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谈谈数学模型的简洁美——: 热度 13 jingxinsy 2014-6-26 11:31; 这一讲我们探讨数学模型的简洁之美。首先，简洁性是数学美的一个重要的特征。提起简洁性，我们来听听著名的数学家陈省身教授怎么讲？他说： “在数学的世界中，简单性和优雅性是压倒一切的。” 无论是数学的概念、公式还是法则，还是数量上的逻辑系统性，还是空间形式的本质属性，无一不以它所特有的数学语言的精炼、逻辑体系的严密、字母符号的准确的描述，向我们展示着数学的简洁之美。这也是数学模型所追求的美学原则之一。那么首先我们探讨什么是简洁？我们先来想一想在生活当中和简洁相反的词都有哪些？你可能会想到：啰嗦、多余、累赘、冗长，等等。是的，简洁在生活当中是指说话、行为简明扼要，没有多余的内容。简洁本身就是一种美，而数学的首要特点就在于它的简洁。第尔曼 (C. Dillmann) 说“数学是语言的语言。通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演。” 恩斯特·马赫（ Ernst Mach ， 1838 年— 1916 年）说“也许听起来奇怪，数学的力量就在于，它规避了一切不必要的思考，惊人地节省了脑力的劳动。” 伟大的希尔伯特曾说（ Hilbert, 1862 年— 1943 年）“当我听到人们讲解某些数学问题时，常常觉得很难理解，甚至不可能理解。这时候我就想，是否可以将问题化简些呢？往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个很简单的问题。” 真理常常是简洁的，事物的本质也常常是简洁的，简洁美充分显示了客观规律的特征，在简洁美的后面，我们可以抓住事物的本质结构，也常常可以抓住真理。简洁性也体现了易于把握、有助于提高思维效率的特点，只有简洁才能把人类长期积累的知识世世代代的传下去。数学的简洁性是什么？数学简洁性首先它不是贫乏、肤浅的意思，而是少而精，是复杂与深奥的高度的凝练。我们知道，现实世界是复杂和简单的结合体。简洁就是拨开迷雾、去伪存真的过程。其实，数学的简洁性始终都在和复杂性相伴而生。有句话这样说：简洁既是创造性的神枪，又是创造性思维的猎物。没有创造性的思维，没有高层次的简洁；没有高层次的简洁相当的简洁，我们的思维也会陷在一种冗长繁琐的重负当中，不可自拔。所以简洁可以使我们看到自然，看到本质，看到真、善、美！数学的简洁美是数学内容和它的简化形式的统一，是人类“思维经济化”在数学上的反映。第二个问题我们来谈谈数学模型的简洁美。数学模型的简洁美也是对客观规律简洁性的一种折射，是参照一定的经验法则体现出来的。我们来形容数学模型的简洁之美，可以用两句话“数学模型如诗，数学模型如画”。一首诗，是用最少的语汇来表达天、地、人之间的最大量的思想和感情的，有这样一首诗：你在桥上看风景，看风景的人在楼上看你。明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦。这里边凝聚了天、地、人间最大量的思想感情。那么一幅画呢，一幅画要在有限的画面上来表达最多的情感和事物的话。这一样需要提炼。中国画追求的是 “神似”。看上去很凝炼。很少在乎那种形似的东西。我们知道徐悲鸿（ 1895 年— 1953 年）他是著名的画马的一个大画家。徐悲鸿画的马，无论是引颈长嘶，还是奋蹄奔腾的时候，我们都能够看到一种健、力、美的这样的特点。他的美体现在马的气势磅礴上，体现在马的奔放不羁上，还有就是展示了马的傲骨锋棱。很少看到形的东西却展示了一种神的魅力。数学家李大潜院士在《数学建模与素质教育》这篇文章当中说：“数学上追求的是最有用广泛的结论、最低的条件代价以及最简明的证明，使学生形成精益求精的风格，凡事力求尽善尽美。” 一个正确的数学模型应当是形式上简单的、逻辑关系是清晰的、求解方法是明确的。我们知道数学建模就是将复杂的研究对象简单化、抽象化，撇开了它的一些具体的特征，减少其中的参数，抽取其主要量，找出量的变化与量与量之间的相互关系，在一种“纯粹”的形态上，追求“神似”地去研究和解决现实问题的这样的一个过程。数学模型的简洁美，总结起来就表现在四个方面：第一，追求较少的假设条件；第二，抓住主要关系；第三，采用尽可能简洁的方法；第四，推出尽可能广泛而深刻的结论。下面，我们来谈谈数学的符号：符号是展示数学模型简洁美的媒介。我们知道，符号就是便于我们交流和记忆的一种代号，是文化的产物。符号，不仅具有速记和节省时间的作用，还能够精确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系，便于我们处理和运算。皮亚诺(Peano，1858年—1932年)曾经说过“数学的一切进步，都是引入符号的反应。” 数学符号是抽象世界里人们对客观事实发生、发展以及客观事物运动规律的最直接、简明的表达方式，是现实世界中交流与传播数学的媒介。德国数学家莱布尼茨（Leibniz，1646年—1716年）曾经说：“符号的巧妙和符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它们使思考工作得到节约。在这里它以惊人的形式节省了思维。” 俄国的数学家罗巴切夫斯基（Lobachevsky ，1792年—1856年）说：“数学符号的语言更加完善、准确明了地提供了把一些概念传达给别人的方法。利用符号，数学上的每一个论断和它所描述的东西就可以更快地被别人所了解。” 符号感主要表现在它能够从具体的情境中抽象出数量关系和变化的规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能够选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。”因此，符号虽然我们看上去很抽象，具有高度的概括性、精确性和形式化的特点。而符号的约定在数学建模当中也是重要的一环。数学的符号大致我们可以给它分作四类: 第一类：字母和数字它们主要取自于某种语言的字母或文字,例如英语、希腊语、德语、阿拉伯、罗马数字等等。我们经常用X、Y、Z来表示变量，用大A、大B、大C来表示矩阵等等。这些都是我们约定俗成的符号表示。第二类：标识符它们通常是约定的特殊的记号，表达着专门的意思。比如:我们常用的角（∠）,三角形（△），总和（ ∑ ），连乘（ ∏ ），这些符号。第三类是：关系符它们主要用来表达数与形的关系。这里面我们提一提，垂直（⊥） ,平行（∥）, 等号（＝），近似（ ≈ ），不等号（ ≠ ），大于号（＞），小于号（＜），变化趋势（ → ），求极限时经常用这个符号，相似（ ∽ ），全等（ ≌ ）有时候还用它作为等价的符号，还有成正比（ ∝ ）等等。第四类就是：运算符你比如说：加号（＋），减号（－），乘号（ × 或 · ），除号（ ÷ 或／），两个集合的并（ ∪ ），交（ ∩ ），根号（ √ ），对数（ log ， lg ， ln ），比（：），微分（ d x ），积分（ ∫ ），等等。我们还知道行列式，它用 Det 括弧里边写个大写 A 可以是行列式，它英文的字头来表示的这样的一种符号。还有很多的数学符号是用它的英文字头来表示的。前面我们已经讲过数学建模的过程大致分为这样的一些步骤。模型准备、模型的假设、模型的建立、模型的求解、模型的检验与模型的分析应用几个阶段，通过这些阶段我们就会完成从一个现实的对象数学模型，再从一个数学模型回到现实对象的一个完整的解决问题的过程。那我们拿来现实问题以后，翻译成数学模型，然后通过对数学模型的处理，可以帮助我们回过头去解决现实问题当中要求作出的决策、预测或者其他的论断。从宏观的角度来说，建立数学模型的时候，要善于近似、简化、抽象，深刻地了解实际问题所属的学科领域的一些基本规律和背景知识，这样的话呢，就会便于我们抓住问题中起关键作用的量及其关系，灵巧地运用数学概念、符号、式子和规律去刻画它内在的本质。从微观方面来说，我们要擅于观察，善于深入。因为实际问题一般都比较复杂，影响某一个量变化的因素可能也很多，往往是多因素共存，所以只有我们深入细致入微的观察，能够揭开表象才能突破问题的瓶颈。 2001 年的全国大学生数学建模竞赛的 A 题，这是我校的柴桥子、姚益平、徐杨三位同学组成的建模小组完成的。题目是：《血管的三维重建》。我们来看看这个题当时就是这样叙述的。我来把它来从头到尾领着大家看一遍。断面可用于了解生物组织、器官等形态。例如，将样本染色后切成厚约1 m m 的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可逐次逐片的观察。根据拍照并采样得到的平行切片的数字图象，用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道表面是由球心沿着某一曲线（我们称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样的一种管道，它的中轴线是直线，由半径固定的球滚动包络形成。现有某管道的相继100张平行切片的图象，记录了管道与切片的交。图象文件名依次取了出来0.bmp、1.bmp、…、 99.bmp，格式均为BMP格式，宽、高均为512个象素（pixel）。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸取为1。取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。Z等于一个Z值的时候，切片图象中象素的坐标依次可以在文件中得到。这个时候，我们保持好这个图片，给我们这个次序非常重要。这个题要求我们什么呢？计算管道的中轴线长与半径长，要求给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。 100 张的平行切片的图象可以从给的网址上（http://mcm.edu.cn）下载。这个建模小组，他们拿到这个题就产生了极大的兴趣。那么，经过这个研究发现，这个问题就好像他们因为为了搞建模竞赛买的面包香肠，这切一口香肠一样，所以他们顿时就产生了灵感，喜欢做这个题。在求解这个问题的过程当中，他们基于生活中的经验，就把这个题解决的非常完善。提出假设。他们是这样做的：适当摆放血管的位置，平行的切割血管使得每张切片的前面都平行于X/Y轴平面，第一张切面的切面就落在了X/Y平面上，这样的一个坐标系建立起来之后，就把这100张图放进了一个三维直角坐标系中。管道中轴线与每张切面有且仅有一个交点，并且半径又保持等长。所得的切片都是平行的切片，切面的间距和图像的像素的尺寸都是1，在做数字图像处理的时候，他们也不考虑由于存储格式造成的BMP图形的边界模糊的问题。也不考虑在拍照的时候BMP图像的边界这个误差。于是，就可以把这个问题血管管道中轴线与每张切片有且只有一个交点这样的一个情况拿到，求半径固定切片间距以及图像像素的尺寸均为1. 坐标系的Z轴又垂直于切片，第一张切片又是平面z=0，第100张切片就是z=99。于是的话，他们就把这个问题完全可以放到一个量化的一个图形的这样的一个可视的状态中。他们建立的第一个模型是投影叠合法，就是在直角坐标系下把 100 张图片都投影到 XOY 平面上去，这样，就可以得到一个月牙形的黑带，像图片上面表现出来的这个黑带，相当于重建之后的血管在 XOY 面上的投影图，血管中轴线的投影也必然存在着这个黑带当中，任意做一条与黑带相交的直线后，发现这个直线与这个中轴线在 XOY 平面投影交于一点，这个点就是黑带中包含的一个最大内切圆的圆心，半径就是血管半径，直线与这个黑带相交的线段中的任一点为圆心设置了一个初始的半径，沿着这个四圈搜索，当有白色点出现的时候就表明进入了黑带的外侧，在这个圆心和半径同时移动的过程当中，直到搜索到有白色点出现，这样的话，把这个半径值就可以找到了。适当分割以后，做这个直线的平行线，依次他们取了 368 条平行线，然后逐行进行搜索，最后取了这个半径的均值，计算的结果是 29 像素。根据这个圆心坐标，又绘制了中轴线在 XOY 面上的投影，但是这个方法有局限性，它很难求出这个中轴线在 YOZ 平面和 ZOX 平面的中轴线的投影。所以，需要对模型进一步的加以改进。第二个模型他们是这样做的：最大内切圆法，在血管中轴线上的每一个点都存在着一个与这个点为球心，血管的半径为半径的一个内切圆，如果从三维看，就是一个包络球，血管壁上每个点都是这个球和这个血管壁的交点，如果平面看就是这个最大圆和血管的这样一个交线，过中轴线上的点，每一张切片上都存在着相同大小的这样的最大内切圆。通过随机取图形，遍历这个图，遇到黑点的时候，这个半径初值这个画的圆我们判断圆周上点的颜色，如果有白色点，说明圆已经移到了这个外界，直到这个圆周上的点全是黑色的点这个时候就完成了这种遍历搜索，在这个搜索的过程中，因为给的图像是黑白图像，大家知道我们可以用 0 表示黑点，用 1 表示白点，所以它叫 0-1 二制图像，处理起来相对简单，对所有的图像处理之后，找到了半径值，圆心坐标也得到了，也就是每张切片与它中轴线的交点，为了节省时间，还提出了算法的优化和改进，在这个过程中，他提出了一个控制因子，用已经找到的半径对下一个图像进行圆心自动的去调整，这样的话就节省了所用的时间，求得了 100 组的半径和圆心之后加上 Z 轴的坐标就找到了每一个切片的中轴线交点的三维坐标，在用两点距离公式就把中轴线的长度计算出来了。通过取平均值的方法得到了更精确地半径值。根据坐标点也绘制了中轴线的三维坐标图，同时也得到了这个中轴线在 YOZ 和 ZOX 面上的投影图，如图片所示。计算的结果：中轴线长度是 524.4611 像素，血管半径大小是 29 像素。他们出色的工作获得了当年全国大学生数学建模竞赛的二等奖。从这个数学建模问题，我们可以看到用简单方法也可以解决看似很复杂的问题，折射出了数学模型的简洁之美。一个数学模型建立以后，求解也是非常重要的环节。《血管的三维重建》这个问题，他们建模小组用到了 C++ 、 MATLAB 等软件。并且进行了编程。有时候，模型建了以后，求解起来可能也很困难，而且求不出来也是时有发生。因为实际问题往往规模很大，比较复杂，这样的话，在计算上面就增加了难度，用通常的手段方式有的时候就力不从心、十分困难，所以拥有高水平的数学软件的编程和应用能力非常重要。常用的数学软件包括： C++ 、 MATLAB 、 SPSS 、 Lingdo/Linggo 、还有 Mathematica 等等，当然还有很多非常有效的软件可以为我们所用。它们各有各自的应用的范围。所以，我们在平时同学们应该加强这方面的自学。我们来看一个多项式模型。我们知道多项式它的标准型是按 X 的降幂或者是升幂这样的形式的一个叠加组合形式。秦九韶他把它做了变形，比如图片上边这个五次多项式，他给它提了四次，于是就把五次多项式化成了五个一次式的处理。秦九韶（约公元1202年－1261年）是在宋朝时期和李冶、杨辉、朱世杰并令为宋元数学四大家的一名数学家。他潜心钻研数学，广泛涉及应用，对天文历法、水利水文、建筑、测绘、农耕、军事、商业金融都有研究和涉猎。秦九韶是我国古代著名的数学家代表，他的《数书九章》记录了宋元时期中国传统数学的主要成就，对数学的发展产生了广泛的影响，国外科学史家都称赞他是 “他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。什么是“算法”？概括地说，就是指求解问题的一个方案准确而完整的描述。计算 5 次多项式在自变量取 5 时的值的时候。我们可以通过秦九韶算法得的结果是 14130.2 。从理论上将，同学们可能会觉得没有什么区别，但是在计算机完成的时候，他们数值处理的路径完全发生了变化。秦九韶算法是将一元 n 次多项式的求值问题转化为 n 个一次式的求值计算，大大减少了计算中乘法的次数。对于现代计算机来说，我们知道，做一次乘法运算的时间要比作一次加法要长得多，所以许多函数在用多项式逼近的时候，秦九韶算法目前仍然是一个最优的算法。因为秦九韶算法极大的缩短了CPU的运算时间。数学建模的时候，我们一定要尽可能的用简洁的语言也包括简洁的计算方法。爱因斯坦说：“从希腊哲学到现代物理学的整个科学中，不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结为几个简单的基本概念和关系，这就是简单性原则。” 正所谓“理念相通、大道至简。” 所以说，数学模型的简洁之美，不仅可以培养我们的求简意识，还可以使我们进一步正确地理解数学是一种简化复杂问题的有效的科学方法，是一切自然科学与社会科学的基础，具有广泛的应用性。好，先谈到这儿。同时，非常感谢各位的支持!; 13476 次阅读|15 个评论

用数学的眼睛看大自然的美妙: yenchin 2009-7-10 12:56; "Some people asked me the question: Are you physicists so narrow and so focus that when you see a beautiful painting, and you see light shimmering on a pond, or you see a beautiful sunrise, do you see equations? And I confessed, I do." - Michio Kaku. 大自然的美是有目共睹的，虽然繁忙的都市生活致使很多现代人与大自然脱了节。下雨了，大家都忙着躲雨，没有伞被困在巴士站的人们大都在埋怨上天下雨耽误了他们的时间，这个年代，还有多少人能够偶尔静下心来欣赏雨景，看着滴在花朵上的雨斟酌诗句？或许是不甘心被人类遗忘吧，大自然偶尔在雨后挂上彩虹吸引大家的注意。您于是抬头看彩虹，多么美啊，您说。可是您真的体验过彩虹了吗？那么您留意过彩虹内部的天空比外面的来得亮了吧？留意过有时彩虹并不止那么七道彩弧吧？留意过有时不远处有颜色秩序相反的霓吧？很多人以为美嘛，用眼睛去看就行了，用什么数学方程式岂不是大煞风景么？殊不知数学的最高境界就是美。我们用数学来阐释宇宙，看见美丽的画面时并不会因此而失去了什么美感，反之，我们见到的更多，体会的更深：我们看见的不只是上帝的诗，最后的成品，我们还看到了上帝的美术意念和技巧。且看彩虹，它为什么是弧形的啊？啊？这是什么样的问题啊？您疑惑了。这是小孩子般的天真的问题，是数学家的心境。原来彩虹的最高点是大约仰角42度，难怪彩虹这么大。把经过中心点的入射阳光为轴做绕轴旋转，就明白了彩虹为什么是个圆弧。当然这只是故事的一半，毕竟彩虹是由很多水珠折射而成的，不过我们略过不谈了。顺便透露鲜为人知的彩虹秘密: 彩虹不是存在于天空中的实体；它不过是您的幻觉。每个人看到的彩虹都是途经不同水珠折射而成，所以您的彩虹是您独有的，和我所见的不是同一个彩虹！美丽。虚幻。现在让我们走马看花，看看大自然的其他美丽景色，和与其对应的数学美。您看，闪电是多么的夺目。您有没有想过，闪电劈下来时，其直径有多大？把闪电简化成圆柱，用高斯定理可以估计其半径为6m。 Source: http://objsam.files.wordpress.com/2009/04/6.jpg 您喜欢看云吗？上图的云层叫做mammatus formation，别有一番特色。云层和水流一样都是流体动力学的研究课题，其中牵涉偏微方程的 Navier-Stokes equation 。大自然中很多现象都可以用偏微方程来描述，比如说波动方程可以用来描述水流。 KdV方程描述弱非线性回复力的浅水波。还有，您有没有想过为什么有些鸟类组成V字形的队伍飞行呢？这也是流体动力学的运用。集体飞行的方式对了，飞行能省更多力，飞得更远。简单来说，当鸟类向下扑打翅膀时，翼尖部分附近会产生一股上升气流。每一只在编队中飞行的鸟利用了邻近它的另一只鸟所产生的这股上升流，从而减少消耗能量。最后，我引用几句话来总结: Some people think that this kind of understanding “spoils” the emotional experience. I think this is rubbish. It demonstrates a depressing sort of aesthetic complacency. People who make such statements often like to pretend they are poetic types, wide open to the world’s wonders, but in fact they suffer from a serious lack of curiosity: they refuse to believe the world is more wonderful than their own limited imaginations. Nature is always deeper, richer, and more interesting than you thought, and mathematics gives you a very powerful way to appreciate this. －Ian Stewart in his " Letters to a Young Mathematician ".; 个人分类: 科普浅说|7712 次阅读|8 个评论

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