从三维雪花分形的层次性来看现代泛系分形是最广义的拓扑分形 冯向军 2018/10/8 【鸣谢】-笔者特向中国科学网上的王安良老师致以真诚的谢意。感谢王老师关注现代泛系，特别是提出现代泛系分形能否表达三维拓扑分形这个极有启发性的科学问题。 （一）什么是拓扑结构【1】? 所谓“拓扑”就是把实体抽象成与其大小、形状无关的“点”，而把连接实体的线路抽象成“线”，进而以图的形式来表示这些点与线之间关系的方法，其目的在于研究这些点、线之间的相连关系。表示点和线之间关系的图被称为拓扑结构图。拓扑结构与几何结构属于两个不同的数学概念。 （二）三维雪花分形 （三）三维雪花分形的层次性 3.1 点层次的三维雪花分形 对应z坐标值z(n)的第n代点层次的雪花分形可表达为如下归一化广义向量： 第n代雪花分形=（ 1/( 4 n +1)) A 1 + ( 1/(4 n +1)) A 2 + ( 1/(4 n +1)) A 3 +...+ ( 1/(4 n +1)) A 4 n +1 （1） 这其中，A i (i=1,2,3...,4 n +1)是映射第n代雪花分形第i个点的单位 广 义向量，而 1/(4 n +1)则是第i个点的相对于 第n代 雪花分形总点数的权重或概率。第n代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布 : （1/( 4 n +1)， 1/(4 n +1)， 1/(4 n +1)，... 1/(4 n + 1))， 因此也就是一种自在和实在。 在现代泛系分形看来 ， 点层次的 分形由具有不同指向的，因而互不隶属、没有交集、相互平等的不全同点的集合构成。这种构成与点具体映射什么、点与点之间的几何关系、形状和测度毫无关系。但是 现代泛系分形却给出了 点层次的分形的通用表达式（1），因此是典型的最广义的拓扑分形。 3.2 相似线段层次的三维雪花分形 对应z坐标值z(n)的 第n代相似线段层次的雪花分形可表达为如下归一化广义向量： 第n代雪花分形= 1/ 4 n A 1 + 1/4 n A2 + 1/4 n A 3 +...+ 1/4 n A 4 n （2） 这其中，A i (i=1,2,3...,4 n )是映射第n代雪花分形第i个相似线段的单位 广 义向量，而 1/4 n 则是第i个相似线段的长度的相对于 第n代 雪花分形总长度的权重或概率。第n代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布 : （1/ 4 n ， 1/4 n ， 1/4 n ，... 1/4 n ），因此也就是一种自在和实在。 在现代泛系分形看来 ， 相似线段 层次的分形由具有不同指向的，因而互不隶属、没有交集、相互平等的不全同、等长度线段 的集合 构成。这种构成与 相似线段 具体映射什么、 相似线段 之间的几何关系、形状和具体测度毫无关系。但是现代泛系分形却给出了 相似线段层次 的分形的通用表达式（2），因此是典型的广义的拓扑分形。 3.3 建立在线段上的相似形层次上的三维雪花分形 对应z坐标值z(n)的 第n代建立在线段上的相似形层次的雪花分形，均可表达为如下归一化广义向量： 第n代 建立在线段 上的相似形 层次的雪花分形 = 1/4 A 1 + 1/4 A 2 + 1/4 A 3 + 1/4 A 4 （3） 这其中，A i (i=1,2,3，4)是映射第n代雪花分形的第i个建立在线段上的相似形的单位广义向量，而1/4则是第i个建立在线段上的相似形相对于第n代雪花分形总的建立在线段上的相似形数的权重或概率。第n代建立在线段上的相似形层次的雪花分形具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/4 ，1/4，1/4,1/4）， 因此也就是一种自在和实在。 在现代泛系分形看来 ， 建立在线段上的相似形层次 的分形由具有不同指向的，因而互不隶属、没有交集、相互平等的不全同 建立在线段上的相似形的集合 构成。这种构成与 建立在线段上的相似形 具体映射什么、 建立在线段上的相似形 之间的几何关系、形状和具体测度毫无关系。但是现代泛系分形却给出了 建立在线段上的相似形层次 的分形的通用表达式（3），因此是典型的广义的拓扑分形。 参考文献 【1】 https://blog.csdn.net/starshinning975/article/details/53511343 【附录】 以雪花分形和电脑创生的美女来看现代泛系分形的层次性 冯向军 2018/10/5 (一）现代泛系分形的定义及其自在性和实在性 现代泛系业已证明：任何 具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布的事物都是某种在无任何非自然约束条件下的自然存在或自在，也是某类事物在任何约束条件下的实在。因此，就有 现代泛系对分形的定义。 【分形的定义】：分形就是某种具有均匀分布的n元现代泛系叠加态（n维归一化广义向量）： p 1 A 1 +p 2 A 2 +...+p n A n 。这其中，n为大于1的自然数。p 1 =p 2 =...=p n =1/n。A i 则是映射第i个最基本元素或基元的单位广义向量。所谓广义向量就是既有大小又有指向的量。所谓单位广义向量就是大小为1的广义向量。p i A i 又称为分形广义向量的第i个分量。i=1，2，...,n。因此分形是某种自在和实在。 （二）现代泛系分形的层次性 当现代泛系分形 最基本元素或基元处于不同层次时， 现代泛系分形也就有了不同的层次。 （三）作为 现代泛系分形的雪花分形的层次性 3.1点层次的雪花分形 第n代点层次的雪花分形可表达为如下归一化广义向量： 第n代雪花分形=（ 1/( 4 n +1)) A 1 + ( 1/(4 n +1)) A 2 + ( 1/(4 n +1)) A 3 +...+ ( 1/(4 n +1)) A 4 n +1 （1） 这其中，A i (i=1,2,3...,4 n +1)是映射第n代雪花分形第i个点的单位 广 义向量，而 1/(4 n +1)则是第i个点的相对于 第n代 雪花分形总点数的权重或概率。第n代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布 : （1/( 4 n +1)， 1/(4 n +1)， 1/(4 n +1)，... 1/(4 n + 1))， 因此也就是一种自在和实在。 3.2相似线段层次的雪花分形 第n代相似线段层次的雪花分形可表达为如下归一化广义向量： 第n代雪花分形= 1/ 4 n A 1 + 1/4 n A2 + 1/4 n A 3 +...+ 1/4 n A 4 n （2） 这其中，A i (i=1,2,3...,4 n )是映射第n代雪花分形第i个相似线段的单位 广 义向量，而 1/4 n 则是第i个相似线段的长度的相对于 第n代 雪花分形总长度的权重或概率。第n代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布 : （1/ 4 n ， 1/4 n ， 1/4 n ，... 1/4 n ），因此也就是一种自在和实在。 3.3建立在线段上的相似形 层次的雪花分形 第n代建立在线段上的相似形层次的雪花分形，均可表达为如下归一化广义向量： 第n代 建立在线段 上的相似形 层次的雪花分形 = 1/4 A 1 + 1/4 A 2 + 1/4 A 3 + 1/4 A 4 （3） 这其中，A i (i=1,2,3，4)是映射第n代雪花分形 的 第i个 建立在线段上的相似形的 单位 广 义向量，而 1/4 则是第i个 建立在线段上的相似形 相对于 第n代 雪花分形总的 建立在线段上的相似形数的 权重或概率。第n代 建立在线段上的相似形层次的 雪花分形具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布 : （1/4 ， 1/4 ，1/4, 1/4 ），因此也就是一种自在和实在。 （四）作为现代泛系分形的电脑创生美女基于相似整体的分形层次 下面的各图所示的这个美女从来就没有在世界上实际存在过。她是纯电脑创生物。 各图所示的现代泛系分形均处于基于相似整体的分形层次，均可表达为 如下归一化广义向量： 处于基于相似整体的分形层次的 现代泛系 电脑创生 美女 分形 = 1/2 A 1 + 1/2 A 2 （4） 这其中，A i (i=1,2)是映射 基于相似整体的分形层次的现代泛系电脑创生美女分形 的第i个相似整体的单位 广 义向量，而 1/2 则是第i个相似 整体 相对于 基于相似整体的分形层次的现代泛系电脑创生美女分形 总的相似 整体 数的权重或概率。 处于基于相似整体的分形层次的现代泛系电脑创生美女分形 具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布 : （1/2 ， 1/2 ），因此也就是一种自在和实在。
对初始条件极其敏感的现代泛系分形---混沌 冯向军 2018/10/4 （一）迭代公式 x n =1+abs(x n-1 )-y n-1 ; y n =x n-1 ; (二）迭代次数N N=10000。 (三）初始条件1 x 1 =0.5; y 1 =3.7; (四）初始条件2 x 1 =0.5; y 1 =3.99; (五）初始条件3 x 1 =0.5; y 1 =3.999; (六）初始条件4 x 1 =0.5; y 1 =3.9995; (七）初始条件5 x 1 =0.5; y 1 =3.9999; (八）初始条件6 x 1 =0.5; y 1 =30; (九）初始条件7 x 1 =0.5; y 1 =200; (十）变换迭代公式 x n =1+1.4*abs(x n-1 )-y n-1 ; y n =x n-1 ; N=10000。 x 1 =0.5; y 1 =3.7; (十一）变换迭代公式 x n =1+abs(x n-1 )-y n-1 ; y n =0.9989*x n-1 ; N=10000。 x 1 =0.5; y 1 =3.7; (十二）变换迭代公式 x n =1+abs(x n-1 )-0.999*y n-1 ; y n =x n-1 ; N=10000。 x 1 =0.5; y 1 =3.7; (十三）变换迭代公式 x n =1+abs(x n-1 )-1.01*y n-1 ; y n =x n-1 ; N=10000。 x 1 =0.5; y 1 =3.7; (十四）变换迭代公式 x n =1+0.5*abs(x n-1 )-y n-1 ; y n =x n-1 ; N=10000。 x 1 =0.5; y 1 =3.7; (十五）变换迭代公式 x n =1+0.6*abs(x n-1 )-y n-1 ; y n =x n-1 ; N=10000。 x 1 =0.5; y 1 =3.7; (十六）变换迭代公式 x n =1+0.7*abs(x n-1 )-y n-1 ; y n =x n-1 ; N=10000。 x 1 =0.5; y 1 =3.7; (十七）变换迭代公式 x n =1+0.8*abs(x n-1 )-y n-1 ; y n =x n-1 ; N=10000。 x 1 =0.5; y 1 =3.7; (十八）变换迭代公式 x n =1+0.9*abs(x n-1 )-y n-1 ; y n =x n-1 ; N=10000。 x 1 =0.5; y 1 =3.7; (十九）变换迭代公式 x n =1+abs(x n-1 ) 1.119 -y n-1 ; y n =x n-1 ; N=10000。 x 1 =0.5; y 1 =3.7; \0 \0 本文各现代泛系分形均由具有均匀分布的10000元现代泛系叠加态构成。
现代泛系分形是对一切传统分形概念的至简统一和推广 冯向军 传统分形的定义是部分与整体相似的形。但是巴恩斯利分形的发现者巴恩斯利却指出：自然中，并没有两片叶是全同的。那么巴恩斯利分形叶算不算分形？另一方面，传统分形中最经典的实例：海岸线也只具有统计学意义上的自相似性。那么海岸线算不算分形？ 现代泛系业已证明：任何具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布的事物都是某种在无任何非自然约束条件下的自然存在或自在，也是某类事物在任何约束条件下的实在。 现代泛系 分形的定义是：分形就是某种具有均匀分布的n元现代泛系叠加态（n维归一化广义向量）： p 1 A 1 +p 2 A 2 +...+p n A n 。这其中，n为大于1的自然数。p1=p2=...= pn=1/n。Ai则是映射第i个 最基本元素或基元 的单位广义向量。所谓 广义向量就是既有大小又有指向的量。所谓 单位广义向量就是大小为1的广义向量。p i A i 又称为分形广义向量的第i个分量。i=1，2，...,n。因此 分形是某种自在和实在 。 只要将 最基本元素或基元定义为点，那么任何不全同点所构成的集合---不全同点集均是现代泛系分形，因而也都是一种自在与实在。这样的现代泛系分形就含盖 一切传统分形和统计学意义上的分形或近似的传统分形（例如巴恩斯利分形）。 当最基本元素或基元为线段时，现代泛系分形就直接是诸如雪花分形之类的种种传统分形。 因此， 现代泛系分形是对一切传统分形概念的至简统一和推广。 【附录1】 现代泛系关于分形和分形科学的新定义：希望引导分形研究的新潮流 冯向军 2018/10/1 现代泛系业已证明：任何 具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布的事物都是某种在无任何非自然约束条件下的自然存在或自在，也是某类事物在任何约束条件下的实在。 因此， 就有 现代泛系对分形和分形科学的定义。 【分形的定义】：分形就是某种具有均匀分布的n元现代泛系叠加态（n维归一化广义向量）： p 1 A 1 +p 2 A 2 +...+p n A n 。这其中，n为大于1的自然数。p1=p2=...=pn=1/n。Ai则是映射第i个最基本生存元的单位广义向量。所谓 广义向量就是既有大小又有指向的量。所谓 单位广义向量就是大小为1的广义向量。 p i A i 又称为分形广义向量的第i个分量。i=1，2，...,n。因此 分形是某种自在和实在。 【分形科学的定义】： 分形科学就是揭示自然和社会中丰富多彩的自在和实在及其各种规律的科学。 现代泛系 希望这两个新定义引导天下分形研究的新潮流。从全新的视野重新看待和欣赏已知的和将被发现的分形。分形研究必将重新激起人们的巨大兴趣。 【附录2】 雪花分形的自在和实在性模型：现代泛系对科学的又一重要贡献 冯向军 2018/10/1 【博主按】本文是现代泛系对分形的研究迄今为止所取得的最重大的突破。终于揭示了分形的自在性和实在性，并把欧几里得整数维空间和分形的分数维空间都统一为具有均匀分布的柯尔莫哥洛夫公理化概率空间。 分形本身极大地丰富了自在和实在性以及均匀分布的内涵，但是引入分数维却是人类探索自然中的一种诚实性的误入歧途。 将 欧几里得整数维空间和分形的分数维空间都统一为具有均匀分布的柯尔莫哥洛夫公理化概率空间则是一种返朴归真、拨乱反正、正本清源。 本文也是继现代泛系一举对引起数学史上三大危机的毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论统一解悖，创立现代泛系量子微积分，明确1/0是【自然数无穷大】的上确界之后，对现代数学的又一重要贡献： 把所谓分形视为一种具有均匀分布的【n元现代泛系叠加态】---【n维归一化广义向量】。 对于任意给定的自然数n=1，第n代雪花分形都具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布，而 具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布的万有就是自在和实在，因此 雪花分形是一种自在或实在。 （一）第1代雪花分形 第1代雪花分形可表达为如下归一化广义向量： 第1代雪花分形=1/4A 1 +1/4A 2 +1/4A 3 +1/4A 4 （1） 这其中，A i (i=1,2,3,4)是映射 第1代雪花分形中 第i个线段的单位广义向量，而1/4则是第i个广义向量的 相对于 第1代 雪花分形总长度的大小或概率。第1代雪花分形具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:( 1/4,1/4,1/4,1/4)，因此也就是一种自在和实在。 （二）第2代雪花分形 第2代雪花分形可表达为如下归一化广义向量： 第2代雪花分形=1/16A 1 +1/16A 2 +1/16A 3 +...+1/16A 16 （1） 这其中，A i (i=1,2,3...,16)是映射 第2代雪花分形 第i个线段的单位广义向量，而1/16则是第i个广义向量的相对于 第2代 雪花分形总长度的 大小或概率。 第2代雪花分形具有 具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布: (1/16,1/16,1/16...,1/16)，因此也就是一种自在和实在。 （三）第3代雪花分形 第3代雪花分形可表达为如下归一化广义向量： 第3代雪花分形=1/64A 1 +1/64A 2 +1/64A 3 +...+1/64A 64 （1） 这其中，A i (i=1,2,3...,64)是映射第3代雪花分形第i个线段的单位广义向量，而1/64则是第i个广义向量的相对于 第3代 雪花分形总长度的大小或概率。第3代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（ 1/64,1/64,1/64...,1/64)，因此也就是一种自在和实在。 （四）第n代雪花分形 第n代雪花分形可表达为如下归一化广义向量： 第n代雪花分形=1/4 n A 1 + 1/4 n A 2 + 1/4 n A 3 +...+ 1/4 n A 4 n （1） 这其中，A i (i=1,2,3...,4 n )是映射第n代雪花分形第i个线段的单位广义向量，而 1/4 n 则是第i个广义向量的相对于 第n代 雪花分形总长度的大小或概率。第n代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（ 1/4 n , 1/4 n , 1/4 n ..., 1/4 n )，因此也就是一种自在和实在。 【附录3】 KOCH分形的长度兼评分形真正的科学价值及其艰难前程 冯向军 2018/9/29 （一）KOCH分形的长度 假设L (n) 是第n次迭代 KOCH分形的长度，并假设 第0次迭代 KOCH分形的长度为1 。 1.n=1 L (1) =(4/3)^1。 2.n=2 L (2) =4/9*4=(4/3)^2 3.n=3 L (3) =16/27*4=(4/3)^3 4.一般公式： L (n) =(4/3)^n。 Koch分形长度 L (n) 随迭代次数n的变化详情如下所示。 （二） 分形真正的科学价值与艰难前程 分形 真正的科学价值是直面现实世界的大量复杂分形而給出其诸如长度和面积之类的测度。但是，要 直面现实世界的大量复杂分形而給出其诸如长度和面积之类的测度，关键还在于給出这些分形的迭代公式。要 給出这些分形的迭代公式，就必须全面掌握这些分形的成因。而 分形的成因并非唯一，并且不都是能为数学迭代公式所描述的。因此分形科学的 前程艰难。 【附录4】 现代泛系对分形的本质革命性新探 美国归侨冯向军博士 2018/9/12 分形树 Koch分形 （一）分形的真相 分形不是独立于整数维空间之外的分数维空间，因而其实体、真身、实在仍然是整数维空间。 现代泛系实在逻辑 的基本思维法则是： 就实在而言，B中的A无A非A。 镜中花无花非花。 水中月无月非月。 电视机屏幕中的剧中人无人非人。 按现代泛系实在逻辑： 整数维空间中的分形，实在是无分形非分形。 （二）分形是整数维空间的一种新的自相似分割方法 将一维空间中的线段一分为2，就得2个自相似线段。 将一维空间的线段一分为3，就得3个自相似线段。 ... 将一维空间的线段一分为a，就得b=a 1 个自相似线段。 因此有公式： a 1 =b (1) 将二维空间的正方形各边一分为2，就得4个自相似正方形。 将二维空间的 正方形各边一分为3，就得9个自相似正方形。 ... 将二维空间的正方形各边一分为a，就得到b=a 2 个自相似正方形。 因此有公式： a 2 =b (2) ... 由此可推得将整数维n维空间中的各边相等的形体一分为a，就得b=a n 个 彼此之间具有自相似的 各边相等的形体。 就有一般公式： a n =b （3） 但是，一切 整数维空间中的分形分割 都具有如下特征：将整数维空间中的各边相等的形体（包括一维空间的线段）一分为a，就得b=a D 个 彼此之间具有自相似的形体,这其中，一般而言D不是自然数。 因此， a D =b (4) D=log(b)/log(a) (5) 这其中log其实可以为以任何正实数为底的对数。但就习惯上而言，log是指自然对数。 D就是大名鼎鼎的分形维数最简单最直接的定义。 （三) 将分形积分打回原形 一切整数维空间中有效的积分求和方法都适用于 对应于每次迭代的分形面积和分形曲线长度等分形测度 的计算。这是因为： 整数维空间中的分形，就其实体而言，无分形非分形 的缘故。 这正好比你照镜子，镜中场景的维数，看起来绝对不同于镜面的维数，而一切 镜中场景，其实在无他，镜面而已！哪里有什么不同于 镜面的维数？？?虚幻啊！分形分数维！！！ （四）分形测度的真正新问题 分形面积 和分形曲线长度等分形测度随最小值为1的自然数自变量增量---叠代次数而变化。 自变量增量是 最小值为1的不能无限逼近零的自然数，才是 分形测度的真正新问题。 不过 用差分代替导数，用迭代公式结合整数维空间的 一切有效的积分求和方法，就可以彻底解决 分形测度的真正新问题。 （五）现代泛系量子微积分的一些初步探索 5.1 Koch曲线的面积 假设n是第n次迭代的序号，n=0。L是初始线段长度。S n 是第n次迭代Koch曲线的面积。b n 是第n次迭代所产生的相似线段条数，Area n 是第n次迭代的基本附加图形的面积，L n 是第n次迭代基本附加图形的边长。则有： 当n=0， S 0 =0 Area 0 =0 L 0 =0 当n=1， S 1 =S 0 +b 0 Area 1 Area 1 =sqrt(3)/4(L 1 ) 2 L 1 =L/3 b 0 =4 0 =1 当 n=2， S 2 =S 1 +b 1 Area 2 Area 2 =sqrt(3)/4(L 2 ) 2 L 2 =L/(3 2 ) b 1 =4 当n=3 S 3 =S 2 +b 2 Area 3 Area 3 =sqrt(3)/4(L 3 ) 2 L 3 =L/(3 3 ) b 2 =16=4 2 ... 因此有一般公式： S n =S n-1 +b n-1 Area n Area n =sqrt(3)/4(L n ) 2 L n =L/(3 n ) b n-1 =4 n-1 5.2 Koch曲线的面积S随迭代次数n变化的详细情况 5.3 Koch曲线面积S的单位迭代变化率d S(n) 随迭代次数n详细情况 Koch曲线面积S的单位迭代变化率是差分 d S(n） ： dS(n)=Sn-Sn-1 dS(n)= b n-1 Area n 这其中， Area n =sqrt(3)/4(L n ) 2 L n =L/(3 n ) b n-1 =4 n-1 d S(n) 随迭代次数n详细情况如下图所示：
现代泛系分形的生成机制不可能也不必要拘泥于数学迭代算法或公式 冯向军 2018/10/2 按照现代泛系对 现代泛系分形的定义，一切不全同点所组成的点集---不全同点集均是 现代泛系分形。 如此说来，天下几乎只有一种形那就是 现代泛系分形。 天下的 形的生成机制不可能也不必要拘泥于数学迭代算法或公式。因此， 现代泛系分形的生成机制不可能也不必要拘泥于数学迭代算法或公式。 当你在脑海里想你的爱人，你是不会用迭代算法或公式去生成作为 现代泛系分形的你爱人的形象的。你其实是从本来就存在于你的记忆中的你爱人的形象中采样而形成n元 现代泛系叠加态，当n越大时，一般来说你爱人的形象就会越清晰。这一成像过程与数学几乎毫无关系。 【附录1】 通俗解说现代泛系分形的定义 冯向军 2018/10/2 （一） 现代泛系业已证明：任何 具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布的事物都是某种在无任何非自然约束条件下的自然存在或自在，也是某类事物在任何约束条件下的实在。 （二） 【 现代泛系 分形的定义】：分形就是某种具有均匀分布的n元现代泛系叠加态（n维归一化广义向量）： p 1 A 1 +p 2 A 2 +...+p n A n 。这其中，n为大于1的自然数。p1=p2=...=pn=1/n。Ai则是映射第i个最基本生存元的单位广义向量。所谓 广义向量就是既有大小又有指向的量。所谓 单位广义向量就是大小为1的广义向量。 p i A i 又称为分形广义向量的第i个分量。i=1，2，...,n。因此 分形是某种自在和实在。 （三）一切不全同点集都是分形、实在、自在 上图中从左到右的4个点分别为点1、点2、点3、点4.因此上图可表达为现代泛系叠加态： 现代泛系叠加态=1/4点1+1 /4点2+1/4点3+1/4点4。这其中1/4是点1、点2、点3、点4 相对总点数4的权重或柯尔莫哥洛夫公理化概率。因此，对应于上图的 现代泛系叠加态具有均匀的 柯尔莫哥洛夫公理化概率 分布（1/4，1/4，1/4，1/4）。于是按本文（二）所给出的 现代泛系分形的定义，上图就是一个分形。又按本文(一)所述结论， 上图也就是一种自在和实在。 【附录】 现代泛系分形思想的大解放：一切由不全同点集所构成的形都是分形 冯向军 2018/10/2 现代泛系认为： 分形就是某种具有均匀分布的n元现代泛系叠加态（n维归一化广义向量）： p 1 A 1 +p 2 A 2 +...+p n A n 。这其中，n为大于1的自然数。p1=p2=...=pn=1/n。Ai则是映射第i个最基本生存元的单位广义向量。所谓 广义向量就是既有大小又有指向的量。所谓 单位广义向量就是大小为1的广义向量。p i A i 又称为分形广义向量的第i个分量。i=1，2，...,n。因此分形是某种自在和实在。 从这个 现代泛系对分形的新定义来看， 一切由不全同点集所构成的形都可视为分形，由此分形所构成或映射的一切存在均可视为某种自在和实在。这其中，不全同是指空间位置、时间上或属性上的不全同。之所以如此，是因为只要令 Ai为映射第i个点的单位广义向量（ i=1，2，...,n），一切由 不全同点集所构成的形均可表达为 具有均匀分布的n元现代泛系叠加态（n维归一化广义向量）： p 1 A 1 +p 2 A 2 +...+p n A n 。这其中，n为大于1的自然数。p1=p2=...=pn=1/n。n是总点数。 由此可见：分形、自在和实在的概念都是相对的。从不同角度来看，一般而言，同一种形既可视为分形又可不视为分形；既可视为 自在和实在又可视为不自在和虚幻。就看你怎么想、怎么看。 本文标志着 现代泛系分形思想乃至根本世界观的大解放。由此而进入“法法头头无不是道”和“看山还是山、看水还是水”的新境界。 以下原以为不是标准分形的形原来都是分形,而其所构成或映射的存在均可视为自在和实在。 【附录2】 现代泛系分形熊猫的生成过程 冯向军 2018/10/2 （一） 现代泛系分形熊猫100元现代泛系叠加态 （二） 现代泛系分形熊猫1000元现代泛系叠加态 （三） 现代泛系分形熊猫5000元现代泛系叠加态 （四）现代泛系分形熊猫30672元现代泛系叠加态 【附录3】 作为标准现代泛系分形的巴恩斯利叶的生成过程 冯向军 2018/10/2 (一）具有1000元现代泛系叠加态的巴恩斯利叶 (二）具有10000元现代泛系叠加态的巴恩斯利叶 (三）具有100000元现代泛系叠加态的巴恩斯利叶
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