注：物理学上relaxation time中文叫“弛豫时间”。“松弛时间”是高分子学科的译法。感谢其他老师的指教！ 不知道是不是我所在的学院主要是一个化学背景的学院，所以我遇到很多同学——一度也包括我自己——对什么是“松弛时间”是很困惑的。学生可能一律是在上《高分子物理》课的时候接触到这个概念的。但是，高分子物理，是讲粘弹性力学模型的时候突然用这个词的，大致上就是有个粘壶，有个弹簧，列个方程，里面含有粘度与模量的比值，书上就直接说这个比值“叫做松弛时间”，令人无语。粘度是粘度，模量是模量，怎么会出来时间？不是要发生一件事情，有开始，有结束，才能测量出时间来的吗？这个时间既然叫做“松弛”，那就是发生了“松弛”这件事。所以问题应该是“松弛”是一件什么事情？主语是谁？过程是怎样的？结果是什么？这些，不光在《高分子物理》课本上没有说清楚，在很多流变学的书里面也没说清楚。 然后学生进入实验室之后，特别是我们组，例如遇到动态光散射实验，发现又有“松弛时间”。动态光散射没有粘度，没有模量，怎么又叫“松弛时间”？整天这个“松弛时间”那个“松弛时间”动不动就“松弛时间”，不同场合所出现的“松弛时间”是不是一个意思？同一个材料，做动态光散射的那个“松弛时间”，跟做应力松弛的那个“松弛时间”相不相等？这些问题都没法从“粘度除以模量”的已有知识进行回答，就会令人觉得所有“松弛时间”都是属于另一个世界的东西。“松弛时间”这一概念似乎是阻碍我们院的研究生从“反应、过柱、挤出、打红外打核磁做DSC做拉力”的“民工式”材料学研究进入到真正的物理化学研究的最大门槛。为了搞懂一个词，叫人回家通读《平衡态统计物理》，似乎有点过份。但是，一个仅知道“松弛时间等于粘度除以模量”的学生，叫他怎么去理解在不同场合下出现的“松弛时间”？更别说自主地正确使用这一物理量了。 我看到俄罗斯流变学家Alxander Malkin的流变学教材Rheology: Concepts, Methods and Applications在第2章介绍粘弹性的时候，专门用一块小字号的阅读材料来解释什么叫松弛时间——而且是作为物理学的一般性概念来介绍。很简短明快，值得借鉴。 Relaxation time — gen-eral con-cept in physics The con-cept of relax-ation has a gen-eral mean-ing for many phys-i-cal phe-nom-ena. It is a reflec-tion of an idea of restora-tion of equi-lib-rium state from a non-equilibrium con-di-tion, regard-less of the rea-sons which caused the depar-ture from equi-lib-rium. For exam-ple, this can be con-cen-tra-tion fluc-tu-a-tion caused by purely sta-tis-ti-cal rea-sons as was con-sid-ered by Maxwell. Let the equi-lib-rium value of some phys-i-cal para-me-ter be X ∞ , cur-rent value of this para-me-ter be X, and let it be sup-posed that the rate of approach of equi-lib-rium is pro-por-tional to the dis-tance from the equi-lib-rium. This assump-tion imme-di-ately leads to the fol-low-ing first-order kinetic equa-tion: where k is a kinetic rate con-stant with the dimen-sion of rec-i-p-ro-cal time. The para-me-ter X in the ini-tial state equals to X0. Then, the solu-tion of this equa-tion is Now, if X ∞ =0, then the sim-plest form of this equa-tion is (*) The last two equa-tions describe the relax-ation process, and the value of is called therelax-ation time. Its value char-ac-ter-izes the rate of approch of the equi-lib-rium (but not the com-plete time nec-es-sary to reach this equi-lib-rium because it is infi-nitely large accord-ing to equation *. 以上这段话不仅从正面简短介绍了“松弛时间”的概念，还适时解答了一般人很容易产生的困惑，包括本文开头提出的那几个疑问。在一个教材里面，加上这么一小段话，并不影响教材的篇幅或者印刷，但是却对学生今后的发展作用重大。由于这一介绍松弛时间一般性的定义，因此它不会像“粘度除以模量”那样无法延伸到其他场合。所有场合下出现的“松弛时间”，都可以拿以上那段话的内容去理解。这才是学习应该达到的效果。 Alexander Yakovlevich Malkin 是俄罗斯的流变学家。很老了，可惜关于他的故事了解得不多。也许郑融老师会对他有所了解？ Read more: http://www.andrewsun.net/panta_rhei/archives/4768#ixzz1yXx3sE2B
从英文学习的角度简评部分含英文的《数学》教材 Mathematics Textbooks in Chinese and Their Englishes 摘要 Abstract 以中文出版的各科教材有些在行文中增加了英文，有些在附录中也增加了英文词汇对照表，这些都为“熟练掌握英语”以便将来达到读、听、写、说四会提供了非常初级的有益的资源。然而，这些英文或英文词汇都是在孤立的语境中，而且是在同英文毫无渊源，区别巨大的中文语境中孤立出现，这样对于母语为汉语的英语学习者，既对任何一个用字母文字写出来的语言，基本上都是难点的英语学习者，提出了不接触字母语言则不会遇到的挑战。例如，每个英文的单词如何发音？哪种发音更接近原文的发音？每个缩写字母，比如物理单位，应该如何发音，甚至如何完整地拼写出来？是按照英语字母表发音还是要读出整个单词？物理单位在说出来写出来时到底用单数还是多数？众多的科学家来自不同的国家，他们的姓名应该怎样发音？德国音，法国音，英国音，哪个常用？中文翻译出来的姓名能否准确标示这些科学家姓名的正确发音？每本书中列出的大约 60 到 100 个英文词语在真正的英文原文中到底怎样使用？学习了这 60 到 100 个英文词语是否达到了主要英语国家的同级学生的英文水平？如果没有达到那么到底有多大的差距？ 本文通过比较中文数学教科书中所引进的少量英文同原版英文数学书的英文，探讨前面提出的挑战应该怎样解决，以及英文如何提高到主要英语国家的同级学生的英文水平的方法。 A number of textbooks published in Chinese have embedded a small number of English terms either in the text or appended as a bilingual glossary, which may enhance the four skills of reading, listening, writing and speaking in the English language. However, those English terms only appear in a Chinese context without due support of the English language, thus rendering new challenges to native Chinese speakers who usually are less sensitive to Roman letters. Some of the challenges are: How to pronounce those English terms? Which transliteration is truer to the original pronunciation? How to pronounce abbreviations such as units? How to spell out those abbreviations? Should those abbreviations be read as individual English letters or as spelt-out words? Should those units be used in the singular or the plural? Scientists were born in many different countries. How to pronounce their names? Which pronunciation is better, German, French or English? Are Chinese transliterations true representations of their names? How to use the 60 to 100 English terms embedded or appended in the Chinese textbooks? Can students in China reach the same grade level in English as a native English speaker? How far apart is a Chinese student of English from a native English speaker in terms of English? This article compared the embedded English terms in Chinese textbooks with those from English mathematics textbooks and tried to provide some resources to meet the abovementioned challenges. Some suggestions are provided to help Chinese students of English to come close to native English speakers. 关键词 : 英文，英语，数学，术语，汉化。 Keywords : written English, spoken English, mathematics, special terms, sinologise. 引言 Introduction 由于帮助当地的孔子学院收集以中文出版的教材，有机会收集到了几套中文版的《数学》教材，主要的是青岛出版社的两套小学一到五年级用的《数学》，每套分别有十本五个学年，每一学年分上下两册。这两套中有一套缺四年级下册，另一套是全的，十册都有。人民教育出版社《数学》教材的一共有四套，初中《数学》 ( 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 , 2003, 2004, 2006) 应该是六本，缺三本，七年级上册，八年级下册，九年级上册。高中《数学》有三套，必修一套 ( 人民教育出版社课程教材研究所 中学数学教材实验研究组 , 2004, 2005f, 2005g, 2005h, 2006) 五本，选修两套，系列 1 ( 人民教育出版社课程教材研究所 中学数学教材实验研究组 , 2005d, 2005e) 两本及系列 2 ( 人民教育出版社课程教材研究所 中学数学教材实验研究组 , 2005a, 2005b, 2005c) 三本。按照《普通高中数学课程标准》的规定 ( 中华人民共和国教育部 , 2003c) ，完整的高中《数学》教材还应该包括选修系列 3 及系列 4 。 尽管不同的文化同语言是不能用一种作为标准来评估另一种的，不过相互借鉴一下也会彼此促进，共同取得些进步。当然，这样也需要简评的人士同阅读的人士都有一种开放的心态，并且能共享某些什么是比较好的教材的共同标准，包括什么才是学好语言的共同标准，这样才能达到共识。我们先来看一下人民教育出版社的四套《数学》教材，包括初中，高中必修，高中选修系列 1 ，以及高中选修系列 2 。本文将自初中及高中数学课本中选出两本作主要样本进行分析，对全套课本中英文的使用待有时间将陆续分析。 带少部分英文的《数学》课本 人民教育出版社的《数学》同该出版社 50 年来的其它教材一样，有其自身的悠久历史，当然也为了适应“当今社会，是否熟练掌握英语，已成为衡量一个人的知识结构甚至综合素质的一个重要方面”这种新的形势和需要 ( 中华人民共和国教育部 , 2002, 2003a, 2003b; 2004a ，说明部分 ; 2004b) ，在每一册《数学》都作为附录，加上了《部分中英文词汇索引》或者《部分中英文词汇对照表》，另外，在正文中也增加了不少的英文词汇，我们先从正文中看看某些英文的使用及如何将这些英文变成四会的一部分，以便将来学生能够做到“熟练掌握英语”。 这里我们先来考虑一下什么叫做“熟练掌握英语”？这一概念引自《全日制普通高级中学教科书数学 =Mathematics （英语版）》的说明： 当今社会，是否熟练掌握英语，已成为衡量一个人的知识结构甚至综合素质的一个重要方面。在这样的形势下，多角度、多渠道提高人们的英语水平，特别是提高基础教育阶段在校高中学生的英语水平，已经成为社会的迫切需要。 ( 中华人民共和国教育部 , 2002) 但是对于什么叫做“熟练掌握英语”，该说明并未定义。在不同的语言环境中应该有些区别。就本文而言，尽量追求比较高的标准，即本文所认可的“熟练掌握英语”指在同等的年龄段，尽量争取接近本族语使用者的四会水平才可以叫做“熟练掌握英语”，即一名高中毕业生要尽量接近英国，美国等主要英语国家高中毕业生的英语水平才可以叫做“熟练掌握英语”。而且不是简单的所谓‘日常用语’，而是直接用英语学习化学，数学，物理，地理，历史，文学，心理学，哲学等等所有初、高中课程，以便进一步轻松进入任何一所用英语英文授课的高等学府。 接触字母文字的思考 汉语为母语的学生接触字母语言时最大的障碍是对字母文字不够敏感，以至于读到英文想中文，听到英语想汉语，这种‘学外成母’或者‘学英成中’的方法不但没有复习巩固英文，反倒复习巩固了中文。最好的方法应该是读到英文时想英文，听到英语时想英语，而在读到中文时则想中文，听到汉语时则想汉语，两者分开才不会出错。在接触学习使用方块字的全部过程中，对字母的接触主要是汉语拼音，而汉语拼音虽然使用了拉丁字母，到底是人为的标音符号，对于汉语为母语的学生来说，是不把汉语拼音当作单独一门语言的。从接触字母语言开始，便不能将字母语言当作是对应于某些汉字的拉丁字母的组合，而应该当作是完全由字母组成的一种同中文根本不同的文字。在学习字母语言时，就应该使用符合字母语言本身的规律的方法来学习，而在多数情况下，都不能用符合方块字本身的规律的方法来学习字母语言，不能用一种汉化了的方法来学习，不然最后的结果就是将英文全部‘化’成了中文，忘掉了英文。对于任何字母文字的组合，都是汉语为母语的学生的生词，或者说根本就不认识，是‘无知’的关系。因此，更要依据字母文字本身的规律，学会尽可能多的字母语言文字，才有希望做到“熟练掌握英语”。 我们举几个例子来看看符合字母语言的方法是如何应用的。在举例子的过程中，本文不得不使用某些汉字来表示读音，在此提请读者注意。 翻开《数学》（七年级下册） ( 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 , 2003) ，我们找到人民教育出版社的网址： http://www.pep.com.cn ，一般说来，学习过计算机的同时也学过英文的，才可能知道 http=Hypertext Transfer Protocol ，有些人知道 www=World Wide Web ，有些人会猜出来 pep= 人民教育出版社的英文，但是只有学过英文的，才可能想到 pep=People’s Education Press ，而 com=commercial ， cn=China 有些人也了解。我们简单看看，就是这样一个网址，其所包含的英文信息量并不小，而对于立志达到“熟练掌握英语”的学生，则必须全都学会。如果做不到接近英语本族语使用者的水平，至少应该做到同汉语同样熟悉的程度，才能叫做“熟练掌握”。 在同一页上，我们看到另一个例子， ISBN 7-107-17733-8 ，而这 ISBN=International Standard Book Number ，也是英文，英文信息量也不小，要订书购书，最好用 ISBN ，因为没有重复的，可以避免订错书。 仅仅用这两个例子，我们可以学习到，英文当中的缩写是一个包含信息量很大的范畴，要“熟练掌握英语”不是简单的知道某个缩写等同于哪几个汉字，而是要“熟练掌握”某个缩写等同于哪几个英文字，能够将缩写拼写成完整的英文，也能将完整的英文拼写自然变成对应的缩写，同时还要做到读、听、写、说四会，才可以叫做“熟练”。而做到“熟练掌握英语”，则还需要更多的知识，不是几个缩写，几个单词，几个短语就可以达到的。比如用英语 问： Do you happen to know the URL of People’s Education Press? Is it pep.com.cn or pep.com? 答： .com.cn. 这里就有了新的知识， URL=Uniform Resource Locator ，这也是既要了解英语又要了解计算机才可能知道的。同时，这里还隐含了 www 可以略去不用的知识。又比如用英语 问： I need to order a few textbooks by People’s Education Press. Do you happen to know their ISBN number? 答： I can find it for you. It begins with 7-107. 这里也有了新的知识，即 -=hyphen ，尽管很多英美的母语使用者读成 dash 。如果没有更多的知识，是没有办法了解到在前面短短的四位 ISBN 中， 7 表示 Chinese ，而 107 则代表 People’s Education Press 。 有人可能会说：“这我当然知道啦。 7 代表中文，而 107 则代表人教社。”请重新考虑一下，本文谈的是‘从英文学习的角度’，而‘中文’同‘人教社’都不是英文！就更谈不到“熟练掌握英语”了。 再举个什么叫做“熟练掌握英语”的例子， People’s Education Press 必须是 People’s Education Press ，而不能是 Peoples’ Education Press ，不能是 People’s Educational Press ，也不能是 Peoples Educational Press ，还不能是 People Education Press ，这些都是错的，失之毫厘，谬以千里。 下面我们来进一步分析一下几个《数学》中的英文例子。 《数学》课本中的英文 ‘相交直线’的后面用括弧给出了 intersection lines ( 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 , 2003, p. 4) ，这种中文术语后面加上英文的方法我们曾经称之为 EwC 法，就是 English-within-Chinese 法 (Feng 冯睿 Xu 徐弘 , 2007) 。本文作者之一在 70 年代使用这种方法时曾得益于一本早期翻译成中文的讲微积分的书 (Granville, Smith, Longley, 1948) ，这本书在中文讲解到新的术语时便在括号中给出了英文，笔者记得的有‘拐点 (turning point) ’，及‘变元 (argument) ’，这些都是微积分里面的概念。作为老学生，我们非常乐于看到这种极为有效的方法能够经由人民教育出版社使用在其出版的课本中，更希望看到这种方法能够用在所有的主要行文为中文的课本中，这样可以达到‘无意’学会英文的境界。 然而，由于这些英文的术语都出现在孤立的中文语境中，而不是在其本来应该出现的英文语境中，由此产生的问题主要有两个，一个是对于绝大多数中国学生来说即使读到英文也无法知道其对错与否，因为熟悉中文的学生原本不熟悉任何字母语言，无法参照，即使见到英文也没有判断正误的能力；另一个是无法知道这些英文术语在英文中如何使用，因为只知道英文的所谓中文对应词却没有在英文的语境中学习到应该怎样使用这些英文术语，等于毫无用处。 我们先来看看初中《数学》中部分英文的对错问题及使用问题，当然，本文只谈英文的对错及使用，不涉及中文。 先来看看《数学》（七年级下册） ( 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 , 2003) 中的某些英文。 相交直线 (intersection lines) 的英文 (p. 4) 有误，应该是 intersecting lines ，根据是一本新出的英文数学课本 (Garneau, et al., 2007, p. 378) ，英文定义是 lines that meet or cross; lines that have one point in common. 这个字的本意是 inter+section=between+cut=cut+between ，中文直译是‘割线’。 邻补角 (adjacent angles on a straight line) (p. 5) ，在英文课本中我们还没有看到过这种概念，可能出自汉化的自创。邻角 =adjacent angle ，而补角 =supplementary angle 。 对顶角 (vertical angles) (p. 5) 一般应该是 vertically opposite angles ，直译成中文应该是‘顶对角’，一般有两个，因此常用复数。而 vertical angle 除了中文直译的‘顶角’外，还有另一个含义，即比较垂直的角，因为 vertical 的一个意思就是 perpendicular ，容易理解错兼使用错。在加拿大的数学竞赛题中，如 Pascal ， Gauss ，或 Cayley 等等数学竞赛，常见的是 opposite angle ，中文直译是某某角的‘对角’，因此用单数。 互相垂直 (perpendicular) (p. 6) 中的英文只有‘垂直’而没有‘互相’，最好给出‘互相垂直’ (perpendicular to each other) 的完整英文，这样学生可以学到 perpendicular 后面接 to 的用法。还可能用 mutually perpendicular 。还有一个在英文当中不太正规的用法，偶尔也会见到，即 perpendicular to one another 。 垂线 (perpendicular line) (p. 6) 一般不必用 line ，因为英文当中的词类或词性多可以互换。在用法上可以用 the perpendicular on 后面接直线的代号，如 line B 。如果能进一步讲解 pendi-=hang ，则在学习物理学时学到 pendulum 更容易用英语将来理解。 互相平行 (parallel) (p. 13) 的英文也只有‘平行’而没有‘互相’，最好给出‘互相平行’ (parallel to each other) 的完整英文。翻译成中文的时候有种翻译技巧叫做 addition (Zhong 钟述孔 , 1980, 1983) ，但是反译回去成英文时最好给出完整概念，有助于学会‘如何熟练使用’英文。 同位角 corresponding angle (p. 15) ，内错角 alternate angle ，同旁内角 interior angle (p. 16) 都没有给出英文，不知何故。还有同旁外角 exterior angle ，有些英文的数学课本中是给出的，尽管很少用。还有一个外错角 alternate exterior angle ，中文直译是‘错外角’，更少见。 《几何画板》 (p. 28) 也应该给出英文， the Geometer’s Sketchpad ，另外，也不应该翻译成‘几何’。 Geometer 这个字指的是人，不是物，也不是学问，而且这个称号曾经是个非常荣耀的称呼，就是说即使在古希腊时代，能够称得起是 geometer 的人物也不多。其软件的编写者之所以用这个字是因为其中包含着很多的尊敬，对人的尊敬，而不是对几何的尊敬。最著名的 Geometer 当然是 Euclid 了，他还有个称号，叫做 the father of geometry 。这个术语最好不要翻译成中文，本来是要学英文的，又翻译成了中文，又学回去了，学反了，将英文学光了。另外，‘几何画板’四个字，没有什么更深的概念，很多学生也不知道‘几何’是外来语，而 geometer’s sketchpad 却包括 geo-, meter, ’s, sketch, pad 至少五个成分，还有常见的 sketchbook 及联想的 mouse pad ，这样才更容易‘熟练掌握英语’。 平移变换 (translation) (p. 31) 尽管给出了英文，对于某些学过英文的学生来说，看到 translation 则不会想到数学，而容易想到中文的‘翻译’。如果能够给出该字的来源及本义，即 trans+late=over carry=carry over ，则有可能为某些同学提供点如何记住英文单词的符合英文规律的方法，也更容易深刻点地用英语来理解这个字。另外， translation 也并非‘平移’，而是相对于 rotation 的一种 carry over ，这一点也应该澄清。 几何学 (geometry) (p. 35) 如果能给出英文的解释，即 geo+metry=earth/land+to measure 则更容易帮助学员“熟练掌握英语”。如果给出 geo+metry= 土地 + 测量，则不但没有复习英文的 earth, land, to measure ，反倒复习巩固了中文的‘土地’及‘测量’，更“熟练掌握了汉语”，又学回去了，学反了。另外， -metry 同前面的 meter 同源。 欧几里得 (Euclid) (p. 35) 这类外文姓名的中文音译是最容易造成外语发音不准确的主要原因之一。这位 Euclid 的英语发音根本就不像中文的‘欧几里得’，更像‘尤克里得’。同近期的某些数学家的姓名不同，比如 Cantor 还有些人按照德语来发音，而 Euclid 几乎没有什么人还按照古希腊语来发音了。而其作品《原本》也不妨给出英文， the Elements . 一般提到这套书，英文当中是要加上 the 的。 有序数对 (ordered pair) (p. 45) ，在学习英文中，中国学生不得不注重很多字母语言独特的语言现象并且要牢记，才能“熟练掌握英语”。因此这个术语最好给出 an ordered pair ，对于提醒读者注意 an 的使用，更有帮助。 平面直角坐标系 (rectangular coordinate system) (p. 47) ，这里面的英文没有‘平面’这一概念，并且，在英文课本中，常见的是 Cartesian coordinate system ，即不用 rectangular 也不用 right-angled ，也没有‘平面’，直译成中文应该是‘笛卡尔坐标系’。在较旧的课本中还可以见到，比如七十年代的 Foundations of Advanced Mathematics (Kline, Oesterle, Willson, 1975, p. 60) ，同时给出了 rectangular or Cartesian coordinate system ，而在该书后面的第 16 章，又用了 rectangular coordinate system (Kline, et al., 1975, p. 200) ，可以看出当时还是一种过渡状态。更早些的六十年代的资料还可以看到 the system of right-angled coordinates (Duden, 1960) ，但是也没有‘平面’。晚些的课本，则较常用 Cartesian coordinate system 了。同一页上的‘原点’也是应该给出英文 origin 的。在此我们可以看看早期英文数学课本的行文： In mathematics we frequently find it necessary to describe the position of a point in a plane. This can be done by the use of a rectangular or Cartesian coordinate system . To use such a system, we draw two mutually perpendicular lines, one of which is horizontal. These lines, called coordinate axes , intersect at a point O called the origin . It is now possible to describe the position of a point P with respect to these axes. Thus, we may state that the point P lies 3 units to the left of the vertical axis (called the y axis ) and 2 units above the horizontal axis (called the x axis ). (Kline, et al., 1975, p. 60) 这是高中水平的英文， Flesch-Kincaid Grade Level 8.9 ，约九年级水平。能够不翻译成中文而熟练读懂并用英文直接理解才可以叫做“熟练掌握英语”。这里面重点的概念均用斜体 (italics) 印刷，但对于不习惯阅读字母文字的中文读者，斜体印刷并不见得醒目。 法国数学家 Descartes 被翻译成‘笛卡尔’实在是远远不符合原文发音，原文发音接近‘得(斯)卡特’。当年将其翻译成‘笛卡尔’的人士应该是知道法语的很多辅音字母在词尾不发音，但是走的有点过头，将发音的 t 也顺便去掉了。 象限 (quadrant) (p. 48) 的英文如果能给出来源更能帮助用英语来理解记忆， quadrant=a fourth part ，而中文的‘象限’应该同‘两仪生四象’有关了。第四象限英文的意思是 the fourth fourth part 或者 the fourth quarter-circle ，前一个表达方式只能用英文理解，就是 the 4 th 1/4 part ，其中 fourth 用了两个不同含义，后一个表达方式中的 quarter 就是 fourth 也就是 1/4 。 三角形 (triangle) (p. 70) 的英文也是给出来源更能帮助用英语来理解记忆， triangle=tri+angle=three+corner 。 高 (altitude) (p. 70) 的来源也很有意思， altitude=altus=high ，奥运会的口号中就有 Altius ，中文翻译成‘更高’。‘男高音’就是 male alto 。 中线 (median) (p. 71) 的 median 词源的意思是 middle ，是 triangle 的 vertex 到对面的 side 的 midpoint 的连线。 Median, middle, mid- ，意思上的相关应该更容易帮助用英语来理解。 角平分线 (bisector of angle) (p. 71) 有误，应该是 bisector of an angle ，如果是排版错误就证实了本文前面提到的不要用 ordered pair 而要用 an ordered pair 的重要性。但是更常用的是 angle bisector 。 学过了 triangle 中的 tri- 及 angle ，学过了 bisector 中的 bi- 及 sector ，也学过了 intersection 中的 section ，但是同学们大概仍然没有办法用英文创造出 Trisection of the Angle ，这便是古代数学中的三大名题之一。 三角形的内角 (p. 78) 同三角形的外角 (p. 80) 应该给出英文，因为学生用中文是没有办法思维出英文的，内角 interior angle ，外角 exterior angle 。 多边形 (polygon) (p. 84) 的英文很值得深究一下， poly+gon=many+angle ，就是说英文不是‘多边’，而是‘多角’。在中文里三个以下的看‘角’，三个以上的却看‘边’了，为什么又不看‘角’了呢？而英文的看到 4 个边的还是叫 quadrilateral=quadri+lateral=four+side ，还是 four sides ，又不看 angle 了。这些都可以引发一定的文化思考。另外，本页上及下页上的五边形，六边形，八边形等也应该给出英文，因为这些都是英文的专业词汇， pentagon, hexagon, octagon ，等等不像中文的造字那样容易，数字加‘边形’就成了，英文则是数字前缀加 -gon 。对角线 (diagonal) 的英文词源的意思也很有助于用英语来理解， diagonal=dia+gonal=across+angle 。中文的‘ n 边形’用英文怎么说，真的是 n -gon ，所以应该讲解 -gon 的含义。‘凸多边形’ (p. 85) 怎么说？是 convex polygon ，有没有‘凹多边形’，也有，是 concave polygon 。另外几个多边形 ( ‘多角形’ ) 的英文也最好给出来，比如： heptagon (7), nonagon (9), decagon (10), undecagon (11), dodecagon (12) 。 正多边形 (regular polygon) (p. 86) 有了，不正怎么办，是 irregular polygon 。既是 regular 又是 convex 的 polygon 怎么办，是 convex regular polygon ，中文则不能叫‘凸正多边形’，一般叫‘正凸多边形’。还要重复一遍，用中文是思维不出来英文的，读中文也读不出来英文，必须认真从英文学习得来。 二元一次方程 (linear equation of two unknowns) (p. 100) 及二元一次方程组 (system of linear equations of two unknowns) (p. 101) 中用了 of two unknowns ，至少我们在数学教学实践中没有见过，比较常见的是 in two unknowns ，而更为常见的是 in two variables 。 代入消元法或者代入法 (substitution method) (p. 105) 就是 subsitution ，有时候也叫 a method of substitution ，后者的词源含义是 sub+stitution=under+set up=place under 。后面还有一个加减消元法或加减法 (addition-substraction method) (p. 108) 。我们在教学实践中主要有三种方法，一种是使用 graphing calculator 来完成的，所以叫 graphing ，另外两种就是 subsitution 及 elimination 了，而后者对于学了 matrix 的学生来说，还可能叫做 Gauss-Jordan elimination method (Berlinghoff, Gulati, Grant, 1980, p. 95) 。在早期的课本中，还用 the addition-subtraction method 以及 the substitution method (Kline, et al., 1975, p. 434) 。 一元一次不等式 (linear inequality of one unknown) (p. 128) ，前文谈方程时说过， of one unknown 或 of two unknowns 我们几乎没在英文的数学课本中见过，较常用的是 in one unknown 或者 in two unknowns ，更常见的是 in one variable 或者 in two variables 。所以‘一元一次不等式’应该用 linear inequality in one variable (Knill, et al., 1999, p. 60) ，而一元一次不等式组 (linear inequalities of one unknown) (p. 143) 也应该是 linear inequalities in one variable 。一次不等式也曾有用 inequalities of the first degree (Kline, et al., 1975, p. 436) 来表示，但是比较陈旧了。 算数平方根 (arithmetic square root) (p. 160) 作为 positive root ，更常见的是 principal square root ，而 arithmetic square root 很少见了。 开平方 (extraction of square root) (p. 165) 随着计算器的使用作为英文短语已经很少出现了，况且也应该注意有个字母 a 的情况， extraction of a square root 。开立方 (extraction of cube root) (p. 169) 也是同样的情况，也应该注意有个字母 a 的情况， extraction of a cube root ，还有用 cubic 的。我们的教学实践中常见的是 estimate 及 approximation ，甚至用 evaluate ，这些同计算器的广泛使用有关。另外两个字在学校数学中几乎绝迹了，即乘方 involution 及开方 evolution 。 根指数 (radical exponent) (p. 170) 一般只用 exponent 就可以了，还可以用 index 。另外，根号 (radical 或 radical sign) 好像没有给出。 既然给出了无理数 (irrational number) (p. 174) 就应该给出有理数 (rational number) 。实数是 real number ，可是虚数可不是 unreal number ！必须单独学习， imaginary number 。 相反数 (p. 176) 也应给出， opposite number 。绝对值 (p. 176) ， absolute value 。 以上仅仅是从一册数学书中看到的某些英文术语的使用及对“熟练掌握英语”可能产生的比较负面的影响。下面我们来看看另一册数学书，高中的课本。 高中课本中的部分英文 翻开高中《数学》第一册，第一个提到的外文名字是 Cantor ( 人民教育出版社课程教材研究所 中学数学教材实验研究组 , 2006, p. 3) ，给出了中文翻译‘康托尔’，及名字缩写， G. F. L. P. ，同生卒年， 1845-1918 。在实际英文的使用中，一般不常用 G. F. L. P. Cantor ，而是用 Georg Cantor ，其形容词形式是 Cantorian ，比如 Cantorian neologism ，或 Cantorian Set Theory 。学习英文，特别是这种比较专门的英文词汇，目的之一应该是进行国际间的交流，比如同国际上的其他数学家口头讨论这位已故数学家，可以用 Georg Cantor ，也可以用 Cantor ，但是一般不用四个首字母加上姓，即 G. F. L. P. Cantor ，就是在书面文字中也很少看到。另外，这位数学家的名字一则要按照德语发音，因此其名字不是‘乔治’，而应该读如‘哥’的音，有些像‘哥奥尔格’。如果按照英文来发音，则其姓则是‘坎特’，而不是‘康托尔’。 练习中给出了 mathematics 及其中文翻译 ( 人民教育出版社课程教材研究所 中学数学教材实验研究组 , 2006, p. 8) 。如果是为了‘熟练掌握英语’，必须考虑到对于绝大多数母语为汉语的学生来说，每一个英文词的不同变形都可能是生词，因此不能简单将英文的单词看作一个独立的类似单个汉字的单位，而必须联想到一个英文词的不同变形，至少应该提醒学生注意整个一组词，至少包括 math, mathematical, mathematically, mathematician, mathematics, maths 等。如果学生还有准备将来读专业杂志的志向，还可能遇到 mathematise, mathematize, mathematised, mathematized, mathematisation, mathematization, mathematising, mathematizing 。这些都是同一个词根的不同变形，初学时期尽管不必完全了解，但是要考虑到将英语用一种类似学习汉字的方式来学习的话，是很难学好英文的，亦即做到“熟练掌握英语”的。如果探讨的稍微深一点，还可以学到这个词来源于希腊语 máthéma ，意思是 science, knowledge ，这样就了解了这个字的本义，而不是简简单单的仅仅同‘数学’有关的某些含义，即不能完全同中文的一个或几个概念对等起来看的这种不够全面的思考方法。知道了这个字的本义，才有可能认识到该字在英文中还同时有中文的‘科学化’同‘知识化’的含意，这是不得已而为之，最好直接用英文 science 及 knowledge 来理解。 该书中使用了大量的单位缩写及符号，比如， min, km, h, mile, m, s, /, 这些单位及符号的使用对于不经常熟练使用（即四会）英语的学生来说会有不少问题，因为在很多情况下，每个符号都可能有不止一种的英语发音及拼写，比如， min/minute/minutes, km/kilometre/kilometres ( 这个字甚至有两种不同重音 ), hour/hours, mile/miles, metre/metres, second/seconds, / 这个符号一般要读 per ，而且，一般用 mph 表示 miles per hour ，很少用 mile/h 。就是说在发音上，有按照单个字母的发音，有缩写的发音，有单数的发音，有多数的发音，这些都是‘熟练掌握英语’所必须注意的地方。学习英语，应该尽量使用英美所常用的同时在有关专业文献中被广泛接受的方式，并且，由于汉语中几乎没有单数多数的区别，在英语中一定要注意单数多数的使用，发音同拼写等等。 在介绍函数概念的《阅读与欣赏》中，法国人 R. Descartes 应该是 René Descartes ，一般在英语中说 René Descartes 或者只用姓 Descartes ，没有多少人用 R. Descartes ，并且要按照法语发音，只有最后一个 s 不发音。英国人 I. Newton 也应该改称 Isaac Newton 或者 Newton ，尊敬一点应该改称 Sir Isaac Newton ，因为他有爵士头衔，像英国二战时期的首相一样，尊敬的称呼是 Sir Winston Churchill ，或者 20 世界最伟大的哲学家之一， Sir Bertrand Russell 等，最好加上 Sir 。其他几位一般口语讨论中只用姓，即 Leibniz, 按照德语发音，即 ei 发‘爱’音，而 b 不发 b ，却发 p 音 。 Euler 最好也按德语发音， eu 读如 oy ，其次才是英文发音， eu 读如 you 。 Dirichlet ，这位是德国数学家，却是法语的姓，其中 ch 发 k 的音，而结尾的 t 不发音。在介绍这几位时，也不能漏掉名字的首字母，比如在 131 页， Euler 的首字母 L 就被漏掉了，常见的是 Leonhard Euler ，并且要注意这个名字至少有三种不同发音，用在 Euler 前面时读如‘雷奥纳德’，如果是德国人，则要读成‘雷昂哈特’了。 既然在此我们考虑到了学生会有机会同不懂汉语的人士交流，那么有些现成的人名字的汉语音译就要重新考虑了，问题存在于某些汉语翻译的中文字并不能对外文人名字的发音有所帮助，对拼写更是没有任何帮助。大多数母语为汉语的外语学员对于掌握某些字母语言文字的发音同拼写不得不获得更细的帮助。比如 Cantor ，如果按照德语发音，翻译成‘康托尔’勉强是可以的，如果按照英语发音，则有问题了，英语的读音则变成了‘坎特’而没有‘康托尔’的音。著名的 Newton 也不像‘牛顿’而更应该像‘牛屯’。德国人 Leibniz 也应该是‘莱普尼茨’，而不应该是‘莱布尼茨’。 Euler 的发音有点像‘奥伊乐’，就是按照英语的发音也有点像‘幽乐’，欢乐的乐，汉语翻译的‘欧拉’非常不像原文的发音，对于学习原文的发音是没有任何帮助的。如果英语学生想要说出英文来，同时又决心让不懂汉语的人士听得懂的话，就不得不使用懂英文的人士听得懂的发音。比如著名的 IELTS 考试，一定要发成‘爱 L 茨’才有可能让不懂汉语但懂英文的人士听得懂，发成‘雅思’是没有多少不懂汉语的人士听得懂的，把很多人的发音‘哑死’到很有可能。还有一个著名的 TOEFL 考试，要说成‘偷 FL ’才有可能让不懂汉语的人士听得懂，发成‘托福’如果使用在不正确的英语语境中容易让不懂汉语的人士听成英语的作菜吃的‘豆腐’的。 书末附录的《部分中英文词汇对照表》中所包含的词汇也远远不足，而且也有些问题，仅仅就高中第一册初步看来， the empty set 应该叫 empty set ，也可以叫 null set ，但是一般不用加 the ，用在句子中才有可能加，在词汇对照表中不必加。‘全集’除了 universe 外还可以叫做 universal set ，而后者在我们使用过的英文原版数学教材中更常见些。所谓 n 次方根中的 n 也应该用斜体，用 n th root ，最好不要用 nth root 。另外，就是尽管给出了大约 60 个术语词汇，对于绝大多数学生来说，还是没有把握保证能够做到读、听、说、写四会地“熟练掌握英语”。在 2006 年，有位 East Tennessee State University 的硕士毕业生 (Owens, 2006) 写了一篇硕士论文，题目是 The Language of Mathematics: Mathematical Terminology Simplified for Classroom Use ，对照美国 Virginia 州的数学标准提出的术语，对幼儿园至 8 年级的实际使用的术语进行了比较，总结了所使用的数学术语及其定义，在互联网上可以找到用来作参考，特别对于想要达到“熟练掌握英语”的四会的学生来说，在没有《部分中英文词汇对照表》中的英文术语具体使用的实例的情况下，该硕士论文更是难得的有益。比如其中对 empty set 的解释 The empty set, , is the set that has no members. 即给出了 empty set 的英文定义，又给出了代表符号，还同时学会了另一个重要的术语， member ，也叫 element 。同 set 有关的其他术语还包括 intersection of sets ，这里面又出现了 intersection ，还有 union of sets 等等，这样至少在其中可以学会某些段落、句子、乃至短语在数学英文中的实际用法。 与主要英语国家的同级学生的英文水平接近 根据有些人士的研究， 美国的高中生在其毕业时，平均通读过 32000 页的英文材料 (Chall, Conard, Harris-Sharples, 1991) ，如果按 13 个学年每学年 180 个学习日计算，每天平均要读 14 页英文，不但要用英文理解，而且绝不会翻译成中文。美国的儿童自 2 岁到 17 岁，每天学习 15 个 new words (Hirsch, 2006, p. 59) ，高中毕业，总的词汇量接近 10 万，包括主动及被动词汇，其比例一般是 1:2 。另外还要在 13 年间平均通过或经历过 36 场标准考试 (Cookson Halberstam, 1998) ，而且都是英文的。中国学生要想达到这样的水平也不是不可能的。使用这种‘文中英文’ (English-within-Chinese, EwC) 便是在中文的大环境中学习英文术语的最好的方法。但是目前这种经过 EwC 处理的中文印刷的课本还不是很普及，而且总的英文术语量还远远不够。笔者手边的一本新出版的七年级的数学课本 (Small, et al., 2009, pp. 494-500) 在书后的 glossary 中列出了 75 个 mathematical words ，而且是英 - 法对照单用英文解释的。另一本七年级的数学课本 (Garneau, et al., 2007, pp. 376-381) 在书后的 illustrated glossary 中列出了 188 个词条，部分附有插图。我们希望看到的是初、高中所有的课本都能够经过 EwC 处理，但是尽管如此，总的词汇量仍然是很少的。如果能够真正掌握 EwC 处理中文课本中所有的英文术语还有希望接近英语为本族语学生的英文术语水平，但是如何使用这些英文术语则要另下一番功夫。 估计一下，在中国学生高中毕业时的总的英文术语量接近 4 万，如果学生能记住的话。同时，如果中国的初、高中学生也能够每天读 14 页甚至最好是 28 页英文的话，而且是不翻译成中文地阅读，牢牢记住英文地阅读，对于拼音文字不需要书写地阅读，涵盖初、高中所有科目地阅读，那么将来不论是去剑桥 Cambridge, 牛津 Oxford, 哈佛 Harvard, 还是耶鲁 Yale ，至少在英文专业术语的使用上达到“熟练掌握英语”应该没有任何问题了。不过，去这四所院校，将这些英文专业术语再翻译成中文是没有什么帮助的，一般也是没有什么用处的。 最后，在目前计算机及网络如此发达的现在，充分利用网上英文资源可以很好地学习有关的英文术语及其使用，笔者将逐步从英文学习的角度介绍某些网上英文资源以及如何选择、使用这些资源。 结论 Conclusion 在初、高中的所有课本中如果都像人民教育出版社这样加入英文术语，而中国的高中毕业生能够牢牢记住英文的话，则其英文术语水平，仅仅是术语水平，可以同英国美国的高中毕业生相比美。这是通过中文学习英文术语的最好方法。目前的问题是，一则术语的量太小，同英文原文同等级别的课本比起来要少得多；二则是没有给中国学生提供英文的语境，使得中国学生仅仅知道术语却不一定会用；三则是在这种新的尝试中还有很多错误同不足，如本文指出的一部分。如果能够辅佐以一定量的课外读物，不是小说故事类，而是直接从英文原文课本上选出来的读物，或者借用网上的英文资源，一定会对中国的广大学生帮助不小。就是单单术语一项，估计至少有 4 万条目，笔者正在进行加拿大及美国中、小学课本语料库的建设，建成后可以对具体的术语数目有更准确的数据。真正掌握了专业术语对于中国培养走向世界的人才能够提供更为良好的开端。 参考书目 References Berlinghoff, W. 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作者：蒋迅 HMH Fuse's Homework Help feature provides step-by-step support via hints and examples. Source: The Centre Daily Times 据美国 国会山新闻 报导，加州教育局和出版课本的出版商 Houghton Mifflin 公司联手试点用iPad替代传统的数学课本。今年，他们将在 Long Beach、Riverside、Fresno 和 San Francisco 四个学区随即选择400名八年级学生，给他们发放已经安装了电子版的代数教科书的iPad，而不是传统的代数教科书。在美国，中小学的教科书都是由政府免费提供的。学校将跟踪这些学生的进步并与其他学生进行比较。除了电子版的教科书以外，这些iPad上还有400个教学视屏，作业辅导的动画模拟。学生们还可以用iPad记笔记和完成作业。 Houghton Mifflin 公司是第一家进行这种试验的出版商。他们希望在明年 (2011) 一月份可以看到试验的结果。
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