薛定谔方程的一种严格推导 很多量子力学教科书都提供了薛定谔方程的一种启发式的推导。它首先假设一个量子系统的状态由平面波的形式 EI （ KX-ωT ）描述。德布罗意关系，动量和能量结合 P= 香港和 E=ħω ，这种状态成为 EI （ PX-ET ） / H 。然后，它使用非相对论能量 - 动量关系： E = p2/2m 经典力学中，以获得免费的薛定谔方程。最后，这个方程是广义的，包括外部的潜力，最终的结果是薛定谔方程。 如何来的方程？ 有至少两个基于类比的对应与经典力学教科书中“派生”的奥秘。首先，即使是微观粒子的行为像波，因此需要一个波函数来描述他们，目前还不清楚为什么波函数必须承担一个复杂的形式一般。事实上，薛定谔发明他的方程时，他感到非常不解的必然出现虚数单位 i 在等式。接下来，不知道是怎么来的德布罗意动量和能量的关系，为什么非相对论能量 - 动量关系必须是 E =p2/2m 。通常，人们只能求助于经验和经典力学来回答这些问题。这在逻辑 上是令人满意的，量子力学是一 个更基本的理论，经典力学只是一个近似值。 在本文中，我们将揭开这些谜团可以诉诸时空平移不变性和相对论不变性和教科书免费薛定谔方程“推导”可以变成一个真正的推导。 动量和能量时空翻译给出的定义，使得时空平移不变性免费或孤立的量子系统具有一定的动量和能量状态假设平面波的形式 EI （ PX-ET ） / H 。此外，相对论不变性的状态，进一步确定了相对论能量 - 动量关系，其非相对论近似为 E= p2/2m 。虽然这些不变性的要求已经广为人知，明确和完整的使用他们的免费的薛定谔方程推导似乎仍然缺少文献和教科书。新的综合分析，可能有助于了解薛定谔方程的物理起源。 时间翻译和其不变性 让一个孤立的系统的状态，在一个给定的时刻 t 是ψ（ X ， T ）。连续运动的状态中， x （ t ）的，可以看作是一种特殊形式的ψ（ X ， T ），即ψ（ X ， T ） = δ（有 XX （ T ）），其中δ为狄拉克函数。我们不需要知道什么物理状态ψ（ X ， T ）在这里代表。 让演化方程如下形式： U （ T ）ψ（ X ， 0 ） = ψ（ X ， T ）， 其中 U （ t ）是需要确定的演化算符。由于状态的时间演化的状态只是时间平移， U （ T ）也被称为时间平移算。 这个演化方程也可写成差分形式： 我 ∂ψ （ X ， T ） /∂T =Hψ （ X ， T ）。 如果在以后分析的方便，引入（期 2 = -1 的虚数单位）在方程。假设运营商 H 是独立的发展状态，即进化是线性的，时间平移算子 U 可以表示为 U （ T ） = E-ITH （ T ）。因此， H 被称为发电机的时间翻译。在量子力学中， H 也称为能源运营商或哈密顿研究系统。 为了能够孤立的系统或自由运动方程推导演化方程（线性），我们需要知道该方程必须满足的要求。其中一个重要的要求是从空间和时间上的一致性或均匀性。它是一种实验性的事实，即在两个不同的时间重复同样的实验，得到同样的结果，在两个不同的地方进行同样的实验也得到同样的结果。这一事实反映了空间和时间的均匀性。这也表明（隔离系统）的演变规律是一样的，在不同的时间和地点，即它满足时间平移不变性和空间平移不变性。现在，让我们来分析的演化方程的时空平移不变性的要求的影响。 假设上述孤立系统处于状态ψ 0 在时间 t1 和发展为一个无限小的时间Δ t 。该系统的状态，在时刻 t1+ Δ T ，Δ T 的第一顺序，将 ψ（ X ， T1 + Δ T ） = ψ 0 。 如果重复的演变在时刻 t2 ，具有相同的初始状态开始，于时刻 t2 + Δ T 的状态将 ψ（ X ， T2 + Δ T ） = ψ 0 。 时间的平移不变性需要的结果状态应该是相同的： ψ（ X ， T2 + Δ T ） - ψ（ X ， T1 + Δ T ） =i δ t ψ 0= 0 。 由于初始状态ψ 0 是任意的，它遵循的 H （ T1 ） = H （ T2 ）。此外，由于 t1 和 t2 是任意的，如下， H 是与时间无关的。因此，的平移不变性需要，演化算符 H 有没有时间依赖性，即 DH /DT = 0 。 当 DH / DT = 0 ，这些解决方案的演化方程假设下列表格 ψ（ X ， T ） = φ E （ X ）电子 IET φ E （ X ），称为本征态的 H ，满足与时间无关的方程： E φ EH φ E （ X ） = （ X ）。 在量子力学中， E ，时间独立 H 的特征值，被定义为一个系统，其运动状态（ X ） H ，φ E 的本征态的能量。请注意，一般依赖于所研究的系统的能量算子 H 的具体形式。其结果是，在能量本征态能量本征值只能被确定为混凝土的情况下（见下文）。 空间平移和其不变性 让我们进一步分析的要求，空间平移不变性。的空间转换运算符可以被定义如下： T （ A ）ψ（ X ， T ） = ψ（ X - A ， T ）。 这意味着翻译刚性一个孤立的系统的状态，ψ（ t ）的的量，通过在 x 轴正方向。运营商 T （一）保留规范的状态，因为∫ψ * （ X ， T ）ψ（ X ， t ）的 DX = ∫ψ * （ X - ， T ）ψ（ X - ， T ） DX 。这意味着， T （一）是单一的，满足 T †（一） T （一） = 一，作为一个整体的操作员， T （一）可进一步表示为 T （ A ） = E-IAP ， 其中 P 是空间平移发电机，它是厄密共轭，它的特征值是真实的。在量子力学中， P 也被称为动量算符。这种关系代入上面定义的空间平移的运营商和扩大双方下令，我们发现 P =-I∂/∂X 。 这立即导致 P eipx = eipx 。 其中 eipx 是本征态的 P 与特征值 p 。在量子力学中， p 被定义为一个系统，其运动状态是一个动量本征态 eipx 的势头。注意动量算符的形式，能量算子不一样，不依赖于所研究的系统。 在下面，我们将证明，空间平移不变性要求交换空间平移操作和时间平移算，即 T （ A ）， U （ T ） ] = 0 。 假设在 t = 0 A 和 B 两个观察者在 x = 0 和 x = ，分别准备相同的孤立的系统。让ψ（ X ， 0 ）是 T （ A ） A. 然后ψ（ X ， 0 ）编制系统的状态是准备系统由 B 的状态，它是通过翻译（无失真）的状态ψ （ 0 ）由一个右侧的量。这两个系统看起来他们准备的人的观察员相同。经过时间 t ，演变成 U （ T ）ψ（ X ， 0 ）和 U （ T ）， T （ A ）ψ（ X ， 0 ）。由于在不同的地方每个相同的系统的时间演化应该会出现相同的本地观察员，上述两个系统，只在 t = 0 由空间平移不同，不同之处仅在未来的时间由相同的空间平移。因此的状态ü（ T ） Ť （一）ψ（ x ， 0 ）应该是的翻译版本的系统在时间 t ，即我们有ü（ T ） Ť （一）ψ（ x ， 0 ） =Ť （一） U （ T ）ψ（ X ， 0 ）。这种关系成立的任何初始状态ψ（ X ， 0 ），因此，我们有 = 0 。此结果进一步导致 = 0 。 总之，空间平移不变性要求 = 0 为一个孤立的系统。因此， H ，φ E （ x ）的本征态，本征态的 P ，即φ E （ X ） = eipx 。然后演化方程的解决方案我 ∂ψ （ X ， T ） /∂T =Hψ （ X ， T ）将ψ（ X ， T ） E-IET =φE （ X ） = EI （ PX-ET ）。这意味着，状态営（像素 - 乙醚）描述一个孤立的系统（例如，一个自由电子）的动量 p 和能量 E 的 方程。 自由运动方程推导的最后一步是要找到孤立的系统动量 p 和能量 E 之间的关系。它可以表明的关系是由相对论不变性的状态（像素 - 乙醚）営，原来是 E2 = P2C2 + m2c4 ，其中 m 是该系统的质量，和 c 的速度是光。在非相对论域，能量 - 动量关系减少 E = p2/2m 。 的关系式 E ， H 和 P 的操作员之间的关系是一个孤立的系统，其中， H 是该系统的自由哈密顿 H =P2/2m = p2/2m 的状态（像素 - 乙醚）営。请注意，因为 E 的值是真实的能量 - 动量关系， H 为埃尔米特 U （ T ）是统一的免费演变。代运营商关系的演变方程，我们可以最终获得自由运动方程，假定免费薛定谔方程相同的形式： 。 这是值得注意的，与自由的薛定谔方程，约化普朗克常数 h 的行动与尺寸在这个等式中丢失。然而，这其实不是一个问题。其原因是，可以被吸收到的质量为 m 的尺寸的尺寸 ħ 。例如，我们可以为 p 值 = 1 / L ， E = 1 / T 和 m = T/L2 ，其中 L 和 T 表示空间和时间上的尺寸，分别为规定的尺寸的关系。此外， h 的值可以被设置为单位数的原则。因此，上面的方程本质上是量子力学中的薛定谔方程。 需要适当的期望值对应，的 eP/ DT = F = ∂V /∂X ，包括降低普朗克常数 h ，我们可以进一步获得外势下薛定谔方程： 。 请注意，在具体的形式中的一个经典的电位是由非相对论近似量子相互作用，这说明由相对论量子场理论。由于势 V （ X ， T ）是实值，哈密顿 = P2/2m + V （ X ， T ）是埃尔米特，作为一个结果，时间平移算子 U （ t ）是单一的。 对于 N 体系统中，系统的状态可以表示为ψ（ X1 ， X2 ， ... xN 的，吨），其中 x1 表示副系统 1 的坐标，所以对其他子系统的。当的 N 个子系统是 独立的，我们可以推导出以类似的方式与上述的运动方程： ， 其中ψ（ X1 ， X2 ， ... XN ， T ） = ψ 1 （ X1 ， T ），ψ 2 （ X2 ， T ） ... ψ N （ XN ， T ）， mi 为我子系统的质量。当的 N 个子系统不是独立的，有相互作用的运动方程仍然是成立的。然而，该系统的状态不能被写为副系统状态的商品。此外，电势 V 将包含子系统之间的相互作用，其一般形式为 V （ X1 ， X2 ， ... xN 的，吨）。 两个相互作用的子系统为一个系统的运动方程为购买测量分析是特别有用的。这是 。 等价地，该系统的总哈密顿量为 H= H1 + H2 + HI H1 = P12/2m1 和 H2 = P22/2m2 的的是游离哈密顿子系统 1 和 2 ，分别和 HI = V （× 1 ， X2 ）是相互作用哈密顿量，其一般形式为 V （ X1-X2 ）。 进一步的讨论 我们已经推导出了免费的基于薛定谔方程的时空平移不变性和相对论不变性的要求。的推导可以总结如下。 关键的步骤是分析动量和能量来源。根据现代的理解，时空转换了动量和能量的定义。动量算符 P 被定义为空间平移的发电机，它是厄密共轭，它的特征值是真实的。此外，可以唯一地确定动量算符的形式，由它的定义。为 P =- ⅰ ∂/∂ ，它的本征态是 eipx ，其中 p 是一个真正的特征值。同样，能量算子 H 定义为时间平移发电机。但是，它的形式依赖于所研究的系统。幸运的是，一个孤立的系统，能源运营商，这就决定了演化方程的形式可以固定时空平移不变性和相对论不变性的要求（假设的演变时，是线性的）。具体而言，时间平移不变性要求的 DH / dt = 0 ，从而演化方程的解决方案我 ∂ψ （ X ， T ） /∂T =Hψ （ X ， T ）必须承担的形式ψ（ X ，吨的） =φE （ x ）的电子 IET 。空间平移不变性要求 = 0 ，这进一步确定，φ E （ x ）是本征态的 P ，即φ E （倍） eipx 中。因此，时空平移不变性使得一个孤立的系统具有一定的动量和能量状态假设平面波的形式 EI （ PX-ET ）。此外， p 和 E 或能量 - 动量关系之间的关系可以由相对论不变性的状态 EI （ PX-ET ），其非相对论近似原来是 E = p2/2m 的。然后，我们可以得到一个孤立的系统， H = P2/2m ，免费薛定谔方程形式的能源运营商。 新的综合分析，可能会推出一些奥秘的教科书“”薛定谔方程推导，例如它可以回答为什么一个量子系统的状态有一个平面波的形式，为什么还有德布罗意关系。这使得更容易理解薛定谔方程。然而，仍有两个重要的问题需要回答。第一种是物理意义的函数（或通常被称为波函数）ψ（ X ， T ）中的薛定谔方程。我们得出的方程，但它是未知的什么方程的波函数ψ（ X ， T ）表示。在下一章中，我们将回答这个问题。 第二个问题是是否存在波函数的非线性演化除了非线性薛定谔演化。如前所述，上述（免费）薛定谔方程推导依赖于哈密顿函数 H 是独立的发展状态，也就是说，进化是线性的前提。换句话说，推导了进化的线性部分，如果满足时空平移不变性和相对论不变性，必须承担薛定谔方程相同的形式在非相对论领域。显然，推导不能排除存在非线性量子进化。这似乎是一个合理的假设，都存在非线性演化和线性进化，而且，它们分别满足时空平移不变性，因为它们的效果不能相互抵消一般。然而，因为可以很容易地满足一般的非线性演化时空平移不变性，不变性要求可以不再确定可能的非线性演化的具体形式。 我们将分析可能的非线性演化。
作者：蒋迅 有一篇转载成灾的文章一页纸多一点的博士论文，讲的是一个法国内阁部长的花花公子儿子 路易-维克多德布罗伊 ( Louis de Broglie )， 突然浪子回头，对量子论发生了兴趣。但他读了五年仍是一事无成。1924年，德布罗伊终於提交了自己的只有一页纸多一点的博士论文。据说他的博士论文只是 提出了一个猜想，既然波可以是粒子，那么反过来粒子也可以是波。而进一步德布罗伊提出波的波矢和角频率与粒子动量和能量的关系是： 动量 ＝ 普朗克常数/波矢 能量 ＝ 普朗克常数*角频率 经过一番运作后，因为他的父亲的关系和爱因斯坦的一番客气，他的博士论文竟然得以通过。后来 维也纳大学的讲师薛定谔 (Schrodinger) 受命报告这篇论文。他找到了一个波动方程。这个方程就是薛定谔方程！再后来他在滑雪场滑雪时忽发灵感，薛定谔从他的方程中得出了玻尔的氢原子理论！最后在 哥本哈根学派的帮助下，量子力学的神殿建立了。 这篇文章很容易抓住人们的眼球。我也是一下子被它吸引住了。但是，稍微想一想就会发现，这事可能发生在20世纪的欧洲吗？还是在近代物理领域里。这怎么可能。我 Google 了一下，发现德布罗伊的毕业论文的 英文翻译 (On the Theory of Quanta) 就有73页(不算目录)。也有一些对此文的批判文章。 事实证明这篇文章传播的是错误信息。但问题是为什么会有这么多人在转载之前不思考一下，而是 把这篇表面上看非常漂亮的文章全盘接受下来。这是一个值得思索的问题。本人觉得现在博客、论坛上的一个现象就是转载他人的文章，而不加上自己的一点观点。 假如你想在转载的基础上加上自己的思考，你可能就会有一些疑问，可能就会去Google，可能就容易看出破绽来。所以，我不支持纯粹的转载。当然，我理解有时侯转载只是为了收集资料。但有些人在转载时都不属上原作者的名字，也不指出出处，表现的就是不劳而获的态度。对这样的转载，我更是反对。
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