科学网 › 标签 › 趋于

标签: 趋于

相关帖子	版块	作者	回复/查看	最后发表

没有相关内容

相关日志

关于“数学”的对话（12）: 可变系时空多线矢主人 2009-6-3 23:53; 关于数学的对话（ 12 ）（接（ 11 ））甲：我们可以具体看看：无穷项级数与其极限值的相等，也是必须注意有这个无穷项条件的。乙：是啊！应该举几个实际的例子来说明。甲：这种实例很多，我们就看看利用泰勒公式把一些重要的函数展开成的无穷项级数吧！乙：泰勒公式就是： f(x)=f(a)+(x-a)f(a)/1! +(x-a)^ 2f (a)/2!+ ，吧？甲：是的！当 a=0. ，就得到麦克劳林公式： f(x)=f(0)+ xf(0)/1! +x^ 2f (0)/2!+ ，乙：啊！这就能把 f(x) 展开成的 x 的无穷项幂级数了。甲：例如，对于函数 e^x, 就有： f(x)= f(x)= f(x)= =e^x ， f(0)= f(0)= f(0)= =1 ，乙：啊！这就得到了函数 e^x 的无穷项幂级数： e^x=x^n/n!,n 由 0 到无穷求和。甲：当取 x=1, 这就得到了 e 值的无穷项级数表达式： e=1/n!,n 由 0 到无穷求和。乙：由此，已可看到当取 n=10 时， e 只能准确到 6 位小数： e~2 ． 7182819 （最后一位， 9 ，已不准确），只有 n 趋于无穷，才能得到 e 的精确值。甲：也只有 n 趋于无穷，才能得到函数 e^x 的精确值。否则，就只能是一定精确度的近似。乙：有个欧拉公式，将函数 e^(iA) 表达为实、虚两个 3 角函数表达： e^(iA)= cosA +isinA, e^(-iA)=cosA -isinA, 这个公式的两边就应是严格地相等吧？甲：是的！这个公式两边都是有限的项，无须相等的任何条件，就应是严格地相等的！乙：这个欧拉公式，联系起 e^(iA) 函数和 3 角函数，这两种重要的函数，确实很有用处。它是如何得到证明的呢？甲：这就还是要利用泰勒公式。乙：这个欧拉公式涉及复数，还能利用泰勒公式吗？甲：当然，利用泰勒公式已证明了多种涉及复数的函数。例如：由 e^x=x^n/n!,n 由 0 到无穷求和，当取 x=iA ，即得： e^(iA)=(iA)^n/n!,n 由 0 到无穷求和。又有3角函数与双曲线函数： siniA = iA -(iA)^3/3!+(iA)^5/5!- +(-1)^(k-1)(iA)^(2k-1)/(2k-1)!+ 。 cosiA =1-(iA)^2/2!+(iA)^4/4!- +(-1)^k(iA)^(2k)/(2k)!+ 。 sinh(iA)=(iA)+(iA)^3/3!+ (iA)^5/5!+ +(iA)^(2k-1)/(2k-1)!+ 。 cosh(iA)=1+(iA)^2/2!+ (iA)^4/4!+ (iA)^(2k)/(2k)!+ 。乙：啊！因有； sinh(iA)=isin A; cosh(iA)=cos A, 而有： e^(iA)=cosh(iA)+sinh(iA)=cosA +isinA, e^(-iA)=cosh(iA)-sinh(iA)=cosA -isinA, 这就证明得到了欧拉公式。甲：还应看到： e^(iA) ， cosh(iA) ， sinh(iA) ， cos(iA) ， sin(iA) ，各函数都是表达为无穷项幂级数的形式，因而都必需趋于无穷的项，才能趋于各相应的函数，否则，就只能是有一定精确度的近似。但是，由它们证明得到了欧拉公式，就因消去了必需趋于无穷项的条件，而成为严格地相等的！乙：这就更加表明：区分等号 = 两边趋于与等于的差别，弄清其差别及转变的条件，的重要性。甲：当 A= 派（ 180 度），由欧拉公式还可得到重要的关系式： e^(i 派 )=cos 派 +isin 派 =-1+0 ， e^(i 派 )+1=0 ， e^(-i 派 )=cos 派 -isin 派 =-1-0 ， e^(-i 派 )+1=0 ，以及： e^(i 派 )+e^(-i 派 )=-2 ， e^(i 派 )-e^(-i 派 )=0 ，（未完待续）; 个人分类: 数理|4095 次阅读|0 个评论

更多...

帐号		自动登录	找回密码
密码			注册

关闭 安全验证

标签: 趋于

相关帖子

相关日志

关闭安全验证