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[转载]伽罗瓦理论究竟想干什么？
quantumchina 2020-8-31 23:56
来源：返朴 伽罗瓦理论是现代数学的主要发端之一。当天才少年用自创理论解决了代数方程的悬案，人们才逐渐意识到数学结构本身所隐含的对称性和抽象关系竟然具有如此强大的威力。通过后继者对高阶抽象和逻辑结构关系的不断探索，如今数学大厦不仅纵向高耸入云而且横向相互支撑顺畅 来源： 返朴 伽罗瓦理论是现代数学的主要发端之一。 当天才少年用自创理论解决了代数方程的悬案，人们才逐渐意识到数学结构本身所隐含的对称性和抽象关系竟然具有如此强大的威力。 通过后继者对高阶抽象和逻辑结构关系的不断探索，如今数学大厦不仅纵向高耸入云而且横向相互支撑顺畅贯通。 本文将带读者领略那发生在190年前的灵光闪现…… 撰文 | 张和持 偶尔，当我被袁隆平院士喂得太饱的时候，会无聊地去想：若现代的知识穿越回古代，那将造成多么可怕的影响。那有可能是助诸葛亮北伐成功的100名火箭飞行兵，也可能是令赵国取胜长平之战的空降方便面。但要是真能穿越的话，希望不会把数学家送过去—— 等着他们的，可能是尼尔斯·阿贝尔和埃瓦里斯特·伽罗瓦的命运——他们二人的工作过于超前，以至于他们英年早逝十多年，后人才从尘封的论文中发现那惊人的价值。 évariste Galois 在那个年代，数学家的工作主要还是围绕数字的。即使使用变量的代数，也是为了得到具体的数值结果。可想而知，即便是高斯那样的数学泰斗，面对伽罗瓦的满篇抽象符号，也打回了他的论文。据说伽罗瓦死前遭人暗算，不得不参加一场必死的决斗。生命和学术生涯即将在含苞中零落，绝望中的他奋笔疾书，在最后的时刻整理了自己的手稿，像海贼王一样把宝物留给了新的时代。 Niels Henrik Abel 今天的我们，处处享受着他们的成果。计算机离不开代数，物理化学也离不开群论。 或许在肃然起敬之余，你会望而却步。其实大可不必，今番我们便来还原一个简洁又优美的伽罗瓦理论 。 伽罗瓦和阿贝尔想解决的问题看起来很简单。小学我们学过一元一次方程 直接移项就可以得到 后来我们学了一元二次方程 凑平方法也可以容易地得到 继续，一元三次方程呢？是否也能这么容易解出来呢？ 十六世纪的数学家尼科洛·塔尔塔利亚首先得到了通用的公式，我们就把它列出来看看有多复杂 对于方程 有三个根： 人 类的智慧的确可怕。不久之后，四次方程的公式也被人们发现了。四次方程的解如此复杂，以至于一页纸都不一定能写的下，这不禁让人怀疑，数学是否成为了繁琐和不便的代名词。 这也鞭策着那些相信努力就会收获的数学家，找出五次方程的解而扬名立万。可是令人费解的是，无论做多么精巧的代换，无论尝试怎样复杂的分解，总有一些方程死活解不出来。到了拉格朗日这一代，大多数人已经确信，五次方程是无法以现有方法解出来的了。他们发现，五次方程与四次，三次，二次方程是如此的不同，以至于之前管用的方法全都失效了。不过直到阿贝尔和伽罗瓦为止，都没有人能为这种似是而非的论断给出清晰又严格的证明。 这就是我们的问题： 为什么有理系数的一元五次方程不能通过有限次的加、减、乘、除、开根号得到一般解？ 为了搞清楚，为什么 以上的数字跟 如此不同，我们先来看一看 与 有何不同。对一元方程来说，要求解，只需要进行加减乘除运算即可， 而加减乘除，并不会让有理数变成无理数 。通常我们将有理数表示为 ，而有了对加减乘除封闭的性质，我们就可以把 称为有理数域。域的定义你就可以直接理解为： 集合元素对加减乘除封闭。 大家熟知的实数，复数也都是域。 为什么我们要谈封闭性？很简单， 因为方程里面只含有加减乘除 ，要是不封闭了，那 就不是有理数，那这样 也就不是有理数了。显然，这是矛盾的。 那 呢？ 比如说方程 很容易求出它的两个解是 这个解很显然不在 之内，那我们现在要把 扩大，使新的域正好包含上面的根，又不至于太大，以至于包含太多其他东西，即最小扩张。那么我们最终得到的就是这样一个集合： 这个域我们把它叫做 ，它是包含 在内的最小的域。你无聊可以验证一下，它对于加减乘除确实是封闭的。这里从 到 的过程，我们称之为 域扩张 。你可以把这里的域扩张理解为一个直角坐标， 轴上仍然是有理数，单位是 ，而 轴上就是 的倍数。这样平面上的每一点都可以代表 中的一个数。这样扩张的维数就是平面相对于 轴的维数，记作 。 当我们谈到可以用根式解方程的时候，我们其实是在说：我们可以将类似于 这样整数的整次根，加入到 中，以此作上述域扩张，使扩张后的域，包含方程的解。 那么到这里，问题就好理解了。从 到 的过程，其实用根式来扩张 的过程。可以想见，要是 次以上的方程不能这样扩张，自然就不能用根式解了。 怎么才能证明扩张无法实现呢？目前我们还没有什么思路去直接证明，但阿贝尔和伽罗瓦迎难而上。他们不约而同地注意到，方程的根具有奇妙的 对称性 。一般来说，如果一个图形具有复杂的对称性，那图形本身也就较为复杂。这给了他们启示：根的对称性是否意味着域扩张的复杂性呢？果不其然，这种对称性揭示了 域扩张与群的子群之间优美的对偶 ，使得我们可以通过研究群的可解性来回答方程解的性质。 还是回到之前的方程 我们先不管解是什么。而是利用一个非常经典的结论：在复数域 中， 次方程定有 个根（包含类似 这样 的重根）。这是高斯在他的博士论文中首次证明的优美结论。这个结论的证明涉及的更多是复分析而不是代数，所以我们在这里不再提它。假设根是 ，那么就有 我们可以看到，这两个根相当地对称。即使我们交换一下 和 ，上述方程的形式也不会变化。这就启发我们在保持方程形式不变的情况下，对整个方程进行变换。假如说有这么一个函数 ，作用在扩张后的域（扩域）上， 不改变形式，就要求这个函数能保持加法和乘法，这表明 是一个 同态 ，即是说 而且要求不改变系数，这表明 将有理数映射到自身（固定 ），即使说 那么 从形式不变可以看出， 仍然是方程的解。但是这个方程一共就那两个解，所以 这个函数正好就是我们之前说的置换根的函数。在这个例子中， 只有两种可能——一是交换 ，即 ，另一种是恒同变化 ，即把任何数映射到自身。这些 有非常良好的性质 无论它们怎么组合， 的复合仍然属于这个集合； 不管施加怎样的变换，总有另一个变换可以让根回到初始状态； 存在 这么一个无而治的变换。 可以看到， 的组合，非常类似于数的乘法。但这是一种只有乘法没有加法的运算（当然你偏要把它的运算叫做加法也没什么区别，那样就没有乘法）。满足这样运算规律的集合，我们称之为群。上面的 构成的就是能改变域 内元素顺序的 置换群 ，而且正好固定了 （将有理数映射到自身），而且没有固定 以外的元素（ 固定所有元素，但 只固定了 ，这里我们自然应当取小的那个域，也就是 ，这时 称为群的固定域）。我们就把这样的扩张称为 正规扩张 （或伽罗瓦扩张），把 构成的群叫做 伽罗瓦群 。在这个例子中，伽罗瓦群有 个元素（交换和恒同变换），而扩张的维数 也正好是 。可以证明，这两者是恒相等的。这就给了我们更多理由相信： 伽罗瓦群对于描述域扩张至关重要 。 群 固定 ，那什么固定 呢？答案是 。 这个元素是 的子集。如果单看 这个集合的话，你会发现它也是一个群，是 的子群（也就是说是它的子集，自己又形成群）。在这个例子中，群 就只有这么一个子群。那么要是别的群有非 子群（或者叫非平凡子群，平凡子群指的就是 ）呢？假如这样的子群存在，想必它固定的应该是介于 和 之间的某个域。我们这就来看一看。 方程 的三个根分别是 显而易见，这里的域扩张是 它对应的伽罗瓦群是 ，也就是图中 个数的所有置换，应该有 个元素，分别为 ，这个群相当于是三角形的所有对称操作，也就是说，将三角形翻转或旋转后，与原图形重合的所有操作。 图片来自 WolframAlpha 下表（称为凯莱表）列出了 的乘法规律 图片受 Wikipedia 启发 其中 代表旋转 ， 代表翻转。注意， 和 是不同的，可以通过画图来检验。这代表 是不可交换的（非阿贝尔群）。 另一种将群可视化的方法是凯莱图 图片受 wikimedia 启发 有了上面这些工具，我们就可以着手，来找一找 的子群。只要挨个去掉其中的元素，再检查剩下的部分是否构成群就能搞定。我们将 的子群和 到 的扩张一并画在下图 图片来自 Keith Conrad 这似乎太巧了： 子群的结构和域扩张的结构完全相同 。而这并不是巧合。再来一个例子：下图是域扩张 和它的伽罗瓦群 （ 相当于是正方形旋转翻转的对称群） 图片来自 Keith Conrad 结构仍然是一模一样。更加惊人的是，每一个子群，如 ，正好固定了它对应的域扩张： 。 这震撼的对偶关系，正是伽罗瓦理论基本定理 。上图中的域扩张并不都是正规扩张。伽罗瓦基本定理还表明，假如某个中间域是正规扩张，那么相应的子群就应该是正规子群：若 是 的子群，对于 ，则称 为 的正规子群，其中 表示 ， 类似，记作 。这个对偶关系，也正是两个”正规“的名字由来。 有了正规子群就可以定义 和 之间的除法（如果不是正规子群就不能定义）。 表示的，就是所有 这样的集合的集合，叫做商群——即，商群的每个元素都是 这样的集合（这种集合叫做陪集）。很容易定义商群上的乘法： （想想为什么可以这样定义）。 比如说我们要计算 的商群 ，其中 表示由 生成的群： G = S 3 ， H = ⟨r⟩ 我们圈出 的所有陪集，这里只有 和 自己 圈出陪集 这样，每一个陪集都是商群的元素 陪集收缩得到商群 这里我们没有严格数学语言的表述，也不想去抠证明的细节。但到此为止，证明的思路已经非常清晰了。 假如我们需要根式解，就是要由域 （一般来说这个 代表 ）扩张到域 ，那么两者之间应该有中间域 ，其中每一个域 都是前一个域 在根式 （这个 有可能是 ，可能是 ，也可能是任何整数的整次根）基础上进行的正规扩张。由于是正规扩张，所以伽罗瓦群 应该有一系列正规子群 出于一些不那么直观的原因，我们还要求每个商群 具有交换性（就是 ），满足上述两个条件的 被称为可解群。可以证明，方程根式可解性等价于对应的伽罗瓦群可解性。 那么这里我们就只需要看对应的伽罗瓦群了。经过复杂的步骤，可以证明，一般的 次方程，其伽罗瓦群为 阶置换群 （正好相当于把 个根进行排列！）。而 的置换群并不可解。 这样就证明了结论： 时方程没有根式解！ 我们用 的例子来说明群的不可解性。根据可解群的定义，可以得到一个结论： 可解群的子群都是可解群 。这样我们就可以转而观察 的子群。 的子群只有 和平凡子群，其中 是指五阶交错群，其中的每一个置换，都是偶置换，即，可以分解为偶数个 和 交换的形式（比如说 这样置换）。相比 的 ！ 个元素， 只有一半： 个元素，很容易画出它的凯莱图： A 5 的凯莱图 即使我们不去严格分析，也能看出 没有正规子群： 例如，把红色线连接的小五边形看做子群（这是个 阶循环群），如果它是正规的，那么从一个红色五边形出发的所有蓝色线段，都必须进入同一个陪集，也就是最邻近的另一个红色五边形。可惜这些蓝色线都进入了不同的红色五边形。 事实上，这种每个局部小多边形都尽量与其他小多边形连接的结构，会使整体结构非常稳定而坚固，对群除法这种结构拆解工作自然就不够友好。神奇的是，如果在上图中的每个圆圈处放一个碳原子，它们将组成稳定的足球形分子“巴基球”，这个名字来源于建筑学家巴克明斯特·富勒，此人建造了世界上最大的足球形建筑物。 富勒的作品 1999年，物理学家在奥地利的实验室中向双缝发射了“巴基球”的分子束，并观察到了干涉现象。这使得“巴基球”成为了人类实验能观测到双缝干涉的最大分子。 Buckminsterfullerene 再回到最初的问题。从以上的阐述，应该就能理解根式解不存在的原因了：根式的域扩张是有局限的。 也就是说五次以上的方程其实并不是“无解”，只是根式扩张无法做到。 那么是不是就应该有别的方法来进行域扩张呢？答案是肯定的。参见“雅可比 函数”。 注释 Galois theory for non-mathematicians Emil Artin， Galois Theory 来源： https://www.gnshuo.com/30968.html
个人分类: 数学|2880 次阅读|0 个评论
群论思想及其力量小议---高次方程不可根式求解的理解
nica 2020-7-13 16:30
内容简介： 本书从分析二次、三次、四次多项式方程求解过程开始,通过从两个角度观察它们的求解过程，抽象出核心数学概念“域”和“群”。接着，仍以方程求解过程为对象，围绕“域”和“群”，按数学方式进行提炼和抽象：发明“域”和“群”的数学运算，建立它们的对应关系，从而清晰地看到了高次方程不可根式求解的机理。不仅如此，本书还分析指出：微积分、复变函数、甚至诗歌、绘画，其创造过程与群论创建一脉相承，从而在更广泛意义上，揭示抽象的力量，抽象的化繁为简之美。本书宗旨就是希望通过重温或虚构群论发明的抽象过程，展示群论思想及其抽象的力量，揭示创造力的根源，启迪对教育宗旨和内涵的再思考、再定义。 本书可作为中学生和大学生的素质教育教材，也可供对数学、思想、创造力、教育等领域感兴趣的读者参阅。 本书特色： 用通俗的语言阐释群论思想及其力量，阐述群论发明与微积分、复数发明的相通之处，阐述群论发明与诗歌、绘画创作的相似之处，尝试一种新的数学科普写作方式，一种中学生素质教育和大学通识教育的方式。 本书将尝试回答以下问题：群论思想是怎么产生的？群论思想为什么有力量？群论发明与微积分、复数发明有什么相通之处？群论发明与诗歌、绘画创作有何相似之处？中学生素质教育、大学生通识教育是否有更好的方式？ 目录： 第1章 多项式方程的拉格朗日求解 第2章 域 第3章 群 第4章 域和群 第5章 高次方程不可根式求解的理解 第6章 域和群关系的再理解 第7章 群论思想诞生过程探究 第8章 群论、微积分、复数 第9章 群、诗、画 第10章 群论、原创力、教育 索引 图书信息： 作者：盛新庆 ISBN：978-7-302-51162-5 购买链接： https://item.jd.com/12491720.html 章节摘录：
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[转载]群论的创立：两个少年天才的接力
quantumchina 2020-7-6 08:52
我们生活的世界中，美丽的对称无处不在。不过喜欢认死理的数学家，则硬要用他们独特的语言来定义对称。在数学上，对称与群相关联。随着数论、代数方程和几何等研究方向的发展，“群论”这个无比重要的数学领域被开创建立。而这一伟大的贡献，则来自一位英年早逝的数学天才少年。 张天蓉 美丽的对称无处不在，它在我们的世界中扮演着重要的角色。自然界遍布虫草花鸟，人类社会处处有标志性的艺术和建筑，这些事物无一不体现出对称的和谐与美妙。 几何图形的对称不难理解，当人们说到“故宫是左右对称的”，“地球是球对称的”，“雪花是六角形对称的”，每个人都懂得那是什么意思。不过，数学家们总是喜欢认死理，硬要用他们独特的语言来定义对称。 用数学语言定义对称 从数学的角度来看待刚才的几个例子，对称意味着几何图形在某种变换下保持不变。 比如说，故宫的左右对称意味着在镜像反射变换下不变；球对称是说在三维旋转变换下的不变性；雪花六角形对称则是说将雪花的图形转动60、120、180、240、300度时图形不变。所以，对称实际上表达的是事物具有的一种冗余性。没想到吧，“上帝”设计世界时又耍花招偷懒了：利用镜像对称，他只须要设计一半！利用六角形对称，他的雪花图案只须画出六分之一！球对称的天体就更好办了，画出了一个方向的景色，就让它们去绕着一个固定点不停地转圈。 不过，“上帝”的这种偷懒办法让人类欣赏和喜爱，誉之为美，科学家们更是感觉它深奥无比而对其探索不止。他们发明出了一套又一套的理论来描述对称。群论，便是描述对称的一种最好的语言。 用数学语言定义对称的优越性之一在于容易推广。如果将对称概念从几何推广到物理研究中的一般情形，便被表述为：如果某种变换能够保持系统的拉格朗日量不变，从而保持物理规律不变的话，就说系统对此变换是对称的。 物理规律应该在变换中保持不变，这应该是显而易见的。试想，如果今天的某个定律明天就不适用了，或者是麦克斯韦方程只在伦敦适用，搬到北京就不适用了，那还叫做自然规律吗？研究它还有任何意义吗？当然不应该是这样的。 刚才举的例子中，今天到明天、伦敦到北京，这两个概念在数学上都称之为变换。前者叫做时间平移变换，后者叫做空间平移变换。但是，除了平移变换之外，还有许多别的种类的变换，物理定律难道对所有的变换都要保持不变吗？物理规律有很多，至少应该不是每一个规律对每一个变换都将保持不变。那么，这其中有些什么样的关系呢？ 首先我们研究一下，与物理定律有关的变换主要有哪几种，又是如何分类的。俗话说：“物以类聚，人以群分”。岂止人是如此，我们所讨论的变换也可以用数学上的“群”来加以分类。所以，变换用来描述对称，群用来描述变换，因此，群和对称，便如此关联起来了。 费马小定理与群论 群在数学上是什么意思呢？“群论”的概念来自于多个方面：数论、代数方程、几何。历史上有一个伟大的业余数学家叫费马，说他是业余的，是因为他的本职工作是一个地方上的法官，但他并非一般的“民科”，他在数学和物理上的贡献都非常了不起。 介绍的最小作用量原理，最早也是基于光学中的费马原理，该原理认为光线在空间中总是走最短（或极值）的路径。1637年，费马随便在他阅读的一本书的边沿空白处写下了一个看起来颇像勾股定理的公式：xn+yn=zn，并提出了一个猜想：当n大于2的时候，不可能有整数满足这个等式。 更玄乎的是，费马还在旁边加上了短短的一句话，意思是说他已经知道如何证明此公式但是那儿的空间太小写不下……这不是明显在吊别人胃口吗？因此，这个貌似简单的问题，竟让全世界的顶尖数学家们整整忙碌了300多年！这就是著名的费马大定理的故事。此外，费马还提出了一个费马小定理。费马小定理说的是有关质数的问题，可以简单表述如下：假如a是一个整数，p是一个质数，那么(ap-a)是p的倍数。 看了以上定义的费马小定理，大家的感觉也许仍然是云里雾里。不过无所谓，那不是我们的今天讨论的重点，重要的是，这个小定理和群论的发展有点关系。 简单地说，群就是一组元素的集合，在集合中每两个元素之间，定义了符合一定规则的某种乘法运算规则。说到乘法规则，我们大家会想起小时候背过的“九九乘法表”，比如图1a给出的，就是小于5的整数的“四四”乘法表。 欧拉在1758年证明费马小定理的时候，便碰到了这种类似的乘法表。不过，他将乘法规则稍微作了一些改动。比如在刚才所举小于5的“四四表”例子中，他把表中的所有元素都除以5，然后将所得到的余数构成一个新的表，如图1b所示。按照这种方法，类似于上述n=5的例子，我们可以对任意的n，都如此构造出一个“乘法余数表”来。 我们再仔细研究一下n=5的情况，就发现图1b中的四四余数表有一个有趣的特点：它的每一行都是由（1、2、3、4）这四个数组成的，每一行中四个数全有，但也不重复，只是改变了一下顺序而已。 上面的特点初看起来没有什么了不起，但欧拉注意到，并非对于每一个n用如上方法构成的乘法表都具有这个性质，而是当且仅当n是质数的时候，（n-1）个元素的余数表才具有这个特点。这个有关质数的结论对欧拉证明费马小定理颇有启发。 以现在群论的说法，图1b中的4个元素，构成了一个“群”，因为这4个元素两两之间定义了一种乘法（在这个例子中，是整数相乘再求5的余数），并且，满足群的如下4个基本要求，我们不妨将它们简称为 “群4点”： 1.封闭性：两元素相乘后，结果仍然是群中的元素；（从图1b中很容易验证）； 2.结合律：(a*b)*c = a*(b*c)；（整数相乘满足结合律）； 3.单位元：存在单位元（幺元），与任何元素相乘，结果不变；（在上面例子中对应于元素1）； 4.逆元：每个元素都存在逆元，元素与其逆元相乘，得到幺元。（从图1b中很容易验证） 两位不幸数学家的贡献 欧拉研究数论时，有了群的模糊概念，但“群”这个名词以及基本设想，却是首先在伽罗瓦研究方程理论时被使用的，这涉及到一个年轻数学家的悲惨人生。埃瓦里斯特·伽罗瓦（1811～1832年）是法国数学家，他在短短20年生命中所作的最重要的工作，就是开创建立了“群论”这个无比重要的数学领域。 伽罗瓦从小表现出极高的数学才能，但他厌倦别的学科，独独只被数学的“鬼魅”迷住了心窍，以至于这使他在求学的道路上屡遭失败。他多次寄给法国科学院有关群论的精彩论文，也未被接受：柯西让他重写，泊松看不懂，傅立叶收到文章后还没看就见“上帝”去了。对年轻的伽罗瓦来说，生活的道路坎坷，父亲又自杀身亡，卓越的研究成果得不到学界的承认，由此种下了他愤世嫉俗、不满社会的祸根。后来，法国七月革命一爆发，伽罗瓦急不可待地投身革命，最后又莫名其妙地陷入了一场极不值得的恋爱纠纷中，并且由此卷入一场决斗。最后，这位“愤青”式的天才数学家，终于在与对手决斗时饮弹身亡。 伽罗瓦第一个用群的观点来确定多项式方程的可解性。真是无独有偶，不幸的事情也往往成双。说到方程可解性，又牵扯到另外一位也是年纪轻轻就去世了的挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Abel，1802～1829年）。不过，阿贝尔不是愤青，他在27岁时死于贫穷和疾病。 我们在中学数学中就知道一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为： 对于3次和4次的多项式方程，数学家们也都得到了相应的一般求根公式，即由方程的系数及根式组成的“根式解”。之后，人们自然地把目光转向探索一般的5次方程的根式解，但历经几百年也未得结果。因为所有的努力都以失败告终，这使得阿贝尔产生了另外一种想法：也许包括5次方程在内的所有次数大于4的方程，根本就没有统一的根式解。 由于长期得不到大学教职，阿贝尔的生活毫无着落，贫病交加，但他始终不愿放弃心爱的数学。他成功地证明了5次方程不可能有根式解，但他却没有时间将这个结论推广到大于5的一般情形，因为病魔夺去了他短暂的生命。就在可怜的阿贝尔因肺结核而撒手人寰的两天之后，传来了他已经被某大学聘为教授的好消息。 “接力棒”传到了比阿贝尔小9岁的伽罗瓦手上。伽罗瓦从研究多项式的方程理论中发展出了群论，又巧妙地用群论的方法解决了一般代数方程的可解性问题。伽罗瓦的思想大致如此：每一个多项式都对应于一个与它的根的对称性有关的置换群，后人称之为“伽罗瓦群”。图2给出一个简单置换群S3的例子。一个方程有没有根式解，取决于它的伽罗瓦群是不是可解群。那么，可解群又是什么样的呢？这些概念大大超出了本文讨论的范围，在此不表，有兴趣者可参阅相关文献。 简单解释一下图2的置换群例子S3。给了三个字母ABC，它们能被排列成如图2a右边的6种不同的顺序。也就是说，从ABC产生了6种置换构成的元素。这6个元素按照生成它们的置换规律而分别记成（1）、（12）、（23）……括号内的数字表示置换的方式，比如（1）表示不变；（12）的意思就是第1个字母和第2个字母交换等等。不难验证，这6个元素在图2b所示的乘法规则下，满足上面谈及的定义“群4点”，因而构成一个群。这里所谓“乘法”不是通常意义上整数间的乘法，而是两个置换方式的连续操作。 图2b中还标示出S3的一个特别性质： 其中定义的乘法是不可交换的。如图2b所示，（12）乘以（123）得到（13），而当把它们交换变成（123）乘以（12）时，却得到不同的结果（23），因此，S3是一种不可交换的群，或称之为“非阿贝尔群”。而像图1所示的4元素的可交换群，被称之为“阿贝尔群”。S3有6个元素，是元素数目最小的非阿贝尔群。 两幅图描述的，是有限群的两个简单例子。群的概念不限于“有限”，其中的“乘法”含义也很广泛，只需要满足群4点即可。 如果你还没有明白什么是“群”的话，那就再说通俗一点（做数学的大牛们偶然路过看见了请不要皱眉头）：“群”就是那么一群东西，我们为它们两两之间规定一种“作用”，见图3的例子。两两作用的结果还是属于这群东西；其中有一个特别的东西，与任何其它东西作用后都“不起作用”；此外，每样东西都有另一个东西和它抵消；最后，如果好几个东西接连作用，只要这些东西的相互位置不变，结果与作用的顺序无关。 刚才所举两个群的例子是离散的有限群。下面举一个离散但无限的群。比如说，全体整数（……，-4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，……）的加法就构成一个这样的群。因为两个整数之和仍然是整数（封闭性），整数加法符合结合律；0加任何数仍然是原来那个数（0作为幺元），任何整数都和它的相应负整数抵消（比如：-3是3的逆元，因为3+(-3)=0）。 但是，全体整数在整数乘法下却并不构成“群”。因为整数的逆不是整数，而是一个分数，所以不存在逆元，违反“群4点”，不能构成群。 全体非零实数的乘法构成一个群。但这个群不是离散的了，是由无限多个实数元素组成的连续群，因为它的所有元素可以看成是由某个参数连续变化而形成。两个实数相乘可以互相交换，因而这是一个“无限”“连续”的阿贝尔群。 可逆方形矩阵在矩阵乘法下也能构成无限的连续群。矩阵乘法一般不对易，所以构成的是非阿贝尔群。 连续群和离散群的性质大不相同，就像盒子里装的是一堆玻璃弹子，或装的是一堆玻璃细沙不同一样，因而专门有理论研究连续群。因为连续群是n个连续变量之变化而生成的，这n个变量同时也张成一个n维空间。如果一个由n个变量生成的连续群既有群的结构，又是一个n维微分流形，便称之为“李群”，是以挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie，1842～1899年）的名字而命名。李群对理论物理很重要，“大统一理论”系列下一篇中，我们从与物理密切相关的几个例子出发来认识李群。 转自：算法与数学之美
个人分类: 数学|1771 次阅读|0 个评论
群论：说不完的伽罗华(Galois)
大毛忽洞 2020-6-25 02:55
2011年，欧洲数学学会（European Mathematical Society）出版了英文版的伽罗华数学作品（The mathematical writings of évariste Galois），作者是Peter M. Neumann。内容包括伽罗华的手稿，草稿纸，备忘录，等等，是系统展示伽罗华和群论的第1本英文版书籍。 这本书的作者说： Although there have been several French editions of his writings, there has never until now been a systematic English translation. Translations of historical material are of little use without the originals alongside, however. What is offered here therefore is a bilingual edition. 关于伽罗华(Galois)，有中文文献称为伽罗瓦。更有趣的是：中文文献多说他活了21岁，西文文献都说他活了20岁。 需要强调的是，岁数多大不是一个数学问题，更多是一个文化问题。例如，你多大了，“虚岁”和“实岁”就不一样。 如果较真，你多大了，答案可以五花八门。例如， 用年回答，则不考虑零头月； 用月回答，则不考虑零头天； 用天回答，则不考虑零头小时。 由此可见，最好不要纠缠人家的岁数问题，没有数学含量。 关于伽罗华，有一点是确定的和唯一的： 伽罗华 (Galois)：1811年10月25日出生，1832年5月31日逝世。 2012年，我录制视频公开课（魔方和数学建模）的时候，在第五讲，讲到了伽罗华(Galois)和群论。2012年我还没有看到欧洲数学学会的书，我也不懂法语，只能根据一些零碎的英文资料做出选择。今天对照欧洲数学学会的书，我讲的故事没有问题。伽罗华确实是群论的缔造者，换句话说，伽罗华最先告诉世人“大象是群论”，比伽罗华先触摸到“大象”的几位著名数学家，他们没有意识到“大象是群论”。 在《魔方和数学建模》的第五讲，为了把课程推向高潮然后谢幕，我串联了几个典故：徐迟的哥德巴赫猜想，卞和献玉，伽罗华和群论，盲人摸象，谢赫特曼和准晶体，谢赫特曼和Pauling，然后演示我的20个菱形头尾相接的3D动画，五讲《魔方和数学建模》谢幕。 当然了，那个 3D动画3D旋转的时候，课程达到了高潮，达到这个高度，需要精通群论，此时此刻，必须要提及伽罗华。 现在人们玩的五魔方（ 12面体），整体对称性和谢赫特曼的正20面体完全一样。 2012年，我在我的《魔方和数学建模》视频公开课的第五讲里说： 1829年　 不到 20 岁的伽罗瓦 把关于群论的手稿 也就是论文　交给了法国科学院 当时法国科学院　委托 著名的数学家柯西来鉴定 谁知　柯西　数学家柯西 把伽罗瓦的（有关）群论的手稿 当作普通石头丢弃了 第二年 伽罗瓦又重写了 关于群论的论文 又交给了法国科学院 这一次是著名数学家傅里叶经手的 不幸的是不久傅里叶就去世了 人们在清查傅里叶的遗物的时候 并没有发现伽罗瓦的关于群论的手稿 也就是说傅里叶也把伽罗瓦的手稿 当作普通的石头丢弃了 年轻的伽罗瓦于 1829－1832年间 提出了群论　但是直到他去世后的 14年 一个叫刘维尔的法国数学家 在他自己创办的《纯粹与应用数学杂志》上 刊出来之后才为世人所知 下面是英文版（ The mathematical writings of évariste Galois）作者Peter M. Neumann的演讲（PPT）：
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一把数学的尺子 ─ 哥隆尺
热度 2 jiangxun 2019-9-18 11:36
作者：蒋迅 本文发表在《中国工业与应用数学学会通讯》2019年第2期。 我的一位发小和我一样有保存老物件的习惯，他知道我的这个爱好，专门托人从北京带来了一把老式的尺子，非常漂亮。这把尺子就在我的起居室的茶几上。每次看到它就觉得应该写点什么。今天我们就来说说尺子里的数学。具体地说，我们要讲的是一种叫哥隆尺的数学概念，同时看看它有什么实际的应用。 1. 什么是哥隆尺 先说哥隆尺。哥隆尺真的是一把尺子。通常的尺子的标点之间的距离是均匀的。一把12英寸的尺子上有13个标点。这样的尺子可以度量介于1和12英寸之间的所有整数长度。 图1.一把普通的刻度尺 但是这样的尺子从数学上不是最有效的，因为对於单位长度1来说，我们有多种度量方法。事实上对上面的例子来说，有12种重复的方法。对於长度2、3、4等都有多种重复的度量方法。 图2.普通刻度尺有多种度量方法 那么有没有更为有效的尺子？具体地说，有没有一种尺子，它对每一个（整数）长度来说，都只有一个方法呢？由此引出了哥隆尺问题。 先来看哥隆尺的定义。一个整数集合 A = { a 1 , a 2 , ..., a m }, a 1 a 2 ... a m 是一个哥隆尺，当且仅当 对一切 i , j , k , l ∈ {1, 2, ..., m}, a i − a j = a k − a l ⇔ i = k 且 j = l . 一个哥隆尺上的点数 m 称为它的阶。它上面的最长距离 a m − a 1 就是它的长度。哥隆尺的正则形式是 a 1 = 0，并且当 m 2 时，有 a 2 − a 1 a m − a m -1 。这种形式可以通过平移和反射变换得到。 哥隆尺也可以看作是一个内射函数。一个满足 f (1) = 0和 f ( m ) = n 的内射函数 f : {1, 2, ..., m } → {0, 1, ..., n } 是一个哥隆尺，当且仅当 对一切 i , j , k , l ∈ {1, 2, ..., m}, f ( i ) − f ( j ) = f ( k ) − f ( l ) ⇔ i = k 且 j = l . 下面是一个哥隆尺的例子。这个尺子可以度量1到6个单位，并且每一个单位都只能用一种方法来度量。按定义，它是一个阶为4，长度为6的哥隆尺。 图3. 一把哥隆尺 这个哥隆尺用数列表示就是 {0,1,4,6} 。这四个数字就是刻度点的位置。我们也可以换两种表示。一种是7位0和1的数列： {1, 1, 0, 0, 1, 0, 1} ，也就是在有刻度点的地方用1，其他地方用0的数列。我们在后面将用这种二进制表示来描述哥隆尺的应用。还有一种表示是图表示：图的顶点是那些刻度点，任何两点之间用它们之间的距离表示。这两种表示法都在下图中。 图4. 哥隆尺的二进制表示和图表示 再来看一个4阶的哥隆尺。这个尺子的长度是11。 图5. 一把四阶哥隆尺 2. 美国数学家所罗门·格伦布 图6. 所罗门·格伦布 （ Solomon Wolf Golomb ） 哥隆尺是以美国数学家所罗门·格伦布命名的。按说它应该被译为格伦布尺。估计哥隆尺这个名字早于他本人的名字被引入中国。其实哥隆尺不是格伦布最早提出的。这个思想是由希顿（S. Siden）于1939年提出，并由巴布科克（W. C. Babcock）在1953年重新提出。格伦布用21个月从约翰霍普金斯大学获得了学士学位。当时他还没有到19岁。在1957年以论文“问题的素数的分布”获得了哈佛大学的硕士学位和博士学位。毕业后他到火箭喷气实验室工作。1963年加入南加州大学直到退休。他主要的研究范畴有通讯理论、编码理论、组合数学、数学游戏及数论等。他的涉猎之广实为惊人，他在涉猎的项目中模糊了“纯粹”和“应用”数学之间的区别。他命名了“多格骨牌”游戏，但他不局限自己于游戏中，而是利用这些离散的物件来帮助自己铺平了我们今天的数码世界。他开发的移位寄存器序列被广泛的运用于军事、工业和消费应用的识别。今天，数以百万计无线和移动电话的使用与移位寄存器序列来实现伪随机码直接序列扩频。他开发的格伦布编码是一种无失真资料压缩方法，在格伦布编码生成方法下，是以一个科斯塔斯阵列为中心的主要生成技术。科斯塔斯阵列可以看作是哥隆尺在二维的推广。格伦布正是在研究斯塔斯阵列的时候引起了人们对哥隆尺的注意。我们将在另一篇文章里介绍科斯塔斯阵列。与此相关的就是哥隆尺，它在射电天文学和加密学中得到应用，并由於格伦布的贡献而得名。 3. 完美哥隆尺 哥隆尺没有要求能度量在它长度之内的所有单位。但如果它能做到这一点的话，那么就称为完美哥隆尺。上面的4阶哥隆尺就是一个完美哥隆尺，因为它可以度量1到6之间的所有整数。这个概念很吸引人，但令人失望的是，当 n 4 时，不存在n阶完美哥隆尺。下面是全部的完美哥隆尺： 表1. 完美哥隆尺 我们后面将看到完美哥隆尺的一个应用。对完美尺的研究在其他条件下也有研究，当然不再满足哥隆尺的其他条件。比如有人提出“几乎完美尺”的概念。我们不详细介绍。 4. 最优哥隆尺 一个哥隆尺称为是最优的，如果不存在一个阶数相同的更短的哥隆尺。在上面的两个4阶哥隆尺的例子中，第一个是最优的，它的长度是6。可以证明4阶中不可能再有比6更短的了；第二个的长度也是6，但它不是最优的，因为它的长度是11。我们用 G ( m ) 记 m 阶哥隆尺的最佳值。那么， G (4) = 6 。我们下面将看到更多的 G ( m ) 值。 给定一个阶数 m ，构造一个 m 阶哥隆尺不是一个特别难的事情。匈牙利数学家埃尔德什·帕尔（Paul Erdos）和图兰·帕尔（Pal Turan）在1941年给出了 一个构造哥隆尺的方法 ：给定一个奇素数 p ，下面的点就生成一个哥隆尺： 2 pk + ( k 2 mod p ), k ∈ . 但是构造一个最优的哥隆尺则是一项困难的计算题目。目前还没有一种算法，也没人知道它的计算复杂度。寻找最优哥隆尺就是用最笨的办法：逐个筛选。反正对於任意的 m ， m 阶哥隆尺的个数是有限的。那么就一个一个试好了。当然这个数字太大了。我们必须用平行计算机。1997年， distributed.net 把世界上自愿参加的计算机联起来，在空闲的时候提供给它做这项工作。这项工作类似于寻找梅森素数的 GIMPS 项目。利用distributed.net，人们现在已经找到了最优27阶哥隆尺。distributed.net在2014年2月已经开始寻找28阶哥隆尺。下面是至今已经得到的结果： 表2. 全部27阶以内的哥隆尺 从这个表，我们首先看到，在已知的27个哥隆尺中，只有前4个是完美的哥隆尺（有效率100%）。注意上面的表中的年份是哥隆尺被证明是最优的年份，而不是那个哥隆尺被发现的年份。我们看到当 m = 5, 6, 7 和 11 时，有多于一个最优解。所以最优哥隆尺可能不是唯一的。显然，寻找最优哥隆尺很困难。事实上，当 m ≥ 20 的时候，人们唯一做的都是利用互联网上联机计算计算。对 m = 24 ，这个计算一共使用了555,551,924,848,254,200个终端，计算了1572天。5年后，计算机的能力都提高了很多，但 G (26) 的计算还是调动了3,185,174,774,663,455个终端，计算了24天。 G (27) 用了1822天。到写本文的时候， G (28) 的计算还在进行中，已经进行了1690天，完成了大约51.9%的任务。如果你有一台连在互联网上的计算机并愿意加入计算，可以参与这个项目。 下面我们简单地介绍一下 G ( m ) 的计算。我们具体地以 m = 6 时四个最优哥隆尺中的第一个为例： 图7.一把6阶（非完美）哥隆尺 这个6阶哥隆尺的长度为17。它不是完美的，因为它无法度量14和15。我们是通过上面的图观测得到这个结论的。我们也可以用一个计算表格来验证这个结论。这种方法实际上更重要，因为它易于在计算机上实现，而且在组合数学和几何学中都有应用。见下图。我们考虑由 {0, 1, 4, 10, 12, 17} 构成的6阶哥隆尺。将刻度点按顺序排列。为叙述方便，将它们记为 { a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 } 。用相邻两点的差 a i − a i -1 , i = 2, 3, 4, 5, 6 得到第2行的 1, 3, 7, 2, 5 ；然后用隔一个点的两个点 a i − a i -2 , i = 3, 4, 5, 6 得到第3行的4, 9, 8, 7；继续进行下去，用隔两个点的两个点 a i − a i -3 , i = 4, 5, 6 得到第4行的10, 11, 13；再用隔三个点的两个点 a i − a i -4 , i = 5, 6 得到第5行的12, 16；最后用 a 6 − a 1 得到第6行的17。 我们再次看到，这个倒三角形中缺少14和15。注意最后一行的17正好是这个哥隆尺的长度。所以寻求最优哥隆尺就是让这个数字达到最小。我们把上面的差分用 Y , j = 1, …, 16 来表示。上面的倒三角就是 所以，我们的目标就是让 Y 达到最小。一般地，如果阶数是 m 的话，那么我们要做的就是让 Y 达到最小。现在我们来看这些变量的关系。为了表达方便，让我们记 Y j = Y 。显然有 用这些条件可以编辑一个算法来计算 Y 15 的最优解。 下面的图显示了那些可以被哥隆尺度量的单位。其中密密麻麻的线条是可以被度量的部分，白色是不可度量的部分。百分比是可度量的有效度，即可度量的单位数与哥隆尺长度的比。按定义，当阶数小於等於4时，有效率是100%。基本上我们可以说，阶数越高，有效率越低，而且越大的单位越有可能不能被度量。 表3. 全部27阶以内的哥隆尺 5. 戈莱和他的波长隔离序列对 哥隆尺听起来似乎只是以个数学游戏，其实它有广泛的应用。诸如：在X射线晶体学中出现的衍射图案，信道编码技术中的卷积码，雷达和声纳技术，模式匹配和信息检索，用于同步光电探测器的代码，雷达脉冲编码，导弹制导代码，无线电频率指配，射电天文学，等等。详谈这些应用都需要较深入的专业知识。所以对每一个例子的介绍都会占用很大的篇幅。我们在这一节里试图用一个“波长隔离序列对”的例子给读者一些感受。 图8.马塞尔·戈莱（ Marcel J. E. Golay ） 在1950年代，美国数学家、物理学家和信息理论学家马塞尔·戈莱在研制光谱仪的时候，将具有特殊性质的0和1组成的序列用于多分光谱仪的设计上。我们来看一看这里的原理，以及我们如何利用哥隆尺来帮助他。 光谱仪是一种从电磁辐射源产生光谱的装置。这种装置可用于分析从未知白炽材料发出的光，以便建立其化学组成。当入射辐射包括多于一个波长时，人们通常希望将特定感兴趣的波长与背景辐射区分开。1951年，戈莱讨论了一种光谱仪设计，它通过处理两个“流”中的入射辐射来隔离感兴趣的辐射与背景辐射，每个“流”包括入口掩模，出口掩模和探测器。入口和出口掩模是不透明的表面，具有窄的，等间隔的矩形狭缝的图案，辐射通过该狭缝到达相同的探测器。它的工作原理是，如果背景波长的辐射总是以相等的量通过两个流，而所需波长的辐射通过两个流是不等量的，那么由两个探测器测量的总能量之差完全可归因于所需波长的辐射。戈莱的多缝光谱仪设计利用衍射来调节辐射通过两个流的通道。衍射导致辐射在通过狭窄的开口时弯曲。在每个入口掩模的（否则是不透明的）表面上刻有“开口”和“闭合”狭缝的图案; 入射辐射被闭合的狭缝阻挡，但穿过开口的狭缝并被衍射。由於衍射角随波长变化，这将入射辐射分离成光谱，这样每个波长通过光谱仪时可以对它们进行不同的处理。特别地，出口掩模类似地刻有开口和闭合狭缝的图案，其阻挡一些辐射并将其余辐射传递到检测器。由每个流传递的给定波长的辐射量由入口和出口狭缝图案确定。狭缝图案的选择必须可靠地隔离所需波长。 我们不妨假设期望的辐射不经历衍射，因此每当出口图案中的开口狭缝与入口图案中的开口狭缝对齐时将到达检测器。然后，如果波长 λ u 的背景辐射被衍射使得它到达出口掩模 u 向右或向左的位置（狭缝），那么只要出口掩模中有开口狭缝，波长 λ u 的辐射就会到达探测器。 u 分别位於入口掩模中的开口狭缝的右侧或左侧。可以通过简单地将两个出口掩模相对於入口掩模平移相应的量来处理所需辐射确实经历衍射的（更现实的）情况。 戈莱将入口和出口切口图案表示为二进制 {0; 1} 序列，其中0表示闭合狭缝，1表示开放狭缝。图2显示出了背景波长 λ 1 的辐射，其被一个位置向右衍射，穿过光谱仪的一个流的入口和出射掩模，以及与入口和出口狭缝图案相关联的二进制序列。所示的流允许波长 λ 1 的一次辐射通过检测器。 图9. 多分光谱仪的一个流的示例 戈莱提出，通过入口狭缝图案A和B以及具有以下特性的出口狭缝图案A'和B'，可以实现所需波长的有效隔离： 　　（a） A ' 是 A 的精确副本， B ' 是 B 的补码。 　　（b） A 中的开口狭缝的数量在开口狭缝处的距离 u 0 （从左到右读取）之后等於 B 中的开口狭缝的数量，其在距离 u 处由闭合的狭缝跟随，并且也等於通过开口狭缝在距离 u 处跟随 B 中的闭合狭缝的数量。 条件（a）保证通过入口狭缝图案 A 通过的所有所需辐射到达检测器，而入口狭缝图案 B 通过的所需辐射都不这样做。条件（b）保证背景波长的辐射总是由两个流相同地传递，无论它是向右（因此是开 - 闭条件）还是向左（因此是闭 - 开条件）衍射。 由於两个出口狭缝图案由两个入口狭缝图案确定，因此上述光学系统由有序对二进制 {0, 1} 序列 A 和 B ，分别代表入口狭缝图案 A 和 B 。图9中所示的系统对应于序列对 A = (11010), B = (10001) 。图10（a）显示了所需波长通过两个流的差分通道，而图10（b）显示了背景波长 λ 1 通过两个流的相同通道。 图10（a）通过多分光谱仪的两个流传输所需的辐射 图10（b）一个波长的背景辐射通过多分光谱仪的两个流 1951年，戈莱找到了满足条件（a）和（b）的序列的例子，长度为 3，5和 8。这些例子都在下表中。由於无法找到进一步的（非平凡的）例子，他表示“必须考虑到这种可能性，不存在超过8个狭缝的此类模式的解决方案。”他将注意力转移到解决问题的替代方案上 ─ 一个使用两行狭缝而不是一行的图案，使用现在称为戈莱互补序列对的可以无限长度构建图案。在接下来的六十年里，对於适合单排入口狭缝图案的序列的搜索显然已被遗忘。 表4. 戈莱互补序列对 6. 波长隔离序列对的新发现 戈莱的猜测也对也不对。不对的原因是后来人们又找到了两对新的波长隔离序列对，事实上，用我们在本文介绍的哥隆尺就可以帮我们找到；对的理由是，再找到新的波长隔离序列对已经很困难。这个结果是简·沃德林格（ Jane Wodlinger ）在2009年得到的。 让我们先引入一些记号。令 A = ( a 0 , ..., a n -1 ) 是一个长度为 n 的二进制数列，令 x , y ∈ {0,1} ，对任意一个正整数 u , 0 ≤ u ≤ n ，定义集合 S A ( x , y , u ) = |{( j , j + u ): ( a j , a j + u = ( x , y ) 且 0≤ j ≤ n − u }| 为 A 中的那些包含了某个位置上的值是 x 而且在这个位置后的距离 u 处正好是 y 值的点的数目。例如，如果 A = (10100100) ，那么 S A (1,1,3) = 1, S B (1,0,4) = 2 。这是因为当 x = 1, y = 1, u = 3 时，只有 a 2 = 1, a 5 = 1 满足条件；当 x = 1, y = 0, u = 4 时，有 a 0 = 1, a 4 = 0 和 a 2 = 1, a 5 = 0 满足条件。记 w ( A ) 为 A 中1的个数。下面我们可以给出波长隔离序列对的一个精确的数学定义： 令 A = ( a 0 , ..., a n -1 ), B = ( b 0 , ..., b n -1 ) 为两个长度为 n 的二进制序列。我们说 ( A , B ) 是一个波长隔离序列对，如果它们满足以下两个条件： 　　（1） w ( A ) ≥ 1, 　　（2） S A (1,1, u ) = S B (1,0, u ) = S B (0,1, u ) ，所有的 1 ≤ u ≤ n 。 可以验证，一个满足这个定义的波长隔离序列对可以用于戈莱的多分光谱仪的入口狭缝图案并确保一定波长的辐射能够通过。不失一般性，我们可以取 a 0 = 1 。否则我们只要做左平移就可以了。而且，如果 ( A , B ) 是一个波长隔离序列对，那么 ( A , B ') 也是一个波长隔离序列对，因为我们有 S B (1,0, u ) = S B (0,1, u ) 。因此，我们可以假定 w ( B ) ≤ n /2 。另外，对任何长度 n ，总有一个波长隔离序列对，即 A = (1 0 ... 0), B = (0, ..., 0) ，但这个平凡的波长隔离序列对没有什么实际意义。下面我只考虑非平凡的波长隔离序列对，即 w ( A ) 1 。 下面的表内的前三个是戈莱找到的，后面两个是在2009年找到的。 表5. 波长隔离序列对 这后两个波长隔离序列对是基於下来的结果： 令 R 为一个长度为 n 的 m 阶完美哥隆尺。对每一个整数 j 满足 0 ≤ j ≤ n ，记 　　 那么 　　 就是一个长度为 n + 2 的波长隔离序列对，同时 　　 是一个长度为 2 n + 1 的波长隔离序列对。 我们把这个证明省略掉。让我们回顾所有的完美哥隆尺（ m 1 ）。在下面的表中，我们把哥隆尺的二进制表达和各自产生的两个波长隔离序列对都罗列出来。 表6. 哥隆尺的二进制表达和各自产生的两个波长隔离序列对 我们看到，新产生的两个波长隔离序列是3阶完美哥隆尺所产生的第2个和4阶完美哥隆尺所产生的第2个波长隔离序列对。2阶完美哥隆尺所产生的第2个看上去与第一个不同，但实际上它与第1个是互补的。戈莱把其中的第1个忽略了。这样，我们就得到了全部已知的5对波长隔离序列对。 上面的构造方法基於完美哥隆尺。但由於没有高于4阶的完美哥隆尺，所以这个方法不能帮助人们得到新的波长隔离序列对。是否存在其他的波长隔离序列对还是一个未解的问题。 7. 射电望远镜阵列 射电天文学有两个研究课题。一个是通过接受来自宇宙的未知无线电电波来发现新的天体（如电波星系、类星体、脉冲星和天文物理迈射）；另一个是通过观测已知天体的位置来观测地球上的大陆板块移动。当人们寻找新的天体时，他们主要是要确定电波的角度；当人们研究地球板块的移动时，他们主要是通过计算已知天体发射的电波的角度变化来确定地球板块的变化。当然他们所使用的不是一个单一的射电望远镜。他们使用的是甚长基线干涉测量技术，多个天文望远镜同时观测一个天体，得到的观测效果是模拟出一巨型望远镜。优化这些望远镜之间的距离就可以利用哥隆尺。 美国地球物理学家，国家海洋和大气管理局的道格拉斯□罗伯逊（Douglas S. Robertson）是第一位尝试这个方法的科学家。他发现了13阶哥隆尺。这样他就可以知道应该把一组望远镜安装到什么地方。在射电天文学中使用哥隆尺的例子并不多，因为望远镜的安装受到地理位置的限制，而且望远镜之间的距离可以不是整数点。但这不妨碍人们从数学上知道我们应该选择的安装位置。让我们进一步了解一下甚长基线干涉测量技术的原理。 图11. 一组射电天文望远镜的安装 最简单的无线电干涉仪由两个天线组成，彼此之间的距离为 D （也称为基线）。点源到两个天线的瞬时反应可以在由点源和两个天线组成的平面上进行分析。对於段时间段来说，两维模型具有足够的近似。（但是在长时间段来说，由於必须考虑地球的自传，人们需要三维模型。）我们假定点源非常非常遥远。瞬时波面看作是一个平面。如图，具有方向角 θ 的波面在不同的时间到达两个天线。波面到达右边的天线比左边的天线要早 τ g = ( D / c ) sinθ. τ g 称为几何延迟，其中 c 是光速。我们可以看出，如果我们有一组天线，那么我们应该让它们中两两之间的距离都不同（或者不接近），不然的话，我们得到的数据就出现了重复。往后的计算比较复杂，要涉及到傅里叶变换。我们不再深入讨论天文学家是如何使用这些数据。 在天文学上，无线电干涉仪不是唯一可以使用哥隆尺的地方。望远镜的口径也可以用到哥隆尺。未来美国宇航局基於太空的天体物理学任务需要在跨越紫外，可见和红外光谱的波长处获得高角度分辨率图像。然而，实现所需的分辨率对於单口径既不实用也不具有成本效益。 例如，类似于远红外线中的哈勃太空望远镜的分辨率需要直径为一千米的单口径望远镜。 相比之下，多口径与干涉测量技术相结合，能够以成本效益的方式实现高分辨率数据。 8. 结束语 哥隆尺源于应用走向计算。这个概念不难理解，但它给人们留下的是一些未解的问题。更重要的是它给人们的推广开启了思路。有了哥隆尺的准备，我们将在后续篇中介绍它在二维的推广：科斯塔斯阵列。 参考文献 A. Rangel, The Golomb ruler problem and a first model, https://acrogenesis.com/or-tools/documentation/user_manual/manual/objectives/golomb_first_model.html . Solomon Golomb, Rulers, and 52 Master Pieces, Math Munch, https://mathmunch.org/2016/05/05/solomon-golomb-rulers-and-52-master-pieces . Golomb Ruler, Wolfram Math World, http://mathworld.wolfram.com/GolombRuler.html . distributed.net. Project OGR. http://www.distributed.net/ogr . J. Malkevitch, Weird Rulers, AMS Feature Column, January 2012. T. Rokicki, G. Dogon, Larager Golomb Rulers, G4GX, 2012. K. Drakakis, A Review of the available construction methods for Golomb Rulers, Advances in Mathematics of Communications, Volume 3, No. 3, 2009, 235-250. J. Wodlinger, Costas Arrays, Golomb Rulers and Wavelength Isolation Sequence Pairs, MS. Thesis, Simon Fraser University, Spring 2012. N. Memarsadeghi, NASA Computational Case Study: Golomb Rulers and Their Applications, IEEE Computing in Science Engineering, Volume: 18 Issue: 6. A.K. Dewdney, The search for an invisible ruler that will help radio astronomers to measure the earth, Computer Recreations, Scientific America, 1995. S. Baar, The Westerbork Synthesis Radio Telescope (WSRT) Legacy Survey: Radio Relics in Galaxy Clusters, Master-Thesis, Friedrich-Schiller-University Jena, 1987.
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【数学应知道】陶哲轩：封闭的单字映射
jiangxun 2019-2-11 09:02
作者：蒋迅 来源： 单字 (群论) 和Terance Tao: Word maps close to the identity 。 根据 维基百科 ，在群论中，单字是群的任何元素和它们的逆元写成的乘积。例如，如果 x, y 和 z 是群 G 的元素，则 xy, z -1 xzz 和 y -1 zxx -1 yz -1 都是集合 { x, y, z } 形成的单字。字在自由群和展示理论中扮演重要角色，并是组合群论的中心研究对象。 下面的内容来自陶哲轩的博客： 当我与一位UCLA的博士后（ March Boedihardjo ）聊数学的时候，我们聊到了下述问题。我们已经解决了它，但是我们的证明很漂亮，并且找到这个解的过程也很有意思。所以我想在这里写出这个问题，算作是一个迷题，以后再给出解答。 这个问题涉及到矩阵群上的单字映射。为了本文的讨论，我们将假定这个群是一个实3X3矩阵的特殊正交群 SO(3) (这是包含 自由组 的最小矩阵群之一，顺便提一下，这是 巴拿赫-塔斯基分球怪论 的关键观察点)。给定一个抽象单字，它具有两个生成元 x, y 和它们的逆（即自由群 F 2 ），我们可以简单地定义单字映射 w : SO (3) X SO (3) → SO (3)，就是把一对儿矩阵代如这些生成元中。比如，如果有一个单字 w = xyx -2 y 2 x ，那么相应的单字映射 w : SO (3) X SO (3) → SO (3) 由下式定义：对於任意的 A, B ∈ SO (3)， w ( A, B ) := ABA -2 B 2 A 因为 SO (3) 包含了自由群，所以我们看到当且仅当单词本身是非平凡的时候，单词映射是非平凡的（不是恒等）。 　　好了，下面就是这个问题： 　　 问题 。是否存在一个非平凡单词映射序列 w 1 , w 2 , ...: SO (3) → SO (3) 是一致收敛到恒等式的？ 换一句话说，给定任何一个 ε 0，是否存在一个非平凡的单词 w ，使得对於任意的 A, B ∈ SO (3)，有 || w ( A, B ) - 1|| ≤ ε ？这里 |||| 是算子的模，1 是 SO (3) 的恒等矩阵。 正如我所说，我不想破坏解决这个问题的乐趣，所以我会把它作为一个挑战。 欢迎读者在下面的评论中分享他们的想法，部分解决方案或完整的解决方案。
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专题讨论班：窥一群而见全论（唐石安）
GrandFT 2019-1-20 11:21
题目：窥一群而见全论 主讲： 唐石安 时间：2019年1月21日（星期一）下午2:00 地点：天津大学新校区32教学楼302室 内容：用D3群为例子来简单的了解一下群论的各个基本概念，比如群定义，陪集，共轭类，直积，不变子群，不可约表示，特征标等等 主讲人：唐石安 参考文献：《群论讲义》李新征 北京大学（未出版，网站上有电子版）
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不要指望未来科学的发展会改变元素周期表的形式
热度 4 mbchen 2018-6-21 22:06
很长时间以来，化学界关于元素周期表本质的认识：要么是回顾历史过程，可那是个充满猜测的历史；要么希望看到具体化学性质的周期变化，可是遇到具体性质难以数值化的困难。即便想从电子结构考虑，可薛定谔方程宛如一层不透明的外壳，难以透过它发掘隐藏在化学性质背后的物理本质。于是，有些中外化学家至今还误认为对元素周期表本质的认识还有待发展，他们误以为：随着未来的科学发展，包括新元素的实验发现、稳定岛元素的实验合成、相对论效应的探索……等等，元素周期表会具有新的形式 。显然，他们不是指元素周期表外表形式的多样性或艺术性，那无关紧要。 这表明：这些化学家没有看到对称性在其中的决定性作用。实际上： 1、对元素周期表物理本质的认识是在量子论发展的过程中顺带完成的。早在1950年代之前就完全搞清了周期表的物理本质：一是原子核电荷Z的因素；二是自由原子外形的球对称决定了原子内电子状态的角分布；这两个物理根源：核电荷与球对称；在化学界，前者人人都知道，而后者知道的人却不多。 2、元素周期表表达的是自由原子的化学行为，自由原子的球对称是电子状态的第二位决定因素。单凭Lie群就可以从球对称求得电子云的角分布。 3、所以，元素周期表的物理本质已成定论，未来的科学不可能改变它。 无疑，微观世界中自由原子的电子云服从球对称。而宏观世界鼓膜的振动也服从二维的“球对称”。两者有共性。对称性是自然界的一种有时是显而易见的性质。研究对称性的学问是群论。群论运用于物理学、化学的基本思想在于：对于自然界的许多规律，哪怕我们对其物理具体内容还不知道、实验证据还不足，但是可以单凭问题中明显可见的对称性质，就可以从理论上演绎出一些重要结论，尽管这些结果不是体系性质的全部行为，但却是体系必须严格服从的约束。 1925到1930年代间在旧量子论的基础之上建立了量子力学，其中解释原子、分子光谱是关键课题之一。德国数学家Hermann Weyl（1885-1955）、美籍匈牙利数学家John von Neumann（1903-1955）、美籍匈牙利理论物理学家Eugene Wigner（1902-1995）和荷兰理论物理学家Hendrik Casimir（1909-2000）运用群论成功地对原子光谱作出量子力学的正确解释。开启了对称性研究物理学根本规律的重要途径。也随带把元素周期表的（除了核电荷之外的）物理本质问题彻底搞清了。 图1 Lie群的创立者挪威数学家S. Lie（左）。德国数学家Hermann Weyl（中）和美籍匈牙利理论物理学家Eugene Wigner（右）。1963年Wigner因群论运用于量子力学、原子光谱而荣获诺贝尔物理学奖。 很长时间内，只有数学大师们才认识到群论在科学中的最高地位，认为群论是现代数学中概括性最强、影响最大的分支。S. Lie说：“群能解决一切问题。”F. Klein说：“群把整个数学统一起来了”。H. Poincaré说：“群论就是那抛弃其内容而化为纯粹形式的整个数学。” I. Gelfand说：“全部数学就是某种类型的表示理论。”正是群论中的表示理论将抽象的群元变换成可以具体操作的对象。表示理论将数学中貌视不同的各个分支贯通起来，所以说群把整个数学统一起来了。 零散的知识不算科学，知识被系统化继而形成统一、自洽的理论之后才是科学。群论就是一门不但将数学各分支系统化、贯通成整个数学理论框架的学问；它后来又在物理学和化学科学达到极高的地位，起到纲举目张的作用 。 对称性是体系的一种全局性质。化学家熟悉的对称性有晶体外形的对称性、分子结构的对称性和原子、分子轨道的对称性。不用先求分子轨道的具体解，人们就可以单凭分子结构的对称性，从群论得出可能存在的几种分子轨道及其能级分布。不符合对称性的轨道一定是不存在的。不过，化学家熟悉的以上对称性都属于离散群，群中的对称操作（即群元）总数为某个有限大的整数。但是，对于自由原子那样属于球对称的物体，在指定通过球心的旋转轴后，绕轴旋转的角度是可以连续变化的、总数无穷大的实数值 ，另外，旋转轴在空间中的取向又是可以连续变化的，所以它属于连续群，群元总数无穷大，需要用群论中的一支Lie群，来分析 。 Lie群的基本概念是只需考虑恒等变换附近的无穷小变换。就可以把研究无穷多个群元的Lie群的表示问题化为研究有限个无穷小生成元的表示问题，即Lie代数的表示问题。找到了Lie代数的不可约表示也就找到了Lie群的不可约表示。可以用群论严格证明，符合某种对称性本质上就是描述该体系（无论是宏观还是微观）整体行为的任意函数一定要受到该对称性的严格约束，不符合对称性的函数一定不是问题的解。Lie群理论 证明了三维旋转球对称所属的SO(3)群或SU(2)群的第II类可对易的完备算符集，其共同的本征函数集就是球谐函数 ， （1） 其中 为联属Legendre多项式， l = 0,1,2,…，和m = -l,-l+1,…, l-1, l。换言之，这一组球谐函数{ Y lm (θ,φ)}在方位角θ = 和φ = 区间内构成一组正交归一完备函数集。这样的表述是严格的、天衣无缝的，且不可能由其他函数集来展开。正如，不同频率的正弦波全体可以描述任意平面波，却不能用来描述具有球对称体系的球面波状态，哪怕只描述其中一个球面波也做不到。l = 0,1,2,3,4,5,…分别就是s, p, d, f, g, h,…状态；每个l具有2l +1个不同的m状态。 所以对于自由原子，不用求薛定谔方程，单凭Lie群就可以得到其中电子轨道的部分信息。因为这里讨论的三维空间只有(θ,φ)两个方位角，可见Lie群给出的解其实是电子状态的角分布。结果与解薛定谔方程得到的类氢原子中的电子状态的角分布是完全相同的，殊途同归。 所以，撇开元素周期表外表形式的多样性或艺术性不谈（那无关紧要），元素周期表的物理本质已成定论，未来的科学不可能改变它。 当然，无论如何上述误解还属于科学之内的认识。令人匪夷所思的是，居然还有人走得更远，企图用周易的阴阳说来“解释”元素周期表 。 他们这些学者（的确是科班学者，只是看来不諳物理学、化学、数学）声称可以运用《周易》的阴阳八卦理论探讨元素周期表问题。其实，只要看任意一本群论入门书的前10页，反复几遍、思索一番，很容易看出：即便用现代数学的概念把《周易》阴阳论的含义抬高，充其量也只是个二阶群C 2 ；所谓黑白、阴阳、男女……之间的“由此及彼”的关系就是C 2 群中的两种群元：恒等元I和C 2 元。C 2 群是最简单的一种群，只代表自然界中最简单的的一种事物间的关系（即对称性）。而自然界万物间存在的关系实际上远不止二阶群一种，还有好多种群，代表更复杂的事物间的关系。人们误以为阴阳八卦可以“由此及彼”覆盖自然界中任意事物之间的联系，其实在这一点上《周易》远远无法与群论相比。群论是现代科学的代表。 群之间可能存在从属关系，一个群可以是另一个群的子群。例如二阶群C 2 是三维旋转群R3的子群。R 3 又是代表球对称的SO(3)群或SU(2)群的子群。上述自由原子的球对称性就属于SO(3)群，不属于二阶群，或二阶群只是SO(3)群的一个子群。既然子群的完备集不可能也是“母”群的完备集，所以二阶群C 2 的《周易》是绝对无法理解元素周期表球对称的本质的 。 周易论者遇到s, p电子有2+6 = 8，就非要与《周易》八卦中的“八”硬凑在一起。即使凑上几个元素，此后d, f电子的10与14怎么凑呀？将来g, h电子的18与22又怎么凑呀？凭群论就可以断言这样的硬凑毫无价值。 两千年之后，人们还陶醉在《周易》阴阳论这二阶群中，误以为万物之间只有这一种事物间的关系。他们没看到自然界中万物之间还有很多种其他关系（很多种群），那是明摆的现实。宇称也属于一种对称性，难怪，以破除宇称守恒定律著名的杨振宁先生一眼就看出问题，振聋发聩地指出：《易经》影响了中华文化中的思维方式，是近代科学没有在中国萌芽的重要原因之一 。 谨以此文，发扬现代科学的光大，让阴阳论留在故纸堆吧。那绝对不值得提升为公民科学素质的基准之一，除非你还不懂群论。 参考文献 Scerri, E., Selected Papers on the Periodic Table , London: Imperial College Press, 2009 . Scerri, E., The Dual Sense of the Term Element, Attempts to Derive the Madelung Rule, and the Optimal Form of the Periodic Table, If Any, Int J Quantum Chem , 2009 , 109: 959-971. 周佳伟，占小红，“寻求元素位、构、性的统一：元素周期表的形成与发展”，科学, 2017 , 69(1): 45-49。 杨奇、高胜利等人，“再论化学元素周期表的形成和发展”，大学化学, 2017 , 32(6): 46-67. 陈金全，《群表示论的新途径》，上海科学技术出版社， 1984 年；pp.1-2, 67-69, 221-230.（1987、2002年两次出版英文版。这是本享有国际声誉的书，让熟悉量子力学的读者不再把学习群论视为畏途）。 Thyssen, P.; Ceulemans, A., Shattered Symmetry: Group Theory from the Eightfold Way to the Periodic Table , Oxford University Press, 2017 ，（迄今最简单且有实际内容的一本Lie群入门书，直指元素周期表）。 Schwichtenberg, J., Physics from Symmetry , Springer, 2015 .（Lie群的入门书） 徐道一，《周易科学观》，北京：地震出版社， 1992 年；159-168页。 陈敏伯，“评《周易科学观》对元素周期表的解释”，科学文化评论, 2005 , 2(2): 108-117. 杨振宁先生2004年9月3日在人民大会堂举行的“2004文化高峰论坛”上所做题为“《易经》对中华文化的影响”的报告。http://blog.sciencenet.cn/blog-39840-728842.html
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群论学习资料备忘录(凝聚态物理专业)
XRC0808087 2017-10-23 16:30
凝聚态物理可能用到的群论知识包括：晶体结构的对称性、群的表示理论、张量的对称性、能带对称性和晶格振动的对称性等。对称性和群论的学习并是不一蹴而就的，需要按照一定的顺序学习（如下图）。这里整理了一些我认为比较好的适合凝聚态物理的群论学习书籍和网站。 图 群论的学习流程 推荐书籍及其简介 ( 不断更新中 ) 编号 书名 作者 出版社 学习内容和章节 1 晶体结构的对称群 俞文海 中国科学技术大学出版社 晶体结构对称性入门书籍（全书） 2 晶体学基础-卷I（对称性和结构晶体学方法） 伐因斯坦等著，吴自勤等译 中国科学技术大学出版社 晶体结构的对称性操作学习补充书籍（1-4章） 3 国际晶体学表（卷A）-空间群对称性 THEO HAHN Springer 晶体结构对称性工具书 4 晶体物理学基础 陈纲等 科学出版社 本书主要介绍张量的对称性，如果想了解各种张量请参考各章节 5 群论及其在固体物理中的应用 咯兴林 高等教育出版社 需要了解群的基本概念和群论与量子力学（1-5章）。关于能带和声子的内容可以参考具体的书籍。 6 群论与固体能带结构 胡德宝 吉林大学出版社 1-2章群的基础知识，3-7章为能带对称性的重点知识。 7 晶格振动光谱学 张光寅等 高等教育出版社 1-3章晶格动力学基础知识，如果要了解拉曼光谱请学习第4-8等章节 另外，一些有用的网站： 《化学应用群论（台湾国立交通大学）》学习视频： 优酷网链接 空间群对称性操作： http://www.cryst.ehu.es/ （ Bilbao Crystallographic Server ） http://img.chem.ucl.ac.uk/sgp/mainmenu.htm （230个空间群的对称性操作） 晶格振动、红外和拉曼： http://www.cryst.ehu.es/rep/sam.html 布里渊区k点波矢群： http://www.cryst.ehu.es/cryst/get_kvec.html 点群的特征标表： http://gernot-katzers-spice-pages.com/character_tables/index.html （化学中常用点群的特征标表） http://www.cryst.ehu.es/cgi-bin/cryst/programs/representations_point.pl?tipogrupo=spg （点群） http://www.phyast.pitt.edu/~snoke/resources/pointgroupshtml4thEd/PointGroupsFrame.html （双点群） http://www.cryst.ehu.es/cgi-bin/cryst/programs/representations_point.pl?tipogrupo=dbg （双点群） 判断晶体对称性网站： FINDSYM: http://stokes.byu.edu/iso/findsym.php
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伽罗瓦理论之美
热度 29 zhaohaotong 2017-4-14 17:37
伽罗瓦理论之美 【 写这篇文章不是给学习近世代数的人用的，而是给不熟悉数学的人看的。哪怕不能完全看懂，也希望人们能了解数学研究所达到的高度，希望能够领略数学之美。 】 伽罗瓦（ varisteGalois ，1811～1832），一个21岁就去世了的年轻人，开创了现代代数学的先河。他创建的群论、域论，优美奥妙，已经成为现代代数学的基本工具。我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论，随着理解的深入，我内心不断感受到震撼，心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上 最优雅的旋律一样，不由自主的希望与别人共享。遗憾的是，数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。伽罗瓦理论虽然优美，但是却足够深奥，除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外，尚不能被普通大众所理解。 可是我不甘心，我期望着尽自己的努力，用最简明通俗的语言，尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导，而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人，伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事，一边尝试着攀登这座高峰吧。 首先，我们来引用伽罗瓦的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify themaccording to their complexities rather than their appearance; this, I believe,is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in thiswork.” （ 跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类；我相信，这是未来数学的任务；这也正是我的工作所揭示出来的道路。 ） 当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候，没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑中存在了1年多的时间了。甚至是在伽罗瓦第二天参与一个愚蠢的决斗而死后的14年内，都没有人彻底弄明白伽罗瓦写的到底是什么，他头脑中那伟大而天才的数学结构是怎样的？看看这些霸气的名字吧，高斯、柯西、傅立叶、拉格朗日、雅可比、泊松、……，这些在那个时代、同时也是人类历史上的伟大的数学家、物理学家都没有理解伽罗瓦的理论，从这个意义上讲，伽罗瓦恐怕是人类历史上最具天才的数学家了。 让我们先来看一些对比： （1）1824年，挪威数学家阿贝尔发表了《一元五次方程没有一般代数解》的论文，用了50多页的篇幅和大量的计算，论证了对于一般的一元五次方程是不可能根式求解的。当时阿贝尔的证明今天看来，充满着智慧和复杂的计算，但是仍不够严谨。当我们今天使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候，论证过程为“ 一般一元五次方程的伽罗瓦群同构于全置换群S 5 ，而S 5 不是可解群，因此一般一元五次方程不可根式求解。 ” （2）1801年，年轻的24岁“数学王子”高斯通过复杂的计算推导，证明了x p -1=0（p为素数）是可根式求解的，证明过程使用了大量计算技巧，充分展示了高斯的数学计算天赋。今天我们使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候，论证过程为“ 方程x p -1=0（p为素数）在有理数域Q上的伽罗瓦群同构于素数阶模p同余类乘群Z p ，而Z p 是循环群，必为可解群，因此方程x p -1=0可根式求解。 ”甚至我们可以类似的论证p不为素数时的方程x n -1=0在Q上的伽罗瓦群同构于模n同余类乘群Z ’ n ，为可换群（阿贝尔群），必为可解群，因此方程x n -1=0可根式求解。 伽罗瓦理论还可以轻松的解决正n边形的尺规作图问题，证明三等分角、倍立方、化圆为方（这个有赖于π是超越数的证明）的尺规作图不可能问题。今天，伽罗瓦的理论已经发展成叫做“近世代数”（又叫抽象代数）的一个专门数学分支，其应用拓展到了拓扑、微分几何、混沌等前沿数学研究领域以至于物理、化学等众多科学领域，成为了现代科学研究的重要基础工具。1994年英国数学家安德鲁·怀尔斯（AndrewWiles）证明著名的“费马大定理”的时候，就主要应用了伽罗瓦理论。 当看到一大批通过繁杂计算很难得到证明的问题，能够被使用精巧的数学结构来简洁而精准证明的时候，你也许开始感受到伽罗瓦理论的优美——但这仅仅是一个开始。从这个“开始”，我们会逐渐感受到伽罗瓦所说的“Jump above calculations, group the operations.”的含义。那么伽罗瓦到底发明了什么数学结构和工具，使得原来复杂的问题变得清晰起来了呢？ 一、更高层次的抽象——群、环、域 【伽罗瓦的故事】 有人说“数学也许只存在于数学家的头脑之中”，至少数学是发端于数学家头脑的。1823年，12岁的埃瓦里斯特·伽罗瓦进入了他的第一所学校——路易·勒格兰皇家中学，一所声望很高但相当专制的学校，但是直到16岁，伽罗瓦才被准许读他的第一门数学课程。虽然12～16岁期间的伽罗瓦没有机会研究数学，但是这时期法国社会上和学校中发生的一些事件点燃了他的共和主义倾向，奠定了他日后参与政治的悲剧人生的基础。 原本成绩优秀的伽罗瓦一旦开始学数学，就像变了一个人，变得对其它课程都不重视，而只醉心于数学这一门课程。学校给他的评语是“ 该生只宜在数学的最高领域中工作，这个孩子完全陷入了对数学的狂热之中。 ”没有人知道16～18岁中学时期的伽罗瓦头脑中在想些什么，人们只能从表面上看到他所掌握的数学知识足以通过中学的考试要求，但是他对问题的解答往往让考官理解不了。更糟糕的是，他经常把大量的演算放在头脑中进行，使得平庸的考官们更为茫然和沮丧。 现有的材料表明，17岁的伽罗瓦已经开始研究一般的一元五次方程求解的问题了，他曾提交了2篇论文给法国科学院，当时的评审专家是著名数学家柯西。柯西显然被伽罗瓦的论文所震惊，他建议伽罗瓦重新以专题的形式提交这两篇论文，并参加数学大奖的评审。这期间正赶上伽罗瓦的父亲因政治原因而自杀，伽罗瓦在参加完父亲的葬礼后，把改好的专题论文提交给了法国科学院秘书、著名数学家傅立叶。可惜的是，傅立叶在评审前几个星期就去世了，在这个过程中伽罗瓦的论文也丢失了，从而失去了参加评奖的机会。天知道为什么这两篇很可能是那个时代最伟大的论文被丢失了？难道上帝都在嫉妒伽罗瓦么？ 【伽罗瓦理论】 在我们已经全面了解并极大发展了伽罗瓦理论的今天，回想1828年伽罗瓦提交的那两篇论文，我们有理由猜测，伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。在伽罗瓦看来，“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构，这是一种更加本质、更加抽象的数学结构，当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候，就形成了新的数学概念——群。 （1） 群 ：给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”（这个“乘法”不是数字运算的乘法，而只是借用了这个名字，因此加上了引号），如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足： 1 封闭性：集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内； 2 结合律：这个“乘法”满足(a*b)*c=a*(b*c)； 3 单位元：集合中存在某个元素e，对于任意集合中的其它元素a有e*a=a*e=a，e被称为单位元； 4 逆元：对于集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一个元素a -1 ，使得a*a -1 =a -1 *a=e，a与a -1 互为逆元。 此时，这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。 我本不愿意罗列概念，但是如果要想感受到伽罗瓦理论之美，就必须弄清楚“群”的概念。就像一个人想要欣赏美妙的音乐，你总要能区分音调高低、节奏快慢一样，如果高音“1”和低音“1”在你听来是一样的，那么很难想象你可以欣赏美妙的交响乐。 “群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。容易验证，整数集合在加法运算下成群（这里的加法就通常意义的数字加法，对应着群定义中的“乘法”），其单位元是数字0；但是整数集合在乘法运算下不成群，这是因为对于大部分整数，没有乘法的逆元。 其实群在日常生活中也会存在，常见的是魔方，它的全部操作构成一个集合，再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”，则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群，叫做RUBIC群。 （2） 环与域 ：在一个集合上定义两种运算“加法”和“乘法”，如果这个集合在这个“加法”下成群，而在这个“乘法”下只满足“封闭性”与“结合律”，则称这个集合与这两种运算构成一个“环”；如果这个集合去除“加法”群下的单位元后形成的新集合在“乘法”下成群，则称这个集合与这两种运算构成一个“域”。显然，“域”是一种特殊的“环”。 对不起了，伽罗瓦理论是够抽象的，对于完全没有接触过群论、域论的人来说，这几个概念就挺费琢磨。可是没有办法，伽罗瓦理论这座高峰就需要踩着这些概念的台阶来攀登，你想欣赏最美好的风光，就需要把这些“概念”踩在脚下，“无限风光在险峰”。 如果看懂了这三个概念，特别是看懂了“群”和“域”这两个概念，就会理解这些结构其实就是从基础的数字运算关系中抽象出来的。比如：有理数在加法和乘法运算下构成一个域，0是加法单位元，1是乘法单位元，不包含0的有理数在乘法运算下成群；实数、复数在加法和乘法下都构成域；无理数在加法和乘法下不能构成域，这是因为无理数之和可能是有理数，不满足封闭性。 下面用群和域的概念做一个思维体操，证明有理数是最小的数域（由数字和加法、乘法构成的域）： 数域必有加法单位元0和乘法单位元1； 由加法封闭性得到n个1相加必然还在域内，于是任意自然数n在域内； 再 由加法存在逆元得到-n也在域内， 这样 全部整数必然在域内； 再由乘法存在逆元得到，任意整数n（0除外）的倒数1/n必在域内； 再由乘法成群（去除0后）得到，任意m/n（m和n是整数）也在域内。 这样，就证明了有理数必须在数域之内，而且构成了一个域。因此，有理数是最小数域。 做完这个思维体操我们可以知道，不要小看群、环、域这样一些基本概念，这些概念定义的是一种数学结构，只从基本概念出发，就可以得到很多复杂的结果。譬如直到上世纪80年代，数学家们才真正彻底解决了全部有限单群分类的问题，这是经过了近30年时间、由超过100位数学家在500多种期刊上写下的超过10000页的论文而最终解决的，其基础则是200年前伽罗瓦提出的概念——群。 （3） 群和域的同构 群，不是随随便便就能构成的；域，或许更复杂一些。 伽罗瓦发现，有些表象不同的群之间，其实质是完全相同的。这样的群称为是“同构”的，也就是说，这样的群在结构和性质上都完全相同，只有表面符号上存在差别。同构的群在去掉表象之后，可以认为是同一个群。 比如，对某一向量进行旋转的操作构成一个集合A={逆时针转0度，逆时针120度，逆时针240度}，定义这个集合中元素的“乘法”为先进行第一个操作、再进行第二个操作，于是A在此“乘法”下构成一个群；再定义另外一个集合B={1，e 2 πi/3 ，e 4 πi/3 }，定义其上的“乘法”为普通的复数乘法，则B在乘法下也构成一个群。简单分析即可发现，A和B这两个群结构是完全相同的。 群同构的严格定义是：存在两个群A、B之间的一个双射（即一一对应的映射） ϕ :A →B，满足 ϕ (a*b)= ϕ (a) × ϕ (b) ，其中a、b∈A， ϕ (a) 、 ϕ (b) 和 ϕ (a*b) ∈B，*和×分别是群A和B的“乘法”。 类似的，域也有同构的情况。简单说两个域的同构定义为：两个域上的“加法”群同构，并且去除“加法”单位元之后的两个域上的“乘法”群也要同构。 好了，先不再讲述数学概念了，一些不熟悉数学的人可能已经糊涂了。哪怕只看完最基本的概念，我们也会震惊于伽罗瓦的天才头脑。一个16岁才开始接触数学、21岁就因决斗而死去的年轻人，是如何在那短短5年的时间里面，想通如此复杂的数学构造、得到如此美妙的数学结论的呢？ 二、巧妙的概念——扩域、根式可解、根式塔 【伽罗瓦的故事】 由于伽罗瓦的父亲死于政治 事件，再加上伽罗瓦自身的共和主义政治倾向，导致他偏执的认定他的论文丢失事件是由于政治原因而被法国科学院故意制造的。特别是一年以后，伽罗瓦的另外一篇论文被科学院拒稿后，他更认定了这一点。 但是，今天再来分析这件事，可以比较确定的讲，伽罗瓦的这种判断完全是他的一厢情愿。事实上论文丢失很可能就是一个偶然事件（特别是由于傅立叶的去世），而第二次拒稿则是由于伽罗瓦的思维过于跳跃，论文中的论证过于简单，没有详细展开，导致论文评审者无法判定论文是否严密正确。事实上，以伽罗瓦的天才，在他眼里看来很简单、显然成立的论证过程，可能在别人眼里看来是需要复杂证明的。 于是，伽罗瓦开始放松了他的研究工作而主要来从事共和主义事业的斗争。这时的伽罗瓦就读于高等师范学校，他作为闹事者的名气已经超越了作为数学研究者的名声，大家已经不再把他当作是数学研究者了，而更多的把他看成是闹事学生。特别是在1830年的七月革命期间，他公开发表严厉攻击校长的言论，终于被校长基尼约特给开除。从此，伽罗瓦的正式数学生涯到此结束。 被开除后的伽罗瓦参加了国民警卫队的炮兵部队，试图成为一名职业反叛者。可是仅仅1个月后，新国王路易·菲利普取消了炮兵部队，伽罗瓦彻底失业了。索菲·热尔曼，一位当时的年长女数学家曾经在信件中记述伽罗瓦“ 他身无分文，他的母亲也几乎没有钱财，但他却不改变得罪人的习性 ”。 在1831年上半年的一次共和主义者聚会活动上，伽罗瓦表达了杀死国王的意图，于是被控“威胁国王生命罪”而受审。陪审团最终考虑到他年仅20岁，尚未完全成熟，判决无罪释放。一个月后，1831年7月14日的巴士底日，伽罗瓦身着已经被解散并查禁的炮兵警卫队制服在巴黎游行，从而被判处监禁。之后在监狱的几个月中，他学会了喝酒，在一次喝醉后还试图自杀。 1832 年3月，由于霍乱的爆发，伽罗瓦被提前释放。之后的几个星期里，伽罗瓦和一位巴黎医生的女儿斯特凡妮发生了风流韵事。偏偏这个女人已经和一名叫做Pescheux d’Herbinville的绅士订婚了。这名绅士知道了自己未婚妻和伽罗瓦的事情后，十分愤怒，毫不犹豫向伽罗瓦提出挑战。这名绅士是当时法国一名最好的枪手，伽罗瓦深知决斗会给自己带来什么，但是他仍然接受了挑战。 挑战的前夜，伽罗瓦知道第二天将是自己生命的终结了，他唯一担心的是他被法国科学院拒绝的数学研究成果会永远消失，毕竟当时还没有人能够理解他的理论。他在这一个晚上力图写下他全部的数学思想，书写的字里行间不时的出现“斯特凡妮”或者“一个女人”等字样，还多次出现“我没有时间了”的感叹。在第二天凌晨，伽罗瓦写完了他的数学思想，并给他的朋友写了一封信。 伽罗瓦决斗前一晚所写的他的数学思想 信中，伽罗瓦自信的写到“ 在我的一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我写在这里的一切已经清清楚楚地在我脑海里形成1年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。请公开请求雅可比或者高斯对这些定理的重要性（而不是定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有益处的事。 ”。 第二天，1832年5月30日，伽罗瓦只身一人参与决斗，最终腹部中弹，无望地倒在地上，胜利者悄然离去。伽罗瓦的兄弟阿尔弗雷德在几个小时之后到达现场，把他送到医院，但是为时已晚，腹膜炎已经形成，5月31日，伽罗瓦离开了人世。 【伽罗瓦理论】 我无法想象1830年到1832年这段时间，伽罗瓦在食不果腹、不断入狱的条件下，在把主要精力都投入到政治斗争的情况下，是如何继续深入思考他的数学研究课题的。在我看来，即使衣食无忧的情况下想把伽罗瓦的理论全部学懂，都是不容易的，何况是创造出来。 由于伽罗瓦的研究成果是以上面提到的方式展现在世人面前的，因此没有人能够准确知道他到底是如何想到这些概念和证明的，先后顺序是怎么样的，思维总体上是怎样贯穿的？以下只是我个人的猜测。 （1）伽罗瓦可能首先从“域”的角度出发，思考了域的扩张。 我们知道，有理数域Q是最小的数域，实数R、复数C也都构成一个数域，那么是否存在数域，范围大于有理数Q但是小于实数R、或者大于R小于C呢？甚至是否存在数域，其范围大于Q小于C，同时又不完全包含或者包含于R呢？这要从最小数域的扩张开始，域的扩张称为扩域。 扩域 ：把某个域F中添加进一个或几个不属于这个域的元素，在不改变原来域的“加法”和“乘法”的条件下，按照域的定义形成的新域E被称为原来域的扩域，记为E/F。 比如，我们在有理数域Q上添加一个无理数√2，形成一个新的数域Q(√2)，则Q(√2)/Q就是Q上的一个扩域。由域的定义知道，这个形成的新域不只是包含√2，还包含着任何通过有理数与√2进行加法和乘法得到的数。其实，除了加法和乘法，域里面还有着逆元，加法的逆元运算对应着减法，乘法的逆元运算对应着除法。也就是说，表面上域定义了加法和乘法，实质上确定了加减乘除四则运算。域是更高层次上抽象出来的结构，但是落实到我们日常的数字和运算上，与小学就开始学习的四则运算没有什么不同。 可以证明，任何可以表示为a+b√2（a,b∈Q）的数都属于Q(√2)这个域，而这个域里面的任何数也都可以表示成为a+b√2（a,b∈Q）的形式。显然，这个Q(√2)就是一个范围大于Q但是小于R的数域。有了扩域这个工具，我们可以构造出无穷多个数域。 （2）之后伽罗瓦考虑的应该是如何定义方程的根式可解 因为在伽罗瓦从事数学研究的那5年，人们已经在开始猜测一般的一元五次方程不可根式求解。可是，到底什么是根式求解？字面意思很容易理解，就是一个一元高次方程的解如果可以使用方程的系数经过加减乘除和开方以及它们的组合运算表达出来，就是可以根式求解的；如果不能以这种方式表达，那就是不可以根式求解的。可这样的定义虽然从语言和表达的角度来说没有歧义，但是从数学的角度来说，还不够清晰。 伽罗瓦通过自己的深入思考，给出了根式可解的更优美的定义。在了解这个优美定义之前，需要思考以下一些毫无疑问是正确的结论： 一个数域里面的任何数，都可以通过这个数域中的其它数的加减乘除运算组合表达出来； 除了个别特殊情况外，一般来讲，数域中某个数的开方运算的结果是不属于这个数域的（类似于√2 ∉ Q ）； 把数域中某个数开方运算的结果扩张进来成为一个扩域后，扩域中的数都可以使用原来数域中的数和这个开方运算的结果的加减乘除运算组合来表达，或者说这种扩域中的数一定可以使用原来数域之内的数的加减乘除和开方运算进行根式表达； 明白了上面这3条结论，就可以知道，能否根式表达与上面说的这种把数域中某个数的开方运算的结果扩张进来形成的扩域有着密切关系。我们把这种扩域定义为纯扩域。 纯扩域 ：B/F为扩域，B=F(d)，d∈B，d m ∈F，此时把B称为F的m型纯扩域。 显然，所谓 m 型纯扩域就是在域 F 中找一个数开 m 次方，然后把开方结果扩进来形成的扩域。可别小看这个纯扩域，根据前面的分析，纯扩域 B 中的任何数都可以通过域 F 中的数的加减乘除和开m次方运算得到。如果继续这样扩域下去，把F扩为F 1 ，把F 1 扩为F 2 ，…，无论多少次这种扩域，只要是有限次，最终的扩域F n 中的数都可以由域F中的数经过加减乘除和开方运算得到。由此，引出一个新概念，根式塔。 根式塔 ：不断扩域形成的域列，F=F 1 ⊆F 2 ⊆F 3 ⊆ … ⊆F r+1 ，如果每个扩域 F i+1 /F i （ i=1,2, …,r ）都是一个纯扩域，则称此域列为一个根式塔。 于是，数域F中的数通过加减乘除和开方运算所能得到的数，一定包括在某个根式塔的 F r+1 之中。由此，伽罗瓦给出了根式可解的更清晰优美的定义。 根式可解 ：设一元多次方程f(x)的全部系数都包含在域F之内，此方程的全部根都包含在域E之内，且E是包含f(x)全部根的最小域（此时称E为F上多项式f(x)的 根域 ），如果存在根式塔 F=F 1 ⊆F 2 ⊆F 3 ⊆ … ⊆F r+1 ，且E ⊆ F r+1 ，称域 F 上的方程 f(x) 根式可解。 看到伽罗瓦给出的根式可解定义，我有一种感觉，也许伽罗瓦的脑子天生就是结构化的，他可以直接在一个大的范畴上进行思考和逻辑推导。本来通过语言描述的根式可解是一种模模糊糊的东西，但是经过伽罗瓦重新定义的根式可解变得清晰明确，有数学实体可以抓了。 三、“神来之笔”——域的自同构、伽罗瓦群与伽罗瓦对应 【伽罗瓦的故事】 伽罗瓦的葬礼因政治原因而变得混乱，政府认为伽罗瓦的葬礼将会造成一次政治集会，为了维护稳定，政府在葬礼之前的晚上逮捕了30名伽罗瓦的同志。尽管如此，还是有两千多个共和主义者参加了葬礼，从而与政府人员之间爆发了一场混战。这之后，不断有人怀疑伽罗瓦与斯特凡妮的风流韵事是一个阴谋，用来害死伽罗瓦的阴谋。直到今天，伽罗瓦到底是死于愚蠢的爱情还是政治阴谋仍然没有定论。但无论是哪种原因，这位研究数学才5年但是却被认为是最伟大的数学家之一的天才，在21岁的时候就离开了人世。这对数学界来说是一个重大的损失，只不过当时的人们还完全认识不到。 伽罗瓦虽然在决斗的前夜把他的数学思想写了出来，但是这种潦草的内容、跳跃的思维并不是立刻就被数学界所理解的。虽然伽罗瓦的兄弟和朋友把他写下的数学思想重新整理了一遍，并分送给了高斯、雅可比等人，但是伽罗瓦的伟大研究成果仍然没有得到理解和承认。直到14年后，法国数学家约瑟夫·刘维尔（JosephLiouville）重新整理并发表了伽罗瓦的著作，才使得伽罗瓦理论逐渐被世人所理解。 刘维尔本人也是一位著名的数学家，一生从事数学、力学和天文学的研究，涉足广泛，成果丰富，尤其对双周期椭圆函数、微分方程边值问题和数论中的超越数问题有深入研究。他是第一个证实超越数存在的人。 即使是这样一位著名数学家，仍然从1843年到1846年用了3年的时间来彻底研究伽罗瓦的理论，终于在1846年比较全面的理解了伽罗瓦的成就并发表出来。刘维尔虽然在数学领域有不小的贡献，但很可能他整理、理解并发表伽罗瓦理论是他在数学领域最大的贡献。代数学能够取得今天的成就，刘维尔功劳不小。 刘维尔在反思为什么伽罗瓦的理论在很长一段时间内不能得到理解的原因时，写下了这样一段话： 过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做。事实上，当你试图引导读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡尔说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰。”伽罗瓦太不把这条箴言放在心上,…… 伽罗瓦再也回不来了！我们不要再过分地作无用的批评，让我们把缺憾抛开，找一找有价值的东西,…… 我的热心得到了好报。在填补了一些细小的缺陷后，我看出了伽罗瓦用来证明这个美妙的定理的方法是完全正确的，在那个瞬间，我体验到一种强烈的愉悦 。 真心希望大家了解了伽罗瓦理论之后，能够像刘维尔一样有一种“强烈的愉悦感”。伽罗瓦的故事讲完了，伽罗瓦那天才的思想还需要继续。 【伽罗瓦理论】 从前面的介绍我们知道，根式可解需要找到一个根式塔，根式塔是一个域列。只知道这些，我们还是解决不了方程是否能够根式求解的问题，因为我们仍然不知道怎样判断是否存在这种根式塔？ 伽罗瓦在思考这个问题的时候，发现或者说找到了一种对应关系——伽罗瓦对应。应该讲，这种对应关系是人类思维领域的“神来之笔”。我无法想象伽罗瓦到底是通过怎样的思考发现了这种对应关系，对我自己来说，能够较快理解伽罗瓦对应就已经谢天谢地了。 伽罗瓦对应的发现应该是从域的自同构映射开始的。 域的自同构映射 ：前面我们介绍了域的同构，知道了两个域同构意味着两个域之间存在着满足同构关系的映射。显然一个域一定是和自己同构的，我们把某个域E到自身的同构映射叫做自同构映射。事实上，这种自同构映射未必只有一个，我们把全部自同构映射组成的集合记为Aut（E）。 现在开始，我们的思维要在理解群、域的基础上再上一个台阶，开始思考域的自同构映射组成的集合了。记住，Aut（E）中的元素是E → E 集合间的映射。 下面再做一个稍复杂点的思维体操，定义Aut（E）上两个元素σ 1 和σ 2 之间的“乘法”为σ 1 *σ 2 （a）=σ 1 （σ 2 （a）），证明Aut（E）在这个“乘法”下构成群。 1 构成群首先要满足封闭性，也就是对于σ 1 ∈Aut（E）和σ 2 ∈Aut（E），要证明σ 1 *σ 2 ∈Aut（E）。证明如下： 请记住，Aut（E）中的σ都是自同构映射，必然满足σ(a+b)=σ(a)+σ(b)，σ(a*b)=σ(a)*σ(b)。由此，我们可以得到 σ 1 *σ 2 （a+b）=σ 1 （σ 2 （a+b））=σ 1 （σ 2 （a）+σ 2 （b））=σ 1 （σ 2 （a））+σ 1 （σ 2 （b））=σ 1 *σ 2 （a）+σ 1 *σ 2 （b） σ 1 *σ 2 （a*b）=σ 1 （σ 2 （a*b））=σ 1 （σ 2 （a）*σ 2 （b））=σ 1 （σ 2 （a））*σ 1 （σ 2 （b））=σ 1 *σ 2 （a）*σ 1 *σ 2 （b） 也即σ 1 *σ 2 也满足自同构映射的条件，于是σ 1 *σ 2 ∈Aut（E）。封闭性得到了满足。 2 结合律： （σ 1 *σ 2 ）*σ 3 （a）=（σ 1 *σ 2 ）（σ 3 （a））=（σ 1 （σ 2 （σ 3 （a）））=σ 1 *（σ 2 *σ 3 ）（a） 也就是（σ 1 *σ 2 ）*σ 3 =σ 1 *（σ 2 *σ 3 ），满足结合律。 3 单位元：显然对于E → E 上的恒等映射σ e ，满足σ e （a）=a， ∀a ∈ E ，容易验证 σ e 即为 Aut （ E ）的单位元。 4 逆元： ∀ σ∈ Aut （ E ）， a ∈ E 且 a ≠ 0 ，有 σ（ 0 ） = σ（ a-a ） = σ（ a ） - σ（ a ） =0 ； σ（ a ） = σ（ 1*a ） = σ（ 1 ） * σ（ a ） ⇒ σ（ 1 ） =1 ； σ（ 1 ） = σ（ a*a -1 ） = σ（ a ） * σ（ a -1 ） =1⇒ σ（ a ）≠ 0 ；即 a ≠ 0 时σ（ a ）≠ 0 。 于是得到， a ≠ b 时，σ（ a-b ） = σ（ a ） - σ（ b ）≠ 0⇒ σ（ a ）≠σ（ b ）。这说明σ是单射，单射必有逆映射，令其逆映射为σ -1 ，则必有σ * σ -1 （ a ） = σ（σ -1 （ a ）） =a⇒ σ * σ -1 = σ e ，确定逆元必然存在。 综上， Aut （ E ）在上述“乘法”定义下构成群。 对群、域不熟悉的人来说，也许这个思维体操稍微有些“绕”，但是对于熟悉的人来说，这个关系是一眼就可以看出来的。我想，如果一个不熟悉的人把上述并不复杂的推导看明白后，也会感觉到愉悦的。 当然，我相信对于伽罗瓦来说，上述结论是瞬间就想到了的。不仅如此，伽罗瓦还进一步找到了群Aut（E）的一类子群——我们今天称之为伽罗瓦群。 伽罗瓦群 ：E/F是扩域，且E是系数在F内的某个多项式方程的根域（根域参见前面的说明，以后会将这种根域叫做F的 正规扩域 ），E上全部自同构映射的集合Aut（E）中使F中元素不变的那些映射形成的子集构成Aut（E）的一个子群，称为E在F上的伽罗瓦群，记为G（E/F）。 概念越来越复杂了，解释一下，就是Aut（E）中的自同构映射，有一部分是在F上的恒等映射，也就是说F中的元素在这些映射的作用下是不变的，这类映射的全体组成的集合也构成一个群，是Aut（E）的子群，叫做E在F上的伽罗瓦群。 有人会问，为什么要搞出个伽罗瓦群的概念呢？ 下面就是见证奇迹的时刻了 ： 设f(x)∈F （意思是f(x)的系数都在F内），则对于任意σ∈G(E/F)，必然有σ（f(x)）=f(x)，这是因为σ作用在F上是恒等映射；同时，设方程f(x)=0有n个根，分别是a 1 、a 2 、…、a n ，那么f(x)=(x-a 1 )(x-a 2 )…(x-a n )，于是σ（f(x)）=(x-σ(a 1 ))(x-σ(a 2 ))…(x-σ(a n ))=f(x)= (x-a 1 )(x-a 2 )…(x-a n )。这说明σ(a 1 )、σ(a 2 )、…、σ(a n )只是a 1 、a 2 、…、a n 的一组置换（意思是，还是这n个数，只是位置发生了变化，如σ(a 1 )= a 2 、σ(a 2 )= a 1 之类的变换）！ 看到了么，伽罗瓦群中的每个映射都对应着方程根的一组置换！要知道，从500年前的费尔洛解出了一般一元三次方程，到400年前的塔尔塔利亚、卡丹、费拉里解出一元四次方程，一直到200年前的拉格朗日创造出了方程的预解式，高斯得到了高斯定理，都是在大量的计算推导中，模模糊糊的察觉到方程的解与根的置换似乎有关系。 直到伽罗瓦横空出世，清晰的告诉世人，一元高次方程是否可以根式求解的奥秘，就藏在这些根的置换当中。 当然，只知道宝藏的位置还不够，还需要有打开宝藏的钥匙。天才的伽罗瓦找到了这把钥匙，我把它称为“神来之笔”——伽罗瓦对应。 记得讨论根式可解的时候，我们说需要找到一个根式塔，根式塔是一个域列。假设存在一个域列 F=F 1 ⊆F 2 ⊆F 3 ⊆ … ⊆F r+1 =E （注意，这个域列不要求一定是根式塔），且 E/F 是正规扩域（参见上面描述），则可以证明任意 E/F i ， i=1, … ,r ，也是正规扩域。于是存在一组伽罗瓦群 G （ E/F i ），这组伽罗瓦群都是 G （ E/F ）的子群，而且可以证明每个 G （ E/F ）的子群一定对应着一个 E 的子域，这种对应是一一对应，这个神奇的对应被称做伽罗瓦对应。 通过伽罗瓦对应，我们把对复杂的域列问题的研究转换到了对伽罗瓦群的子群列的研究上，这就是打开方程根式可解的金钥匙。 伽罗瓦那不到20岁的头脑中，可能就已经想通了这些问题。当我想到这一点的时候，心中对伽罗瓦的钦佩感无以复加。就像有人评论，欧拉作为数学史上最伟大的数学家之一，他对数学贡献的丰富程度可能远超伽罗瓦，但是如果考虑到欧拉专心研究数学60年，而伽罗瓦仅仅是残缺不全的5年，那么从天赋上讲，大数学家欧拉完败于伽罗瓦。 四、美妙结论——正规子群、可解群、正规扩域 继续深入写下去所涉及到的数学知识、逻辑复杂度都大大的提升了。考虑到这篇文章的目的是寄希望于数学爱好者之外的人也能尽量理解，就不再深入描述后面的理论了。我承诺大家，从现在开始，不再使用任何数学符号了。 前面说了，E是每个F i 的正规扩域，但是相邻F i 之间却不一定是正规扩域。要知道，纯扩域必然是正规扩域，域列想成为根式塔，或者说相邻域都是纯扩域，就必然要求相邻F i 之间都是正规扩域。伽罗瓦证明了，相邻F i 之间都是正规扩域等价于对应的相邻伽罗瓦群是正规子群。 正规子群意味着商集合成群，或者说相邻伽罗瓦群的商群存在，如果这个商群是可换群（群内的“乘法”满足交换律），那么这样的伽罗瓦群被称为 可解群 。 通过进一步复杂的证明可以得到，域F上的方程f（x）的根域为E，如果伽罗瓦群G（E/F）是可解群，那么f（x）可根式求解；如果f（x）可根式求解，则伽罗瓦群G（E/F）必为可解群。即 方程的根式可解等价于方程的伽罗瓦群为可解群 ！ 从此，困扰了人们数百年之久的多项式方程根式可解问题被伽罗瓦漂亮而彻底的解决了， 以他名字命名的伽罗瓦理论从此诞生 。在解决这个问题的过程中，群论、域论交相辉映， 迂回曲折，难怪当时的那些审评大师们如堕五里雾中。“ 就伽罗瓦的概念和思想的独创性和深刻性而言，任何人都是不能与之相比的。 ” 法国数学家毕卡（C..Picard,1856-1941）在1879年评述19世纪数学成就时如是说。 再回想本文开篇引用的伽罗瓦自己所写的话“ Jump above calculations,group the operations, classify them according to their complexities rather thantheir appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians;this is the road I'm embarking in this work.” ，相信每个了解了伽罗瓦理论的人都会有更深刻的认识。 总结一下伽罗瓦的思想，一是在更高的层次上看待数和计算，形成了群、域的概念；二是通过域和扩域的方法给出了方程根式可解的更准确的数学定义；三是发现了域的某类自同构映射对应着方程根的置换，找到了方程根式可解的奥秘；四是找到了伽罗瓦对应这把打开奥秘大门的钥匙，把域列和群列优美的对应了起来；五是基于深刻的逻辑推导形成了可解群的概念，并证明了根式可解与伽罗瓦群是可解群的等价关系。 伽罗瓦理论是一个非常“好”的数学成果，它不是仅仅解决了多项式方程根式求解的问题，它还是一个非常有价值的数学工具，伽罗瓦理论的思想开创了代数学从研究“计算”到研究“结构”的先河，打开了现代代数学研究的大门。遗憾的是，200年后的今天，在网上查找抽象代数的相关知识时，中文的内容还是非常少。很多国人对数学的观念还停留在速算、数独、找规律甚至是脑筋急转弯的层面。这种状况可能还比不上200年前的法国。 真心希望国人能够对数学之美有着更准确的认识和欣赏能力，起码能理解200年前数学研究前沿达到的高度吧。
个人分类: 科学|19038 次阅读|39 个评论
Rubik's Cube: (UR)^105=I
大毛忽洞 2017-3-22 00:20
Hold the Rubik's Cube in this way: F(front) side facing you; U(up) side facing upwards; R(right) side facing to the right; B(back) side facing away from you; L(left) side facing to the left; D(down) side facing downwards. The notations of describing the movement of Rubik's Cube using these letters are as follows: F means a 90-degree clockwise turn of the front face. F2 means a 180-degree clockwise turn of the front face. F ' refers to a 90-degree counter-clockwise turn of the front face. R means a 90-degree clockwise turn of the right face. R2 means a 180-degree clockwise turn of the right face. R ' refers to a 90-degree counter-clockwise turn of the right face. U , U2, U ', B, B2, B', L, L2, L', D, D2, and D' have same definition as above. N represents the counting of twisting for the operation sequence T represents the side of twisting currently RC represents the angle of twisting currently C represents the cyclic periodicity of employing the operation sequence The Operation Sequence is U ,R , In Cartesian Coordinate System, ,The Operation Sequence is Z,3,;,Y,3,;, N=,1, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,1 , , ,B,B,B, , , ,B,B,B, , , ,L,L,L, L,L,F,U,U,U,B,R,R, L,L,F,U,U,U,B,R,R, L,L,F,U,U,U,B,R,R, , , ,R,R,R, , , ,F,F,F, , , ,F,F,F, N=,2, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,1 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,L,L,U, L,L,F,U,U,R,B,B,B, L,L,F,U,U,F,R,R,R, L,L,F,U,U,F,R,R,R, , , ,R,R,D, , , ,F,F,D, , , ,F,F,D, N=,3, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,2 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,F,F,F, L,L,R,U,U,U,L,B,B, L,L,R,U,U,U,L,R,R, L,L,D,F,F,R,U,R,R, , , ,R,R,B, , , ,F,F,D, , , ,F,F,D, N=,4, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,2 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,F,F,R, L,L,R,U,U,B,U,L,L, L,L,R,U,U,D,R,R,B, L,L,D,F,F,D,R,R,B, , , ,R,R,B, , , ,F,F,B, , , ,F,F,L, N=,5, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,3 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,D,R,R, L,L,R,F,U,U,F,L,L, L,L,R,F,U,U,F,R,B, L,L,B,D,D,B,R,R,B, , , ,R,R,U, , , ,F,F,B, , , ,F,F,L, N=,6, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,3 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,D,R,B, L,L,R,F,U,U,R,F,F, L,L,R,F,U,B,R,R,L, L,L,B,D,D,L,B,B,L, , , ,R,R,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,F, N=,7, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,4 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,B,R,R, L,L,R,D,F,F,D,F,F, L,L,R,D,U,U,R,R,L, L,L,U,L,B,U,B,B,L, , , ,B,R,R, , , ,F,F,U, , , ,F,F,F, N=,8, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,4 , , ,B,B,F, , , ,B,B,U, , , ,B,R,U, L,L,R,D,F,R,B,R,D, L,L,R,D,U,U,B,R,F, L,L,U,L,B,F,L,L,F, , , ,B,R,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,9, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,5 , , ,B,B,F, , , ,B,B,U, , , ,U,R,R, L,L,B,L,D,D,B,R,D, L,L,R,B,U,F,R,R,F, L,L,U,F,U,R,U,L,F, , , ,L,B,B, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,10, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,5 , , ,B,B,D, , , ,B,B,F, , , ,U,R,R, L,L,B,L,D,B,U,R,B, L,L,R,B,U,U,L,R,R, L,L,U,F,U,R,F,F,D, , , ,L,B,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,11, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,6 , , ,B,B,D, , , ,B,B,F, , , ,U,R,B, L,L,L,F,B,L,U,R,B, L,L,B,U,U,D,R,R,R, L,L,U,R,U,B,R,F,D, , , ,F,L,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,12, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,6 , , ,B,B,L, , , ,B,B,D, , , ,U,R,B, L,L,L,F,B,U,R,R,U, L,L,B,U,U,U,F,R,R, L,L,U,R,U,R,D,R,B, , , ,F,L,F, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,13, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,7 , , ,B,B,L, , , ,B,B,D, , , ,U,B,L, L,L,F,R,U,F,U,R,U, L,L,L,U,U,B,R,R,R, L,L,F,R,U,U,B,R,B, , , ,D,F,R, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,14, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,7 , , ,B,B,F, , , ,B,B,B, , , ,U,B,U, L,L,F,R,U,R,B,R,U, L,L,L,U,U,U,R,R,R, L,L,F,R,U,R,B,R,U, , , ,D,F,D, , , ,F,F,F, , , ,F,F,B, N=,15, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,8 , , ,B,B,F, , , ,B,B,B, , , ,F,L,F, L,L,D,R,U,R,U,R,U, L,L,F,U,U,U,B,R,R, L,L,D,R,U,R,U,R,U, , , ,B,R,B, , , ,F,F,F, , , ,F,F,B, N=,16, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,8 , , ,B,B,R, , , ,B,B,U, , , ,F,L,R, L,L,D,R,U,B,U,B,U, L,L,F,U,U,F,R,R,R, L,L,D,R,U,B,U,R,U, , , ,B,R,L, , , ,F,F,D, , , ,F,F,L, N=,17, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,9 , , ,B,B,R, , , ,B,B,U, , , ,D,F,D, L,L,B,R,U,R,F,B,U, L,L,R,U,U,U,L,R,R, L,L,L,B,F,B,R,R,U, , , ,U,R,U, , , ,F,F,D, , , ,F,F,L, N=,18, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,9 , , ,B,B,R, , , ,B,B,U, , , ,D,F,B, L,L,B,R,U,U,R,L,F, L,L,R,U,U,D,R,R,B, L,L,L,B,F,L,U,R,U, , , ,U,R,F, , , ,F,F,B, , , ,F,F,F, N=,19, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,10 , , ,B,B,R, , , ,B,B,U, , , ,L,R,B, L,L,U,B,U,R,D,L,F, L,L,R,F,U,U,F,R,B, L,L,F,L,D,U,B,R,U, , , ,U,R,R, , , ,F,F,B, , , ,F,F,F, N=,20, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,10 , , ,B,B,R, , , ,B,B,U, , , ,L,R,U, L,L,U,B,U,R,B,F,D, L,L,R,F,U,B,R,R,L, L,L,F,L,D,F,U,B,F, , , ,U,R,R, , , ,F,F,U, , , ,F,F,D, N=,21, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,11 , , ,B,B,R, , , ,B,B,U, , , ,F,R,U, L,L,U,L,F,B,L,F,D, L,L,R,D,U,U,R,R,L, L,L,R,F,B,R,U,B,F, , , ,U,R,B, , , ,F,F,U, , , ,F,F,D, N=,22, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,11 , , ,B,B,B, , , ,B,B,U, , , ,F,R,R, L,L,U,L,F,B,U,R,L, L,L,R,D,U,U,B,R,F, L,L,R,F,B,D,F,L,D, , , ,U,R,R, , , ,F,F,U, , , ,F,F,B, N=,23, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,12 , , ,B,B,B, , , ,B,B,U, , , ,R,R,U, L,L,U,F,D,L,F,R,L, L,L,R,B,U,F,R,R,F, L,L,R,D,U,B,R,L,D, , , ,F,B,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,B, N=,24, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,12 , , ,B,B,L, , , ,B,B,F, , , ,R,R,B, L,L,U,F,D,U,R,R,F, L,L,R,B,U,U,L,R,R, L,L,R,D,U,B,D,F,L, , , ,F,B,R, , , ,F,F,U, , , ,F,F,U, N=,25, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,13 , , ,B,B,L, , , ,B,B,F, , , ,R,R,U, L,L,F,D,B,F,R,R,F, L,L,B,U,U,D,R,R,R, L,L,R,B,U,U,B,F,L, , , ,D,L,R, , , ,F,F,U, , , ,F,F,U, N=,26, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,13 , , ,B,B,F, , , ,B,B,D, , , ,R,R,U, L,L,F,D,B,R,B,R,R, L,L,B,U,U,U,F,R,R, L,L,R,B,U,U,L,R,F, , , ,D,L,B, , , ,F,F,U, , , ,F,F,U, N=,27, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,14 , , ,B,B,F, , , ,B,B,D, , , ,R,B,F, L,L,D,B,U,D,R,R,R, L,L,L,U,U,B,R,R,R, L,L,B,U,U,R,U,R,F, , , ,L,F,B, , , ,F,F,U, , , ,F,F,U, N=,28, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,14 , , ,B,B,D, , , ,B,B,B, , , ,R,B,R, L,L,D,B,U,B,U,R,R, L,L,L,U,U,U,R,R,R, L,L,B,U,U,U,F,R,R, , , ,L,F,L, , , ,F,F,F, , , ,F,F,U, N=,29, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,15 , , ,B,B,D, , , ,B,B,B, , , ,B,L,D, L,L,L,U,U,B,R,R,R, L,L,F,U,U,U,B,R,R, L,L,L,U,U,B,R,R,R, , , ,F,R,U, , , ,F,F,F, , , ,F,F,U, N=,30, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,15 , , ,B,B,B, , , ,B,B,U, , , ,B,L,B, L,L,L,U,U,U,R,B,R, L,L,F,U,U,F,R,R,R, L,L,L,U,U,U,R,R,R, , , ,F,R,F, , , ,F,F,D, , , ,F,F,F, N=,31, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,16 , , ,B,B,B, , , ,B,B,U, , , ,L,F,L, L,L,F,U,U,U,B,B,R, L,L,R,U,U,U,L,R,R, L,L,F,U,F,U,B,R,R, , , ,R,R,R, , , ,F,F,D, , , ,F,F,F, N=,32, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,16 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,L,F,U, L,L,F,U,U,R,B,L,B, L,L,R,U,U,D,R,R,B, L,L,F,U,F,F,R,R,R, , , ,R,R,D, , , ,F,F,B, , , ,F,F,D, N=,33, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,17 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,F,R,F, L,L,R,U,U,U,L,L,B, L,L,R,F,U,U,F,R,B, L,L,D,F,D,R,U,R,R, , , ,R,R,B, , , ,F,F,B, , , ,F,F,D, N=,34, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,17 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,F,R,R, L,L,R,U,U,B,U,F,L, L,L,R,F,U,B,R,R,L, L,L,D,F,D,D,R,B,B, , , ,R,R,B, , , ,F,F,U, , , ,F,F,L, N=,35, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,18 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,D,R,R, L,L,R,F,F,U,F,F,L, L,L,R,D,U,U,R,R,L, L,L,B,D,B,B,R,B,B, , , ,R,R,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,L, N=,36, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,18 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,D,R,B, L,L,R,F,F,U,R,R,F, L,L,R,D,U,U,B,R,F, L,L,B,D,B,L,B,L,L, , , ,R,R,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,F, N=,37, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,19 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,B,R,R, L,L,R,D,D,F,D,R,F, L,L,R,B,U,F,R,R,F, L,L,U,L,U,U,B,L,L, , , ,B,B,R, , , ,F,F,U, , , ,F,F,F, N=,38, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,19 , , ,B,B,F, , , ,B,B,F, , , ,B,R,U, L,L,R,D,D,R,B,R,D, L,L,R,B,U,U,L,R,R, L,L,U,L,U,F,L,F,F, , , ,B,B,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,39, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,20 , , ,B,B,F, , , ,B,B,F, , , ,U,R,R, L,L,B,L,B,D,B,R,D, L,L,B,U,U,D,R,R,R, L,L,U,F,U,R,U,F,F, , , ,L,L,B, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,40, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,20 , , ,B,B,D, , , ,B,B,D, , , ,U,R,R, L,L,B,L,B,B,U,R,B, L,L,B,U,U,U,F,R,R, L,L,U,F,U,R,F,R,D, , , ,L,L,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, ----------- ----------- ----------- N=,179, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,90 , , ,B,B,D, , , ,B,B,F, , , ,B,R,D, L,L,L,U,B,B,R,R,R, L,L,B,U,U,D,R,R,R, L,L,L,U,U,B,R,F,R, , , ,F,L,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,U, N=,180, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,90 , , ,B,B,B, , , ,B,B,D, , , ,B,R,B, L,L,L,U,B,U,R,R,R, L,L,B,U,U,U,F,R,R, L,L,L,U,U,U,R,R,R, , , ,F,L,F, , , ,F,F,U, , , ,F,F,F, N=,181, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,91 , , ,B,B,B, , , ,B,B,D, , , ,L,B,L, L,L,F,U,U,U,B,R,R, L,L,L,U,U,B,R,R,R, L,L,F,U,U,U,B,R,R, , , ,R,F,R, , , ,F,F,U, , , ,F,F,F, N=,182, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,91 , , ,B,B,U, , , ,B,B,B, , , ,L,B,U, L,L,F,U,U,R,B,R,B, L,L,L,U,U,U,R,R,R, L,L,F,U,U,F,R,R,R, , , ,R,F,D, , , ,F,F,F, , , ,F,F,D, N=,183, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,92 , , ,B,B,U, , , ,B,B,B, , , ,F,L,F, L,L,R,U,U,U,L,R,B, L,L,F,U,U,U,B,R,R, L,L,D,F,U,R,U,R,R, , , ,R,R,B, , , ,F,F,F, , , ,F,F,D, N=,184, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,92 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,F,L,R, L,L,R,U,U,B,U,B,L, L,L,F,U,U,F,R,R,R, L,L,D,F,U,D,R,R,B, , , ,R,R,B, , , ,F,F,D, , , ,F,F,L, N=,185, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,93 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,D,F,R, L,L,R,F,U,U,F,B,L, L,L,R,U,U,U,L,R,R, L,L,B,D,F,B,R,R,B, , , ,R,R,U, , , ,F,F,D, , , ,F,F,L, N=,186, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,93 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,D,F,B, L,L,R,F,U,U,R,L,F, L,L,R,U,U,D,R,R,B, L,L,B,D,F,L,B,R,L, , , ,R,R,U, , , ,F,F,B, , , ,F,F,F, N=,187, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,94 , , ,B,B,U, , , ,B,B,U, , , ,B,R,R, L,L,R,D,U,F,D,L,F, L,L,R,F,U,U,F,R,B, L,L,U,L,D,U,B,R,L, , , ,B,R,R, , , ,F,F,B, , , ,F,F,F, N=,188, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,94 , , ,B,B,F, , , ,B,B,U, , , ,B,R,U, L,L,R,D,U,R,B,F,D, L,L,R,F,U,B,R,R,L, L,L,U,L,D,F,L,B,F, , , ,B,R,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,189, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,95 , , ,B,B,F, , , ,B,B,U, , , ,U,R,R, L,L,B,L,F,D,B,F,D, L,L,R,D,U,U,R,R,L, L,L,U,F,B,R,U,B,F, , , ,L,R,B, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,190, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,95 , , ,B,B,D, , , ,B,B,U, , , ,U,R,R, L,L,B,L,F,B,U,R,B, L,L,R,D,U,U,B,R,F, L,L,U,F,B,R,F,L,D, , , ,L,R,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,191, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,96 , , ,B,B,D, , , ,B,B,U, , , ,U,R,B, L,L,L,F,D,L,U,R,B, L,L,R,B,U,F,R,R,F, L,L,U,R,U,B,R,L,D, , , ,F,B,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,192, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,96 , , ,B,B,L, , , ,B,B,F, , , ,U,R,B, L,L,L,F,D,U,R,R,U, L,L,R,B,U,U,L,R,R, L,L,U,R,U,R,D,F,B, , , ,F,B,F, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,193, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,97 , , ,B,B,L, , , ,B,B,F, , , ,U,R,L, L,L,F,R,B,F,U,R,U, L,L,B,U,U,D,R,R,R, L,L,F,R,U,U,B,F,B, , , ,D,L,R, , , ,F,F,U, , , ,F,F,R, N=,194, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,97 , , ,B,B,F, , , ,B,B,D, , , ,U,R,U, L,L,F,R,B,R,B,R,U, L,L,B,U,U,U,F,R,R, L,L,F,R,U,R,B,R,U, , , ,D,L,D, , , ,F,F,U, , , ,F,F,B, N=,195, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,98 , , ,B,B,F, , , ,B,B,D, , , ,F,B,F, L,L,D,R,U,R,U,R,U, L,L,L,U,U,B,R,R,R, L,L,D,R,U,R,U,R,U, , , ,B,F,B, , , ,F,F,U, , , ,F,F,B, N=,196, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,98 , , ,B,B,R, , , ,B,B,B, , , ,F,B,R, L,L,D,R,U,B,U,R,U, L,L,L,U,U,U,R,R,R, L,L,D,R,U,B,U,R,U, , , ,B,F,L, , , ,F,F,F, , , ,F,F,L, N=,197, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,99 , , ,B,B,R, , , ,B,B,B, , , ,D,L,D, 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L,L,D,B,B,D,R,R,R, L,L,B,U,U,D,R,R,R, L,L,B,U,U,R,U,F,F, , , ,L,L,B, , , ,F,F,U, , , ,F,F,U, N=,208, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,104 , , ,B,B,D, , , ,B,B,D, , , ,R,R,R, L,L,D,B,B,B,U,R,R, L,L,B,U,U,U,F,R,R, L,L,B,U,U,U,F,R,R, , , ,L,L,L, , , ,F,F,U, , , ,F,F,U, N=,209, T=,U , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Z, RC=,3, C=,105 , , ,B,B,D, , , ,B,B,D, , , ,B,B,D, L,L,L,U,U,B,R,R,R, L,L,L,U,U,B,R,R,R, L,L,L,U,U,B,R,R,R, , , ,F,F,U, , , ,F,F,U, , , ,F,F,U, N=,210, T=,R , Or in Cartesian Coordinate System: T=,Y, RC=,3, C=,105 , , ,B,B,B, , , ,B,B,B, , , ,B,B,B, L,L,L,U,U,U,R,R,R, L,L,L,U,U,U,R,R,R, L,L,L,U,U,U,R,R,R, , , ,F,F,F, , , ,F,F,F, , , ,F,F,F,
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GroupTheory 1 --- 250 hundred years before group theory
热度 1 LC1991 2016-4-20 16:44
God forgave my poor English... Mathematics is a subject characterized by abstraction; group theory is especially anadvancement of this characteristic. In the 250 years after finding the solution for cubic equations andbiquadratic equations and beforethe nineteenth century, mathematicians, including many of the most greatminds of human history i.e. I. Newton, L. Euler, J. L. Lagrange and J. K. F.Gauss, were all feverishly trying to find the solution for the quintic functions. However, the workwere eventually pushed to a right way by three tragic guys,Italian P. Ruffini , Norwegian N. H. Abel andFrench mathematician E. Galois, they proved that normal quintic functions have no rootsolutions. E. Galois, the most talented and youngest dead mathematician, created thetheory of groups and raised our study level of mathematic from the relationbetween roots and coefficients of the numeric equation to a new stageof the relations between sets and operations, and it emphasized theimportance of symmetry of the elements in the set. The solvability of the quintic equations then become related tothe symmetric properties of the group-theory-described polynomial of degree n.We will discuss this latter. What progress had been made in the 250 years of exploration before group theory? (作为一个数学渣渣，在此坦诚敬告，以上以下都是个人顺理成章化的理解，除了人名，其它不一定靠谱哟~ 正版详解，良心推荐《从一元一次方程到伽罗瓦理论》 冯承天) From the solution of quadratic equation, namely the Vieta's formulas( 韦达公式 ) ， people have long found the closerelation between roots and coefficients of the equation. French mathematicianA. Girard gave out the relation in terms of polynomial of power n.One step further, Newton first understood that the polynomials are'symmetric polynomials', in other words, they are invariant under thepermutation of the roots, which can be easily understood by writing theequation into multiple multiplication term.(see PPT). So he developed theconcept of primary symmetric polynomial, and gave out the Newton'stheorem: Any polynomial of variables a1,a2,...,an, can be uniquely written as apolynomial of the primary polynomials of a1,a2,...,an. The most important thing here, I think, is the concept of symmetric polynomials and the discovery of permutation invariability of the roots.
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周四讨论班：群论（周池春）
GrandFT 2015-4-1 18:16
题目:群论 主讲人:周池春 时间: 2015年4月2日 星期四下午 4:30 地点: 16教学楼308室 引言: 群论在数学和物理以及化学中的重要性不言而喻。因此做理论研究，掌握群论知识是必不可少的。然而在学习群论时，抽象的符号，以及晦涩的定义让初学者较为头疼。 本次讨论班，是一个关于群论的基础性和介绍性的讲解。我将给大家简单的介绍一下群论中包含的一些基本概念，于此同时简单的介绍一下群表示的一些内容。整个讨论班中，我将大量的利用例子，帮助大家直观的掌握群论的基本概念，与一些基本定理。希望对大家以后的学习有所帮助。 内容: 1.代数简单介绍。 2.群的基本概念。 3.群表示的一些介绍。 参考文献 1 The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups,DUDLEY E.LITTLEWOOD 2 Morton Hamermesh-Group theory and its application to physical problems 3 物理学中的群论.马中骐 4 物理学中的群论(上册).陶瑞宝
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统一路-5-少年天才创群论
热度 17 tianrong1945 2015-3-25 17:59
5. 少年天才创群论 美丽的对称无处不在，它在我们的世界中扮演着重要的角色。自然界遍布虫草花鸟，人类社会处处有标志性的艺术和建筑，这些事物无一不体现出对称的和谐与美妙。几何图形的对称不难理解，当人们说到“故宫是左右对称的”，“地球是球对称的”，“雪花是六角形对称的”，每个人都懂得那是什么意思。不过，数学家们总是喜欢究死理，硬要用他们独特的语言来定义对称。 从数学的角度来看待刚才的几个例子，对称意味着几何图形在某种变换下保持不变。比如说，故宫的左右对称意味着在镜像反射变换下不变；球对称是说在三维旋转变换下的不变性；雪花六角形对称则是说将雪花的图形转动 60 、 120 、 180 、 240 、 300 度时图形不变。所以，对称实际上表达的是事物具有的一种冗余性。没想到吧，上帝设计世界时又耍花招偷懒了：利用镜像对称，他只需要设计一半！利用六角形对称，他的雪花图案只需画出六分之一！球对称的天体就更好办了，画出了一个方向的景色，就让它们去绕着一个固定点不停地转圈。 不过，上帝的这种偷懒办法让人类欣赏和喜爱，誉之为美。科学家们更是感觉深奥无比而对其探索不止。他们发明出了一套又一套的理论来描述对称，群论，便是描述对称的一种最好的语言。 用数学语言定义对称的优越性之一在于容易推广。如果将对称概念从几何推广到物理研究中的一般情形，便被表述为：如果某种变换能够保持系统的拉格朗日量不变，从而保持物理规律不变的话，就说系统对此变换是对称的。 物理规律应该在变换中保持不变，这应该是显而易见的。试想，如果今天的某个定律明天就不适用了，或者是麦克斯韦方程只在伦敦适用，搬到北京就不适用了，那还叫做自然规律吗？研究它还有任何意义吗？当然不应该是这样的。 刚才举的例子中，今天到明天、伦敦到北京，这两个概念在数学上都称之为变换。前者叫做时间平移变换，后者叫做空间平移变换。但是，除了平移变换之外，还有许多别的种类的变换，物理定律难道对所有的变换都要保持不变吗？物理规律有很多，至少应该不是每一个规律对每一个变换都将保持不变。那么，这其中有些有些什么样的关系呢？ 首先，我们研究研究，与物理定律有关的变换主要有哪些种，如何分类？ 俗话说：物以类聚，人以群分。岂止人是如此，我们所讨论的变换也可以用数学上的“群”来加以分类 【 1 】 。所以，变换用来描述对称，群用来描述变换，因此，群和对称，便如此关联起来了。 群在数学上是什么意思？“群论”的概念来自于多个方面：数论、代数方程、几何。历史上有一个最伟大的业余数学家叫费马，说他是业余的，是因为他的本职工作是个地方上的法官，但他并非一般的民科，他在数学和物理上的贡献都非常了不起。我们在上一节中介绍的最小作用量原理最早也是基于光学中的费马原理，该原理认为光线在空间总是走最短（或极值）的路径。 1637 年，费马随便在他阅读的一本书的边沿空白处写下了一个看起来颇像勾股定理的公式： x n +y n =z n ，并提出了一个猜想：当 n 大于 2 的时候，不可能有整数满足这个式子。更玄乎的是，费马还在旁边加上了短短的一句话，意思是说他已经知道如何证明此公式但是那儿的空间太小写不下……。这不是明显在吊胃口吗？因此，这个貌似简单的问题，竟让全世界的顶尖数学家们整整忙碌了 300 多年！那就是著名的费马大定理的故事。此外，费马还提出了一个费马小定理。费马小定理说的是有关质数的问题，可以简单表述如下：假如 a 是一个整数， p 是一个质数，那么 (a p -a) 是 p 的倍数。 看了以上定义的费马小定理，大家的感觉也许仍然是“云里雾里”。不过无所谓，那不是我们的目的，重要的是，这个小定理就和群论的发展有点关系了。 简单地说，群就是一组元素的集合，在集合中每两个元素之间，定义了符合一定规则的某种乘法运算规则。说到乘法规则，我们大家会想起小时候背过的九九表，比如图 5-1a 给出的，就是小于 5 的整数的“四四”乘法表。 图 5-1 ： 4 个元素的群 欧拉在 1758 年证明费马小定理的时候，便碰到了这种类似的乘法表。不过，他将乘法规则稍微作了一些改动。比如在刚才所举小于 5 的四四表例子中，他把表中的所有元素都除以 5 ，然后将所得的余数构成一个新的表，如图 5-1b 所示。按照这种方法，类似于上述 n=5 的例子，我们可以对任意的 n ，都如此构造出一个“乘法余数表”来。 当我们再仔细研究 n=5 的情况，发现图 b 中的四四余数表有一个有趣的特点：它的每一行都是由（ 1 、 2 、 3 、 4 ）这四个数组成的，每一行中四个数全在，但也不重复，只是改变一下顺序而已。 上面的特点初看起来没有什么了不起，但欧拉注意到，并不是每一个 n 用如上方法构成的乘法表都具有这个性质，而是当且仅当 n 是质数的时候，（ n-1 ）个元素的余数表才具有这个特点。这个有关质数的结论对欧拉证明费马小定理颇有启发。 以现在群论的说法，图 5-1b 中的 4 个元素，构成了一个“群”，因为这 4 个元素两两之间定义了一种乘法（在这儿的例子中，是整数相乘再求 5 的余数），并且，满足群的如下 4 个基本要求。不妨将它们简称为“群 4 点”。 1. 封闭性：两元素相乘后，结果仍然是群中的元素；（从图 5-1b 中很容易验证） 2. 结合律： (a*b)*c = a*(b*c) ；（整数相乘满足结合律） 3. 单位元：存在单位元（幺元），与任何元素相乘，结果不变；（在上面例子中对应于元素 1 ） 4. 逆元：每个元素都存在逆元，元素与其逆元相乘，得到幺元。（从图 5-1b 中很容易验证） 欧拉研究数论时，有了群的模糊概念，但“群”这个名词以及基本设想，却是首先在伽罗瓦研究方程理论时被使用的，这涉及到一个年轻数学家的悲惨人生。埃瓦里斯特·伽罗瓦（ 1811-1832 年）是法国数学家，他短短 20 年生命所作的最重要工作就是开创建立了“群论”这个无比重要的数学领域。 伽罗瓦从小表现出极高的数学才能，但他厌倦别的学科，独独只被数学的鬼魅迷住了心窍，以至于使得他在求学的道路上屡遭失败，他多次寄给法国科学院有关群论的精彩论文，也未被接受：柯西让他重写；泊松看不懂；傅立叶收到文章后还没看就见上帝去了。对年轻的伽罗瓦来说，生活的道路坎坷，父亲又自杀身亡，卓越的研究成果得不到学界的承认，由此种下了他愤世嫉俗、不满社会的祸根。后来，法国七月革命一爆发，伽罗瓦立刻急不可待地投身革命，最后又莫名其妙地陷入了一场极不值得的恋爱纠纷中，并且由此卷入一场决斗。最后，这位“愤青”式的天才数学家，终于在与对手决斗时饮弹身亡。 伽罗瓦第一个用群的观点来确定多项式方程的可解性。真是无独有偶，不幸的事情也往往成双。说到方程可解性，又牵扯到另外一位也是年纪轻轻就去世了的挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（ NielsAbel ， 1802 － 1829 年）。不过，阿贝尔不是愤青，他在 27 岁时死于贫穷和疾病。 我们在中学数学中就知道一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 的求根公式为： 对于 3 次和 4 次的多项式方程，数学家们也都得到了相应的一般 求根公式，即由方程的系数及根式组成的“根式解”。之后，人们自然地把目光转向探索一般的五次方程的根式解。但历经几百年也未得结果。因为所有的努力都以失败告终，这使得阿贝尔产生了另外一种想法：五次方程，也许所有次数大于 4 的方程，根本就没有统一的根式解。 由于长期得不到大学教职，阿贝尔的生活无着落而贫病交加，但他始终不愿放弃心爱的数学。他成功地证明了五次方程不可能有根式解，但他却没有时间将这个结论推广到大于 5 的一般情形，因为病魔夺去了他短暂的生命。就在可怜的阿贝尔因肺结核而撒手人寰的两天之后，传来了他已经被某大学聘为教授的好消息。 科学的接力棒传到了比阿贝尔小 9 岁的伽罗瓦手上。伽罗瓦从研究多项式的方程理论中发展了群论，又巧妙地用群论的方法解决了一般代数方程的可解性问题。伽罗瓦的思想大致如此：每一个多项式都对应于一个与它的根的对称性有关的置换群，后人称之为伽罗瓦群。图 5-2 给出一个简单置换群 S 3 的例子。一个方程有没有根式解，取决于它的伽罗瓦群是不是可解群。那么，可解群又是什么样的呢？这些概念大大超出了本文讨论的范围，在此不表，有兴趣者可参阅相关文献 【 2 】 。 图 5-2 ：置换群例子 S 3 简单解释一下图 5-2 的置换群例子 S 3 。给了三个字母 ABC ，它们能被排列成如图 a 右边的 6 种不同的顺序。也就是说，从 ABC 产生了 6 种置换构成的元素。这 6 个元素按照生成它们的置换规律而分别记成（ 1 ）、（ 12 ）、（ 23 ）……等等。括号内的数字表示置换的方式，比如（ 1 ）表示不变；（ 12 ）的意思就是第 1 个字母和第 2 个字母交换等等。不难验证，这 6 个元素在图 5-2b 所示的乘法规则下，满足上面谈及的定义“ 群 4 点 ”，因而构成一个群。这儿的所谓“乘法”不是通常意义下整数间的乘法，而是两个置换方式的连续操作。图 5-2b 中还标示出 S 3 的一个特别性质：其中定义的乘法是不可交换的。如图 b 所示，（ 12 ）乘以（ 123 ）得到（ 13 ），而当把它们交换变成（ 123 ）乘以（ 12 ）时，却得到不同的结果（ 23 ），因此， S 3 是一种不可交换的群，或称之为非阿贝尔群。而像图 5-1 所示的四元素的可交换群，被称之为阿贝尔群。 S 3 有 6 个元素，是元素数目最小的非阿贝尔群。 图 5-1 和图 5-2 描述的，是有限群的两个简单例子。群的概念不限于“有限”，其中的“乘法”含义也很广泛，只需要满足 群 4 点 即可。 如果你还没有明白什么是“群”的话，那就再说通俗一点 （做数学的大牛们偶然路过看见了请不要皱眉头） ：“群”就是那么一群东西，我们为它们两两之间规定一种“作用”，见图 5-3 的例子。两两作用的结果还是属于这群东西；其中有一个特别的东西，与任何其它东西作用都不起作用；此外，每样东西都有另一个东西和它抵消；最后，如果好几个东西接连作用，只要这些东西的相互位置不变，结果与作用的顺序无关。 图 5-3 ：各种操作都可以被定义为“群”中的乘法，只要符合“ 群 4 点” 。 刚才所举两个群的例子是离散的有限群。下面举一个离散但无限的群。比如说，全体整数（ ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,4,... ） 的加法就构成一个这样的群。因为两个整数之和仍然是整数（封闭性），整数加法符合结合律； 0 加任何数仍然是原来那个数（ 0 作为 幺元 ），任何整数都和它的相应负整数抵消（比如： -3 是 3 的逆元，因为 3+(-3)=0 ）。 但是，全体整数在整数乘法下却并不构成“群”。因为整数的逆不是整数，而是一个分数，所以不存在逆元，违反群 4 点，不能构成群。 全体非零实数的乘法构成一个群。但这个群不是离散的了，是由无限多个实数元素组成的连续群，因为它的所有元素可以看成是由某个参数连续变化而形成。两个实数相乘可以互相交换，因而这是一个“无限”、“连续”的阿贝尔群。 可逆方形矩阵在矩阵乘法下也能构成无限的连续群。矩阵乘法一般不对易，所以构成的是非阿贝尔群。 连续群和离散群的性质大不相同，就像盒子里装的是一堆玻璃弹子，或装的是一堆玻璃细沙不同一样，因而专门有理论研究连续群。因为连续群是 n 个连续变量之变化而生成的，这 n 个变量同时也张成一个 n 维空间。如果一个由 n 个变量生成的连续群既有群的结构，又是一个 n 维微分流形，便称之为“李群”，是以挪威数学家索菲斯·李（ Sophus Lie ， 1842 － 1899 年）的名字而命名。（可惜不是我们中国人李氏家族的后代！）李群对理论物理很重要，下一节中，我们从与物理密切相关的几个例子出发来认识李群。 参考资料： 【 1 】 S. Sternberg ， Group Theory and Physics ， CambridgeUniversity Press ， Cambridge, September29, 1995 【 2 】 Morton Hamermesh ， Group Theoryand Its Application to Physical Problems (Dover Books on Physics) ， December1, 1989 上一篇：最小作用量原理 系列科普目录 下一篇：
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二郎神·群论
热度 5 kongmoon 2015-2-10 09:46
算经阅，叹群论，传奇昭烈。 自闭锁、逆元犹纂刻，结合律、幺元临帖。 晶体编程纠量子，是对称、拜求它写。 不禁问、天才姓甚，创举通悉一切？ 狂野，伽罗瓦氏，僭君欺蔑。 蹇宿命、南冠封几度，应决斗、红颜情孽。 欲把明珠贻后世，卷成在、诀别永夜。 恨天妒英才，角不三分，方程无解…… 　 　群论是一个数学分支。所谓的群，就是给定一个运算，满足：①封闭性；②结合律；③存在幺元；④存在逆元；的一个集合。例如全体整数在加法运算中就构成了一个群，因为任意两个整数加起来还是整数，满足①封闭性；三个整数相加满足②结合律，例如2+（3+4）=（2+3）+4；存在0这个数，什么整数加0都不变，我们把在运算中保持得数不变的东西叫“幺元”，就像书法临帖，写出来的都一样；每个整数都存在它的相反数，例如5的相反数是-5，两个相反数相加等于幺元，即0，所以对于每个整数都存在他的“逆元”，即相反数，有点像纂刻的字是刻反的一样。由于整数对加法来说满足这是个条件，所以我们可以这样说：全体整数对加法形成一个群。 　　显然对于乘法来说，全体整数并不能构成一个群。乘法中，很明显幺元是1，因为什么乘以1都不变。而整数的逆元应该是它的倒数，例如5*1/5=1，倒数是一个分数已经不是整数了，所以乘法不满足那4个条件，所以对于乘法运算，全体整数就不构成一个群。简单吧！其实不然，群论是一门高度抽象的数学，专门研究它的学科叫做《抽象代数》或《近世代数》。现代物理学的量子力学、标准模型、相对论等都需要用到群论，化学研究也要用到群论，晶体研究、编程算法……大凡解决与对称性有关的问题，都要用到群论作为工具，那么是谁发明了这个群论呢？ 　　1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗瓦。 　　伽罗瓦是狂热的共和主义者，但似乎一生都没交过好运：因为反君主复辟活动入狱几次，很多数学思想都是他在狱中完成的。他当时主要是研究５次以上的方程为什么还找不到求根公式，因为一元一次、二次、三次、四次方称都有其求根公式，而五次方程的求根公式却困扰了人类几百年，伽罗瓦在总结前人的基础上，着眼于方程的本质结构，创新性地提出了“群”的概念和方法，不仅证明了五次以上的方程没有公式解，还一举证明了困扰人类上千年的尺规作图三大难题中的“三分角”和“倍立方”是不可能的。他两次向巴黎科学院投稿，但论文却是两度莫名其妙丢失，大数学家刘维尔和傅里叶对他的论文不屑一顾…… 　　英雄难过美人关，由于心爱的女人（一说是妓女），他答应了情敌的决斗，决斗前夜，他连夜将关于群论的手稿进行整理，托付给挚友……中枪后，他并没有立刻死去，在神志仍然清醒的时候，拒绝了一个神父的祈祷。他弟弟流着泪赶到了，他却努力去安慰他的弟弟：“不要哭，我需要我的全部勇气在20岁时死去。” 1832年5月31日，他被埋葬在南公墓的普通壕沟里，他不朽的纪念碑是他60页的著作。
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周四讨论班：置换群和杨图（陈帅）
GrandFT 2014-5-7 21:47
题目： 置换群和杨图 主讲： 陈帅 时间：2014年5月8日 星期四下午4:30-6:10 地点：16教学楼308室 题目：置换群和杨图 提纲：①群及群表示的基本概念 ②置换群的定义和基本性质 ③群代数的理想和幂等元与置换群不可约表示的关系 ④杨图杨表和杨算符的定义和基本性质 ⑤通过杨算符构造置换群群代数的标准基，介绍计算置换群不等价不可约表示的矩阵的简便方法 ⑥利用杨图计算置换群不可约表示外积的约化，即立特武德-理查规则。 参考书籍：《物理学中的群论》马中骐 《QUANTUM MECHANICS: SYMMETRIES》 W.顾莱纳 B.缪勒
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谈谈对称
热度 25 武际可 2014-4-3 11:07
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讨论班（周五）：群论初步（周池春）
GrandFT 2013-3-20 20:45
题目： 群论初步 主讲： 周池春 时间：2013年3月22日星期五下午4:30-6:10 地点：16教学楼308室 提纲： 一、群的数学定义，群的物理意义，群的数学定义与物理意义的结合。 二、常见群的例子S0（3），SU（2），SO(3,1)，SL（2，C）群及其表示。 三、Dirac方程构建。 一、群的数学定义：0集合 1定义乘法法则，乘法封闭 2结合律 3存在恒元 4存在逆 此外还可以有其他的结构，例如矢量空间（群空间） 比如存在交换律，交换群（阿贝尔群） 物理学的意义：对称操作。以交换群为例子，以操作转盘为例子，以欧式空间的操作为例子。 数学和物理的结合：群表示问题。 群表示的概念、置换群表示举例。 表示分类、可约表示本质，不可约表示本质。 群的其他基本概念：轨道，不变子群，陪集 说明，我们有意义的是幺正的变换，数学上说就是保持内积不变的变换。物理上说： 二、 常见群，及其表示的例子： 1欧式空间的群O(3)群SO(3)群，欧几里德群 2二维复向量空间群SU(2) 3时空群SO(3,1)，庞加莱群 4二维复向量空间上的特殊群SL(2,C) 三、 标量，矢量，旋量的定义与举例 Dirac旋量方程的构建 参考文献：《典型群及其在物理学上的运用》怀邦。 《物理学中的群论》马中骐 Ryder 《Quantum fields theory》
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《群与代数表示引论》（第2版）冯克勤、章璞、李尚志
ustcpress 2012-4-17 11:44
《群与代数表示引论》（第2版）冯克勤、章璞、李尚志
丛书：教育部研究生工作办公室推荐研究生教学用书 出版日期：2009年3月 第4次印刷 出版社：中国科学技术大学出版社 书号（ISBN）：978-7-312-01882-4 正文页码：224页（16开） 定价：22.00元 编辑邮箱： edit@ustc.edu.cn （欢迎来索要目录、样章的PDF） 当当网购书地址： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=9173502 【 内容简介 】 本书介绍群与代数表示的基本理论与方法 , 侧重于有限群的常表示理论和有限维半单代数的表示理论。在强调线性代数方法的同时 , 也突出体现了群表示与代数表示的联系。本书假定读者学过线性代数和近世代数。本书可作为数学系研究生公共基础课教材和高年级本科生选修课教材，也可作为相关专业的参考书。
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《现代物理中的群论》孙宗扬
ustcpress 2012-3-12 15:44
《现代物理中的群论》孙宗扬
出版日期：2011年1月 出版社：中国科学技术大学出版社 书号（ISBN）：978-7-312-02749-9 正文页码：284页（16开） 字数：348千 定价：33.00元 编辑邮箱： edit@ustc.edu.cn （欢迎来索要目录、样章的PDF） 当当网购书链接： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=21029429 【 内容简介 】 本书作者在中国科学技术大学讲授群论前后有二十余年 , 有着颇为丰富的经验 . 本书从群论最基础的知识讲起 , 深入浅出 , 使得初学者能很快地入门 , 并使得读者能迅速地掌握群论的主要脉络 , 以进入现代物理理论的前沿 . 本书选择了在数学和物理中都十分重要的 Sn 置换群以及 SU(2) 群和 SU(3) 群作为实例而详细讨论 , 同时讨论一般性的 Lie 群及 Lie 代数 . 特别在 Sn 群中以杨图为工具 , 详尽地讨论了各种可能的表示 . 本书适合于物理、应用数学、无线电子、自动控制、电子信息等专业高年级学生和研究生，以及有志于应用群论研究相关问题的各类人员 . 【 作者简介 】 孙宗扬， 中国科学技术大学天文与应用物理系教授。
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[转载]群論與魔方：魔方花式(下)
ChaoZhangJimsar 2011-12-6 19:59
（转自 周家发网页 ） 上一章介紹了五種較簡單的魔方花式，本章將繼續介紹另外五種花式，其中有些花式頗為複雜。像上一章一樣，我們將提供每一種花式的公式及其「循環式」，並簡單解釋其原理。 6. 頂峰(Peak) 這種花式在魔方的前、右、上三面交界處和後、左、下三面交界處分別形成兩個像水塔形狀的圖案，一個塔頂向上，一個塔頂向下，如下圖所示： 以下為上述花式的公式及其「循環式」： FU 2 LFL −1 BLUB −1 R −1 L −1 UR −1 D −1 F −1 BR 2 = (fru 0 , bld 0 )(fr 1 , bl 1 )(fu 0 , ld 0 )(ru 0 , bd 0 ) (6) 從上述「循環式」可以看到，上式的作用是把位於「fru」和「bld」角落的角塊對調，並同時把鄰接這兩個角塊的六個邊塊也兩兩對調位置，從而在「fru」和「bld」這兩個角落的鄰近範圍出現與別不同的顏色，形成兩個像水塔形狀的圖案。 7. 方中方(Cube in a Cube) 這種花式在魔方的前、右、上三面交界處和後、左、下三面交界處分別形成兩個顏色與別不同的2 × 2 × 2魔方，從而出現大魔方內含兩個小魔方的景象，如下圖所示： 以下為上述花式的公式及其「循環式」： UBUR −1 FRU 2 B 2 R −1 B −1 D L −1 D −1 B 2 R = (flu 2 , bru 2 , frd 2 )(blu 1 , brd 1 , fld 1 )(lu 1 , br 0 , fd 1 )(bu 1 , rd 1 , fl 0 ) (7) 從上述「循環式」可以看到，上式的作用是使位於前、右、上三面交界處和後、左、下三面交界處的兩個角塊、六個邊塊和六個中心塊保持不動，並把其餘六個角塊分兩組循環換位，六個邊塊也分兩組循環換位。這樣，保持不動的角塊、邊塊和中心塊的顏色便與周圍的顏色有所不同，看來像是兩個內崁於大魔方的小魔方一樣。 8. 超級翻轉(Superflip) 這種花式把魔方的12個邊塊全部都翻轉，並保持其餘八個角塊和六個中心塊不動，如下圖所示： 以下為上述花式的公式： 3 (8) 上式包含兩層括號，外層括號的3次冪代表須進行「(M R U) 4 C R C U −1 」操作三次，而內層括號的4次冪則代表在每次進行這個操作時，都要進行「M R U」操作四次。此外，上式還用到《群論與魔方：魔方的基本概念》中介紹過的「整個魔方旋轉」C R 和C U −1 。由於這種旋轉等同於朝同一方向逐一旋轉兩個外層和一個夾心層(註1)，而且兩個外層旋轉和一個夾心層旋轉所影響的角塊、邊塊和中心塊互不相干，因此我們可以把「整個魔方旋轉」分解為三個旋轉的乘積。 舉例說，繞一條穿過前面的軸順時針旋轉90° (此即C F )，便等同於先後順時針旋轉前面90°，順時針旋轉夾處前、後兩面的夾心層90°，和逆時針旋轉後面90°，因此我們可以把C F 分解為F、M F 和B −1 的乘積。以下列出三個「整個魔方旋轉」的分解公式(註2)： C F = FM F B −1 (9) C R = RM R L −1 (10) C U = UM U D −1 (11) 此外，我們還要用到群論上有關複合乘積逆元的公式：設X和Y為某個群中的兩個元素，那麼我們有 (XY) −1 = Y −1 X −1 (12) 把(10)和(11)代入(8)並利用公式(12)，便可把(8)改寫成以下形式，並可算出其「循環式」如下： 3 = (fu 1 )(bu 1 )(bd 1 )(fd 1 )(lu 1 )(ru 1 )(fr 1 )(br 1 )(rd 1 )(fl 1 )(ld 1 )(bl 1 ) (13) 從上述「循環式」可以看到，上式的作用是把12個邊塊翻轉，並使其他角塊、中心塊保持不動，正可達致所需的效果。 9. 超級扭轉(Supertwist) 這種花式把魔方的八個角塊全部都扭轉，並保持其餘12個邊塊和六個中心塊不動，如下圖所示： 以下為上述花式的公式： 2 (14) 上式也用到「整個魔方旋轉」C F 。把(9)代入上式，便可把上式改寫成以下形式，並可算出其「循環式」如下： 2 = (flu 2 )(fld 1 )(bld 2 )(blu 1 )(fru 1 )(frd 2 )(bru 2 )(brd 1 ) (15) 從上述「循環式」可以看到，上式的作用是把八個角塊扭轉(一半順時針，一半逆時針)，並使其他邊塊、中心塊保持不動，正可達致所需的效果。 10. 六色同堂(6-Colour Cube) 還原魔方的目的是要令魔方的每個面只出現一種顏色，「六色同堂」則是要使魔方的每個面都出現六種顏色。由於六種顏色在九個小面上可以有很多可能配置，如要令這種花式呈現對稱美，並不是簡單的事。下圖顯示一個符合此要求的花式。在此花式中，每個面上的四個角塊都同色，其餘四個邊塊和中心塊各不同色，不僅符合了「六色同堂」的基本要求，而且所得圖案有一種對稱美，就像一個五彩繽紛(準確點說，應為「六」彩繽紛)的禮物包裹。 以下為上述花式的公式及其「循環式」： UFRD 2 B 2 D 2 F 2 D −1 LDFD −1 LBU 2 RF = (fru 0 , bld 0 )(flu 0 , fld 0 )(blu 0 , frd 0 )(bru 0 , brd 0 )(fu 1 , bu 1 )(lu 1 , ru 1 )(fr 0 , bl 0 )(fd 1 , bd 1 )(fl 1 , br 1 )(rd 1 , ld 1 ) (16) 從上述「循環式」和上圖可以看到，上式的作用是保持六個中心塊不動，並同時把八個角塊兩兩對調位置，從而使本來位於前面四個角落上的藍色小面與左面四個角落上的紅色小面對調位置；本來位於後面四個角落上的綠色小面與右面四個角落上的橙色小面對調位置；本來位於上面四個角落上的黃色小面與下面四個角落上的白色小面對調位置。這樣便使每個面上的四個角塊同色，但與中心塊不同色。 此外，上式也把12個邊塊兩兩對調位置並作適當翻轉，從而使這些邊塊在各個外表面上各呈現不同顏色，而且與各個外表面上的中心塊和四個角塊均不同色，從而達致具對稱美的「六色同堂」圖案。 註1：從操作的角度看，旋轉整個魔方當然比逐一旋轉兩個外層和一個夾心層簡便得多；但從計算「循環式」的角度看，我們必須把「整個魔方旋轉」看成三個旋轉的複合。 註2：由於C B = C F −1 ，C L = C R −1 ，C D = C U −1 ，我們只需列出C F 、C R 和C U 的公式。另請注意，以下三條公式中等號右邊相乘的各項可以調換次序。
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[孤独专题]有限单群：一段百年征程
songshuhui 2011-9-4 20:57
方弦 发表于 2011-08-07 10:29 1832年的某个清晨，革命中的法国见证了又一次决斗。在某个瞬间，某位青年被对手的枪射中腹部，随后去世。在当时狂热的政治斗争中，只有寥寥数人意识到，法国，甚至世界，又失去了另一个伟大的头脑。这位青年姓伽罗华，他的最大遗产围绕着一个数学概念：群。 在接下来的一百多年后，一群在世界各地的数学家，沿着这位青年开辟的路径，对有限群的结构进行了彻底的分析。其中的发现，可能出乎所有人的意料。 这是一个关于群的故事，这是一个关于单群的故事。 高度抽象的对称 交错群A_5的一个Cayley图（一种群的图示） 什么是群？一个数学家可能会给你这样的回答： 一个群是一个集合G以及在G上的一个运算·，满足以下三个条件： 1. 存在一个G中的元素e，使得对于G中的任意元素x，有x=x·e=e·x。这样的e叫做群的单位元 2. 对于G中的任意元素x,y,z，有(x·y)·z=x·(y·z)，这是结合律 3. 对于G中的任意元素x，存在G中的一个元素y，使得e=x·y=y·x。这样的y被称为x的逆元 这样的定义，即使是对一名刚进大学的数学系学生来说也稍显抽象。但数学的力量就在于它的抽象。它什么都不是，所以它什么都是。 整数和加法就构成一个群。什么数加上0都不变，所以0是单位元；a+(b+c)=(a+b)+c，这是小学的加法结合律；一个数加上它的相反数是单位元0，所以相反数就是逆元。正实数和乘法也构成一个群，1是它的单位元，乘法有结合律，倒数是逆元。如果我们认为9点+5点相当于9点的5个小时后，也就是2点的话，就连时钟也构成一个群。宝石的晶体构造，电脑的压缩校验算法，以至于魔方的还原，无不牵涉“群”这个概念。而对于自然界的各种对称性，群也是对其最自然的描述方式。难怪有人会说，群就是对称，研究群，就是研究各种对称性。 正是由于放弃了与现实的对应，像群这样的抽象数学概念才能在现实中获得广泛的对应。我们研究群，并不关心它的具体元素是什么，是x,y,z还是姬十三、猛犸、桔子都无所谓，只要知道元素通过运算产生的关系就够了，这就是群的全部。只要符合群的公理，能应用到x,y,z上的结论就能应用到姬十三、猛犸、桔子上，这就是抽象的力量。 超越时代的孤独 伽罗华的画像 也正由于这种抽象，群的概念在一开始并没有很快地被接受。 伽罗华是在研究一元五次方程的根式解时开始触及群的概念的。对于一元二次方程来说，我们可以将方程的所有解写成有关方程系数的一个根式（允许四则运算和开常数次方运算组成的式子），这称为方程的根式解。对于三次以及四次方程，也有这样的公式，可以直接从方程的系数得到方程的所有解。然而，对于五次以及更高次的方程来说，此前阿贝尔已经证明一般的公式并不存在。伽罗华要解决的，是判断何时存在这样的根式表达。 为了解决这个问题，他首次定义了群这种代数结构，仔细地研究了群的各种性质，以及它与更高级的一种代数结构——域——的关系，并以此发展了一套理论，完整地解决了这个问题。他写下了关于这套理论与高次方程根式解的备忘录，并将其递交到法兰西科学院。 他的不幸从此开始。 这份备忘录的评审人是柯西。虽然认识到了伽罗华工作的重要性，柯西却没有接受这份备忘录，而是建议伽罗华修改这份备忘录以竞逐科学院的数学奖。 伽罗华接受了这个建议，第二次提交了备忘录。 天意弄人，评审人傅里叶之后不久就逝世了，伽罗华的备忘录不知所踪。 伽罗华决定最后一搏，但这也被泊松驳回，理由是“无法理解”。当消息传到伽罗华耳中时，他早已因为政治斗争而身陷囹圄，此时离他的决斗只有半年时间。 没有人理解他的理论，或者说没有人愿意去理解他的理论。 就是这套理论，使伽罗华的名声流芳百世。尽管他无法发表他的备忘录，但他此前发表的论文讲述了这个理论的一些基础。泊松的驳回理由，使他更认真地打磨他的理论，以冀数学界的认同。 但死神的镰刀没有给他这个时间，上天不打算给他安排生前的荣耀。1832年5月30日，年方二十的伽罗华，迎来了他第一次也是最后一次的决斗。这场决斗的细节已经被时间之砂打磨掩盖，什么对手，什么原因，有人说是为了爱情，有人说对手背后有政治阴谋，众家各执一词。我们只知道，在这场决斗中，伽罗华腹部中枪，不久后魂归天国。 “不要哭，阿尔弗雷德！在二十岁死去，我需要我的全部勇气。”这就是他对弟弟说的最后一句话。 而决斗前夕给他的朋友Chevalier的信，可以算是他对世界的遗言。信中密密麻麻地写着他的数学理论，他正在思考的问题，他脑中的一切。他大概冀图某天，世界能够通过这封信，理解他。 幸而，Chevalier实现了他挚友的意愿。伽罗华的理论，现在以他的名字命名：伽罗华理论。 也就是这封信，吹响了一场百年战役的号角。 构筑对称的砖块 Z/6Z的一个Cayley图，其中可以看出它可分解为两个单群 在伽罗华理论，乃至于更广泛的群的理论中，有一个很重要的概念：正规子群。 我们以下只讨论那些只有有限个元素的群，它们被称为有限群。例如，魔方操作组成的群就是有限群，因为变化的可能性是有限的。而整数与加法组成的群则不是有限群，因为整数有无限个。 在一个群里，有些元素自己会组成一个小圈子。它们并非不与外界交流，但无疑它们喜欢抱团：小圈子内的元素经过运算得到的结果仍然在这个小圈子里，而它们的逆元也在小圈子里。简而言之，这个小圈子对于原来的运算也组成一个群。这样的小圈子，叫做群的子群。 有些子群比别的子群更特别，它们不仅自己是一个群，如果“除”原来的群，得到的也是一个群。这样的子群叫做正规子群，而它们对原来的群作“除法”得到的群叫商群。首先观察到并提出正规子群这个概念的，正是伽罗华。 通过研究更简单的正规子群和商群，我们可以得到群的很多性质。这就是数学家特别钟爱正规子群的原因。 如果我们将正规子群和商群看成群的一种分解的话，那么必定有着不能被继续分解的群，我们将之称为单群。 对于任意的有限群，我们可以将其分解成一串单群，而且这样的分解是唯一的。单群在有限群论中的地位，跟素数在数论中的地位，还有原子在化学中的地位一样：它们都是构建它们所在世界的砖块。通过研究这些“砖块”，我们可以知道它们组成的各种结构的性质。如果能列出所有有限单群，就能从一个侧面了解所有离散的对称性的性质。 有限单群就是这个故事的主角。 与化学家当年寻找新元素的动机一样，数学家也开始了对有限单群的寻找。他们想做的跟化学家做的差不多：列一个单群的“元素周期表”。不过数学家要做的任务多了一项：证明这个“周期表”包含了所有的单群。 这看起来不太容易，事实正是如此。 转眼百年的长征 Higman-Sims图，可导出散在单群Higman-Sims群 伽罗华是寻找有限单群当之无愧的第一人。是他首先发现所谓的交错群A_n对于所有n=5都是单群，从而不是可解群。正是从这个结果出发，他证明了高于五次的方程一般而言没有根式解。而数学家此前对数论的研究也容易导出另一族的单群：素数阶的循环群Z_p。它们也是唯一的交换单群，也就是说运算满足交换律（a·b = b·a）的单群。 无需太纠结为何这些群取这样的名字。对于数学家而言，群就像是宠物，给宠物取的名字可能反映了宠物的性格，也可能是纯粹的趣味。但名字毕竟只是名字，只是称呼这些群的一种方式而已。 像这样整个家族出现的单群，还有16族所谓的有限李群，它们可以看作离散域上的矩阵组成的群。对它们的系统化研究是由挪威数学家Sophus Lie开始的，所以后人以此命名。而其中首先被发现的是所谓的射影特殊线性群PSL_n(q)，其中q是一个素数的幂。在伽罗华生命最后的那封信上，就已经提到PSL_2(p)对于大于3的素数p是单群。后来Chevalley对其进行了更深入的研究，将其推广到一般的素数的幂。对于其余的15族有限李群，Chevalley也功不可没。 除了这一共18个有限单群家族之外，还有26个单独存在的有限单群。它们不属于任何一个家族，而它们之间也没有一个统一的联系，三三两两各自放浪于数学天地之间。数学家给他们起了个相当适合的名字：散在单群。它们是单群中自成一派的例外。成家族出现的单群结构总是相似的，而散在单群却各有各的美丽。 同时进行的则是证明这就是所有的有限单群，这就是所谓的有限单群分类定理。如果将寻找单群比作在森林里抓兔子的话，有限单群分类定理的证明则是确保森林里所有的兔子都被抓光了。这就要求数学家对森林的地形——也就是有限群的结构——有一定的了解。 从某种意义上，整个证明可以追溯到1872年的Sylow定理。这个定理不仅使数学家开始明白有限群更深层的结构，也为后来对各种群的分类讨论提供了武器。而真正明确提出对有限单群分类的，则是1892年的Hölder。他同时也证明了，每一个非交换有限单群的元素个数，是至少四个不同素数的乘积。 从此开始便是百年的征程，对数学家更不利的一面是，出发的时候还不知道森林里有多少兔子要抓。事实上，分类定理的证明和对有限单群的寻找，很大程度上是交错叠积的。有时是证明的途中，忽然找到了又一个新的有限单群；有时是对于已有的单群的研究启发了证明。这也是可以理解的，毕竟这是研究同一件事物的两条路径。 所以，当1983年Gorenstein宣称有限单群分类定理被证明之时，群论学界可是欢呼雀跃。整个证明散落在各期刊的500多篇论文之中，合计过万页，每篇论文都对某种特殊情况进行了处理。将这些特殊情况合起来，覆盖了绝大多数的有限群类别，而Gorenstein认为，他的新论文恰好补上了仍未处理的那些有限群，从而完成了整个分类定理的证明。 问题是，他弄错了。他以为一类名为“拟薄群”（quasi-thin group）的类别已经被处理好了，但事实上没有。直到2004年，由Aschbacher和Smith撰写的一篇一千多页的论文才将这个情况完全处理妥当，从而填补了这个漏洞。此时，有限单群分类定理，这个有限群理论的圣杯，才正式被圆满证明。 18个有限单群家族，再加上26个散在单群，这就是所有的有限单群。从伽罗华开始历时一个多世纪，跨越两次世界大战的搜索，随着1976年最后一个散在单群被发现，2004年有限单群分类定理的最终证明，这场数学家和有限单群之间的捉迷藏游戏才告结束。这个列表，包含着数代数学家辛勤的汗水，大概还有不少的咖啡、粉笔、墨水和纸。 故事仍未结束。在所有有限单群中，那些散在单群特别令人在意。成它们的出现看似无章可循，没有什么必然的规律。但是，尽管有着“散在单群”这个名字，它们并非与世隔绝之徒。最有名的例子，莫过于那个最大的散在单群——魔群（Monster Group）。 意料之外的联系 魔群是在1973年被Fischer和Griess分别独立发现的。虽然它是最大的散在单群，但它并不是最后一个被发现的。实际上，“魔群”这个名字就源于它庞大的体积。魔群的准确元素个数是808017424794512875886459904961710757005754368000000000，也就是大概8*10^53个。与之相比，太阳系的原子个数也就是大约10^57个，仅仅高了两个数量级。如果我们用线性空间和矩阵变换来表示魔群的话，我们至少需要一个196883维的线性空间，才能忠实表达魔群的整体结构。这种表达方式又被称为群的线性表示。 也正是由于魔群如此庞大，所以一开始数学家们并没有直接将它构造出来，而只能指出它的存在性。发现魔群的Griess，也要几个月后，才最终把魔群的元素个数计算出来。而魔群的直接构造，要等到9年后的1982年。那年，Griess提出了一个名为Griess代数的代数结构，而魔群恰好就是这个代数结构的自同构群。换句话说，魔群恰好刻画了Griess代数的所有对称性。值得一提的是，Griess代数的维度是196884，比196883多1。 如果说每一族单群和每一个散在单群代表一种对称性的话，那么魔群一定有着非同寻常的对称性。体积如此庞大的群，却仍然是一个不可分解的单群，这本来就是个奇迹；而且与那些成系列的量产型单群不同，它的结构和对称性还是独一无二的。用个物理上不太恰当的比喻，如果第二大的散在单群是一颗无暇的钻石的话，按照比例，魔群大概就是一颗完全由钻石组成的星球，而且透明得能从一边看到另一边的星空。 如果说如此瑰丽的魔群，仅仅是数学中的一个与世隔绝的孤岛的话，那数学之神未免太浪费了。 而此时，在数学的另一个领域——数论，另一群数学家正在研究一些完全不同的东西。 模形式理论是数论的一个分支，它研究的正是模形式。模形式是复平面上满足一定性质的函数，它们跟一类叫“椭圆曲线”的数学对象密切相关。椭圆曲线是平面上的一类曲线，它经过的整点有一种自然的群的结构，而对这些群的结构的研究可以获得整数的很多性质，包括轰动一时的费马大定理的证明。 在模形式理论中，有一个特殊的函数占据着相当重要的地位，它叫j不变量。它的历史也不短，各种性质已经被数学家们研究得相当透彻了，也为模形式理论的发展立下过汗马功劳。它可以干净利落地展开成如下的傅立叶级数，其中每个系数都是整数： 其中是不是有个数字很眼熟？对，就是第二个傅立叶系数196884，正好是Griess代数的维数，也就是魔群的最小忠实线性表示的维数加1。这仅仅是个巧合，还是有某种内在的联系？ 当John McKay在上个世纪七十年代末将这个发现告诉Conway时（顺带一提，这位就是发明“生命游戏”的那个Conway），他们并不认为这是一个单纯的巧合。如果是3或者5这种小数字，那巧合或许还能解释，但196884的话，说是巧合未免过于牵强，“有某种尚未发现的内在联系”这个解释听起来更加合理。Conway和另一位数学家Norton随后发现，j不变量的其它傅立叶系数也与魔群的所谓不可约表示的维数有着紧密的联系：这些傅立叶系数恰好可以表示成不可约表示维数的一些简单的线性组合。这就远远不是巧合能够解释的问题了。 在这些基础上，Conway和Norton提出了他们的所谓“魔群月光猜想”。他们猜想，存在一个基于魔群的无限维代数结构，通过魔群的不可约线性表示，它恰好给出了j不变量的所有傅立叶系数，而魔群每一个元素在这个代数结构上的作用，都自然地给出了与某个群相关的模形式。这其中牵涉到的数学，即使笔者也无从驾驭，需要长时间的学习，方能领会个中美妙滋味。 “魔群月光”这个名字，奇怪地带着些浪漫色彩，但这不过是错觉。“月光”的原文是“moonshine”，在俚语中的意思毫不浪漫，反而是用作形容那些带点疯狂的主意。这就是当时Conway听到这个巧合之时的反应。即使对于最有想象力的数学家来说，要承认数论中被研究得相当透彻的j不变量，与有限群论这个不太相关的领域中新发现的魔群有着这么紧密的联系，这个主意也未免有些疯狂。 但更疯狂的还在后头。 不久，数学家们构造出了一个被称为魔群模（Monster Module）的特殊代数结构，被认为极有可能是满足魔群月光猜想的那个代数结构。要构造这个代数结构，首先要从一个名为Leech格的代数结构开始（顺带一提，这个代数结构有着特殊的对称性，可以构造出数个散在单群），构造一个24维的环面。在这个环面上的玻色弦理论，通过共形场论中的顶点算子来表达，就是魔群模。换句话说，联系着有限群论中的魔群与数论中的j不变量的魔群模，实际上是一个高维空间中的弦理论，表达的是某个高维空间中的可能的物理理论。 数学的两个不同分支，居然通过理论物理被联系了起来。 接下来的事情，就是证明魔群模的确满足了魔群月光猜想。这项工作在1992年由Brocherds完成，证明同时包含了数学和物理，其中用到了弦论中的No-ghost定理来构造证明中必不可少的一个代数结构，Brocherds也由于这个证明获得了菲尔兹奖。通过这个定理架起的桥梁，数学家们也发现了魔群、模函数和弦理论之间更多的千丝万缕的联系。甚至有人过于疯狂地设想，魔群也许就代表着我们这个宇宙终极的对称性。 如果伽罗华仍然在世的话，会对这种柏拉图式的设想有什么看法呢？不过毫无疑问的是，他一定会赞叹他的后继者在他之后，在他铺设的地基上建起的这些晶莹无暇的数学理论。 不应重现的叹息 有限单群分类定理是有限群理论的一块里程碑，标志了我们对所有有限对称性的系统理解的开端。对于魔群的研究，也引发了数学家对散在单群的兴趣。关于有限单群的各种研究，至今方兴未艾。 在这个关于单群的故事中，最值得关注的就是整个故事的起点，也就是伽罗华。他的研究奠定了整个有限单群研究的基础。超越时代的他，活着的时候是个孤独的研究者，但现在，谁谈到群论又能绕过他呢？ 在数学的天空中，伽罗华宛如一颗匆匆划过的璀璨流星。他的身体太单薄，无法承受时代的狂风；但他发出的光芒，照亮了整个天空，被不同的人以不同的形式记录下来，并将长久不息。以他的名字命名的各种数学概念，已经产生了深远的影响。这使人不禁思考：如果没有那场决斗，他将会做出多大的成就呢？然而，历史没有假设。 这使人不禁想起同为法国人的化学家拉瓦锡的遭遇。在拉瓦锡被构陷上断头台后，数学家拉格朗日的叹息是：“砍下这颗头颅只需一瞬，但百年的等待可能仍不足以使其重现。”一根有智慧的芦苇，需要整个社会长期的积淀产生的土壤，方能破土而出。但芦苇总归是芦苇，命运无常，须臾即可毁去；即便是它脚下的土壤，赤炎燎原，十年亦成焦土。伽罗华的悲剧，现在还在很多地方，以不同的形式，或明或暗地上演着。
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玖儿可以谈谈群论和红外拉曼选律吗?（补记）
热度 14 qiongfeng 2011-5-18 05:51
玖儿可以谈谈群论和红外拉曼选律吗?（补记）
补记： 这篇博文内容不好玩，慎阅。 玖儿以前学选律的时候都是以波函数为基准，国内大部分教材都这么写的。 那天刚好看到了群论里面谈选律，觉得前所未见，惊呆了，从这另一个视角去看选律，又有了新一层的认识，于是想分享给大家看一看。 但内容还是不好玩，玖儿也没讲的很清楚，实在是对不起了。 自从在某一篇博文中某个大人物出言不逊，被玖儿骂回去后，玖儿的博客就一直有一些匿名的不太和谐的声音（辛苦编辑了，跟在后面删贴不容易）。 有人认为，苍蝇不叮无缝的蛋，认为玖儿伪90，缺乏思考，玖儿这种水平不适合科学网。 对于文字文风，玖儿深感抱歉。玖儿小学作文从来没有学好过，是个失败品（尽管后来TOEFL和GRE作文高分），玖儿当努力改进。 但攻击玖儿文章内容缺乏思考思想不健康，认为玖儿是有缝的蛋。玖儿只是想说，您这种论证，似乎给强奸犯找到了最好的理由。 废话少说，玖儿决定以后写您认为的“严肃”“健康”的文章，玖儿在科学网玩得很high，恕不能如您意转战其他的论坛。 今天，玖儿想班门弄斧，谈谈群论和红外拉曼选律。 学数学的可能更熟悉群论，玖儿才疏学浅，只想讲讲群论在化学光谱中的一个小part。如若有错，也请您不吝赐教。 1、依据对称性可以将分子划分为不同的点群，如H2O，属于C2v点群，如BF3,属于D3h点群。 如图1： 以C2v H2O为例，共3N=9个自由度。将H20置于以x,y,z为基准的cartesian坐标系下。 对9个自由度，分别作对称变换，我们可以得到如图2: 简化一下，我们就可以得到C2v点群的矩阵表达，如图3： 2、红外光谱基于偶极矩（dipole moment)的变化。 红外吸收光谱的波长取决于分子的振动波长，强度取决于由于分子振动导致的偶极矩的变化(@u/@Q)^2。 这里红外吸收的选律指的是获得信号大的吸收光谱，就是获得大的偶极矩的变化。 对于红外这些振动光谱，着眼的是分子的振动。将cartesian坐标系转换为以r,theta,phi为基准的角坐标系更有利于红外拉曼的表达。 在角坐标系中，将偶极矩看作是一个矢量（vector）。如果以偶极矩和分子中心为一平面，饶着垂直于这平面的轴转动(比如说对称轴C3v)，偶极矩会发生变化。有红外活性。 图4 简化一下，用这种红外活性的transform用character来表示：图5 再把它放进C3v点群里，分散，得到图6： 再放到Cartesian坐标系里，得到图7： A1和E这两类振动形式是红外活性的，A2是非红外活性的。 3.拉曼散射光谱是基于极化率(polarizability)的变化。 同红外一样，极化率变化的表达方式，再放到群里分散，再转换坐标系。得到图8。 A1和E这两类振动形式是拉曼活性的，A2是非拉曼活性的。 恩，玖儿好累，不玩了，有这闲工夫还不如去跑跑marathon.就这样，谢谢阅读，欢迎讨论，详情请咨询N.B.Colthup。 散花，退场。
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我又搬回来了。。。。（把以前的帖子搞到一起了）
Dyson 2009-12-13 14:32
初学《量子场论》注记 刚学场论已有半个多学期，说说自己的体会吧： 1.老师用的是PESKIN的书，虽然书的评价是推理详细，可我还是觉得在许多计算上糊里糊涂的，尤其是在涉及到李群和DIRAC场的时候。没办法，高等量子力学，群论和量子场论是同时开设的，只能自己先看着了。 2.前一段时间一直在想为什么坐标在进行洛伦兹变换时，对应波函数也要进行相应变换，比如DIRAC方程。现在明白了：先写出DIRAC方程，当坐标变换时，偏导算符要变换，矩阵不变，为了保持方程的协变性（狭义相对论的要求！），波函数也必须作出一个变换，还可以很容易的写出波函数的变换矩阵和坐标变换矩阵的关系！ 3.波函数变换矩阵的无穷小生成元S（）的形式：首先把洛伦兹变换的无穷小形式写出，然后写出波函数变换的无穷小形式，S（）是作为待定量出现，根据2中的波函数的变换矩阵和坐标变换矩阵的关系，可以求出有关S（）性质（是二阶反对称的）的式子，结合矩阵的性质，可以把S（）用矩阵表示出。 4.对称性在场论中扮演了极其重要的角色！试想，对于场这种物质存在形式，应该如何定义其动量，角动量了？可以考虑坐标和场量连续对称变换中，作用量所体现出的不变性，这其实也是Noether定理所告诉我们的。首先是时空无穷小平移，所有场在这种变换下，场量的变化仅由前后坐标不同导致。对于实标量场，会有4个流守恒方程。对全空间积分后，会有两个描述场的守恒物理量：场的总能量和总动量。尤其看看描述能量的那个流守恒方程，对它在有限空间积分后：有限空间中能量的减少量=流出这个空间的场的总动量密度的面积分！于是，场的能量和动量很自然的联系在了一起！齐次看看无穷小洛伦兹变换，在这种变换下，场量的变换不仅是坐标前后的不同，还有场本身内部自由度的变化。不同的性质的场，这一项会很不同，于是可以根据这个来对场分为标量场，矢量场和张量场！对应的守恒量为场的总角动量！最后是定域规范变换导致的守恒荷，对于复标量场，守恒荷就是电荷，恩，这点我还没看出来。 5.场的正则量子化：可以有L和H两种不同的表示方式。对于H：经典力学是广义坐标+已知的H+POSSION括号定义+用POSSION括号表述的正则方程；量子场论是场算符+场的H+场算符对易关系定义+量子POSSION括号表述的正则方程！场算符不一定是要厄米的，比如复标量场的量子化！ 初学《群论》 初学《群论》，感觉极为不适应，虽然在大学已经认为线性代数比较抽象了，但还是被这门课所折服，同时也非常佩服：数学家是怎么用他们神奇的大脑构建出如此复杂，庞大和自洽的理论体系。 第一章的群的基本理论还凑合，总拿D（3）群去验证一些定理，以便加深些理解。到了第二章，群表示论，感到有些困难了，简单说是把抽象群和GL（n,C）用同态映射（同构似乎要更好）联系起来，也就是把抽象的群元素用矢量空间的矩阵表示出来。似乎到这里就够了，但后面又突然引进个群空间表示和群空间代数。奇怪的是：这个群空间的基矢是用群的元素构造出来的！这样，在这个空间去表示群元素的，群的元素就有了双重的性质，一会儿又当基矢量，一会儿又当操作（群元的左正则表示！）......这和用实数域上的矢量空间去表示一个群是个很大的区别.....还有个很奇怪的：在群空间上定义了乘法（基矢的乘法满足群元的乘法）后，后面的群函数又在上面定义了内积，虽然这两种数学结构并不矛盾，可是总感觉怪怪的..... 我又总想很快把这些学了的东西和量子力学中的东西结合起来，到现在似乎只知道应该选取合适的基矢（本征波函数）来表示体系哈密顿量对称群的群元..... 自己还在特征标和一些正交，完备定理里盘旋，问题太多了，总之慢慢来吧！ 还是很佩服科大上群论的朱老师，对数学物理中知识的深刻把握（不愧为当年少年班的学生啊！）！同时也很感谢他，有时自己都迷糊得不知道自己问了什么问题了，他还是很耐心讲解！希望自己在学期末能有不小的收获！ 初学《群论》2 在没有提及表示以前，对于群的认识是抽象的，但抽象的好处似乎是便于对最一般的性质和相关运算法则做出定义和推理演绎。当选择了具体的一组线性无关，完备的基矢之后，群中的元素就清晰起来。定义群元对基矢的作用后（这一步是必须的，先前的讨论并没有涉及到群元的具体性质。如群元可以是旋转的操作，也可以是平移的操作），群元的具体样子就通过矩阵体现了出来。而同时，任意矢量也换为了相应的表示--行向量或列向量。这类似于讨论一个矢量，一开始总是利用抽象的记号，但坐标系一但选好，矢量就体现为一组有序的数。所有的运算法则也在数上有了体现。对一个群来说，可以选取不同的表示空间--群空间,群函数空间.....并列的关系，但各有各的好处！ 理解群函数和群函数代数对理解完备性和正交性定理有很大的优势。例如对于D(3),根据Burnside定理知道它有两个一维，一个二维不可约表示。对于其中的二维表示，因为D(3)有六个元素，所以这六个元素都有对应的2*2矩阵。把它们排成一行。然后把每个矩阵的第1行，第1列的数取出来，共有6个数，构成群函数空间上的一个矢量，就记为T（11）。类似的做法把第1行，第2列的数取出来，记为T（12），接着又T（21），T（22）。于是就有了4个矢量。那两个一维的不可约表示是一维的，也能构成两个矢量，构成G（1）和F（1）。（换不同的字母是为了区别不可约表示）。总之，办完这件事，就有了6个矢量。好了，完备性定理告诉我们：这6个基是完备的，即任何矢量可以用它们来展开。正交性定理告诉我们：只有当基矢是取自同一个不可约表示，同样的行和列时，内积为一常数----群的阶数，否则为0。这和在常见的矢量的的完备，正交有很大的相似！ 理解群函数和群函数代数对理解类代数也有好处。可以猜想，由K（i）构成的基应该是完备的，实际上它也能作为群的展开基。 就写到这里了，问题太多了。。。 初学《群论》3 半个学期过去了，老师的群表示论这一章快要告一段落，我还是在如何把群论和量子力学联系在一起的问题里打转转，有很多的细节无法用群论的理论和量子力学作出对应。还是先写写自己的体会吧： 量子力学的矩阵表示在搭建和群论的桥梁中显得尤其突出，因为群的表示理论是在线性空间上作出的，而量子力学也建立在这种空间上，不过是无限维的。波动方程和路径积分形式似乎在这方面要逊色一些了。 先说单个厄米矩阵的对角化，实际就是重新选择一组基矢，让矩阵在这种幺正变换下是准对角的，而对角矩阵上的数就是本征值，也是物理上可以测量的值。 再说两个厄米算符，如果是对易的，从物理上说就是可以同时测量，从数学上说就是要找到这么一个幺正变换矩阵S，可以让这两个算符同时（！）对角化。组成这个S的就是属于两个算符的共同（！）本征矢，对角化后的矩阵对应着可以测量的值。当然，在物理上为了解除简并，必须找到对易守恒量完全集，这样可以把一个状态完全用好量子数完全标记。 之所以写这些，是因为在求群的不可约表示时，用到了一种类似于物理中的对易守恒量完全集的方法。 我想还是应该注意到二者的区别和联系。 求群的不可约酉表示一般是在群空间上的正则表示下进行的。由于正则表示一般是可约的，我们的目的就是要找到这么一个S，当它对每一个群元（！）的正则表示作用时，会把它们变成分块对角（这里要做的是对幺正矩阵进行--分块对角，而不像在厄米矩阵上做的那样--准对角！）的形式。这样的数学意义，实际上是在群空间上重新选择基矢，把正则表示下的不变子空间找出来，可约表示也就被分成了更为基本的不可约表示。还应该注意到这样做的好处：把每个群元（！）分块对角形式写出来，然后把每个矩阵中属于同一个子空间的那个不可约表示拿出来，他们构成维数更少，更基本的表示。这些都是由正交完备定理保证的，但它并没有提供一种方法，告诉我们怎样找S。 类比于量子力学中的方法，我们应该找一个群上对易的算符集合（守恒在这里我想还暂时还谈不上）。很幸运的，类算符满足这种条件，它们之间是相互对易的。拿D（3）群为例，类算符集合取为K（1），K（2），K（3），分别对应{e},{d,f},{a,b,c}.K（1）是恒等算符，踢掉。为了找到完整的集合，把群G中和K（2），K（3）对易的再找个出来，比如说找d。那么f就不用了，因为d*d=f。于是计算{K（2），K（3），d}的本征矢。其实本征值是可以再不求出本征矢的情况下用特征标理论算出来的。于是假设x=c(1)e+c(2)d+c(3)f+c(4)a+c(5)b+c(6)c，这样以后可以算出本征矢。这其中还涉及到解除不可避免的简并问题，数学家规定标准基的取法，要求它不仅是算符左乘的本征矢，而且是右乘的本征矢，这样可以消除此类问题。最后就会求出S。以上只是个粗略的过程。 好了，我现在也就能把量子力学和群论联系到这种程度了，还有很多的细节需要慢慢解决...... 失败的搬家，我又回来了，把以前的帖子搞到一起。
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两个有关魔方的问题
shaoww 2009-6-28 08:36
两个有关魔方的问题 最近玩魔方，想到这样两个问题： 1、一个三阶魔方有多少种排列组合？进一步，在同构的意义下，一个三阶魔方有多少种排列组合？ 2、证明或否定：一个三阶魔方不存在任意两个小方块同色面互不相邻的状态。等价的说，一个三阶魔方不存在这样一种状态：任一面中的9个小方块没有同色边。 另外， 第一个问题前一部分网上有一个说法 4325 亿亿，本人猜测是不对的。
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