔代数。下面通过布尔代数来体会一下数学的抽象性。布尔代数：最简单的抽象数学二元布尔代数是具有广泛应用的抽象数学里最简单的，起码我知道的是这样。数学都是抽象的，这里特别指出抽象数学，是指这类数学先有抽象的运算，并不知道这运算在现实世界中意味着什么，后来才找到应用，或者是根本没有应用。（注释 2 ）小学算术从日常经验中总结出来，按这里的理解不是抽象数学。实际上，相对来说布尔代数不算抽象，因为很容易将布尔代数和日常生活结合起来。很多数学远离日常生活经验，比它抽象得多复杂得多。这里只谈二元布尔代数，所以这篇文章说的布尔代数都是指二元布尔代数。布尔代数的定义：它只包含 0 和 1 两个元素，有三种运算，乘法运算、加法运算和负运算。 1 、乘法运算： 0x0=0 ； 0x1=1 ； 1x0=0 ； 1x1=1 2 、加法运算： 0+0=0 ； 0+1=1 ； 1+0=1 ； 1+1=1 3 、负运算： 0’=1 ， 1’=0 在布尔代数里 1+1=1 ，和通常的算术不同。 1+1=2 在这里肯定是不成立的，因为这里根本没有 2 这个元素。那有没有矛盾呢？ 1 加 1 究竟等于 1 还是等于 2 ？没有矛盾，这里是另一个体系。 0 、 1 、 + 、 x 这些符号只是碰巧和以前的算术相同，我们完全可以用别的符号代替。比如用 m 代替 0 ，用 n 代替 1 。就如同苹果这个词，既可以指某种水果，也可以是手机品牌，它们只是碰巧名字相同。我们规定运算的优先顺序是负运算、乘法运算、加法运算。所以， a+(bxc) 和 a+bxc 是同一个式子，而 (a+b)xc 和 a+bxc 不是同一个式子。理论上还可以定义其他的运算，但上面这三种运算已经够了，其他的运算都可以用它们构造出来。举个例子，我们定义一种 Å 运算： 1 Å 1=0 ， 1 Å 0=1 ， 0 Å 1=1 ， 1 Å 1=0 。可以证明： a Å b = axb’ + a’ xb Å 运算又称异或运算。在这种简单的代数里，我们也有各种各样的定理。比如，任何运算都可以用加法乘法负运算构造出来，而且有一种固定的方法来找到这种构造。布尔代数还有其他更常见的定义，见注释 3 。布尔代数的应用这种古怪的布尔代数有什么用呢？用处很多，对元素和运算的解释不同，有不同的应用。在逻辑学的应用把 1 理解为真， 0 理解为假， + 理解为或者， x 理解为并且， ’ 理解为并非。例子 1 ：太阳是三角形的。因为这句话是假的，所以它的真值是 0 。并非太阳是三角形的，这句话的真值是 0’ ，即 1 ，也就是真的。也就是说，一个命题的真值是 a ，则它的否定是 a’ 。例子 2 ：张三是男的，并且李四是女的。这句话包含两部分，两部分都是真的它才真，有一部分是假的，它就是假的。比如李四如果不是女的，这句话就假了。这句话的真值可用 axb 表示，因为 a 和 b 都是 1 ， axb 才是 1 ，如果有一个 0 则 axb 的值就是 0 。在电路设计的应用布尔代数在电路中有极重要的应用，我们天天用的手机和电脑的电路设计都离不开布尔代数。下面举例说明如何用布尔代数来帮助设计实现加法的电路。在数字电路里，有两种电压，分别是低电压和高电压，又叫低电平和高电平，对应着 0 伏和 5 伏（有时候是其他的数值）。我们把布尔代数里的 0 理解成低电平， 1 理解成高电平。注意，这里 0 和 1 对应的是不同的电压状态，它和具体的电压数值没有关系，如刚才说的高电平是 5 伏，但这里用 1 而不是 5 表示。数字电路里有门电路，将电压在不同的状态间进行转换。三种布尔运算对应的是下面三种电路。负运算对应的是非门。非门总是把电平从一种状态转换成另一种状态，输入低电平输出高电平，输入高电平则输出低电平。加法运算对应的是或门， A 和 B 有一个高电平，则 Y 高电平，两个都低电平则 Y 低电平。乘法运算对应的是与门。在与门里，输入 A 和 B 里有一个是低电平，则 Y 输出的是低电平， A 和 B 都是高电平，则 Y 是高电平。现在想用这些门电路实现一位数的加法运算，该怎么办？因为只有低电平和高电平两种状态，所以只能有 0 和 1 两个数字，所以只能采用二进制。即 0 + 0=0 ， 0 + 1=1 ， 1 + 0=1 ， 1 + 1=10 。注意这里的 + 是通常的算术加号，而不是布尔代数的加法运算符号，所以这里用斜体表示。因为是二进制，这里的 10 相当于通常的 2 。即要设计一种电路，有输入 A 和 B ，输出 C 和 S 。 A 是输入的第一个加数， B 是输入的第二个加数， S 对应是结果的个位数， C 对应的是结果的第二个数。它们的关系如下表。表格里 A 、 B 、 C 这三个数的关系对应着与运算： AxB=C ，所以用与门实现。 A 、 B 、 S 这三个数的关系对应着另一种运算，刚好是上面说的 Å 运算，即 C=A Å B = AxB’ + A’ xB ，也可用相应的门实现。这样实现的电路称为半加器，具体电路图如下：注释： 1 、可以想象出不符合算术规律的苹果，比如两个苹果放在一起突然消失了，但这时候算术仍然是正确的，只是在这里它不能用了。 2 、按这里的理解，严格来说布尔代数也不是抽象数学，因为布尔发明这种代数的时候希望用它来表示逻辑推理。 3 、二元布尔代数的另一种定义这是数学上更常用的定义方法。下面的 a 、 b 都是变量，即代入 0 或 1 式子都成立。 a 和 b 的运算符合下面的规则。 (1) 交换律 a+b=b+a ； axb=bxa (2) 分配律 ax (b+c)=axb+axc ； a+(bxc)=(a+b) x (a+c) (3) 零元运算 a+0=a (4) 单位元运算 ax1=a (5) 负运算 a+a’=1 ； axa’=0 可以证明，两种不同的定义实际上是等价的，即元素间的运算，在两种定义下的结果相同。比如在这种定义里有 0+1=1 。证明如下：由交换律有 a+0=0+a ，由零元运算有 a+0=a ，所以有 0+a=a ，用 1 代入 a 得， 0+1=1 。又比如可以证明 0’=1 。从负运算得 0+0’=1 ，从零元运算得 0+0=0 ，又因为刚才证明了 0+1=1 ，所以 0’=1 。; 个人分类: 哲学|9221 次阅读|2 个评论

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