芝诺“飞矢不动”的悖论说：飞行的箭，每个时刻都占据了一个确定的位置，这意味着它不会同时存在其他的位置，箭矢的位置固定，所以它在这时刻是静止的。依此推理，飞行的箭在任何时刻都是静止的，所以运动在逻辑上是不可能的。 对于这个悖论，有不同的解答。黑格尔认为运动就是一对矛盾，每个时刻飞矢是既在这个位置又不在这个位置上，用辩证法回避了形而上学的挖掘。康德认为时间和空间并非事物的属性，而是我们感知事物方式的属性，这个矛盾是我们过去时空观念的疵瑕。休谟否认时空的无限可分性，以此也可以给出有穷时空的离散化解释。而牛顿坚持了时空无穷可分的观点，用微积分给予近代的解释。从而也让时空无穷可分的假设变成了公认的真理。 运动在直观上是个时间段上位移的现象，当一个物体在时刻 t 0 到 t 1 的时段，从位置 x 0 到了 x 1 ，如果Δ t = t 1 -t 0 ≠ 0 时Δ x = x 1 -x 0 ≠ 0 ，我们说它是在运动。物体在这时段的速度为Δ x / Δ t ，意思是位移对时段里时间流逝的变化率。物体时刻 t 1 在位置 x 1 ，这个信息，不足以判定它是静止还是运动的。只要Δ t 0 ，速度Δ x/ Δ t ≠ 0 ，在 ，那么 D 的特征向量集合 $\{e_k=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ikt} \; | \; k \in \mathbb{Z} \}$ 便是这空间上的一个正交归一基。 让我们首先来验证正交归一性。对于 L 2 空间，它的内积定义是 $ \left \langle f{(\cdot)},g(\cdot) \right \rangle = \int_0^{2\pi}f(t)\overline{g(t)}dt$ ，对于任意整数 m,n ，我们有： $\left \langle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-imt},\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-int}\right \rangle =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-imt}e^{int}dt =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-i(m-n)t}dt = \delta_{mn}$ 这就证明了它们是正交归一的。空间中向量 $f(\cdot)\in L^2 $ 在 e k 上的投影是： $\left \langle f(\cdot),e_k \right \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{2\pi}f(t)e^{ikt}dt$ 这是大家熟悉的函数 $f(\cdot)$ 傅立叶系数的复数形式（若将复数展开成余弦和正弦正交基，则系数乘一个常数因子）。函数 $f(\cdot)$ 对这组向量的分解是傅立叶级数，不难证明这个傅立叶级数收敛于 $f(\cdot)$ 。所以它们构成了 L 2 空间上的基。经典的傅立叶级数，就是建立在微分算子 D 一组在 L 2 空间正交归一的特征向量上。这组可数的基张成了 L 2 希尔伯特空间。 注意到微分算子 D ，有不可数的特征向量 $e^{-iat}$ ，所以它们在无穷序列表达下可能是线性相关的。这取决于它们所在的空间。 是不是所有希尔伯特空间中的点都能表达成无穷级数？也就是说，是不是它们都有可数的基？答案是否定的。 例如：对于函数定义内积为$\left \langle f(\cdot),g(\cdot) \right \rangle = \lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-T\pi}^{T\pi} f(t)\overline{g(t)}dt$，它构造了一个希尔伯特空间$L^2(-\infty, \infty)*$，对所有的实数s，t的函数$e_s(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ist} $都是这空间上线性算子D的特征向量，不难验证它们是正交归一的，这组向量是不可数的。 $L^2 $ 是可分的希尔伯特空间，里面的函数可以用傅立叶级数来表达（在 L 2 积分意义下收敛，级数展开几乎处处逐点收敛于它）。而 $L^2(-\infty, \infty)*$ 这希尔伯特空间是不可分的，所以这里的函数不能用傅立叶级数来表达。例子里那组向量是个不可数的正交归一基，这空间里的函数可以用积分变换来表达对这组基的分解和线性组合。从内积公式得到傅立叶变换，即是对这组基分解的分布函数；对基向量分布性分解的线性组合可直接写出傅立叶变换的反演。这提供了一个通俗的直观解读。更深入的探讨，诸如无穷区域的积分，无穷小分解系数分布函数的表达，积分的线性组合表示，及扩充到广义函数等等数学细节，在Sobolev空间可以得到更严谨的解读。 数学是直观想象在逻辑上精确化的学问。希尔伯特空间的研究，源自狄拉克对量子力学算符的表达。狄拉克非常注重数学上形式的美，简洁的美，他以此扩充了许多直观概念的应用场合，取得十分漂亮的结果。但在无穷世界的想象，还是需要用精确的逻辑来校正。 1927 年冯·诺依曼、希尔伯待和诺戴姆的论文《量子力学基础》，纠正了狄拉克缺乏严谨的不足。 在早期的泛函分析研究，特别是在物理应用中，希尔伯特空间指的是可分的完备的内积空间，即这空间有可数的稠集。上面的例子说明并非都是如此的。 大家已经熟悉在 $\mathbb{R}^n$ 空间上的微分，怎么将它推广到往整体看不是那么“平整”的空间？先看看平面几何是怎么使用的。我们生活的大地实际上是地球球面上的一部分，把这个局部当作 2 维的欧几里德空间，或者说映射到 $\mathbb{R}^2$ 空间。每一个局部地方在映射下对应着一个平面地图，球面上每个地点对应着平面地图上一个坐标，我们可以用坐标进行这个球面局部的各种计算。用几张平面地图覆盖了全球，就可以计算地球的各处。 对高维和更一般情况，也可以类似地，把拓扑空间 X 的一个局部开集，一一映射到 $\mathbb{R}^n$ 空间上来计算。 X 空间上的一个点 x 对应着 $\mathbb{R}^n$ 空间上的一个点，称为 x 的坐标， x 的邻域对应着坐标的邻域以保持对应的收敛关系。所以这个映射必须是同胚的，也就是这个一一对应的映射双向都是连续的，就像 X 中的这个开集通过伸缩变形展平成 $\mathbb{R}^n$ 空间的开集一样。如果有一族这样的开集覆盖了 X ，都能做到这样的映射，那么 X 上的每个点都有了 n 维实数的局部坐标。这样的 X 空间便称为 流形 。覆盖开集的重叠部分，流形上的点在不同映射的局部坐标系上，可以进行坐标变换。因为这样的映射是定义在开集上，所以 x 点总有一个足够小的邻域是完全在一个映射的局部坐标系上， x 点与它坐标的收敛关系是一一对应的，如果交集之处的坐标变换是连续可导的，整个流形通过这些映射的坐标系，便可以有对应的微积分计算，这时称为 微分流形 。 当然并非任何的拓扑空间都能做到这一点。流形 X 的拓扑不能太粗，对于两个点必须有能够分开的邻域，即是 T2 或者称为 Hausdorff 空间；拓扑也不能太复杂，要有可数的拓扑基（其元素的并能够生成所有开集，即是第二可数的）。局部映射必须与相同维数的 $\mathbb{R}^n$ 空间同胚。下面是用数学语言描述的定义。 X 是第二可数，T2的拓扑空间，若在一个覆盖X的开集族中的每个开集，都有一个嵌入$\mathbb{R}^n$的同胚映射，X可以称为 n维拓扑流形 ，这个映射称为 坐标图 。在拓扑流形上，两个坐标图交集部分的点在不同的坐标图上映成不同的（坐标）点，如果这两个坐标变换函数有r阶连续导数，则称它们是C r 相容的坐标图。如果所有坐标图都是C r 相容的，则称这个流形为 C r 微分流形 。r为无穷大时称为 光滑微分流形 。 对于一般的距离空间，它是 T2 ，但只是第一可数的。如果它还是可分的，则它是第二可数的，这个拓扑中任何的开集都能由一组可数开球，用它们的并集来构成。可分的距离空间满足第二可数和 T2 的条件，只要每点的开邻域都有同维数的同胚坐标映射，就可以是流形。 两个维数分别为 m 和 n 的 C r 微分流形间的映射称为 C r 映射，它可以表示为对应点局部坐标上的 C r 函数。对这个函数的求导和积分，对应着这两个流形间的映射在这局部区域上的相应的运算。比如说， n 维光滑微分流形 X 到 $\mathbb{R}$ 的函数，在 X 中点 x 的邻域对应着 $\mathbb{R}^n$ 空间上一段光滑曲线。这条光滑曲线，对应着 x 点的切线（用方向导数表示）是一个 n 维向量，所有这些切向量形成的空间称为 X 在 x 处的切空间。虽然上述的切空间是由某一局部坐标系下定义的，可以证明不同的坐标系导出的切空间是相同的。直观上可以想象成二维 X 曲面在 x 这一点上的切平面。如果一个映射 F 将 C r 微分流形 X 上每一点都对应着它切空间上的一个向量， F 称为 C r 向量场，在局部坐标下表示如下，其参数都是 C r 函数。 $F = \sum _{i=1}^n a_i(x)\frac{\partial }{\partial x_i}$ 纤维丛 的定义了包含三个拓扑空间 B ， M ， Y 和一个投影映射 p ：基空间 M 是全空间 B 的投影 p(B)=M ；基空间上每一个点 x 对应着这个投影在全空间 B 里的原像 p -1 (x) ，这原像与丛空间 Y 同胚，称为这点上的丛；基空间上每一点存在着一个邻域 U ，直积空间 UxY 与 U 的投影原像 p -1 (U) 同胚。在直观上可以想象二维曲面 M ，每一点 x 上都有一根 p -1 (x) 的纤维，这些纤维互不相交，全体构成三维空间 B 。 B 中的每一点都可以沿着纤维对应到 M 的同一个点上（称为投影），全空间上点的邻域在纤维上和投影到基空间上仍然是它们的邻域。不要把基空间 M 想象成一把刷子的底部， M 应该看成是全空间的一个横截面，密实的纤维集束穿过这个横截面向两边无限延伸。每根纤维都像直线 Y 的弯曲变形。纤维丛的数学模型也可以用来描述物理空间中的场。 微分流形和纤维丛，若以欧几里德三维空间中的曲面和纤维集束几何体来看，都不难想象其图像。不过它们是在抽象的点集拓扑空间上有严格的定义，从而能够在上面推广微积分的应用。这些都是现代微分几何课程的内容，这里的简略介绍，希望通过较精确的数学定义，让大家可以想象这些概念。 （待续） 【扩展阅读】 冯·诺依曼关于量子理论的数学基础，算子环，遍历理论的研究 http://www.kepu.net.cn/gb/basic/szsx/2/25/2_25_1008.htm 钱诚德，高等量子力学 http://course.zjnu.cn/huangshihua/book/%E9%92%B1%E8%AF%9A%E5%BE%B7_%E9%AB%98%E7%AD%89%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6.pdf 关肇直等，张恭庆，冯德兴，线性泛函分析入门，上海科学技术出版社， 1979 维基百科，流形 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%81%E5%BD%A2 程代展，系统与控制中的近代数学基础，北京：清华大学出版社， 2007 http://product.dangdang.com/9350967.html
The Tai Xuan Sutra, or The Mystring Sutra By Geongs Zhern（郑中）2011.1.1 Vacuum is not off Tao, and Tao is not off Vacuum. Vacuum is represented by Tao, and Tao is consisting in Vacuum. The Vacuum is flow by itself, and Tao is thelaw of flow. Bothnames are out of ONE, that is true essence of the cosmos. How occult and wonderful! The quantities and formsare infinitude. Thing discrete transform into quantity, and continuously grow into form. Formschangedbythe quantity, and quantitiescumulate in the form. By topological algebra, and differentiable manifold. How wonderful and occult! God is not being at all. 注：题目译名自创一个单词mystring，是神秘和弦的结合体，这样兼顾了两方面含义。 《太玄经》中文版原帖： http://blog.sina.com.cn/s/blog_495c10c50100o2ey.html 关于“空”、“道”概念阐释，详见本人《心经新译新释》： http://blog.sina.com.cn/s/blog_495c10c50100nwgk. html
前面几篇简要涉及了代数拓扑、微分拓扑、低维拓扑，如果大伙儿还不知道这些是啥，请复习拙著 ：） 。其实，拓扑的概念和方法已经渗透到整个数学，而不仅限于拓扑学研究本身。 很多文献会提到，拓扑学起源于柯尼斯堡七桥问题，以及与此相关的一笔画问题。欧拉解答了这个问题。同样是欧拉，给出了第一个拓扑不变量，多面体表面的欧拉数（点数-边数+面数）。可以认为欧拉是第一个研究代数拓扑学的人（虽然莱布尼兹曾经臆想过）。 传说中高斯当年是德国国土局的领导，负责丈量土地。他由此观测到山脊附近的地面弯曲性质可以用内在的测量方法得到（所谓曲面的内蕴几何），他还定义了度量曲率大小的量（高斯曲率），并且将这个局部定义的、可以用微积分计算的量同整体定义的欧拉数联系起来（高斯-博内定理），所以他可以被追认为研究微分拓扑的第一人。当然，高斯的主业其实是政府工作、开创现代数论、以及电磁学。业余时间研究一下各种误差的分布啊，欧几里德的几何原本有什么错误啊之类的小问题作为消遣。 第二尊菩萨，黎曼同学，除了开创流形的几何学、发展了傅立叶分析和积分理论、研究了一下素数分布提出世界第一难题黎曼猜想之外，他不到40岁的短暂一生的其余时间基本上都在思考复变函数的问题。为什么有的复变函数是多值的？比如平方根和对数。能否把它们以某种方式变成单值函数？人们的思维定势是，既然函数是多值的，就像一条横着的抛物线，一个 x 对应到两个 y, 要变成单值很容易啊，砍掉抛物线的一半就行了。黎曼不这么看。他觉得，如果把函数图像本身作为定义域，每个点当然只对应到一个 y. 这样函数就变成单值的了，而且没有丢掉任何信息。如果是复变函数，其图像就是一个二维曲面，这就是黎曼曲面。黎曼曲面上有很多复杂的现象，这些现象催生了诸如连通性、单连通性、复叠空间这些拓扑概念，以及奇点、除子、函数域等等一些代数几何的概念。抛开代数几何不说，黎曼也许可以被屈尊为研究低维拓扑的第一人。 牛顿莱布尼兹发明了微积分之后，大家对无穷小无穷大这两个概念很不放心。为了让我们用得更安心，柯西和威尔斯特拉斯等人后来把无穷小解释得非常透彻，基本上就是说两个东西越来越近。离得近这个概念从而成为分析中最核心的概念。它正是所有拓扑学分支的共同基础点集拓扑的起源。拓扑学在现实生活中的应用多数跟点集拓扑有关，即，通过分析收敛性体现在应用数学中。所以，最牛的牛顿被屈尊为研究点集拓扑第一人（有好事者不以为然，一定要扯到古希腊的阿基米德，这就见仁见智了。） 总而言之，拓扑学有着高贵的血统。当然，好汉不提当年勇，拓扑学的现在和将来如何？20世纪中叶，代数拓扑学朝着高度抽象的方向发展，两位名不见经传的数学工作者（艾伦伯格-麦克雷恩）突发奇想，从中总结出一套抽象语言。为了体现这套语言之形而上，他们重载了先贤亚里士多德的概念范畴。继解析几何与微积分以来人类数学又一次在概念上经历了大变革。范畴论诞生了。20世纪数学的上帝格罗登迪克，用7000页的数学圣经将拓扑学和范畴论全面而深遂地渗透到代数几何和数论研究中，改变了整个数学的风貌。与此呼应，世纪之交的物理学也在经历变革，量子场论和弦论呈现出绚丽多姿的数学结构。20世纪物理学的耶稣（上帝被爱因斯坦附身了）爱德华.威顿，身负绝世的拓扑神功，一经施展，整个理论物理学为之色变。拓扑学三位一体，必须要像生物学一样将21世纪纳入自己的势力范围。所以，在这个系列的结尾，让我骄傲地替拓扑学宣称：21世纪是拓扑的世纪！！ I am just kidding.
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