我们学者在《科学网》上，忙着破解“爱因斯坦给斯威泽回信”的真实含义时，这几天西方媒体和网民，正为新加坡的一道中学生奥数题吵翻了天。 这道题是 2015 年新加坡和亚洲学校奥数比赛（ SASMO ） 25 道题中的第 24 （见下面网上原文复印）。 4 月 8 日在新加坡，有几千个亚洲中学生参加这个竞赛。 10 日贴上网后，被英国《卫报》、《独立报》等主流媒体转载【 1 】，引起西方网民一片惊叹。其时正值中国九九表教法在英国试行，大家趁兴考问首相戴维·卡梅伦和教育部长等官员“ 9 乘以 8 等于几”的热潮。于是民众先批英国数学教育弱爆了小孩，接着自己试答以期教战，结果几千跟帖答案五花八门。星加坡出题机构不胜其烦， 13 日在网上贴出标准答案，说这只是为十四五岁小孩出的题，别太较劲了。网民看了解答后，发现自己居然也看不懂，于是从 BBC ， ABC ， CNN ，纽约时报等，都有更贴心的解答文章，每日更新地出笼【 2 】【 3 】【 4 】。在海外中文网站，这回出奇地不骂体制问题了，除了开始时大妈认为儿子五年级题比这还难外，这两天大家都在吵这女孩生日该是 7 月 16 日，还是 8 月 17 日？这可不像中国人只认标准答案的节奏。 在科学网都是做研究的人，讲究的也是逻辑。那大家也来走一遍，看看你是怎么理解的。 英语 大家 都是精通的，怕眼神不好和便于引用，我把这影印件的话标上号用中文说一遍。 （1）Albert和Bernard要泡Cheryl，想知道她的生日，女孩当他们俩的面给了10个可能的日子：5/15，5/16，5/19，6/17，6/18，7/14，7/16，8/14，8/15，8/17. （2）Cheryl事后分别告诉Albert她生日的月份，告诉Bernard是某月的哪个日子。 （3）Albert说：我不知道Cheryl的生日，但我确信Bernard也不知道。 （4）Bernard说：我本来不知道，但你这一说，我就知道了她的生日。 （5）Albert接着说：经你这么一说，我也知道了。 （6）看官，大家都不傻，个个都诚实，说话都要有根据讲逻辑的，你也知道她生日了吗？ 自信脑瓜灵的人，先不往下看，自个儿想想，别让这中学生的奥数题绊着了。 西方人重的是规矩和演绎，中国人善于猜测和计算，所以在他们发愣时，就蒙出结果对咱们都不算个事，关键是这推理的根据要充分。 认为是 6/17 的人，t oo simple, too nave ，这连（ 3 ）里的前半句都没想过。不说这了，看看争吵的热门。很多人认为是 8/17 ，他们的理由是这样的。 用排除法。先看Albert的第一句话（3）。女孩的生日不可能是18或19，因为它们在表中是单的，如果她告诉Bernard的是这日子，Bernard不可能不知道结果，这样子后半句话就不对了。进一步可以推出不可能是6月份，因为6/18不可能，只剩下6/17，如果Albert听到是6月，就能确定，这与他前半句矛盾。 好了，表中还剩下7个。看Bernard的话（4）。他 手里有日子，我们只能信他说的，来猜他知道的。他 的前半句印证了确实不是18或19，后半句他凭什么说知道了？因为他听到Albert的话（3），走相同的逻辑，6月份被排除了。剩下7个日子里，Bernald说他知道了。这里只有8/17是单的，如果Bernard听到是14，15，16，他都不能确定。这样我们知道那只有是8/17了。 最后Albert也不傻，他也走过上面的逻辑。所以他也知道了。 这回答被打叉，标准答案是 7/16。 出题人专门在脸书上贴文解释为什么 8/17 错和只能是 7/16 的理由【 5 】。 在上述推理中Albert的第一句话（3）的后半句，凭什么Albert能肯定Bernard不知道女孩的生日？根据是若为18或19，Bernard就知道了生日了。但他没说不知道呀！Albert就没理由知道这事实，以此推理就没根据了。如果Albert被告知是5月或6月，他没有理由把18和19排除在外，也就不能说那话。只有自己知道的是7月或8月时，他才有这底气确信Bernal不知道，因为这两月中的日子，在10个日子表中，都不是单的，不知道生日是在这两月的秘密是无法进一步推定。 但Albert的第一句话（3）泄露了这个秘密，Bernal根据上面的推理，知道了生日是在7月或8月，在这两月里都有14日，Bernal说他知道（4），意味着他知道确切的生日，但我们和Albert只知道可能是15，16，17.Albert最后说也知道了（5），因为他知道是7月。我们来判断，也只有7月，他才没说假话。所以我们也知道了是7/16。 否定8/17的理由，关键之处在于Bernard起先不可能确定生日的这个事实，Albert没有理由事先知道。如果在（2）和（3）之间，先于Albert的第一句话，Bernal先表态不知道，那么8/17是唯一正确的答案。 出题人解释动机时说，在日常生活和工作中，我们经常在与人对话沟通中，获得新的信息来进一步推理，这类逻辑推理训练人们的分析能力，得到符合逻辑的结论。所以要从小孩教起。 在两年前，我写了几篇文章，科普“公共知识”理论【 6 】【 7 】【 8 】。指出从对方角度推理的根据是相互知识和公共知识，你知道，我知道，大家都知道的知识，不意味着我知道“你知道这个知识”，必须区分事实和各人拥有的知识才能避免在推理中的想当然。出题人分析了 8/17 的错误解答，实际上是解释 Bernal 起先的“不知道”，这个事实和自己拥有的知识，在 Bernal 没有公开说出之前， Albert 是不知道的，所以不能用在他的推理中。 熟悉“公共知识”概念的人，不难看出这题目的设计有两个漏洞。一是原文的第一段“ Cheryl gives them a list of 10 possible dates:… ”这女孩当他们俩面一起给了这十个日子，与分别私下给了他们是不一样的。前者可以作为公共知识，后者不知道对方拥有这个知识，不能作为对方依此知识来推理的依据，我的中译把这漏洞给补上了。第二个是，“ Cheryl then tells Albert and Bernard separately the month and theday of her birthday respectively. ”这是译文中的（ 2 ）。对这， Albert 知道 Cheryl 给了 Bernal 的日子，以及 Bernal 知道 Albert 得了月份的知识吗？题中没说，尽管这是事实，但是不能作为推理的依据。这是与出题者否定8/17相同的出自公共知识概念的理由，坚持这一点，这道题就没有严谨逻辑的答案。 作为考生，如果让这题目有意义做下去，我们可以假设，这两男或许知道些题目中没有说出来的信息，但到底知道些什么，我们必须用题中信息来分析。 设想两种都能符合题中约束的假设： Albert 知道Cheryl告诉Bernal日子，Bernal知道Cheryl告诉Albert月份。 按照这假设得到的是标准答案，7/16. Albert 除了1以外还知道Bernal起先不知道她的生日。 按照这假设得到的是8/17的答案。 这两种可能都是符合题中信息的答案，在博弈上称为可行解。是不是还有其他可行解，这要看大家的想象力。请读者补充。 如果你觉得晕，那是还没有受过在对话中严格推理的训练，经常会轻松地想当然。这是大家在对话中各说各话，误会别人对话含义，谈不到一块儿的原因。建议是要学一点公共知识的概念了。 【参考资料】 The Guardian ， Can yousolve the maths question for Singapore schoolkids that went viral? http://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2015/apr/13/can-you-solve-the-singapore-primary-maths-question-that-went-viral CBC News, When is Cheryl'sbirthday? Singapore math question for kids stumps internet http://www.cbc.ca/news/trending/when-is-cheryl-s-birthday-singapore-math-question-for-kids-stumps-internet-1.3032029 Daily Mail.com, 'When isCheryl's birthday?' The maths problem set for teenagers that has baffled theworld http://www.dailymail.co.uk/sciencetech/article-3037266/The-maths-problem-set-Singapore-teenagers-left-people-world-stumped.html#ixzz3XNTz8cw6 The New York Times, How toFigure Out Cheryl’s Birthday http://www.nytimes.com/2015/04/15/science/answer-to-the-singapore-math-problem-cheryl-birthday.html Facebook, Singapore and AsianSchool Math Olympiads https://www.facebook.com/4sasmo/posts/983812798320363 科学网博客，为什么要向人认错？（科普） http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-639066.html 科学网博客，“脏脸博弈”中的推理（ 1 ） http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-639305.html 科学网博客，沟通达到理解的逻辑过程—— Agreeing to disagree http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-641155.html
朋友看这题目笑起来，“老应，你刚刚写了篇 《沟通不一定都会理解—— Interactive Epistemology 说》 ，怎么又绕回来了，你到底想说什么？” 咳咳，这就是不理解了。我的文章不是在表达什么观点倾向，而是作为科普从两面来说明公共知识对理解的重要性。 Two people, 1 and 2, are said to have common knowledge of an event E if both know it, 1 knows that 2 knows it, 2 knows that 1 knows it, 1 Knows that 2 knows that 1 knows it, and so on. THEOREM: If two people have the same priors, and their posteriors for an Event A are common knowledge, then these posteriors are equal. 这是 1976 年 Robert Aumann 的《 Agreeing to disagree 》【 1 】的简介，简单一句话：如果前提、事件和结论都是公共知识，那结论必定是相同的。他让博弈研究开始重视公共知识的概念，自此有大量的文章对这个问题展开研究，取得很多的成果，现在成为认知科学公理化的基础，以致二十几年后还有人对这问题写综述【 2 】。 Aumann 的证明是用 Bayesian 式（即定量）的知识表达，后来的研究将之推广到有着相同结论的 non-Bayesian 式（即定性）的版本。 Aumann 论文中的沟通过程大致是这样的：假如有两个人对某件事具有公共知识的基础，但具有不同的个人经验，现在两人一起观察了一个事件，两人各自结合自己的经验得出这事件发生的概率。然后交换各自的结论。两人听到对方的结论后都回去反思，猜测对方的根据，把这猜测和自己经验结合起来得出新的结论，再次交换再次反思，最后双方调整自己，到彻底明白对方的意思，这结论就成了公共知识，最后结果也一致了。 这过程如果你认为很简单，每天都在做这样的交流。那你交流的结果十有八九是想当然的，运气好的时候是对的，有时根本谈不拢，错得很离谱时还不知道。 Aumann 用精确的数学证明描述了合格交流的过程，就像分析中用δ - ε概念才把实函数收敛说清楚。这两页多一点的论文具有很丰富的信息需要挖掘，引起了很多的讨论，现在被系统化精确化，被应用到机器人间及与人们间的交流。我也是读了多篇后续的论文后才理解。现在我将其中的思想用故事表达出来，具有悟性的读者不需要懂得数学和这个证明，细细地品味其中的道理，就可以触类旁通地明白日常生活中的很多事情。要去看论文也容易读懂。 还是用故事来详细地说明这个沟通中思想转变的过程吧。 老头和他老婆知道女儿有四个好朋友：李二、李三、杜四和大卫。李二、李三是北京人，杜四陕西人，大卫老美，李二和大卫身家不菲是大款。老头老太都没见过他们，只知道这些事以及未来女婿在这四人中。 朋友传言：这准女婿是个大款。两老在猜这话能有几成实在。老太有她的秘密，跟踪过女儿，远远瞄一眼，只知道那男的是老中。这仨中只有李二是大款，不知道是不是他，所以估的是三者之一。老头接过约会的电话，知道是北京人，估到这姑爷有一半盼头是大款。这两老在赌气别苗头，只知道对方跟踪和接电话的事，分清了老中老外北京外地的什么，没告诉结果。这种情况就好比有过不同经历的人们谈事，你隐约知道些对方不知道细节的经历。聊的是大家都见到了一件事的看法。 好了，现在老头告诉老太这话有一半靠谱，老太说她认为只有三分之一，两人交流时只是来回把这自个儿认定的数叨了几次，打死都没说出理由，各自揣摩，最后老太改嘴了，也认为是有一半的可能，两人达到一致的结论。这是怎么回事？ 有人说：“嗨！这还不简单，老太知道准女婿是中国人，老头知道是北京人。老太就把关西大汉杜四踢出去，剩下李二和李三就同老头的一个样，这不就一致了？” 错！老头知道是北京人不假，他没说，老太不知道呀！这沟通消化过程没那么简单。 我们来看他们知道些什么。在交流前，女儿四个朋友及特征，老太老头各自做了回侦探的事是两老的前提公共知识。朋友的大款传言这事件也是公共知识。 你可能想：老太去虽然跟踪回来没给老头说结论，只说分清了是老中还是老外。可是老头凭他听电话知道这姑爷是北京爷们这一点，他就可以推测老太看到的一定是中国人，这中国人有三。老头明白她估的准是三分之一。其二，老头接电话的事老太也知道，只听他咕噜一声，弄清是老北京和外地人的了。老太闹不清是那拨，但不论在哪拨，大款都占一半。所以老头估的一半这个数，老头知道，老太不用交流也知道。这大家都明白的相互知识，为什么还需要罗嗦的双方明确说出来交流？ 说把这问题看轻了，逻辑不严谨之处在哪儿？ 老头听出准女婿是北京人，所以能猜出老太看到的是中国人。但从老太的角度来看，她不说，老头如何知道她看到的是老中？她不知道老头听电话明白了什么。在她看来老头的结论里的那个大款是在北京人，还是外地人的两拨中都可以成立。老头告诉她这准女婿有一半的可能是大款，老太不能排除是指杜四和大卫那一拨，这时这大款指的是大卫。凭这信息她就不能把杜四给否了。所以没有充分沟通，用想当然来推测是不行的。 现在老太说了是三分之一，很明确暗示老头这准女婿是老中。这时老太就会猜：“老头有了这知识后，如果老头当时听出的准女婿不是北京人，那大卫就该出局了，只剩下老陕杜四了，这小子离大款还得再投一回胎。这形势下，老头一定得改口说：这朋友的话不靠谱！” 老太告诉老头后，眼巴巴瞅着老头，老头仍然坚持不改口。老太这下明白了：“刚才那假设错了。老头有了准女婿是老中的知识，但不认为是杜四。所以老头当时听到的一定是北京口音。”老太现在踏实地把杜四踢出去。改口了。他们的结论在来回交流中成了他们间的公共知识了，同时也就一致了。 QED 有人不耐烦了，说：“看你这绕的。要沟通，老太告诉老头：她看到的是老中。老头给老太说：他听出的是老北京。两人一掐这结果不就出来了。何必不直接告诉这各自的私人知识非要用结论数字来打哑谜，累得慌！” 在现实生活中两老如果不是那么倔，能够这样沟通当然是最直接的。人们在社会交流中，各人一般都有着不同经历，个人经验和私有的知识。人们常常只对感兴趣的事情谈看法，比如议论传言中的大款准女婿的可能性，而不一定会交代自己看到、听到和知道的私有知识。人们更多的是像上面故事那样，从最初的公共知识的前提，通过交换结论，来丰富自己和了解对方对这事件的认知，当这结论背后的知识在来回交流中成为公共知识时，也就达到了一致。只不过你没有意识到是这个过程。你交流过程中的不严谨是造成误解和矛盾的原因你也可能不自知。 Aumann 用集合、区分、测度和 Bayesian 知识表达来证明了：在什么情况下可以沟通的一般原理。只要理解这数学概念的意义，就可以应用到很多方面。 在这个沟通过程中我们学到了什么？ 首先，有不同经历，个人经验，不同知识结构的人不怕不能沟通，只要双方充分了解有关的前提成为公共知识就有可能。在这里你不需要了解对方的具体经验，但必须了解其作为区分的结构。就像对色盲的人，你只需要了解他不在乎颜色，而是用气味、形状等等来判断什么是美丽。 其次，交流很重要。你知道我知道的相互知识并不是公共知识。不要以为对方已经知道你知道了什么，也不要以为你已经知道了对方知道什么，推测出来的东西即使是完全正确的，也不意味着对方知道你了解，必须听到对方亲口说出来，再反馈回去才完成知识的交流。交流中最常见的错误是想当然。这是许多误解的根源。 上面故事中，老头老太如果没有把双方都已知道的结果说出来，倾听对方的回应，修改自己的认知和结论再次交流结果，就永远不会形成共识。 网上看到许多争论，绝大部分都不是在交流知识，而只是在贴标签发泄情绪，用自己想当然对方的根据给对方扣帽子。其实那儿没沟通的什么事，只是在网络上打群架。 尽管很多争论的人们其实都受过相同的教育具备有公共知识的基础，只不过根据不同的经验或者出自不的角度对同一件事做出不同的评论，如果没有从对方角度来理解他的结论，从而修改自己的回应，这争论就永远没有交集。其实这本来是不难达到共识的。 第三，交流对话中理性和真实很重要。沟通的过程中，需要根据对方提供的知识作出逻辑推理来修改自己的理解。任何一方的不理性和误导都会影响最后的结论。 在交流中，交换的是知识，即它包含了事实。不能确定包含事实，即使你理解它，并相信它的事只能称为“信念”，用信念代替知识可以逻辑地完成所有的推理，但可能引起矛盾和错误。例如上面故事中，如果老太跟踪看错了人，以为是老外。她会说这大款的传言是百分百的正确，那她和老头就永远扯不清了。又如老太没看错，老头听错了以为是外地人。那老头起先估的仍然是一半，老太告诉他是三分之一时，老头就推测是那个陕西汉子了，反馈回来时会说：传言不靠谱。老太听后一琢磨也信是这样，他们俩意见倒是达成一致了，但对这传言的结论却是错的。 沟通中具有比较简单粗放区分的人更需要修正自己，就像故事中老太知道的没老头细，她就要在沟通中更费些精神。从小备受保护、思想单纯的人，他们的世界比较简单。他们之间往往极为相契或者完全对立，因为修正自己的认知比较费神，在争论时常常感到困惑，而听凭于感性。经历丰富，思想复杂，区分结构精细的人比较富有理解力。精于情的则善解人意，达于心的则明于事理。通情达理的人都比较容易沟通。 【参考文献】 【1】 Aumann ， R （ 1976 ） Agreeing to disagree, Annals of Statistics, 4, 1236-1239 http://www.ma.huji.ac.il/raumann/pdf/Agreeing to Disagree.pdf 【2】 Bonanno ， G and Nehring, ， K （ 1997 ） Agreeing to disagree ： a survey, Dept. of Economics, University of California, Davis, CA. U.S.A. http://www.econ.ucdavis.edu/faculty/bonanno/PDF/agree.pdf 【3】 想理解“公共知识”基本概念的可读《为什么要向人认错？（科普）》 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=826653do=blogid=639066
前面帖子（ 1 ）的解答推理中“如果只有一个脏脸”，“如果只有两个脏脸” 里面的假设推理都是虚拟的，就是某一个真实或想象中的人在推测从别人角度会怎么想的假设推理，这个虚拟的假设推理的结果是上面一层推理所需要的。这个关系就像计算机程序中一个程序调用另一个程序一样。所以虚拟假设推理处在第几层中，就需要用多少阶彼此的知识作为推理的依据。显然，公共知识可以用在任何一层中。 到了这里，你能看出“如果只有一个脏脸”的虚拟假设推理，在这个故事中需要多少阶这个“至少有一个脏脸”的彼此知识吗？ 原来故事解答中虚拟的假设推理被引用的关系比较隐晦，我们再从局中人的角度来看是怎么完成这个的推理。 这故事里有三个人脸脏了，分别记为甲，乙，丙。甲只看到乙和丙两个脏脸，他看不见自己的脸。甲想：我要是干净的，乙只能看到丙的那个脏脸。甲再从这个设想中乙的角度来思考：乙要是觉得自己没脏，那么乙可以推测丙看到所有人脸就是干净的。这时甲猜测中的乙又从丙的角度来思考：丙知道“至少有一个人脸脏了”，他却看到所有人脸都是干净的，那他就知道自己的脸脏了。 注意上面“至少有一个人脸脏了”这个知识，是在甲从设想中乙，设想中的乙又从设想中丙的推理中被引用的。所以这个知识必须是：“甲知道（乙知道（丙知道的知识））”，这有三阶彼此的知识的深度。 “至少有一个人脸脏了”是三阶彼此的知识就足够了。如果是公共知识，当然是没问题被引用。我们后面再谈它怎么成了公共知识。 可是女招待催促后，丙没反应。这说明前面推理中的假设出错了，不管什么地方出错，丙一定是看到脏脸了，这样他才不能猜出自己。甲能够推想出乙有这个知识了。所以“甲知道（乙知道（丙看到一个脏脸））”。甲和他设想中的乙都知道丙的脸是脏的，所以“至少有两个脏脸”是甲知道（乙知道的知识）。 到了女招待第二次催促时，甲还想：我要是干净的，乙只能看到丙的那个脏脸，但乙知道至少有两个脏脸了，他该出来招认呀。结果等到第三次前还是没有。甲才知道自己的假设完全错了，自己的脸是脏的，乙也看到两个脏脸了。 上面甲乙丙的记号是随便取的，所以三个脏脸人，每个都按照甲的思路来考虑，他们也就同时明白了，在第三次催促中出来擦脸。至于其他脸没脏的人，他们看到的是三个脏脸，推理又深了一层，在第三次催促前还不能判断自己的状况。到了这三人都擦了脸才知道自己脸没脏。 那女招待说了一声后，这“至少有一个人脸脏了”是怎么成了公共知识？因为女招待的话是对大家说的，谁都有这知识了，谁也知道别人听到这知识了，这都能推测出“张三知道（李四知道（王五知道这知识））”，如此等等直到无穷，这就是公共知识了。 那大家眼睛都看到的事实，怎么不是公共知识呢？每个人都看到了脏脸，没错这“至少有一个人脸脏了”是“一阶彼此的知识”。脏脸的甲，从脏脸乙角度看去，也能确定乙看到脏脸丙。所以甲知道（乙知道这知识）。每个人都可以用这个逻辑推想，所以这也是“二阶彼此的知识”了。但是甲从乙，乙再从丙的角度来看，因为甲乙丙都不能确定自己的脸，而除此之外再无脏脸，所以这套在这里面的丙无法知道有没有脏脸，即“甲知道（乙知道（丙知道这个知识））”不成立。没有了这个知识，故事中女招待第一次催促前的的假设推理就不能进行到底。这大家眼睛看得到的知识，连三阶彼此的知识都够不上，就更不是公共知识了。这也解释了女招待没说之前，虽然大家都知道有人脸脏了，也能推测出大家知道有人脸脏了，却不能推测出自己的脸是不是脏了。 看三个帖子到了这里的人，要是对进一步了解公共知识的理论感兴趣，可以看下面。 【参考文献】 Aumann RJ (1999) Interactive epistemology I: Knowledge. International Journal of Game Theory 28: 263±300 http://www.ma.huji.ac.il/raumann/pdf/Interactive epistemology1.pdf Aumann RJ (1999) Interactive epistemology II: Probability. International Journal of Game Theory 28:301±314 http://www.ma.huji.ac.il/raumann/pdf/Interactive epistemology2.pdf Vanderschraaf, Peter and Sillari, Giacomo, "Common Knowledge", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.), http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/common-knowledge/ 【公共知识的一种定义】 We can now define mutual and common knowledge as follows: Definition Let a set Ω of possible worlds together with a set of agents N be given. 1. The proposition that A is (first level or first order) mutual knowledge for the agents of N, K 1 N ( A ), is the set defined by K 1 N ( A ) ≡ ∩ i ∈ N K i ( A ). 2. The proposition that A is m th level (or m th order ) mutual knowledge among the agents of N , K m N ( A ), is defined recursively as the set K m N ( A ) ≡ ∩ i ∈ N K i ( K m −1 N ( A )). 3. The proposition that A is common knowledge among the agents of N , K * N ( A ), is defined as the set K * N ( A ) ≡ ∞ ∩ m =1 K m N ( A ).
你认识到犯了错，必须向有关人等认个错。 朋友一看就笑，老应你这帖子贴错了，应该去幼儿教育，亲亲宝贝坛里吧？我们从小就被家长、老师耳提面命：犯了错，要认错，要道歉。这在小孩是乖孩子，大人是明理人，老人是有风度。总之是 IQEQ ，个人修养，文明礼貌，智慧高尚的行为。 他们教你知其然，没人给你说过所以然吧？ 这就涉及到“公共知识（ Common Knowledge ）”这个概念了。“知识”是指包含事实，拥有的人理解它，并相信它的事件。但是“我知道，你知道，大家都知道的知识”并不就是公共知识。举一个例子来说明。 餐馆跑堂端菜时，脚上一趄趔不小心将汤汁滴到女客人的裙子上，那女人瞪他一眼，跑堂的忙不迭道歉说：“这是我的错！” “这事是跑堂错”的知识，跑堂自己知道，那女人知道。瞪一眼跑堂，让跑堂也知道了她有这知识。这大家都有的知识，为什么跑堂道歉还要对她说一遍？多余吗？不！ 因为那女人不明白跑堂是否知道这是他的错，尽管两人各自都知道，按常理跑堂也该知道是他的错，但跑堂的不说，别人无从知道他认识到自己的错。这以后的沟通就有问题了。 所以“我知道，你知道，大家都知道的知识”只是“彼此的知识（ Mutual Knowledge ）”，彼此的知识不能用来推理，因为即使事实上你已经知道了，而且大家都是理性的人，但不了解你是否真的知道，我怎么知道你会怎么想呢？用想当然来猜测别人知道些什么，依此来决定自己的行动和推断是不可靠的，这是世界上许多错误的根源。 我们能够从对方角度着想，让人设身处地为别人着想，这叫换位思考。能够通情达理的换位思考，只要求常识及自己和对方的知识，想当然可也，人同此心，情同此理，己所不欲，勿施于人，就善莫大焉。作为严谨判断和博弈决策的逆向推理（ Backward Induction ）里面，逻辑要求的知识就要严格多了。 要借用对方的看法来推理，我必须知道“你知道了什么”，记为“我知道（你知道的知识）”。我从你的角度来推理，这个“你”不是实际中的你，而是我想象中的你。我想象中的你所用的知识，不是实际上的你所知道的知识，而是“我知道（你知道的知识）”。 你想像我的逻辑推理，根据的是“你知道（我知道的知识）”，如果是多人各自从对方的角度推理就必须根据局中“每个人知道（其他人知道的知识）”。这样的知识就叫做“二阶彼此的知识”。 看看我们怎么用这个概念，由不同性质的知识，得出什么不同的结果。比如说上面“菜汁滴裙”事件的店里有个大家都知道的规矩：跑堂犯了错，店里要送碗甜汤来赔罪。假定跑堂和女客人都是明理的聪明人。 那女人瞪跑堂一眼，让跑堂知道了她有“这事是跑堂错”这个知识，跑堂的就会想她可能要求按规矩给碗甜汤。这个推理用的是“跑堂知道（女人知道跑堂错）”的知识。跑堂想象中的女人，用她知道“跑堂错”的知识，要求赔碗甜汤。 跑堂没道歉，女人没有跑堂自己知道犯错的知识。虽然“跑堂错”是客观的事实，跑堂自己也知道错了。但他没让那女人知道。女人就不能按照常理认为跑堂自己知道错了。也就推测不出会不会送甜汤来。要是那女人想当然以为跑堂知道自己错了，巴巴地望着他来送甜汤，万一跑堂实际上认为不是他的错，那女人没得到甜汤后岂不是要老羞成怒？ 跑堂道歉了，这女人就知道（跑堂知道自己错），就可以心安理得地等甜汤。这事就不会误会了。 如果大家都知道了这个二阶彼此的知识，其中包括诸如“我知道（你知道（我知道的知识））”和“张三知道（李四知道（王五知道的知识））”如此等等，有各种三重的“知道”，这叫三阶彼此的知识，就可以用来进行三层从对方角度的推理。这阶数一直加到无穷的知识就叫做“公共知识”。公共知识是无穷阶彼此的知识。 那么要是跑堂认了错，“跑堂错”是不是成为公共知识呢？还不是，这里跑堂还没有“女人知道（跑堂知道跑堂错）”的知识，女人如果在他认错后，开声回应或点头微笑，跑堂才有了这知识。回应了，多了这点认知。仅此而已，还不及其他。 有人愤怒了，这就像日本人一样相互一再鞠躬，这要到什么时候算了！好在一般不需要太多层推理，比如说上面故事中送甜汤的推测，二阶彼此的知识就足够了。 有没有一下子就成了公共知识的？有。比如“菜汁滴裙”事件的店里经理出来对女人和跑堂说“这事是跑堂的错”，女人和跑堂都点头认可，这样便成了公共知识。为什么这样就有了无穷阶呢？这推理一下就知道了，留着大家思考。 人们因为生长环境，受的教育，经历不同，所以人们各自的知识系统不同。这造成同一个事件，各人的看法和结论都不一样，这时有多少辩论都无济于事，因为作为论据的知识不是共同的。民主的一个基本原则叫做“ Agree to disagree ”，人们常常称之为涵养和美德。其实这只是无法彻底沟通的一种现实的妥协方案。 诺贝尔经济奖得主博弈学者 Aumann ，在 1976 年发表一篇论文叫《 AGREEING TO DISGREE 》，用严格的数学证明了无分歧定理。其大意是：如果两人的背景知识都一样，即使对于事件有着不同经验，如果充分交流（成为共同知识），他们的结论就不会有分歧。 这就是为什么在政治上无论怎么讨论，都难以达到一致，只能依照实力妥协容忍，而科学研究尽管有各自不同发现和进展，经过交流，比较容易达成共识。有充分沟通非常熟悉的朋友或家人，也多能够相视一笑，莫逆于心。 运用公共知识的观点，我们来看看庄子《秋水》篇中著名的辩论。 庄子与惠子游于濠梁之上。庄子曰： “ 儵鱼出游从容，是鱼之乐也。 ” 惠子曰 ∶ “ 子非鱼，安知鱼之乐？ ” 庄子曰： “ 子非我，安知我不知鱼之乐？ ” 惠子曰 “ 我非子，固不知子矣；子固非鱼也，子之不知鱼之乐，全矣！ ” 庄子曰： “ 请循其本。子曰 ‘ 汝安知鱼乐 ’ 云者，既已知吾知之而问我。我知之濠上也。 ” 惠施是战国时期政治家、逻辑学家和哲学家。庄子反驳惠施质疑如何得知“鱼之乐”的话很巧妙，他说：从你最早的问话中得知，你知道我有“鱼之乐”这个知识，问我从哪儿得来的这知识？我是在这儿看到的呀。表面上逻辑无懈可击。 这当然是在忽悠了。惠施的“鱼之乐”是“鱼感觉到快乐”，他问“你怎么知道鱼感觉到快乐”。庄子答的是“鱼看来很快乐”。一个是从客观角度，一个是从主观角度。表面上“鱼之乐”是他们的公共知识，实际上惠施没有庄子的“鱼之乐”概念知识，庄子也没有惠施的“鱼之乐”概念知识。辩驳之间缺了公共的知识，他们说的没有交集，各说各的，胡侃一气。 后人把这个归结为他们认知观念上的不同的立场。庄子超然物外，欣赏自然的美。惠施重在分析，探究事物的真实性。 惠施的著作没有流传下来，其思想多从庄子书中传下，惠施在秋水篇里反驳的逻辑也常被人忽视。当人们被怀疑怎么知道某件事时，就常常套用庄子的“你不是我，怎么知道我不知道？”句式来反驳，其实这只是庄子的遁词，要引出后面的偷换概念的巧辩而已。人们要进行讨论，他们之间用到的不言而喻的知识必须是公共的。 【参考文献】 Vanderschraaf, Peter and Sillari, Giacomo, Common Knowledge, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.), http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/common-knowledge/ 【公共知识的一种定义】 We can now define mutual and common knowledge as follows: Definition Let a set Ω of possible worlds together with a set of agents N be given. 1. The proposition that A is (first level or first order) mutual knowledge for the agents of N, K 1 N ( A ), is the set defined by K 1 N ( A ) ≡ ∩ i ∈ N K i ( A ). 2. The proposition that A is m th level (or m th order ) mutual knowledge among the agents of N , K m N ( A ), is defined recursively as the set K m N ( A ) ≡ ∩ i ∈ N K i ( K m −1 N ( A )). 3. The proposition that A is common knowledge among the agents of N , K * N ( A ), is defined as the set K * N ( A ) ≡ ∞ ∩ m =1 K m N ( A ).
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