博文“ 谈蝉说生死 ”提及周作人《看云集》。“看云”二字来自唐·王维（ 701~761 ）诗句“行到水穷处，坐看云起时”。读诗之后又回味了30多年前学习“无穷”时的惊奇，因而略述几句，以为纪念。 1 自然数 1、2、3、4、5、6……一一数下去，没有穷尽。2、4、6、8、10……是偶数，其余是奇数，当然都是无穷的。又，0是印度人发明的，并不能算作自然数。 自然数乘以 2 就是偶数，因而 每一个自然数都能找到一个偶数与之对应，即自然数不会比偶数“更多” ；当然偶数也不会比自然“更多”。就“无穷多”而言，偶数与自然数级别相等，称为“可列集”。集或集合就是具有某一性质东西( 雅称元素 )的全体。 有限个乃至 可列个 可列集的总合，其元素也是可列 。可列集 A 1 、 A 2 、 A 3 、 A 4 …… A 1 ={ a 11 ， a 12 ， a 13 ， a 14 ， a 15 ，…… } A 2 ={ a 21 ， a 22 ， a 23 ， a 24 ， a 25 ，…… } A 3 ={ a 31 ， a 32 ， a 33 ， a 34 ， a 35 ，…… } A 4 ={ a 41 ， a 42 ， a 43 ， a 44 ， a 45 ，…… } ……………………………… 所有元素可按下标之和逐步列出 A ={ a 11 ， a 12 ， a 21 ， a 13 ， a 22 ， a 31 ， a 14 ， a 23 ， a 32 ， a 41 ， a 15 ， a 24 ， a 33 ，…… } ； 集合 A n 的第 m 元素 a nm 列于第 ( n + m -1)( n + m -2)/2+ m 位 . 有理数是自然之比值 。若记 a nm = n / m ，则每一个正有理数对应于 无限个 a nm ，而后者可列， 有理数的全体当然也是可列的。 需要知道， 有理数之平均值还是有理数，因而任意两个有理数之间有无穷个有理数；而全部有理数竟可以按顺序一一排列出来 ，竟与自然数同等“( 无穷 )多”。这是何等地令人惊奇啊。 2 古希腊的毕达哥拉斯(约前 580－前500 ）发现直角三角形两直角边平方之和等于斜边之平方，即勾股定理。直角边为 3 和 1 时，斜边平方为 10 。以反证法说明该斜边不是有理数。 若斜边是有理数，则有 ( n / m )^2=10 ，当然， 自然数 n 和 m 不能都是 10 的倍数，不然就先进行约简 。于是， n ^2=10 m ^2 ； n 得是10 的倍数， n =10 k ；也就有 10 k ^2= m ^2 。这必然要求 m 也是 10 的倍数， 与前述条件不符 。顺便说一句，毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现， 任何有理数的平方都不可能等于2 ；该认识不能得到老师的认可，又因将此传到学派之外而被判罪溺死。其时中国的孔子大约已经五十而知天命啦。 有理数并不是数的全部。我们要问， 所有的数能与自然数对应而可列吗？不能！ 仍反证法说明。 0~1 之间的数可以小数表示，假设其可列 B 1 =0. b 11 b 12 b 13 b 14 b 15 …… B 2 =0. b 21 b 22 b 23 b 24 b 25 …… B 3 =0. b 31 b 32 b 33 b 34 b 35 …… B 4 =0. b 41 b 42 b 43 b 44 b 45 …… …………………………… 若 b nn ≠ 5 令 b n =5 ，若 b nn =5 令 b n =4 ； 则小数 B =0. b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 ……不在上述排列之中 ，因而原假设不能成立。 0~1之间的 数为不可列，其比有理数要“无穷得多”。 3 为叙说便利，将 a ≤ x ≤ b 的数 x 全体记为闭集 ；而不包含端点则记为开集( a , b )。 基于一一对应的观点， 由 y =3 x 知道 与 的数或点具有相同数量；由 y =tan(180 x - 90)ordm; 知道 与所有数或整个数轴上点具有相同数量。局部并不少于全体！ 若建立直角坐标系，边长 1 的正方形内点可用一对小数表示。 X =0. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 … … Y =0. y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 …… 其与小数 C =0. x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 x 5 y 5 ……对应，即平面内每一个点 ( X , Y ) 都有不重复的 数 C 与 其对应；因而正方形内点不会多于线段 内的点，至于少当然也是不会的！很容易说明，线段 内的点与整个平面、整个空间的点具有相同的“无穷多” 。 4 在介绍“最惊奇”的无穷之前 ，先简单说一下数的进制 。时间之外，我们用十进制，逢十进位：3 4表示 3个十 、 4个1；而0.54则表示5个“十分之一”、4个“十分‘十分之一’”。计算机以线路之通、断表示0、1，采用二进制。十进制的9写成二进制就是1001；小数也可换成二进制，十进制0.25和0.75写成二进制就是0.01和0.11。三进制则用0、1、2来表示数，并不用符号3。 将数集 挖掉中间三分之一， 用三进制表示时 所余两段是 及 。方括号表明包含端点，而 新增端点标为红色 。再挖掉这两段中间三分之一，则所余为 和 及 和 ；第三次挖后是 、 和 、 以及 、 和 、 ；依次挖除不止。 显然，端点不会因挖除消失。最终整个 被挖掉， 留下称为 康托尔尘集（1883）的无穷多个点 。 对上述红色数字作“ 1改为0，2改为1 ”的变换，得0.0，0.1； 0.00，0.01，0.10，0.11 ； 0.000，0.001，0.010，0.011，0.100，0.101，0.110，0.111 ；……。每组数字分别是1位、2位、3位……的二进制小数全体。这就是说， 中每一个二进制数都在 康托尔尘集中找到 （ 无穷多个 ） 对应点 ， 因而 点数不多于 康托尔尘集，当然后者也不会更多 。 总长为零的 康托尔尘集与 数集、整个平面、整个空间的点具有相同的“无穷多”；而尽管 任意两个有理数之间有无穷个有理数， 全部有理数却只是与自然数同等“( 无穷 )多”。说到无穷，真是不能想当然啊。 附录： 20年前用扑克牌算24。偶尔遇见些有趣的算例：如 (13*7 + 5) / 4 和 (13*11 + 1) / 6 等。 也曾主动作些研究，如 7 * (3 + 3 / 7 ) 和 8 / (3 – 8 / 3 ) 可是在梦里想出来的啊。引入分数而在有理数范围内计算，思路开阔 也就 “生存空间”增加！自那以后就将“这算不出来”改口为“我算不出来”。文史研究“ 说有易，说无难 ”，真是这样呢。 意大利人 L. Fibonacci (1170 – 1250) 以兔子繁殖为例引入数列： 兔子月初出生，两个月整后即可每月生育一对 ， 其前十个及第 20 和 30 个的月底数是： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …, 6765, …, 832040, … 该数列可定义为： F (0)=0 ， F (1)=1, F ( n +2)= F ( n +1)+ F ( n ) 方程 q 2 = q +1 的根 q 1 =(1+sqrt(5))/2 和 q 2 =(1–sqrt(5))/2 ： 数列可表示为 F ( n ) =( q 1 n – q 2 n )/sqrt(5) ， abs( q 2 )1 可不予考虑， F ( n ) 近似于公比 q 1 =1.6180 … 的等比级数，倍增时间 1.44 月。 为表示整数列竟引入无理数 sqrt(5) ，得在实数范围内计算才行。 假设老鼠 生育三胎后月底前死亡。 前十个月及第 20 和 30 个的月底数是： 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, …, 1278, …, 58425, … ， 满足 S ( n +3) = S ( n +2) + S ( n ) ， 老鼠有初生及 1~3 月四龄，在 n +2 月底的数量分别为 s0 ， s1 ， s2 ， s3 。 因 s3 在 n +3 月生育后死亡，对总量增加没有贡献；而 s0 尚不能生育。 S ( n +3) 比 S ( n +2) 的增加量是 s1+s2 。 s1 就是 n +1 月的初生鼠；而 s2 是 n +1 月的 1 龄鼠、 n 月的初生鼠。 n +1 月初生鼠数量 s1 就是 n 月 1~3 龄鼠数量，与 n 月的初生鼠数量即 s2 之和等于 n 月总量 S ( n ) 。 特征方程 q 3 = q 2 +1 ；记 q = r +1/3 即 r 3 – r /3– 29/27=0 ； 拆分 r = x + y ， x 3 , y 3 = /2 实数三次方根为 X =1.02370 … , Y =0.10854 …。记 ω=(–1+i*sqrt(3))/2 ， q 1 = X + Y + 1/3 =1.46557 …， q 2 = X ω+ Y ω 2 + 1/3 ， q 3 = X ω 2 + Y ω + 1/3 S ( n ) = aq 1 n + bq 2 n + cq 3 n 满足递推关系， 由 S (0)=1, S (1)=1, S (2)=1 确定 a =0.61149… q 2 和 q 3 为共轭复根，由维达定理知模长为 sqrt(1/ q 1 )=0.82603 … 1; S ( n ) 近似为公比 q 1 = 1.46557 … 的等比级数，倍增时间 1.81 月。 计算表明， S ( n ) 就是 aq 1 n 的整数取值。 （本段内容摘自笔者未完成的文章，相关分析计算为自己所做） 为确定整数列的通项公式竟引入虚数 i ，需在复数范围内计算才行。 解决问题可能需要在高于问题的层次上进行； 陷入困境也得登高望远才能寻找出路。
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