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一个非常形象的中心极限定理演示软件: jaydow 2015-9-29 17:26; 演示软件来源： http://onlinestatbook.com/2/sampling_distributions/clt_demo.html 该网站还提供了其他一些概率与统计的演示软件，对于学习概率与统计很有帮助，能够更加深刻的理解教科书中枯燥的理论知识。截图如下：附中心极限定理演示图：; 2566 次阅读|0 个评论

中心极限定理之五: zhouda1112 2009-8-5 15:51; 不知前几次的介绍对大家理解中心极限定理是否有帮助。按照计划，这最后一次是介绍中心极限定理的应用。在实际中，数学里的各种极限定理往往是用来做近似运算的。虽然大家在概率论的课程中学到了不少概率分布，但一旦到了实际应用，通过建模推演出来的概率分布往往难以处理。这个时候，有一种万精油式的办法，就是所谓的正态化。这个正态化的基础当然就是中心极限定理。拿统计问题举例，当样本量足够多（统计学家一般会认为30个样本就已经算大，但是我至今都不明白这是为什么），基于中心极限定理，对原有随机变量做一个scaling变换，变换之后的新变量可以认为就是正态分布。鉴于前人对正态分布已经有了充分多的探索与认识，所以拿正态分布去干活儿，会更省心省力。另外，正如前几次讲到的，正态分布背后蕴藏的是一个相当普世的道理，可以认为是矛盾演化的理想结果，正态就是和谐的代言词。所以，正态化的适用面还是很大的。但当今科学越来越关注复杂的问题，或许正态化有时不那么对。对于这个问题，我想这不是一个数学问题，因为数学是看条件看逻辑的，如果复杂性问题的条件不满足中心极限定理，出现问题是很正常的事情。但科学界的争论估计会很持久，就像很多经典科学家仍然不屑于复杂性研究一样。所以，这不应该成为数学的尴尬。; 个人分类: 概率论问题讨论|7158 次阅读|2 个评论

中心极限定理之四: zhouda1112 2009-8-4 22:55; 相比于中心极限定理，不变原理就属于概率论比较专门的内容了。不过有意思的是，钱敏平和龚光鲁教授的那本《应用随机过程》的教材上有不变原理的介绍。所以，在这里介绍一点不变原理的内容，相信大家也能接受。当然是不变原理很粗浅的内容，深入的内容我自己也不太了解，有兴趣大家可以查阅Donsker Theorem或者functional CLT的相关内容。大家都知道Brownian运动，也知道随机游动（random walk）。大家或许也知道，这两种随机过程其实很类似。只不过，一个是连续时间、连续状态空间，另一个是离散时间、离散状态空间。有许多很本质的结论，这两种过程都有共性，可以把他俩看成一对兄弟。所以很多时候，做应用问题的时候，很多学者甚至不大区分，比如在做布朗运动的问题时，往往用随机游动去做相应的随机模拟。反过来，由于布朗运动有比较强大的分析工具（比如Ito 公式），所以也有学者把随机游动的问题转化到布朗运动去做。但是，刚刚的做法只是看起来可行，背后的数学依据是模糊的。而不变原理就是从数学上，严格说明了这种对应在何种意义下才对。问题的关键，用数学的语言讲，就是做怎样的scaling，即空间和时间的尺度变换，使得离散时间和离散空间的随机游动逼近到连续时间和连续空间的布朗运动。具体内容大家直接搜索wiki百科的Donsker Theorem。不变原理在数学上可以看成是泛函中心极限定理，比普通中心极限定理的内容更广更深。在概率论中，有一大块内容是在研究随机过程的构造问题，这类问题往往是应用学者不关心的，但在纯概率论领域中，却是最为核心的内容，因为不解决构造问题，就没有严格的概率空间基础，进而后续问题就无从谈起。而不变原理就是一个强大的构造工具。历史上，布朗运动的构造问题一直是个很重要的问题。到目前，布朗运动已经有了多个构造方法，利用不变原理，通过随机游动的极限构造布朗运动，是其中相对直观的一种构造。; 个人分类: 概率论问题讨论|7908 次阅读|0 个评论

中心极限定理之三: zhouda1112 2009-7-25 23:07; 今天介绍独立同分布随机变量的中心极限定理。wiki百科上有对此非常专业的介绍，推荐大家阅读。 http://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem 这里，我们不打算按照教科书讲它的内容，我们只是给一些说明和提示，以帮助大家理解。首先，我想聊聊中心极限定理跟大数定律的关系。以前跟大家聊过，大数定律说明了在一定条件下，当系统的个体足够多时，系统的算数平均值会集中在期望位置。从这个角度，中心极限定理包含了大数定律。因为中心极限定理在于揭示系统在期望附近的统计性质，即以何种方式集中在期望。所以往往，中心极限定理成立的条件比大数定律要强。第二，如何理解随机变量序列的依分布收敛。从数学角度讲，依分布收敛是一种很弱的收敛。如何理解这个弱字？比如设X,Y是两个随机变量，且X和Y的分布相等（可以理解成弱相等），这能说明X=Y吗？当然不行。甚至可以说，我们可以造出两个几乎处处不相等的随机变量X和Y，但是分布却相等（大家可以想想例子）。分布意义下的事情，大家最好利用分布函数去理解。依分布收敛，大家就理解成一列分布函数的逐点收敛（这种说法虽然不大严格）。第三，独立同分布的中心极限定理是最简单的中心极限定理。它有很多推广的内容。鞅的中心极限定理是个在理论和应用中都很重要的内容，详细内容大家可查阅程士宏教授的《高等概率论》。最后，提示一点，中心极限定理只是概率极限理论的一种（当然是最重要的一种）。大家已经知道二项分布在一定条件下可以依分布收敛到poisson分布的事实，这块内容大家可以查阅Durrett的书。; 个人分类: 概率论问题讨论|15577 次阅读|0 个评论

中心极限定理之一（总则）: zhouda1112 2009-7-10 09:56; 从本次开始，将用几次机会跟大家讨论概率论中又一个超重量级的话题：中心极限定理。跟大数定律一样，中心极限定理的内容非常庞大。不夸张地说，中心极限定理所涉及的概念内容极其延伸，几乎撑起了概率论的半边天。一方面，它能深入到概率论，乃至纯数学最核心的部位（如调和函数）；另一方面，它又被广泛应用，哪怕是最实用的工程。限于个人学识，我只能尽力跟大家讨论中心极限定理的小部分内容，期望对大家有所帮助。个人计划分次介绍如下内容： 1、正态分布 2、独立同分布随机变量序列的中心极限定理 3、不变原理 4、应用思路自然，这四部分不可能涵盖中心极限定理的庞大内容，但是我想，基于了解的目的，这四部分内容或许能起到抛砖引玉的作用，方便大家后续学习。; 个人分类: 概率论问题讨论|6723 次阅读|1 个评论

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