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如何优化赌球的下注比例: lcguang 2009-8-10 23:48; 注:公式太多, 不好显示. 本文完整版将在清华大小写出版社最近出的新书《理性赌徒－－股市幸存者如是说》提供。假如赌球的盈亏只有两种可能，赢或者亏，那么用凯利公式优化下注比例就行了。如果有三种可能，但是其中打平不赢不亏，则也可以简化为盈亏两种可能，但是要用到我的书里介绍的优化投资比例公式。如果三种盈亏都不是0, 那么我们需要通过一元二次方程求解最优投资比例。关于欧洲盘例如皇马主场对拜仁，欧盘开出为主队 2.25 （包括本金的赔率）、平局 3.00 、客队 3.00 ，这就是说，你可以选择三种结果中的一种下注。选第一种，即赌主队赢，则赌对了赢利2.25-1=1.25倍（连本带利2.25倍）。选第二或第三种，赌对了赚3-1=2倍。赌错了都是输1倍，我们用 R 表示赔率，用r表示赚的比例（简称：赢利率），则 R =1+ r 。不管你选三种结果的哪一种，都只有输赢两种可能。所以我们可以用凯利公式优化下注比例。凯利公式是： K ＝ P -(1- P )/ r, （1）其中 K 是最优下注比例， P 是赢的概率， 1- P 是亏的概率， r 是赢利倍数， r = R- 1。比如，你预测主队赢的概率是0.5, 则 K ＝0.5-0.5/1.25=0.1=10%。这就是说，你把你所有资金的10%拿来赌主队赢，是最优方案。凯利公式的前提是假设你面对类似的赌局赌无数次。下注比例大于 K ，则风险较大，欲速不达；小于 K 则赢利太慢。假设 K =0，可以推导出对你有利的胜负概率。即由 0= P -(1- P )/ r 可以解得 P ＝1/（1+ r ）=1/ R . （2）比如主队赔率是 R =2.25。则有 P =1/2.25=0.4=40%。这就是说，主队赢的概率超过40%，才值得你下注主队赢。假如我们再用公式 K =1/ R 计算平局和客队赢的概率，你会发现，三个概率分别是0.444, 0.333, 0.333, 相加等于1.111――这是不可能的。原来庄家这样设计，是为了保证返还率在1以下，比如0.9。返还率是指：平均说来，庄家支付相对收入的比例。假设三种下注返还率相同，都是 F ; 三种事件的概率（即庄家预测的概率）是 P 1 , P 2 , P 3 ，三种赔率是 R 1 , R 2 , R 3 。那么，就有：（3 ）由上式和 P 1 ＋ P 2 ＋ P 3 ＝1可以推导出（4）把上面例子中三个赔率带进去，可以算出F＝1/1.111=0.9。庄家预测的概率就是 P = F/R ，对于上面的例子，可以算出庄家预测的三种概率是：比较由公式(2)算出的概率，可见，赌徒预测的概率大于庄家预测的概率1/ F 倍时，下注才是合理的。否则应该放弃下注。关于亚洲盘欧洲盘是三种下注，每种下注只有两个结果：输和赢。但是亚洲盘只有两种下注――主队赢还是客队赢，每种下注一般有三种结果。比如：输，和，赢；输，输一半，赢；输，赢一半，赢。两个典型的赌局如下：赌局主队贴水盘口客队客队贴水 1 A 1.05 一球 (即1) B 0.80 2 A1 1.0 一球/球半 (即1/1.5) B1 0.90 其中贴水就是上面的盈利率 r = R -1。盘口表明让球和盈亏规则。如果是一个数字那就是让球数，少于它则输，多余它则赢，等于它则平手――不赢不亏。如果是两个数，左边的数表示让球方赢多少球时，赌它赢的人输一半，低于这个数就全输；右边的数表示让球方赢多少球时，赌它赢的赌客赢一半，高于这个球数就全赢。因为半球不可能发生，而那两个数中总有一个带有半球（.5）, 所以不管下注谁赢，都有三种输赢可能。常见的亚洲盘盘口有下面几种：　　盘口盘口的数字表示解释(假设赌让球方赢) 平手 0 平开，庄家预测双方获胜几率一样平手/半球 0/0.5 打平时输一半，赢一个球时全赢，输一球时全输半球 0.5 赢球等于或超过一个时全赢，否则全输半球/一球 0.5/1 平或负时全输，赢一球时赢一半，赢两球时全赢一球 1 赢一球算平，少于一球全输，多于一球全赢一球/球半 1/1.5 赢一球时输一半，少于一球全输，赢两球时全赢盘口只有一个数字，而且是非整数，比如0.5时，盈亏只有两种可能，显然可以使用凯利公式优化下注比例。其他都有三种盈亏可能。不能使用凯利公式。下面我们用 P 1 , P 2 , P 3 表示一种下注的三种结果发生的概率， r 1 , r 2 , r 3 表示相应的赢亏。当盘口只有一个数字（0， 1,2中的一个）时，如果我们赌让球方（主队）赢，则三种可能结果及其概率和盈亏是： 1) 赢，概率是 P 1 ， r 1 =让球方贴水; 2) 平手，概率是 P 2 ， r 2 =0, 3) 输，概率是 P 3 ， r 3 =-1(亏一倍)。那么，期望收益就是：（5）这时候，我们可以用我在《投资组合的熵理论和信息价值》 1 一书中提供的最优比例公式得到最优下注比例：（6 ）如果 q *小于或等于0, 那么就应该放弃下注。要使 q *0，必须 E 0, 也就是（7）上式就是判断是否值得下注的条件。如果盘口是两个数字， r 2 就不再是0。如果左边是整数, 则 P 2 表示亏一半的概率， r 2 = - r 1 /2; 如果右边是整数， P 2 表示赚一半的概率， r 2 = r 1 /2; r 3 还是 -1。这时候没有办法用凯利公式或者我以前提供的最优比例公式，但是可以通过求解一元二次方程得到最优比例。假设一种投资或者赌博有三种可能盈亏，则平均回报（即1+平均复利）是：（8 ）现在要求使 R 达最大的 q 。我们把 R 换成log R : （9）运用微积分知识，我们知道当（10）时 R 和log R 有最大值。由上式可得一元二次方程：（11）其中， , c = E ( 期望收益)。将 r 2 = r 1 /2(假设存在赢一半的情况)和 r 3 = -1 带入上面式子，可得： , 。如果存在输一半的可能，则用- P 2 代替 P 2 ，其他不变。上面方程(11)可能无解，如果有解，则有两个根：我们分别把 q 1 和 q 2 带入（9），看哪个使log R 较大，使log R 较大的根就是我们要求的最优投资比例 q *。判断盘口有两个数字赌局是否值得下注，也要看根据自己预测的概率和庄家的贴水算出的期望收益 E 是否大于0，如果 E 小于或等于0就不应该下注。关于分散下注我们能否把不同的赛球结果当作不同的证券，用投资组合的方式分散下注？初步研究表明，对于欧洲盘，同时下注于赢，平，输三个中的两个是可以的，下在三个上面就不合算了，因为自己输给自己了，另外还要付给庄家费用。对于亚洲盘，同时下注于两方也是不合算的。但是如果两个庄家开出的赔率不同，或者一场球的亚洲盘和欧洲盘显示的庄家预测的概率相差较大，那么我们就可以对冲下注――一边赌A队赢，另一边赌B队赢。两边的下注比例应该根据我们的概率预测而定。因为一般说来，庄家之间的盘口误差不会超过1－ F 。对冲下注相当于利用庄家之间的误差提高返还率。要赢钱还是要靠概率预测。我将在幸存者网站提供亚洲盘最优比例计算，以及分散下注最优比例计算。《投资组合的熵理论和信息价值》，参看http://survivor99.com/lcg/books/portfolio/index.htm http://survivor99.com 如何优化赌球的下注比例假如赌球的盈亏只有两种可能，赢或者亏，那么用凯利公式优化下注比例就行了。如果有三种可能，但是其中打平不赢不亏，则也可以简化为盈亏两种可能，但是要用到我的书里介绍的优化投资比例公式。如果三种盈亏都不是0, 那么我们需要通过一元二次方程求解最优投资比例。关于欧洲盘例如皇马主场对拜仁，欧盘开出为主队 2.25 （包括本金的赔率）、平局 3.00 、客队 3.00 ，这就是说，你可以选择三种结果中的一种下注。选第一种，即赌主队赢，则赌对了赢利2.25-1=1.25倍（连本带利2.25倍）。选第二或第三种，赌对了赚3-1=2倍。赌错了都是输1倍，我们用 R 表示赔率，用r表示赚的比例（简称：赢利率），则 R =1+ r 。不管你选三种结果的哪一种，都只有输赢两种可能。所以我们可以用凯利公式优化下注比例。凯利公式是： K ＝ P -(1- P )/ r, （1）其中 K 是最优下注比例， P 是赢的概率， 1- P 是亏的概率， r 是赢利倍数， r = R- 1。比如，你预测主队赢的概率是0.5, 则 K ＝0.5-0.5/1.25=0.1=10%。这就是说，你把你所有资金的10%拿来赌主队赢，是最优方案。凯利公式的前提是假设你面对类似的赌局赌无数次。下注比例大于 K ，则风险较大，欲速不达；小于 K 则赢利太慢。假设 K =0，可以推导出对你有利的胜负概率。即由 0= P -(1- P )/ r 可以解得 P ＝1/（1+ r ）=1/ R . （2）比如主队赔率是 R =2.25。则有 P =1/2.25=0.4=40%。这就是说，主队赢的概率超过40%，才值得你下注主队赢。假如我们再用公式 K =1/ R 计算平局和客队赢的概率，你会发现，三个概率分别是0.444, 0.333, 0.333, 相加等于1.111――这是不可能的。原来庄家这样设计，是为了保证返还率在1以下，比如0.9。返还率是指：平均说来，庄家支付相对收入的比例。假设三种下注返还率相同，都是 F ; 三种事件的概率（即庄家预测的概率）是 P 1 , P 2 , P 3 ，三种赔率是 R 1 , R 2 , R 3 。那么，就有：（3 ）由上式和 P 1 ＋ P 2 ＋ P 3 ＝1可以推导出（4）把上面例子中三个赔率带进去，可以算出F＝1/1.111=0.9。庄家预测的概率就是 P = F/R ，对于上面的例子，可以算出庄家预测的三种概率是：比较由公式(2)算出的概率，可见，赌徒预测的概率大于庄家预测的概率1/ F 倍时，下注才是合理的。否则应该放弃下注。关于亚洲盘欧洲盘是三种下注，每种下注只有两个结果：输和赢。但是亚洲盘只有两种下注――主队赢还是客队赢，每种下注一般有三种结果。比如：输，和，赢；输，输一半，赢；输，赢一半，赢。两个典型的赌局如下：赌局主队贴水盘口客队客队贴水 1 A 1.05 一球 (即1) B 0.80 2 A1 1.0 一球/球半 (即1/1.5) B1 0.90 其中贴水就是上面的盈利率 r = R -1。盘口表明让球和盈亏规则。如果是一个数字那就是让球数，少于它则输，多余它则赢，等于它则平手――不赢不亏。如果是两个数，左边的数表示让球方赢多少球时，赌它赢的人输一半，低于这个数就全输；右边的数表示让球方赢多少球时，赌它赢的赌客赢一半，高于这个球数就全赢。因为半球不可能发生，而那两个数中总有一个带有半球（.5）, 所以不管下注谁赢，都有三种输赢可能。常见的亚洲盘盘口有下面几种：　　盘口盘口的数字表示解释(假设赌让球方赢) 平手 0 平开，庄家预测双方获胜几率一样平手/半球 0/0.5 打平时输一半，赢一个球时全赢，输一球时全输半球 0.5 赢球等于或超过一个时全赢，否则全输半球/一球 0.5/1 平或负时全输，赢一球时赢一半，赢两球时全赢一球 1 赢一球算平，少于一球全输，多于一球全赢一球/球半 1/1.5 赢一球时输一半，少于一球全输，赢两球时全赢盘口只有一个数字，而且是非整数，比如0.5时，盈亏只有两种可能，显然可以使用凯利公式优化下注比例。其他都有三种盈亏可能。不能使用凯利公式。下面我们用 P 1 , P 2 , P 3 表示一种下注的三种结果发生的概率， r 1 , r 2 , r 3 表示相应的赢亏。当盘口只有一个数字（0， 1,2中的一个）时，如果我们赌让球方（主队）赢，则三种可能结果及其概率和盈亏是： 1) 赢，概率是 P 1 ， r 1 =让球方贴水; 2) 平手，概率是 P 2 ， r 2 =0, 3) 输，概率是 P 3 ， r 3 =-1(亏一倍)。那么，期望收益就是：（5）这时候，我们可以用我在《投资组合的熵理论和信息价值》 1 一书中提供的最优比例公式得到最优下注比例：（6 ）如果 q *小于或等于0, 那么就应该放弃下注。要使 q *0，必须 E 0, 也就是（7）上式就是判断是否值得下注的条件。如果盘口是两个数字， r 2 就不再是0。如果左边是整数, 则 P 2 表示亏一半的概率， r 2 = - r 1 /2; 如果右边是整数， P 2 表示赚一半的概率， r 2 = r 1 /2; r 3 还是 -1。这时候没有办法用凯利公式或者我以前提供的最优比例公式，但是可以通过求解一元二次方程得到最优比例。假设一种投资或者赌博有三种可能盈亏，则平均回报（即1+平均复利）是：（8 ）现在要求使 R 达最大的 q 。我们把 R 换成log R : （9）运用微积分知识，我们知道当（10）时 R 和log R 有最大值。由上式可得一元二次方程：（11）其中， , c = E ( 期望收益)。将 r 2 = r 1 /2(假设存在赢一半的情况)和 r 3 = -1 带入上面式子，可得： , 。如果存在输一半的可能，则用- P 2 代替 P 2 ，其他不变。上面方程(11)可能无解，如果有解，则有两个根：我们分别把 q 1 和 q 2 带入（9），看哪个使log R 较大，使log R 较大的根就是我们要求的最优投资比例 q *。判断盘口有两个数字赌局是否值得下注，也要看根据自己预测的概率和庄家的贴水算出的期望收益 E 是否大于0，如果 E 小于或等于0就不应该下注。关于分散下注我们能否把不同的赛球结果当作不同的证券，用投资组合的方式分散下注？初步研究表明，对于欧洲盘，同时下注于赢，平，输三个中的两个是可以的，下在三个上面就不合算了，因为自己输给自己了，另外还要付给庄家费用。对于亚洲盘，同时下注于两方也是不合算的。但是如果两个庄家开出的赔率不同，或者一场球的亚洲盘和欧洲盘显示的庄家预测的概率相差较大，那么我们就可以对冲下注――一边赌A队赢，另一边赌B队赢。两边的下注比例应该根据我们的概率预测而定。因为一般说来，庄家之间的盘口误差不会超过1－ F 。对冲下注相当于利用庄家之间的误差提高返还率。要赢钱还是要靠概率预测。我将在幸存者网站提供亚洲盘最优比例计算，以及分散下注最优比例计算。《投资组合的熵理论和信息价值》，参看http://survivor99.com/lcg/books/portfolio/index.htm http://survivor99.com; 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