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第三期: 【Fourier级数与泛音】+“纸上”弹的白桦林。: woodymusic 2017-11-29 22:00; 第三期：音频请点击此链接.mp3 或关注微信公众号：方程之声上一期回顾上一期我们在纸上任意画一个波形，把这个波形当作乐器的声音，来演奏出音乐。核心知识：频率决定音高，波形决定音色。正弦波，三角波和方波的音色的区别。不同波形的音色千差万别，其背后蕴含着什么样的秘密？ Fourier级数任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅立叶级数。 amp;amp;amp;lt;imgamp;amp;nbsp;src=amp;amp;quot;https://pic3.zhimg.com/v2-6e18f539e8f6bfd27e27806eb3d3bea2_b.jpgamp;amp;quot;amp;amp;nbsp;data-rawheight=amp;amp;quot;45amp;amp;quot;amp;amp;nbsp;data-rawwidth=amp;amp;quot;259amp;amp;quot;amp;amp;nbsp;class=amp;amp;quot;content_imageamp;amp;quot;amp;amp;nbsp;width=amp;amp;quot;259amp;amp;quot;amp;amp;amp;gt; 当n越大，Fourier级数越接近原函数。三角波：方波: 对比三角波和方波，三角波高频信号的幅值随着频率的增加呈1/f^2衰减，而方波高频信号的幅值随着频率的增加呈1/f衰减。所以方波高频信号的幅值要比三角波大的f倍三角波频谱图： amp;amp;amp;lt;imgamp;amp;nbsp;src=amp;amp;quot;https://pic3.zhimg.com/v2-b933ee6e91750030cc1e1ad34d7a524e_b.jpgamp;amp;quot;amp;amp;nbsp;data-rawheight=amp;amp;quot;243amp;amp;quot;amp;amp;nbsp;data-rawwidth=amp;amp;quot;299amp;amp;quot;amp;amp;nbsp;class=amp;amp;quot;content_imageamp;amp;quot;amp;amp;nbsp;width=amp;amp;quot;299amp;amp;quot;amp;amp;amp;gt; 方波频谱图：泛音任何一个频率为f的周期y(t)振动都可以写成Fourier的级数的形式。即它是由频率为f,2f,3f,...nf的正弦\\余弦振动叠加起来，基频f的振动称为基音，其倍频振动2f,3f,4f,5f,6f,7f...为泛音列。在钢琴上c1的2倍频~11倍频的泛音列分别对应于 c2 g2 c3 e3 g3 降b3 c4 d4 e4 升f4（音频中，降低了一个8度弹，泛音列听起来很和谐）。钢琴上任何一个琴键的声音都是由很多频率混在一起，只是基频的幅值最大。也可说，基频的频率决定音色，倍频幅值决定声音的音色。当我们任意画一段曲线时，并以此为一个周期拓展出的声波。无论我们画出如何复杂的曲线，它的声音都是由基音和泛音列按照不同的比例叠加起来。如下图为手工绘制的任意波形，通过Fourier变换得到这个波形的频谱图。在频谱图中可以清楚的看到基音与泛音的信号以及他们的幅值大小。是否知道基音和泛音列之间的比例关系，音色就去确定了呢？如果那样的话，通过基音和泛音之间的比例，就可以像调色板一样调出任何一种音色呢？留一个小悬念，以后再做一个专题讨论吧。 “纸上弹音”——众乐乐上一期邀请大家在手机上和纸上任意画出一条曲线，发到微信公众号里。现在就把大家画的曲线做出乐器，给大家展示一下。 1.”剪刀手”——By 温*** 2”俄罗斯方块”——By 马*** 3.琚说是”某实验结果”——By 琚*** 4.“放电中的皮卡丘”——By梦*** 5.“放电后的皮卡丘”——By梦*** 6“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”——By L*** 尾声：今天没有创作灵感，K一个TV，《白桦林》（音频请听文首链接） ~~~~~~ 欢迎关注“ 方程之声 ”微信公众号; 个人分类: 方程之声|4392 次阅读|0 个评论

海棠春·傅里叶变换: 热度 2 kongmoon 2014-10-20 08:16; 纷繁尘世喧嚣泛，色声味、法空犹乱。针匠小遗孤，敢把无章算。不羁信号千姿扮，傅里叶、神通变换。尽化正余弦，驯善如鱼贯。　　让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768 –1830），法国著名数学家、物理学家，出身于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个贫寒的裁缝家庭，8岁时不幸成了孤儿，被当地一所教堂收养。1780年就读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，提出任一函数都可以化成正弦或余弦三角函数的算术运算或其积分形式，并给出了方程式，这就是著名的傅里叶变换。　　我们的世界可以说是由信号构成的，佛经里面的色声香味触指的就是我们看到的、听到的、闻到的、尝到的和摸到的各种东西，如果用数学来描述这些东西，可以建立一个随时间顺序变化的曲线。但这种曲线变化杂乱无章，毫无头绪，根本无法精确计算。以前也就算了，但随着计算机的发明，如果不解决声音图像的可计算问题，电脑根本无法处理这些信息。这个时候傅里叶变换就大显身手了，不管多么复杂无序的数学模型和函数，经过傅里叶变换，就变成了可以计算的三角函数，计算机就可以处理这些信号了。可以说，没有傅里叶变换，就没有我们今天的数码信息时代。　　傅里叶变换除了信号处理上的应用以外，物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，还有人说傅里叶变换是宇宙的基本法则之一，傅里叶也许当年不会想到这些的吧。; 个人分类: 数学|4072 次阅读|4 个评论

[转载]【转载】为什么要进行傅里叶变换: TIR 2014-3-2 09:38; 一、傅立叶变换的由来关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： http://www.dspguide.com/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。三、傅立叶变换分类根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别： 1 非周期性连续信号傅立叶变换（Fourier Transform） 2 周期性连续信号傅立叶级数(Fourier Series) 3 非周期性离散信号离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform） 4 周期性离散信号离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 下图是四种原信号图例：这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。还有，也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离解信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们要理解的也正是DFT方法。这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT)，再去理解复数傅立叶就更容易了，所以我们先把复数的傅立叶放到一边去，先来理解实数傅立叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。还有，这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。四、傅立叶变换的物理意义傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。任意的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。五、图像傅立叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。另外我还想说明以下几点： 1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明：若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。六、一个关于实数离散傅立叶变换(Real DFT)的例子先来看一个变换实例，一个原始信号的长度是16，于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波（一个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号，这是为什么呢？结合下面的18个正余弦图,我想从计算机处理精度上就不难理解，一个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不同频率，再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围），如下图： 9个正弦信号： 9个余弦信号：把以上所有信号相加即可得到原始信号，至于是怎么分别变换出9种不同频率信号的，我们先不急，先看看对于以上的变换结果，在程序中又是该怎么表示的，我们可以看看下面这个示例图：上图中左边表示时域中的信号，右边是频域信号表示方法，从左向右表示正向转换(Forward DFT)，从右向左表示逆向转换(Inverse DFT)，用小写x 表示每种频率的副度值数组, 因为有N/2+1种频率，所以该数组长度为N/2+1，X ，另一种是表示正弦波的不同频率幅度值：Im X[]，Re是实数(Real)的意思，Im是虚数(Imagine)的意思，采用复数的表示方法把正余弦波组合起来进行表示，但这里我们不考虑复数的其它作用，只记住是一种组合方法而已，目的是为了便于表达（在后面我们会知道，复数形式的傅立叶变换长度是N，而不是N/2+1）。七、用Matlab实现快速傅立叶变换 FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此啰嗦了。采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。下面以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示。从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看： 1点： 512+0i 2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i 50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i 51点：332.55 - 192i 52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i 75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i 76点：3.4315E-12 + 192i 77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i 很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下： 1点： 512 51点：384 76点：192 按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。八、让傅立叶变换从理性蜕变到感性，从抽象升华到具体（应不少网友反应说以上7部分还是不够浅显而另加的一部分，希望对大家有所启发） 1、我们都知道，LTI系统对谐波函数的响应也是相同频率的谐波函数，只是幅度和相位可能不同罢了，因此我们用谐波函数来表示信号正是为了导出频域的概念。那你就会问为什么我们要在频域来分析信号，它比时域分析究竟好在哪里呢？这个问题非常好，我来回答你，第一，在频域观察和分析信号有助于揭示系统的本质属性，更重要的是对于某些系统可以极大地简化其设计和分析过程。这一点想必大家都知道，我不再啰嗦！第二，从数学上来看，系统从时域到频域的转换就意味着系统的微分或差分方程将转变为代数方程，而系统的分析也将采用描述系统的复系数代数方程而不是微分或差分方程。既然如此，那么请问？童鞋，你是喜欢跟微分差分方程玩儿呢还是喜欢跟代数方程玩儿呢？假若你说你更喜欢跟微分差分方程玩儿。那我也无话可说啦！可能你还是觉得以上所述只是一个很理性的认识，那么接下来，满足你的感性需求。其实，在生活中，我们无时无刻不在进行着傅立叶变换。（什么？我没有听错吧？！）对的，请相信你的耳朵，你完全没有听错。我们来看人类听觉系统的处理过程：当我们听到一个声音，大脑的实际反应是什么？事实上耳朵感觉到一个时变的空气压力，这种变化也许是一个类似于口哨声的单音。当我们听到一个口哨声时，我们所关心的并不是气压随时间的振动（它非常非常快！），而是声音的三个特征：基音、声强以及音长。基音可以理解为频率的同义词，声强不是别的，它就是幅度。我们的耳朵—大脑系统能有效地将信号表示成三个简单的特征参数：基音、声强以及音长，并不理会气压的快速变化过程（一个重复的变化过程）。这样耳朵—大脑系统就提取了信号的本质信息。傅立叶变换的分析过程与此类似，只不过我们从数学意义把它更加精确化和专业话罢了。 2、不要把傅立叶变换想得那么高深莫测，其实它就是对傅立叶级数的一种拓展。我们知道，傅立叶级数能描述无限时间的周期信号。那么，傅立叶级数能不能描述某些特殊的无限时间的非周期信号呢？答案是，不能。但我们经常要分析处理这样的信号啊！于是傅立叶变换这个家伙现身啦！傅立叶变换就是为了使傅立叶级数能够描述所有（没错！就是所有！）周期和非周期的无限时间信号而导出的，因而傅立叶变换是对傅立叶级数的一种拓展。可能你还是觉得以上所述只是一个很抽象的认识，那么接下来，满足你的具体需求。我们先不管是怎么进行拓展的。我们先关注另外两个概念：周期信号和非周期信号。他们的显著区别就在于：周期信号每隔一个有限的时间即基波周期To重复一次。它自始至终都将以这个基波周期To重复。而非周期信号则没有一个确定的或固定的周期，可能在一段时间内他将重复某一段波形很多次，但不会在整个无限长时间范围都如此。我们找到一个周期信号的傅立叶级数，然后让这个信号的基波周期趋于无限，就完成了从傅立叶级数到傅立叶变换的演变过程。因为当周期信号的基波周期趋于无限时，它的波形在有限长时间内都不会重复，这时它就不具有周期性啦！也就是说，说一个信号具有无限长的周期和说它是一个非周期信号实际上是一回事！; 2117 次阅读|0 个评论

线性光学笔记（18）：夫琅禾费衍射: 热度 1 yusufma 2013-11-8 02:56; 上一章我们介绍过，菲涅耳衍射可以看作是紧邻衍射屏右边的场强乘以一个二次相因子，然后进行傅里叶变换。如果我们做进一步的近似，要求那么菲涅耳衍射积分中的二次相因子也可以忽略掉。这样一来，衍射积分变为除了最开始的相因子外，该衍射积分和衍射屏处场强分布的傅里叶变换完全相同。这种衍射现象称为夫琅禾费衍射。通过简单的计算我们可以知道，夫琅禾费衍射要求的条件是非常强的，通常要求观察点距离衍射屏非常远。但是，如果在光路中的合适位置放置一个透镜，这么远的距离并不是必需的。以后我们会介绍这种情况。仔细观察上面的夫琅禾费衍射积分公式，我们发现在夫琅禾费衍射中，系统的平移不变性已经不再存在，因此夫琅禾费衍射没有严格意义上的传递函数。但是，考虑到夫琅禾费衍射只不过是菲涅耳衍射的特殊情况，因此并不妨碍使用菲涅耳衍射的传递函数来解决夫琅禾费衍射的问题。; 个人分类: 科学笔记|13017 次阅读|5 个评论

线性光学笔记（16）：角谱衍射理论（三）: yusufma 2013-9-27 22:48; 在第10章我们介绍过，传递函数其实就是脉冲响应的傅里叶变换，因此我们也可以通过直接计算索末菲理论中脉冲响应的傅里叶变换来获得传递函数。为了计算该傅里叶变换，我们需要用到 Weyl 的球面波展开公式（有关 Weyl 公式，可以参考 Mandel 和 Wolf 《光学相干性和量子光学》一书的第3.2.4节。）：我们将上式代入第14章中提到的脉冲响应表达式：上式中第二步用到了积分号下求微分的技巧。关于积分号下求微分的技巧，可以参考任何一本微积分课本，但是让这个技巧名扬天下的是《别闹了，费曼先生！》一书中费曼的有趣故事。从上式的结果可以得出，脉冲响应的傅里叶变换（也就是传递函数）可以表示为这个结果和我们从第一种方法（傅里叶展开后直接代入亥姆霍兹方程）得到的结果完全相同，这说明了角谱衍射理论和索末菲衍射理论是完全等效的。下面总结一下角谱理论中处理衍射问题的步骤：将入射波乘以代表衍射屏的透射函数（例如狭缝可以用函数来表示）; 将上一步的结果用傅里叶变换展开为角谱; 将每个角谱分量乘以相应的传递函数; 用傅里叶逆变换获得衍射场。; 个人分类: 科学笔记|9886 次阅读|0 个评论

线性光学笔记（15）：角谱衍射理论（二）: yusufma 2013-9-25 02:20; 这一节我们用平面波展开的方法来求衍射系统的传递函数。通过傅里叶变换，在处的场强可以表示为平面波的叠加：其中，平面波的传播方向可以用波矢的方向余弦来表示，其各分量满足如下关系：因为这里涉及的是空间坐标，所以在频率空间里自变量、代表的是空间频率。和平面波函数相比较，我们可以得到空间频率、和波长、传播方向的关系：所以，也可以表示为被称作的角谱（angular spectrum）。用类似的方法，在位置我们也可以把按平面波展开：其中，根据 LSI 系统的性质，和可以通过传递函数联系起来：为了求解，我们将表达式代入亥姆霍兹方程，可以得到这是一个简单的常微分方程，容易得到它的解为当时，该方程的解为衰逝波，我们在这里不讨论这种情况。于是，传递函数可以表示为; 个人分类: 科学笔记|10449 次阅读|0 个评论

线性光学笔记（9）：常用函数的傅里叶变换: yusufma 2013-7-18 06:55; 下表中列出了一些常用函数的傅里叶变换。结合之前讲过的傅里叶变换的性质，我们可以方便的计算一些稍微复杂一点的函数的傅里叶变换。例如周期为 T 的单位脉冲信号可以表示为，我们知道 comb 函数的傅里叶变换还是 comb 函数，利用傅里叶变换的缩放性质，我们可以得到这里表示傅里叶变换。也就是说，周期为 T 的脉冲信号的傅里叶变换是周期为 1/T 强度为 |T| 的 comb 函数。这是一个很简单的例子，但是有很深的物理含义。例如，我们可以用它帮助我们理解锁模激光的运行机制。当各个频率模式独立振动时，每个模式在频域中可以看作是互相独立的函数，在时域中对应的是连续（continuous wave，简称 CW）激光。但是，当各个频率模式以相同相位振动时，在频域中各个模式作为一个整体可以看作是 comb 函数，所以在时域中对应的就是一系列脉冲，脉冲的间隔等于频域模式间隔的倒数。当然，实际上锁定的模式不可能无穷多，因此模式函数只是在有限的区间内近似可以看作 comb 函数。所得光脉冲的宽度和强度，和锁定的模式总数有直接关系，这个结论也可以用本章和上一章表格中的内容来定性分析。锁模是获得超短激光脉冲的重要手段。; 个人分类: 科学笔记|19276 次阅读|0 个评论

线性光学笔记（8）：傅里叶变换: yusufma 2013-6-14 01:13; 如果将一个函数按照 LSI 的本征函数展开，我们可以得到其中的系数被称作的傅里叶变换，其表达式是而第一个公式则被称作傅里叶变换的逆变换。傅里叶变换和逆变换的区别，仅仅在于指数函数的符号。其实，只要我们保证指数函数的符号相反，把哪个式子称为傅立叶变换，哪个式子称为逆变换，并不那么重要。如果函数是偶函数，那么这仅有的区别也不存在了，傅里叶变换和逆变换完全可以具有相同的形式。下面我们看看函数的奇偶对称性对傅立叶变换有什么影响：奇函数的傅里叶变换是奇函数 ; 偶函数的傅里叶变换是偶函数 ; 实函数的傅里叶变换是厄密（Hermitian）函数。所谓厄密函数，就是满足条件的函数。厄密函数的实部是偶函数，虚部是奇函数。下表列出了傅里叶变换的一些基本性质：除了这些基本性质，还有一个常用的恒等式，被称作功率定理：当时，该恒等式就变成我们熟悉的帕塞瓦尔定理（Parseval's theorem），或者称作瑞利恒等式（Rayleigh's Identity）。该等式表示原函数和它的谱函数的积分具有相同的能量。这个结论毫不奇怪，因为信号所包含的能量不应随我们计算的方式（在时域或者频域计算）发生变化。; 个人分类: 科学笔记|9537 次阅读|0 个评论

matlab的傅里叶变换有点问题: 热度 2 wliming 2013-4-13 20:33; fft 这个子程序，可以把y(i) 变换成 Y(k), 语句是 Y = fft(y). 可是，有个问题，当y 是x的函数，而x取点不均匀的时候，这个变换的结果是错的。大家如何处理？具体讲是这样的。我通过MATLAB的ODE子程序求解二阶微分方程，得到一对对的采样数据：（x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), ......(xn, yn)，而这些xi 是ode程序自动给出的，我无法干预，它们是不均匀的。我现在要把 y(x) 做傅里叶变换。; 个人分类: 物理学|2249 次阅读|11 个评论

《非传统区域Fourier变换与正交多项式》孙家昶: ustcpress 2012-4-11 08:39; 丛书名：当代科学技术基础理论与前沿问题研究丛书——中国科学技术大学校友文库（“十一五”国家重点图书出版规划项目）出版日期：2008年2月书号ISBN：978-7-312-02231-9 出版社：中国科学技术大学出版社正文页码：520页（16开）定价：85.00元编辑邮箱： edit@ustc.edu.cn （欢迎来索要目录、样章的PDF）当当网购书链接： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=20534030 【内容简介】非传统区域快速变换是当前高性能计算科学研究与应用领域中最引人注目的前沿课题之一。 Fourier 变换，三角函数变换与正交多项式在大规模科学计算和数值分析中起着重要的作用。经典 Fourier 变换一般只适用如矩形的传统区域，本书对于应用中常遇到的非传统区域 ( 三角形，平行六边形，单纯形，超单纯形，曲单纯形等 ) 进行了系统的论述，可为多元非传统区域一些特殊网格上求解偏微分方程的连续谱和离散谱方法以及某些海量数据处理提供方法与工具。本书可供高等院校计算科学、应用数学、计算数学以及其他有关专业作为教学参考书，也可供对高性能计算及多元数值分析有兴趣的科研和工程技术人员参考。【作者简介】孙家昶，中国科学院软件研究所研究员、博导， 1964 年毕业于中国科学技术大学数学系，曾任中国数学会理事，计算数学会常务理事，中国软件行业协会数学软件分会理事长，主要从事计算机辅助几何设计、多元 B 样条、计算方法、区域分解、并行计算等领域，在国内外学术刊物发表学术论文一百余篇。; 个人分类: 校友文库|4943 次阅读|0 个评论

[转载]【转载】Taylor展开与傅里叶变换: zhaopei 2011-2-27 10:16; 转载自【 http://hi.baidu.com/wen_sift/blog/item/6b28fb0a41eb96f536d12251.html 】 Taylor展开在数学中，泰勒展开可以把一个函数f(x)展开成关于某一点的导数(0次到N次)的函数,这样就可以近似计算一个函数,得到在某点及其附近信息的近似描述。傅里叶变换傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。傅里叶变换的物理意义是：将通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。傅里叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。; 个人分类: 通信工程|3939 次阅读|0 个评论

复信号的谱分析: 热度 4 huarong1940 2010-3-16 00:01; 谱分析技术在光学、声学、电学、力学和信息技术（声像处理、数据压缩）等科技领域里发挥着重要的作用，这是众所周知的。通常的的谱分析技术，大多建立在实函数的 Fourier （傅里叶）变换的数学理论基础之上，即使图像处理用到二重 Fourier 变换，也仅以实函数为输入。然而，经典的 Fourier 变换式是复指数展开公式，原本是描述复函数及其双边频谱之间的转换，变换对的双方皆为复数。常见的谱分析对象为一维的实信号，一维（实）函数是二维（复）函数的特例，它经 Fourier 变换所得的双边频谱是对称的。因此，古老的谱分析技术只利用了 Fourier 变换的单边频谱，仅使用 Fourier 的三角级数展开式即可。人们熟知：单边谱的每一频率成分是谐波函数；但几乎不知道：双边谱的每一频率成分是旋转矢量。（参阅文后的上传插图《Fourier变换复指数展开式的几何意义》）上世纪八十年代初，我在对转轴的回转精度的研究中，认识到转子的径向误差是一个随时间变化的二维的复向量，其检测结果是一个二维的复信号，将该复信号的数据直接输入 FFT ，所获得的输出是一个非对称的双边频谱，同时弄明白了双边谱的几何意义。由此，开创了复信号谱分析的研究方向，并取得一系列的研究成果，如回转精度理论、机构综合的谱分析方法、极形轨迹发生器等。 Fourier 变换原本是《信号分析》学科的重要理论基础，但是，许多从事《信号分析》研究和教学的学者，至今并未全面、深入地理解堪称经典的 Fourier 变换。迄今，他们仍认定“ 复信号是实际不存在的 ”、双边频谱的负半边“既无几何意义，又无物理意义 ” 。甚至还把这陈旧的错误论点写进教科书。其错误的根源在于，将研究分析的信号局限于一维空间之内。许多理工科学者自以为掌握了处理一维、二维甚至多维空间的数学理论，但是一联系到实际，却只习惯于一维的思维和计算。为了全面理解 Fourier 变换，仅须把思维扩展到二维空间。扩展思维的空间的必要性可打个比方来说。通常的认识是：人类生活在三维空间里。曾有传说，某人在某地方突然消失得踪迹全无，很快又在数千公里之外的某地出现。还有“特异功能者”能够从密封的药瓶里取出药片（而不必开启瓶盖或打破药瓶）。研究过多维空间的学者推理说：如果这是真的，那人和药片一定是利用了第四维空间的通道。由此看来，对于三维空间的凡人来说，视野及行动都能扩展至四维空间的，简直就是神仙了！同理，假设有一只生活在一维空间的小虫，它只能在一维的实数数轴上爬来爬去，它那可怜的视力根本看不到左右两侧；另一个二维空间的虫子却能在广阔的二维复平面上自由活动。相对于一维的可怜虫，二维的小虫就是神仙。许多经常做 FFT 分析计算的人往往忘记、或根本不知， FFT 程序的输入数组除了［ X ］之外，还有另一个［ Y ］（尤其安装在一些大型工具软件系统里的 FFT ，当使用者把实信号数据输入［ X ］后，［ Y ］会自动设置为零）。国内有研究“故障诊断”的知名学者，在检测转轴 x 和 y 两垂直方向的径向误差后，将两组数据分别做 FFT （本来只需做一次 FFT ，却做了两次），再把得到的两个单边频谱合成为椭圆单边谱，并美其名曰“ 全息谱 ”或“ 全矢谱 ”。此法绕了弯路，数学推导并无错误，但是如此舍近求远的所谓创“新”却令人可叹又可笑。岂不知， Fourier 老先生早就为你的 x 、 y 信号预备好一个非常漂亮的双边频谱啦！如果把 Fourier 变换比喻成一个双轮的手推车，人们历来竟一直把一侧轮胎悬空，使它歪着，当作独轮车来推。如今正在使用 FFT 的朋友，您还当它是个独轮车吗？ Fourier变换复指数展开式的几何意义; 个人分类: 未分类|18375 次阅读|6 个评论

电磁场的谱域法简单归纳和总结: williammilo 2010-1-28 09:16; 我的博客已经搬家到 xiongbox.com 欢迎访问熊伟博士的网站！本文永久链接 http://xiongbox.com/电磁场的谱域法/ 1.电磁场的谱域法借助傅里叶变换将电磁场边值问题转化为在（空间)谱域中求解的方法之一，适用于分层结构的边值问题。 2.谱域法仅适用于符合下列条件的分层边值问题：①介质只沿一维有分层变化，沿另外二维无界或受导体边界限制；②场域内只有平行于分层界面的零厚度导体片；③导体片的几何形状应该在场域边界所适合的正交坐标系中是可分离变量的。 3.在分析棱柱形导体对电磁波散射的问题中，谱域法也是高频近似的方法之一。它将远区的散射场按散射体上感应电流的傅里叶变换作谱域展开，然后解出该电流的谱函数，并得出散射场的谱域积分表达式。此式不仅可以经渐近展开导出与射线法一致的几何绕射公式，而且在影区边界处依然有效。; 个人分类: 电子信息工程与计算机科学|4171 次阅读|0 个评论

为“复信号”正名之辩: 热度 4 huarong1940 2010-1-1 10:33; 为“复信号”正名之辩 2007 年，在《振动论坛网》上有一个 “ 关于负频率 ” 的学术讨论，它始发于西安电子科技大学陈怀琛先生的一篇文章《负频率频谱究竟有没有物理意义？》。详情请参阅： http://www.chinavib.com/forum/thread-51199-1-1.html 进入这个《论坛》一看，我很惊讶。讨论中反映出一个错误的认识： “一般的教科书上都是说负频率是数学计算上的结果，不具有实际物理意义。” 看来，这种错误的论点还相当普遍地存在于《信号分析》学界。最近，又看见网上有学子提问： “ 复数信号的物理意义是什么？ ” 再将 “ 复信号 ” 一词拿到 Google 一查，对 “ 复信号 ” 质疑的内容还真不少，早在 2005 年就有关于它的网上提问。然而，回答却令人遗憾，颇具代表性的许多好心的回答竟然是： “ 物理可实现的信号都是实信号。 ”“ 在实际中不能产生复信号，采用复信号来代表某些物理量，往往更便于理论分析。 ” 甚至还有更 “ 生动 ” 的颇为幽默的讲解： “ 复信号不是个东西。：）？因为现实生活中的信号都是实的！复信号只是一种‘梦想’，是‘纸上谈兵’的产物。 ” 原来，《信号分析》学界普遍不理解 “ 负的频率成分 ” 的根源就在于此。一些有关《信号》的教科书，在信号分类的章节里虽然也承认有 “ 复信号 ” ，却对复信号的 “ 物理可实现性 ” 及其实际的存在不甚了了，甚至持否定意见。经典的傅里叶（ Fourier ）变换是信号分析最基本并且最重要的数学理论基础，该变换所得到的 “ 双边频谱 ” 虽然众所皆知，但是许多从事信号处理科研和教学的学者居然认定： “ 双边谱的负半边没有物理意义 ” ， “ 只是为了数学计算的方便 ” 等等。由于大多数人仅利用傅里叶（ Fourier ）变换来分析 “ 实信号 ” ，而不太注意该变换的两个变换对皆为复函数，尤其忽略了该变换的原函数也是 “ 复函数 ” 。这好比数学界在刚发现 “ 虚数 ” 时，曾经普遍认定它实际是不存在的，因而是 “ 虚 ” 的，随着科技的进步，才发现复数可以描述二维平面里的向量，它也就具有了实际的几何意义和物理意义。本人学术生涯的第一个科研选题是《转轴的回转精度》，大约在三十年以前。当时发现，机床或陀螺仪等机械的主轴高速旋转时，轴心存在有回转误差，无论其径向或转角的回转误差都是一个二维向量。这些动态回转误差的检测结果就是一个实实在在的复数信号。此复信号经傅里叶（ Fourier ）变换后，得到了非对称的双边频谱。由此建立了一个新的并非常实用的回转精度理论。此后，围绕《复信号的谱分析》的研究，提出 “ 连杆机构综合的谱分析方法 ” ，发明 “ 极形轨迹发生器 ” 等，获得一系列的独创性的成果。除了机械工程之外，在其他科学与工程领域也存在有大量的复信号，例如：北京天文馆里有一个 “ 傅科摆 ” ，对它的振动的描述就是一个复信号；光波在垂直于传播方向的振动也是二维的复向量，因此会产生 “ 偏振光 ” 、 “ 椭圆偏振光 ” 、 “ 圆偏振光 ” 等概念 …… 再举一个看得见的复信号的例子 —— 电信号实验常用的 X-Y 电子示波器，当 X 和 Y 两个端子同时输入两路电信号时，示波屏上显示出一条平面曲线，当两路输入为周期电信号时，则为一封闭曲线，两路输入若为谐波信号（频率相同或不同），则显示出著名的李萨育图。这些 X-Y 示波器的输入都是大家常见的、现实存在的复信号。总而言之，某个物理量只有一个实变量描述时为实信号；若需要两个相互独立的实变量来描述时，就可形成一个复信号。将复信号的 X 和 Y 两组变量输入 FFT ，即可得到非对称的双边频谱。双边频谱的每个频率成分不是谐波函数，而是指数函数描述的旋转矢量，其圆频率 ω 有正有负，代表复平面内旋转的不同方向。为了直观的理解上述复信号及其双边谱的几何意义，可参阅此文后列的参考文献 —— 《极形轨迹发器》。参考文献张华容 . 机床主轴回转精度的数学描述和分析 . 机械工程学报， 1982 ， 18 （ 4 ）： 65-73. 张华容等 . 回转精度理论的研究 . 机器运动精度理论及测试国际学术会议 ICMMA 论文集，重庆， 1989,7-14. 张华容等 . 连杆运动的频谱与机构综合 . 机械科学与技术， 1993 No.2( 总 No.46):25-29 张华容等 . 极形轨迹发生器 . 机械科学与技术， 2001,20(4):505-507 极形轨迹发生器; 个人分类: 未分类|11910 次阅读|10 个评论

广义周期（1）——泰勒级数和傅里叶级数: iwesun 2009-11-18 12:17; 广义周期（ 1 ）泰勒级数和傅里叶级数转帖按：这是在集智俱乐部，和张江等人讨论广义周期，其实是在为确定性定理（详见：《打打基础 (7) －确定性定理与符号主义》）的数学表达打基础。几十年不读书，武艺生疏，幸好集智俱乐部高手如云，还有活数学手册和插图大王黄淼鑫，俺很高兴。老曹这人，一天到晚没正事儿，不是搞师生恋，就是找上帝谈心，以后不理他了。这是个初稿，等黄淼鑫把公式和插图（俺最怕画图），搞定了，再更新一版。原帖按：还是写几笔吧，不写这个问题就忘了。但一定要老黄来合作，也就是老黄来当第一作者，俺排最后，他是我的活数学手册，俺说到哪，他就得给俺插入公式和插图。 1 泰勒级数（变换）学微积分，有没有和我一样的，对泰勒级数的伟大震惊了？如果没有，那你的微积分真是白学了。泰勒级数为什么伟大？得从认知说起。小时候，感觉计算器里面有鬼魂，不但能算加减乘除，连正弦余弦三角函数都能算，当时不知道怎么算这些东西，就认定计算器里面有鬼魂。知的首要条件就是离散恶确定性，一个就是一个，两个就是两个，半个，其实是放大到小数点之后被认知的，至于无理数，也是一样，你的有个计算方法来认知，如果连个计算方法都没有，就是根本不可认知的。泰勒级数就是提供了一个通用的计算方法，这个方法实在是太伟大了，啥东西都可以算，也就是把俺一直以为计算器里的鬼魂赶走了。那么，泰勒级数到底干了些啥？怎么会有如此的威力。没干啥，就是拿着一条直线，不断得去分割逼近，越来越接近你想要的结果。其实，泰勒级数的灵魂，就是牛顿分割法，估计牛顿也是知道泰勒级数的形式的，只不过没有清晰地表达出来而已。好了，深入一点谈泰勒级数。我们的认知基础是离散的确定性，无论小数点后面多少位，这个数你必须是确定的，不能无理到，第 N 位是变化的，如果真是这样的数，真的没法认知。这到底什么含义？其本身就是把你需要认识的信息进行一个编码，这个编码，每一位可以代表一个维度信息，也就是说吧一个连续的数值，编码到一个离散的维度上来，这样我们才能够认知他。更广泛的意义，已经不是数值了，没有大小的含义，纯符号的运算，只要把这个信息是可编码的，我们就能够在抽象空间内表达，根本不关心大小和顺序。为什么可以不关心顺序？就是因为编码到了空间维度上了，每一个维度是独立的，比如（ x,y,z ）你写成（ y,x,z ），也无妨，每一个空间维度是独立的，和顺序是无关的。好了，我们现在知道，泰勒级数在干什么了，把一个有序的（连续）信息，编码到了一个独立的无序（即和序无关）维度离散空间上了，别的啥也没看。为什么要做这样的变换？刚才讲了，为了认知他，不做这个变换，是不可计算的，也就是不可认知的。如何能够做到？还是求助于几何原本。几何原本给俺们提供了连个法宝，一个是直尺，一个是圆规。先看直尺。直尺到底直不直，其实无所谓，关键是直尺定义了一个东东方向。泰勒级数的本质就是在用方向信息，把一个曲线的变化，用无穷多个方向离散化，也就是原本是一个平面，我搞出无穷多条直线，每条直线代表一个方向，每个方向独立成一个维度，最后把这条曲线搞定。综上所述，泰勒级数就是利用直尺，把连续（连续隐含有序）的函数曲线，变换到了离散的独立维度编码上来。 2 傅里叶级数（变换）学微积分，第二个震惊，就是傅里叶级数。当时，我对泰勒级数还没完全理解，离散数学是后来才深入领会的，对傅里叶级数的吃惊程度，和俺小时候对于计算器里有鬼魂一样。为啥这么搞，那么搞，最后就分解成频率信息了呢？真是感觉是撞了狗屎运，才发现这么一个东西。后来深入了，才发现也就是那么回事儿，不是狗屎运，也是必然。前面说的，有关认知的都有效，就是一点，法宝变了。泰勒用的是直尺，傅里叶用的是圆规，就这点差别。这点差别还不得不细说，直尺提供的是个方向，圆规能够提供啥？面积，你也可以说周长，其实园的周长是无法直接利用的，是经过面积等效出来的。人的认知就这么一点，直尺提供了一个方向，无穷无尽，反正生命不息，冲锋不止，你只有往下去走。圆规提供了一个原地打转，你也不知道转了多少圈，反正一直都这样转，唯一知道的是，这个面积是确定的。傅里叶拿着圆规搞编码方案，这就有点烦，不想泰勒级数那么直观了，他在搞面积等效方案。面积等效方案，产生了一个新东西，就是正交。也就是说面积不能重叠。正交对于泰勒级数是不是存在？其实一样存在，只不过泰勒级数用的法宝是直尺，直尺表示的是方向，根本不用管直尺到底直不直，方向这东西本来就是独立维度，不需要考虑正交，或者是天然的正交。傅里叶级数就不一样，面积是有可能重叠的，一重叠，就不是独立维度信息了，因此特别强调正交。正交无非是保证面积不重叠而已，大家都是独立的维度信息。今天就到这里，后面老黄来补充公式和画图。留个思考题，泰勒级数和傅里叶级数，作为一种可计算的模型，都是把连续(未知)的信息编码到独立的维度信息上，根本目的是相同的，但为什么搞信号的喜欢傅里叶，而不是泰勒？他俩到底在方法上，有什么不同？傅里叶到底有啥优越性？老黄在接着讲拉普拉斯，拉普拉斯是个大牛，总是被人忽视，很多搞数学的都喜欢吹捧高斯，俺怎么觉得拉普拉斯比高斯牛很多倍，拉普拉斯尽管人品卑鄙，但他的工作实在是数学的又一个让我吃惊的创举。再后面才能讲离散编码的本质。; 个人分类: 数学分析|1285 次阅读|13 个评论

经典谱分析（Power Spectrum Analysis）: 热度 9 sanshiphy 2009-7-7 19:51; 频谱分析（或功率谱分析）大家可能都不陌生，然而细究起来，恐怕还是有很多模糊的地方。博主很早就知道并且学会使用各种数学软件来计算功率谱，可是长期以来总是知其然而不知其所以然，一些道理和概念总是含含糊糊过去就算了。前年年末有一段时间比较空闲，博主终于下决心理清这一堆乱麻，于是就有了本帖的学习笔记。笔记中试图弄清楚振幅谱、能谱和功率谱的区别，还有周期性信号、确定性非周期信号和随机信号的功率谱或能谱分析的区别，以及Fourier级数分析和离散Fourier变换的区别等等基本概念。从实际应用的角度出发，博主在笔记中用具体实例介绍了Matlab编写的功率谱分析的程序。本帖附件完成于2008年1月6日，第一次修改于2009年7月6-7日，内容有：标题：频谱分析一、周期函数的Fourier级数展开 1、Fourier级数 2、如何对非周期函数进行Fourier级数展开 3、振幅谱、相位谱和功率谱二、一般函数的Fourier积分 1、Fourier级数向Fourier积分的过渡 2、能谱和功率谱 3、自相关函数与功率谱及能谱的关系三、平稳随机过程的Fourier积分 1、平稳随机过程的功率谱密度 2、Wiener-Khintchine公式四、离散Fourier变换（DFT） 1、Fourier级数的离散化 2、Fourier积分的离散化 3、快速Fourier变化概述（FFT）五、时间序列的能谱或功率谱分析 1、确定性时间序列的能谱或功率谱分析 2、随机时间序列的功率谱分析六、直接法（或间接法）的缺陷及其改进方案 1、直接法和间接法总结 2、评价各种谱分析方法的标准 3、“平滑”和“泄漏”现象 4、大方差现象 5、改进方案（Bartlett、Welch、Blackman-Tukey方法）（未完待续）附录参考文献笔记中如有任何疏漏、错误，请不吝指教，博主对此表示万分地感谢。另外如果您觉得哪一部分有参考价值而引用到您的文章中，请指明引用的来源：http://www.sciencenet.cn/u/sanshiphy，博主不胜感激。【2009-7-18】谱分析分为：“非参数化方法”和“参数化方法”，前者直接利用了Fourier变换的离散表达式，将数据代入表达式进行计算。将帖子的标题由“频谱分析”改为“经典谱分析”。此外，对笔记的内容再次做了修正，增加了周期图法的改进方案一节。周期图法（直接法）在计算随机数据时，无论数据量取的多大，其方差可能不会减少至0. 因此，为了减小方差，人们基于周期图法，提出了各种修改方案，这些方案都是以降低分辨率来达到减小方差的目的。【2013-12-4】订正：p14 Tk 应是单边功率谱，原文双边功率谱是错误的——感谢肖擎曜同学的指正。【2016-4-19】补充：吕瑞同学讨论了fft补零的问题经典谱分析.pdf FFT补零问题.pdf; 个人分类: 学习笔记|38008 次阅读|14 个评论

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标签: 傅里叶变换

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